Примеры решения задач с векторами: Примеры решения задач с векторами

Примеры решения задач с векторами

Векторы используются во многих науках, таких как: математика, физика, геометрия и многие другие прикладные науки. На практике они позволяют не выполнять ненужных операций и сокращают время на выполнение задач. Поэтому для будущих специалистов очень важно понять теорию векторов и научиться решать с ними проблемы.

Прежде чем изучать примеры решения проблем, советуем вам изучить теоретический материал по векторам, прочитать все определения и свойства. Список тем находится в правом меню.

Векторные координаты

пример

Запись \(\ \overline{a}=(5 ;-2) \) означает, что вектор \(\ \overline{a} \) имеет следующие координаты: абсцисса равна 5, ордината равна -2.

пример

Задание.

Векторы и дан \(\ \overline{a}=(-3 ; 5) \) и \(\ \overline{b}=(0 ;-1) \) . Найти векторные координаты \(\ \overline{c}=\overline{a}+\overline{b} \)

Решение.

\(\ \overline{c}=\overline{a}+\overline{b}=(-3 ; 5)+(0 ;-1)=(-3+0 ; 5+(-1))=(-3 ; 4) \)

Пример

Задание. {\circ} \)

Разложение вектора по ортам координатных осей

пример

Задание.

Зная разложение вектора \(\ \overline{a} \) на базисной системе векторов: \(\ \overline{a}=3 \overline{i}-\overline{k} \)запишите координаты этого вектора в пространстве.

Решение.

Коэффициенты ортов являются координатами вектора, поэтому из того, что \(\ \overline{a}=3 \overline{i}-0 \cdot \overline{j}-\overline{k} \) мы получаем \(\ \overline{a}=(3 ; 0 ;-1) \)

Пример

Задание.

Вектор \(\ \overline{a} \) определяется его координатами: \(\ \overline{a}=(2 ;-1 ; 5) \) запишите разложение этого вектора по осям осей.

Решение.

Координаты вектора представляют собой коэффициенты по осям координатных осей при разложении вектора в основную систему векторов, поэтому требуется разложение:

\(\ \overline{a}=2 \overline{i}-\overline{j}+5 \overline{k} \)

Скалярное произведение векторов

Пример

Задание.

Рассчитайте скалярное произведение векторов \(\ \overline{a} \) и \(\ \overline{b} \) , если их длины равны 2 и 3 соответственно, а угол между ними равен 60 °. {\circ}=6 \cdot \frac{1}{2}=3 \)

Пример

Задание.

Найти скалярное произведение векторов \(\ \overline{a}=(3 ;-1) \) и \(\ \overline{b}=(-2 ; 7) \)

Решение.

Скалярное произведение

\(\ \overline{a} \overline{b}=3 \cdot(-2)+(-1) \cdot 7=-6-7=-13 \) Векторное произведение векторов пример

Задание.

Найти векторное произведение векторов \(\ \overline{a}=(6 ; 7 ; 10) \) и \(\ \overline{b}=(8 ; 5 ; 9) \)

Решение.

Составляем определитель и вычисляем его:

\(\ \overline{a} \times \overline{b}=\left| \begin{array}{ccc}{\overline{i}} & {\overline{j}} & {\overline{k}} \\ {6} & {7} & {10} \\ {8} & {5} & {9}\end{array}\right|=\overline{i} \left| \begin{array}{cc}{7} & {10} \\ {5} & {9}\end{array}\right|-\overline{j} \left| \begin{array}{cc}{6} & {10} \\ {8} & {9}\end{array}\right|+\overline{k} \left| \begin{array}{cc}{6} & {7} \\ {8} & {5}\end{array}\right|= \)

\(\ =\overline{i}(7 \cdot 9-5 \cdot 10)-\overline{j}(6 \cdot 9-8 \cdot 10)+\overline{k}(6 \cdot 5-8 \cdot 7)= \)

\(\ =13 \overline{i}+26 \overline{j}-26 \overline{k}=(13 ; 26 ;-26) \)

Смешанное произведение векторов

Пример

Задание.

Рассчитать объем пирамиды, построенной на векторах \(\ \overline{a}=(2 ; 3 ; 5), \overline{b}=(1 ; 4 ; 4), c=(3 ; 5 ; 7) \)

Решение.

Мы находим смешанное произведение указанных векторов, для этого составляем определитель, в строки которого записываем координаты векторов \(\ \overline{a}, \overline{b} \) и \(\ \overline{c} \):

\(\ (\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=\left| \begin{array}{ccc}{2} & {3} & {5} \\ {1} & {4} & {4} \\ {3} & {5} & {7}\end{array}\right|=2 \cdot 4 \cdot 7+1 \cdot 5 \cdot 5+3 \cdot 4 \cdot 3- \)

\(\ -3 \cdot 4 \cdot 5-5 \cdot 4 \cdot 2-1 \cdot 3 \cdot 7=-4 \)

\(\ V_{\mathrm{пир}}=\frac{1}{6}|(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})|=\frac{1}{6} \cdot 4=\frac{2}{3}(\mathrm{куб} . \mathrm{ед.}) \)

Физика

166

Реклама и PR

31

Педагогика

80

Психология

72

Социология

7

Астрономия

9

Биология

30

Культурология

86

Экология

8

Право и юриспруденция

36

Политология

13

Экономика

49

Финансы

9

История

16

Философия

8

Информатика

20

Право

35

Информационные технологии

6

Экономическая теория

7

Менеджент

719

Математика

338

Химия

20

Микро- и макроэкономика

1

Медицина

5

Государственное и муниципальное управление

2

География

542

Информационная безопасность

2

Аудит

11

Безопасность жизнедеятельности

3

Архитектура и строительство

1

Банковское дело

1

Рынок ценных бумаг

6

Менеджмент организации

2

Маркетинг

238

Кредит

3

Инвестиции

2

Журналистика

1

Конфликтология

15

Этика

9

Формулы дифференцирования Действия над векторами и свойства векторов Смешанное произведение векторов Векторное произведение векторов Скалярное произведение векторов

Узнать цену работы

Узнай цену

своей работы

Имя

Выбрать тип работыЧасть дипломаДипломнаяКурсоваяКонтрольнаяРешение задачРефератНаучно — исследовательскаяОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерскаяНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация в ВАКПубликация в ScopusДиплом MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Принимаю  Политику  конфиденциальности

Подпишись на рассылку, чтобы не пропустить информацию об акциях

Примеры решения задач с векторами

Примеры решения задач с векторами

Вектора применяются во многих науках, таких как: математика, физика, геометрия и многих других прикладных науках. На практике, они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач. Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию векторов и научиться решать задачи с ними.

Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по векторам, прочитать все определения и свойства. Список тем находится в правом меню.

Координаты вектора

Теоретический материал по теме — координаты вектора.

Пример

Запись означает, что вектор имеет следующие координаты: абсцисса равна 5, ордината равна -2.

Пример

Задание. Заданы векторы и . Найти координаты вектора

Решение.

Пример

Задание. Вектор . Найти координаты вектора

Решение.

Пример

Задание. Найти координаты вектора , если

Решение.

Длина (модуль) вектора

Теоретический материал по теме — длина вектора.

Пример

Задание. Найти длину вектора

Решение. Используя формулу, получаем:

Пример

Задание. Найти длину вектора

Решение. Используя формулу, получаем:

Угол между векторами

Теоретический материал по теме — угол между векторами.

Пример

Задание. Известно, что скалярное произведение двух векторов , а их длины . Найти угол между векторами и .

Решение. Косинус искомого угла:

Пример

Задание. Найти угол между векторами и

Решение. Косинус искомого угла

Пример

Задание. Найти угол между векторами и

Решение. Косинус искомого угла:

Разложение вектора по ортам координатных осей

Теоретический материал по теме — разложение вектора по ортам.

Пример

Задание. Зная разложения вектора по базисной системе векторов: , записать координаты этого вектора в пространстве.

Решение. Коэффициенты при ортах и есть координатами вектора, поэтому из того, что , получаем, что

Пример

Задание. Вектор задан своими координатами: . Записать разложение данного вектора по ортам осей координат.

Решение. Координаты вектора — это коэффициенты при ортах координатных осей в разложении вектора по базисной системе векторов, поэтому искомое разложение:

Скалярное произведение векторов

Теоретический материал по теме — скалярное произведение векторов.

Пример

Задание. Вычислить скалярное произведение векторов и , если их длины соответственно равны 2 и 3, а угол между ними 60°.

Решение. Так как из условия , , а , то

Пример

Задание. Найти скалярное произведение векторов и

Решение. Скалярное произведение

Векторное произведение векторов

Теоретический материал по теме — векторное произведение векторов.

Пример

Задание. Найти векторное произведение векторов и

Решение. Составляем определитель и вычисляем его:

Смешанное произведение векторов

Теоретический материал по теме — смешанное произведение векторов.

Пример

Задание. Вычислить объем пирамиды, построенной на векторах , ,

Решение. Найдем смешанное произведение заданных векторов, для это составим определитель, по строкам которого запишем координаты векторов , и :

Решение задач с векторами

Горячая математика

Мы можем использовать векторы для решения многих задач, связанных с физическими величинами, такими как скорость, скорость, вес, работа и так далее.

Скорость:

Скорость движущегося объекта моделируется вектором, направление которого является направлением движения, а величина — скоростью.

Пример :

Мяч брошен с начальной скоростью 70 футов в секунду, под углом 35 ° с горизонталью. Найдите вертикальную и горизонтальную составляющие скорости.

Позволять в представить скорость и использовать данную информацию, чтобы написать в в форме единичного вектора:

в «=» 70 ( потому что ( 35 ° ) ) я + 70 ( грех ( 35 ° ) ) Дж

Упрощая скаляры, мы получаем:

в ≈ 57,34 я + 40. 15 Дж

Поскольку скаляры являются горизонтальной и вертикальной компонентами в ,

Следовательно, горизонтальная составляющая 57,34 футов в секунду, а вертикальная составляющая 40.15 футов в секунду.

Сила:

Сила также представлена ​​вектором. Если на объект действуют несколько сил, результирующая сила, испытываемая объектом, представляет собой векторную сумму этих сил.

Пример :

Две силы Ф 1 и Ф 2 с величинами 20 и 30 фунт соответственно действуют на объект в точке п как показано. Найдите результирующие силы, действующие на п .

Сначала мы пишем Ф 1 и Ф 2 в виде компонентов:

в ≈ 57,34 я + 40. 15 Дж

Упрощая скаляры, мы получаем:

Ф 1 «=» ( 20 потому что ( 45 ° ) ) я + ( 20 грех ( 45 ° ) ) Дж «=» 20 ( 2 2 ) я + 20 ( 2 2 ) Дж «=» 10 2 я + 10 2 Дж Ф 2 «=» ( 30 потому что ( 150 ° ) ) я + ( 30 грех ( 150 ° ) ) Дж «=» 30 ( − 3 2 ) я + 30 ( 1 2 ) Дж «=» − 15 3 я + 15 Дж

Итак, результирующая сила Ф является

Ф «=» Ф 1 + Ф 2 «=» ( 10 2 я + 10 2 Дж ) + ( − 15 3 я + 15 Дж ) «=» ( 10 2 − 15 3 ) я + ( 10 2 + 15 ) Дж ≈ − 12 я + 29Дж

Работа:

Работа Вт сделано силой Ф при движении по вектору Д является Вт «=» Ф ⋅ Д .

Пример :

Сила задается вектором Ф «=» 〈 2 , 3 〉 и перемещает объект из точки ( 1 , 3 ) к точке ( 5 , 9) . Найдите проделанную работу.

Сначала мы находим Displacement.

Вектор смещения

Д «=» 〈 5 − 1 , 9 − 3 〉 «=» 〈 4 , 6 〉 .

По формуле совершенная работа равна

Вт «=» Ф ⋅ Д «=» 〈 2 , 3 〉 ⋅ 〈 4 , 6 〉 «=» 26

Если единицей силы являются фунты, а расстояние измеряется в футах, то выполненная работа равна 26 фут-фунт

Решения и примеры для физики

Векторы могут использоваться для решения множества задач, которые включают в себя такие величины, как ускорение, импульс, сила, скорость и перемещение.

В чем разница между скалярами и векторами?

Скаляр — это величина, которая имеет нет направление . Это просто шкала таких величин, как килограммы или сантиметры. Например, ваш вес и рост выражаются через количество и единицу измерения, но не имеют направления. Примерами скалярных величин являются скорость, масса, температура, энергия, длина и расстояние.

Вектор , , с другой стороны, имеет величину и направление . Импульс объекта, например, равен его массе на ускорение и имеет направление, которое делает его векторной единицей. Примерами векторных величин являются скорость, ускорение, импульс, смещение и сила, включая вес.

Разложение векторов на компоненты

Разложение векторов на компоненты помогает нам, когда мы имеем дело с сложными векторными задачами . Чтобы разложить вектор на его компоненты, нам нужно измерить горизонтальную и вертикальную длину вектора и укажите эти длины как две отдельные величины. Давайте посмотрим на пример ниже, чтобы лучше понять концепцию.

Найдите компоненты вектора, показанного ниже.

Чтобы найти компоненты этого вектора, нам нужно начать с определения его горизонтальной и вертикальной длины.

Как видите, длина по горизонтали равна 12, а по вертикали — 10. Когда мы разлагаем вектор на его компоненты, мы всегда получаем одно значение по горизонтали и одно по вертикали. Длины, которые мы измерили, являются величинами компонентов вектора.

Как видите, компонентами этого вектора являются два вектора, горизонтальный и вертикальный, с величинами 12 и 10.

Можем ли мы разложить вектор на его компоненты, если мы не можем измерить его горизонтальная и вертикальная длина? Да, можем, но давайте посмотрим, как это делается.

Рис. 3. Вектор v и его компоненты.

Если мы знаем угол градиента вектора, мы можем определить величину его горизонтальной и вертикальной составляющих. Для приведенного выше вектора v угол градиента равен a. Затем мы можем определить соотношение между углом и величиной компонентов с помощью тригонометрии.

Определим величину горизонтальной составляющей v _x . Мы знаем, что:

Если мы решим уравнение для v _x , мы получим:

Теперь определим величину вертикальной составляющей v _y . Опять же, мы знаем, что:

Если мы решим уравнение для v _y , мы получим:

Сложение векторов вместе

Сложение двух векторов вместе называется нахождением их равнодействующей. Есть два способа сложения векторов. В первом задействовано с использованием масштабных диаграмм , а второй использует тригонометрию .

Определение результирующих векторов с помощью масштабных диаграмм

Чтобы найти результирующие векторы с помощью масштабных диаграмм, нам нужно нарисовать масштабную диаграмму векторов, которые мы хотим сложить вместе, соединяя векторы ‘ кончик к хвосту ‘.

Следующий пример иллюстрирует эту концепцию.

Человек сначала проходит на северо-восток 11,40 м, затем продолжает идти на восток 6,6 м и, наконец, проходит на северо-запад 21,26 м, прежде чем остановиться. Определить полное перемещение человека.

Чтобы определить полное перемещение человека, нам нужно указать длины, которые он прошел, в виде векторов, каждый из которых имеет правильное направление и величину. Назовем его первое движение вектором А, второе — вектором В, а третье — вектором С.

Рис. Источник: Огулкан Тезкан, StudySmarter.

Если вы измерите линейкой общее перемещение, то увидите, что оно составляет 23,094 метра в северном направлении, хотя человек прошел 390,26 метра. Давайте докажем это математически, разложив векторы на их компоненты. В этом конкретном примере нам нужны только вертикальные компоненты, поскольку общее смещение является только вертикальным.

Рис. 5. Компоненты вектора. Источник: Огулкан Тезкан, StudySmarter.

Чтобы определить A _y , , мы применяем уравнение для разложения векторов на их компоненты:

Нам не нужно определять компоненты B, так как этот пример не включает вертикальную компоненту . Для определения C _y , мы применяем то же уравнение.

Полное перемещение равно сумме A _y и C _y , которое можно рассчитать следующим образом: 0005

Если два вектора перпендикулярны друг другу, мы можем найти равнодействующую с помощью тригонометрии. Давайте снова посмотрим на пример.

Двое друзей толкают коробку. Две силы, которые они прикладывают, перпендикулярны друг другу. Один из друзей прикладывает силу в 3 ньютона (F ₁ ) в восточном направлении, а другой прикладывает силу в 4 ньютона (F ₂ ) в северном направлении. Определите результирующий вектор полной силы, действующей на коробку.