Вычислить определитель матрицы примеры: Определитель матрицы — порядок вычисления определителя матрицы, примеры и решения

1.2.4. Примеры решения задач по теме «Определители»

Задача 1.

Вычислить определитель

.

Указание

Воспользуйтесь либо правилом треугольников, либо разложением определителя по 2-й строке или 2-му столбцу, содержащим нулевой элемент.

Решение

1-й способ (правило треугольников).

Вычислим определитель 3-го порядка, используя его определение:

Δ = 2·0·(-1) + (-3)·(-4)·2 + 5·1·1 — 2·0·5 -1·(-4)·2 – (-1)·1·(-3) =

= 0 + 24 + 5 – 0 + 8 – 3 = 34.

2-й способ (разложение по строке).

Применим свойство определителя:

.

Для удобства вычисления выберем 2-ю строку, содержащую нулевой элемент (А22 = 0), поскольку при этом нет необходимости находить А22, так как произведение А22 А22 = 0. Итак,

(напомним, что определитель второго порядка, входящий в алгебраическое дополнение Aij, получается вычеркиванием из исходного определителя I-й строки и J-го столбца).

Тогда Δ = А21 А21 + А23 А23 = 1·2 + (-4)(-8) = 34.

Ответ: Δ = 34.

Задача 2.

Используя свойства определителя, вычислить определитель

.

Указание

Вычитая из 2-й и 3-й строк определителя соответствующие элементы 1-й строки, добьемся того, что в 1-м столбце останется только один ненулевой элемент. Далее можно разложить определитель по 1-му столбцу.

Решение

Поскольку все элементы первого столбца равны 1, вычтем из 2-й и 3-й строк определителя соответствующие элементы 1-й строки (при этом величина определителя не изменится – свойство 6):

.

Заметим, что теперь все элементы 2-й строки кратны двум, а элементы 3-й строки кратны трем. По следствию 2.2 соответствующие множители можно вынести за знак определителя:

.

Вычтем из элементов 3-й строки полученного определителя соответствующие элементы 2-й строки:

И разложим определитель по 1-му столбцу:

Ответ: Δ = 6.

Разумеется, можно было вычислять этот определитель непосредственно (например, по правилу треугольников), но использование свойств определителей позволило существенно сократить и упростить численные расчеты.

Задача 3.

Используя свойства определителей, вычислить определитель

.

Указание

Прибавьте к элементам 2-й строки соответствующие элементы 1-й строки, а из элементов 3-й строки вычтите удвоенные элементы 1-й строки. Затем вынесите за знак определителя все общие множители элементов какой-либо строки или столбца.

Решение

Прибавим к элементам 2-й строки соответствующие элементы 1-й строки, а из элементов 3-й строки вычтем удвоенные элементы 1-й строки:

Вынесем за знак определителя множитель -1 из 2-й строки и 3 – из 3-й:

Теперь из 3-го столбца вынесем множитель -2:

Вычтем из элементов 2-го столбца элементы 3-го столбца и разложим полученный определитель по 3-й строке:

Ответ: Δ = 306.

Задача 4.

Решить уравнение

Указание

Разложив определитель, стоящий в левой части равенства, по первой строке, и приравняв его 40, вы получите квадратное уравнение для Х.

Решение

Разложим определитель, стоящий в левой части равенства, по первой строке. Предварительно найдем соответствующие алгебраические дополнения:

Тогда

И требуется решить квадратное уравнение

.

Ответ:

Задача 5.

Решить неравенство

Указание

Раскройте определитель, стоящий в левой части неравенства, по 1-й строке.

Решение

Раскроем определитель, стоящий в левой части неравенства, по 1-й строке:

3(10 — 12) – X(2X – 9) + 4X – 15 > — 3;

-2X2 + 13X – 18 > 0;

2X2 – 13X + 18 < 0;

2 < X < 4,5.

Ответ: (2; 4,5).

Задача 6.

Используя свойства определителей (не раскрывая определитель), вычислить определитель

Указание

Используйте тригонометрическую формулу cos 2A = cos2A — sin2A и свойство определителя с двумя равными столбцами.

Решение

Из тригонометрии известно, что cos 2A = cos2A — sin2A. Вычтем из элементов

2-го столбца определителя соответствующие элементы 1-го столбца:

У полученного определителя, равного исходному (свойство 6), два столбца одинаковы, поэтому он равен нулю (следствие 2.1).

Ответ: 0.

Задача 7.

Вычислить определитель 4-го порядка

.

Указание

Преобразуйте определитель так, чтобы три из четырех элементов какой-либо строки или столбца стали равными нулю. Для этого воспользуйтесь свойством 6.

Решение

Преобразуем определитель так, чтобы три из четырех элементов какой-либо строки или столбца стали равными нулю. Для этого воспользуемся свойством 6. Его особенно удобно применять, если в определителе существует элемент, равный +1. Выберем в качестве такого элемента А13 = 1 и с его помощью обратим все остальные элементы 3-го столбца в нуль. С этой целью:

А) к элементам 2-й строки прибавим соответствующие элементы 1-й строки;

Б) из элементов 3-й строки вычтем элементы 1-й строки, умноженные на 2;

В) из элементов 4-й строки вычтем элементы 1-й строки

(напомним, что при этом величина определителя не изменится). Тогда

Разложим полученный определитель по 3-му столбцу:

Вычтем из элементов 1-й строки нового определителя удвоенные элементы 2-й строки:

И разложим этот определитель по 1-й строке:

Ответ: Δ = -9.

Задача 8.

Вычислить определитель 4-го порядка

Указание

Разложите определитель по 1-й строке, а затем полученный определитель 3-го порядка вновь разложите по 1-й строке.

Решение

Разложим определитель по 1-й строке:

Полученный определитель 3-го порядка вновь разложим по 1-й строке:

Ответ: Δ = 24.

Обратите внимание: если в определителе все элементы, стоящие по одну сторону от главной диагонали, равны нулю, то определитель равен произведению элементов, Стоящих на главной диагонали.

Ответ: Δ = 24.

< Предыдущая		Следующая >

Вычисление определителя матрицы в EXCEL.

Примеры и описание

Вычислим определитель (детерминант) матрицы с помощью функции МОПРЕД() или англ. MDETERM, разложением по строке/столбцу (для 3 х 3) и по определению (до 6 порядка).

Определитель матрицы (det) можно вычислить только для квадратных матриц, т.е. у которых количество строк равно количеству столбцов.

Для вычисления определителя в MS EXCEL есть специальная функция МОПРЕД() . В аргументе функции необходимо указать ссылку на диапазон ячеек (массив), содержащий элементы матрицы (см. файл примера ).

Массив может быть задан не только как интервал ячеек, например A7:B8

, но и как массив констант , например =МОПРЕД({5;4:3;2}) . Запись с использованием массива констант позволяет не указывать элементы в отдельных ячейках, а разместить их в ячейке вместе с функцией. Массив в этом случае указывается по строкам: например, сначала первая строка 5;4, затем через двоеточие записывается следующая строка 3;2. Элементы отделяются точкой с запятой.

Ссылка на массив также может быть указана как ссылка на именованный диапазон .

Для матриц порядка 2 можно определитель можно вычислить без использования функции МОПРЕД() . Например, для вышеуказанной матрицы выражение =A7*B8-B7*A8 вернет тот же результат.

Для матрицы порядка 3, например размещенной в диапазоне A16:C18 , выражение усложняется =A16*(B17*C18-C17*B18)-B16*(A17*C18-C17*A18)+C16*(A17*B18-B17*A18) (разложение по строке).

В файле примера для матрицы 3 х 3 определитель также вычислен через разложение по столбцу и по правилу Саррюса.

Свойства определителя

Теперь о некоторых свойствах определителя (см. файл примера ):

• Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы
• Если в матрице все элементы хотя бы одной из строк (или столбцов) нулевые, определитель такой матрицы равен нулю
• Если переставить местами две любые строки (столбца), то определитель полученной матрицы будет противоположен исходному (то есть, изменится знак)
• Если все элементы одной из строк (столбца) умножить на одно и тоже число k, то определитель полученной матрицы будет равен определителю исходной матрицы, умноженному на k
• Если матрица содержит строки (столбцы), являющиеся линейной комбинацией других строк (столбцов), то определитель =0
• det(А)=1/det(А ^-1 ), где А ^-1 — матрица обратная матрице А (А — квадратная невырожденная матрица).

Вычисление определителя матрицы по определению (до 6 порядка включительно)

СОВЕТ : Этот раздел стоит читать только продвинутым пользователям MS EXCEL. Кроме того материал представляет только академический интерес, т.к. есть функция МОПРЕД() .

Как было показано выше для вычисления матриц порядка 2 и 3 существуют достаточно простые формулы и правила. Для вычисления определителя матриц более высокого порядка (без использования функции МОПРЕД() ) придется вспомнить определение:

Определителем квадратной матрицы порядка n х n является сумма, содержащая n! слагаемых ( =ФАКТР(n) ). Каждое слагаемое представляет собой произведение n элементов матрицы, причем в каждом произведении содержится элемент из каждой строки и из каждого столбца матрицы А . Перед k-ым слагаемым появляется коэффициент (-1) , если элементы матрицы А в произведении упорядочены по номеру строки, а количество инверсий в k-ой перестановке множества номеров столбцов нечетно.

где ( α ₁ , α ₂ ,…, α _n ) — перестановка чисел от 1 до n , N( α ₁ , α ₂ ,…, α _n ) — число инверсий в перестановке , суммирование идёт по всем возможным перестановкам порядка n .

Попытаемся разобраться в этом непростом определении на примере матрицы 3х3.

Для матрицы 3 х 3, согласно определения, число слагаемых равно 3!=6, а каждое слагаемое состоит из произведения 3-х элементов матрицы. Ниже приведены все 6 слагаемых, необходимых для вычисления определителя матрицы 3х3:

• а21*а12*а33
• а21*а32*а13
• а11*а32*а23
• а11*а22*а33
• а31*а22*а13
• а31*а12*а23

а21, а12 и т. д. — это элементы матрицы. Теперь поясним, как были сформированы индексы у элементов, т.е. почему, например, есть слагаемое а11*а22*а33, а нет а11*а22*а13.

Посмотрим на формулу выше (см. определение). Предположим, что второй индекс у каждого элемента матрицы (от 1 до n) соответствует номеру столбца матрицы (хотя это может быть номер строки (это не важно т.к. определители матрицы и ее транспонированной матрицы равны). Таким образом, второй индекс у первого элемента в произведении всегда равен 1, у второго — 2, у третьего 3. Тогда первые индексы у элементов соответствуют номеру строки и, в соответствии с определением, должны определяться из перестановок чисел от 1 до 3, т.е. из перестановок множества (1, 2, 3).

Теперь понятно, почему среди слагаемых нет а11*а22*а13, т.к. согласно определения ( в каждом произведении содержится элемент из каждой строки и из каждого столбца матрицы А ), а в нашем слагаемом нет элемента из строки 3.

Примечание : Перестановкой из n чисел множества (без повторов) называется любое упорядочивание данного множества, отличающиеся друг от друга лишь порядком входящих в них элементов. Например, дано множество их 3-х чисел: 1, 2, 3. Из этих чисел можно составить 6 разных перестановок: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 1, 2), (3, 2, 1). См. статью Перестановки без повторений: Комбинаторика в MS EXCEL

Число перестановок множества из 3-х чисел =3!=6 (что, конечно, равно числу слагаемых в выражении для расчета определителя, т.к. каждому слагаемому соответствует своя перестановка). Для матрицы 3х3 все перестановки приведены в примечании выше. Можно убедиться, что в каждом слагаемом первые индексы у элементов равны соответствующим числам в перестановке. Например, для слагаемого а21*а12*а33 использована перестановка (2, 1, 3).

СОВЕТ : Для матрицы 4 порядка существует 4! перестановок, т.е. 26, что соответствует 26 слагаемым, каждое из которых является произведением различных 4-х элементов матрицы. Все 26 перестановок можно найти в статье Перебор всех возможных Перестановок в MS EXCEL .

Теперь, когда разобрались со слагаемыми, определим множитель перед каждым слагаемым (он может быть +1 или -1). Множитель определяется через четность числа инверсий соответствующей перестановки.

Примечание : Об инверсиях перестановок (и четности числа инверсий) можно почитать, например, в статье Перестановки без повторений: Комбинаторика в MS EXCEL

Например, первому слагаемому соответствует перестановка (2, 1, 3), у которой 1 инверсия (нечетное число) и, соответственно, -1 в степени 1 равно -1. Второму слагаемому соответствует перестановка (2, 3, 1), у которой 2 инверсии (четное число) и, соответственно, -1 в степени 2 равно 1 и т. д.

Сложив все слагаемые:  (-1)*(а21*а12*а33)+(+1)*(а21*а32*а13)+(-1)*(а11*а32*а23)+(+1)*(а11*а22*а33)+(-1)*(а31*а22*а13)+(+1)*(а31*а12*а23) получим значение определителя.

В файле примера на листе 4+, и зменяя порядок матрицы с помощью элемента управления Счетчик , можно вычислить определитель матрицы до 6 порядка включительно.

Следует учитывать, что при вычислении матрицы 6-го порядка в выражении используется уже 720 слагаемых (6!). Для 7-го порядка пришлось бы сделать таблицу для 5040 перестановок и, соответственно, вычислить 5040 слагаемых! Т.е. без использования МОПРЕД() не обойтись (ну, или можно вычислить определитель вручную методом Гаусса).

Детерминанты — Значение, определение | Матрица 3х3, Матрица 4х4

Детерминанты — это скалярные величины, полученные суммой произведений элементов квадратной матрицы и их сомножителей по заданному правилу. Они помогают найти сопряженную, обратную матрицу. В дальнейшем для решения линейных уравнений методом обращения матриц нам необходимо применить эту концепцию. Перекрестное произведение двух векторов легко запоминается путем вычисления определителей.

В этой статье давайте узнаем больше о процессе нахождения определителей разных порядков и их свойствах, а также поработаем над несколькими решенными примерами.

1.	Что такое детерминанты?
2.	Как рассчитать определитель
3.	Умножение определителей
4.	Свойства определителей
5.	Правила операций над определителем
6.	Часто задаваемые вопросы об определителях

Что такое детерминанты?

Детерминанты рассматриваются как коэффициент масштабирования матриц. Их можно рассматривать как функции растяжения и сжатия матриц. Детерминанты принимают квадратную матрицу на входе и возвращают одно число на выходе.

Определение определителей

Для каждой квадратной матрицы C = [\(c_{ij}\)] порядка n×n определитель может быть определен как скалярное значение, которое является действительным или комплексным числом, где \(c_ {ij}\) есть (i, j) ^-й -й элемент матрицы C. Определитель можно обозначить как det(C) или |C|, здесь определитель записывается путем взятия сетки чисел и размещения их внутри столбцов абсолютного значения вместо использования квадратных скобок.

Рассмотрим матрицу C = \(\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ \\ 3 & 4\end{array}\right]\)

Тогда ее определитель можно представить как :

|С| = \(\left|\begin{массив}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{массив}\right|\)

Как рассчитать определитель?

Для простейшей квадратной матрицы порядка 1×1, которая имеет только одно число, определитель становится самим числом. Давайте научимся вычислять определители для матриц второго, третьего и четвертого порядка.

Вычисление определителя матрицы 2×2

Для любой квадратной матрицы 2×2 или квадратной матрицы порядка 2×2 мы можем использовать формулу определителя для вычисления ее определителя:

C = \(\left[\begin{array}{ ll}a & b \\\\c & d\end{массив}\right]\)

Его определитель 2×2 можно вычислить как:

|C| = \(\left|\begin{массив}{ll}a & b \\c & d\end{массив}\right|\) = (a×d) — (b×c)

Например: C = \(\left[\begin{array}{ll}8 & 6 \\ \\3 & 4\end{array}\right]\)

Его определитель можно вычислить как:

|C| = \(\left|\begin{array}{ll}8 & 6 \\3 & 4\end{array}\right|\)

|C| = (8×4) — (6×3) = 32 — 18 = 14

Вычисление определителя матрицы 3×3

Для любой квадратной матрицы 3×3 или квадратной матрицы порядка 3×3 \(C = \left[\ begin{array}{ccc}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\a_{2} & b_{2} & c_{2} \\a_{3} & b_{3} & c_ {3}\end{array}\right] \), определитель представляется в виде:

|С| (или) det C = \(\left|\begin{array}{ccc}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\a_{2} & b_{2} & c_{2} \ \a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{массив}\right| \)

Вот шаги по вычислению определителя матрицы 3×3 .

• a ₁ фиксируется как номер привязки и определитель 2×2 его подматрицы (минор ₁ ).
• Аналогично вычислите миноры b ₁ и c ₁ .
• Продолжайте умножать малый определитель на номер привязки и на его знак \(\left|\begin{array}{ccc}+ &-& + \\- & + & — \\+ &-& + \end{array }\справа|\)
• Наконец подведите итоги.

|С| = \(a_{1} \cdot\left|\begin{array}{ll}b_{2} & c_{2} \\b_{3} & c_{3}\end{массив}\right|-b_ {1} \cdot\left|\begin{array}{cc}a_{2} & c_{2} \\a_{3} & c_{3}\end{array}\right|+c_{1} \ cdot\left|\begin{array}{ll}a_{2} & b_{2} \\a_{3} & b_{3}\end{array}\right|\)

|С| = \(a_{1}\left(b_{2} c_{3}-b_{3} c_{2}\right)-b_{1}\left(a_{2} c_{3}-a_{3 } c_{2}\right)+c_{1}\left(a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}\right)\)

Рассмотрим этот пример:

\(B = \left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & 1 \\4 & -2 & 5 \\2 & 8 & 7\end{array}\right] \)

Его определитель вычисляется как:

|Б| = \(\left|\begin{массив}{ccc}3 & 1 & 1 \\4 & -2 & 5 \\2 & 8 & 7\end{массив}\right| \)

= \(3 \cdot\left|\begin{array}{ll}-2 & 5 \\8 & ​​7\end{array}\right|-1 \cdot\left|\begin{array}{cc}4 & 5 \\ 2 & 7\end{массив}\right|+1 \cdot\left|\begin{array}{ll} 4 & -2 \\2 & 8\end{массив}\right|\)

= 3 × ((-2)(7) — (5)(8)) -1 × ((4)(7) — (5)(2)) + 1 × ((4)(8) — (-2)(2))

= 3 × ((-14) — (40)) -1 × ((28) — (10)) + 1 × ((32) — (-4))

= 3 × (-54) -1 × (18) + 1 × (36)

= — 162 — 18 + 36

= -144

Обратите внимание, что мы вычислили определитель матрицы 3×3, используя первую строку здесь. Но любую строку/любой столбец можно использовать для вычисления определителей.

Вычисление определителя матрицы 4×4

Рассмотрим приведенную ниже квадратную матрицу 4×4 или квадратную матрицу порядка 4×4. При нахождении 9 следует помнить о следующих изменениях.0051 определитель матрицы 4 × 4 :

B = \(\left[\begin{array}{cccc}a_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1} \\a_{ 2} и b_{2} и c_{2} и d_{2} \\a_{3} & b_{3} & c_{3} & d_{3} \\a_{4} & b_{4} & c_{4} & d_{4}\end{array}\right]\)

• плюс ₁ определитель матрицы 3×3, полученный удалением строки и столбца, содержащего ₁
• минус b ₁ умножить на определитель матрицы 3×3, полученный удалением строки и столбца, содержащего b ₁
• плюс c ₁ умножить на определитель матрицы 3×3, полученный удалением строки и столбца, содержащего c ₁
• минус d ₁ умножить на определитель матрицы 3×3, полученный удалением строки и столбца, содержащего d ₁

\(\begin{align}|B| = &a_{1} \cdot\left|\begin{array}{lll}b_{2} & c_{2} & d_{2} \\b_{3} & c_{3} & d_{3} \\b_{4} & c_{4} & d_{4}\end{массив}\right|-b_{1} \cdot\left|\begin{массив}{ ccc}a_{2} & c_{2} & d_{2} \\a_{3} & c_{3} & d_{3} \\a_{4} & c_{4} & d_{4}\end {массив}\right|\\&+c_{1}\cdot\left|\begin{массив}{ccc}a_{2} & b_{2} & d_{2} \\a_{3} & b_{ 3} & d_{3} \\a_{4} & b_{4} & d_{4}\end{массив}\right|-d_{1} \cdot\left|\begin{массив}{ccc}a_ {2} & b_{2} & c_{2} \\a_{3} & b_{3} & c_{3} \\a_{4} & b_{4} & c_{4}\end{массив} \право|\конец{выравнивание}\)

Мы можем использовать метод, упомянутый в предыдущем разделе, чтобы найти определитель матриц 3×3. Вот простой способ найти его.

Умножение определителей

Мы используем метод, называемый умножением массивов, для умножения двух определителей квадратных матриц. Давайте посмотрим на правило умножения строк на столбцы для умножения двух определителей квадратных матриц A и B:

Умножение определителей 2×2

Рассмотрим две квадратные матрицы A и B порядка 2×2, сначала обозначим их соответствующие определители как |A| и |Б| как показано ниже:

|A| = \(\left|\begin{array}{ll}\mathrm{a}_{1} & \mathrm{~b}_{1} \\\mathrm{a}_{2} & \mathrm{~ b}_{2}\end{массив}\right|\)

|B| = \(\left|\begin{array}{ll}\mathrm{p}_{1} & \mathrm{~q}_{1} \\\mathrm{p}_{2} & \mathrm{~ q}_{2}\end{массив}\right|\)

|A| × |В| = \(\left|\begin{array}{ll}\mathrm{a}_{1} & \mathrm{~b}_{1} \\\mathrm{a}_{2} & \mathrm{~ b}_{2}\end{массив}\right| \times\left|\begin{array}{cc}p_{1} & \mathrm{~q}_{1} \\p_{2} & \ mathrm{~q}_{2}\end{массив}\right|=\left|\begin{массив}{ll}\mathrm{a}_{1} p_{1}+\mathrm{b}_{ 1} p_{2} & \mathrm{a}_{1} \mathrm{~q}_{1}+\mathrm{b}_{1} \mathrm{~q}_{2} \\\mathrm {a}_{2} p_{1}+\mathrm{b}_{2} p_{2} & \mathrm{a}_{2} \mathrm{~q}_{1}+\mathrm{b }_{2} \mathrm{~q}_{2}\end{массив}\right|\)

Умножение определителей 3×3

Рассмотрим две матрицы C и D порядка 3×3, сначала обозначим их соответствующие определители как |C| и |Д| как показано ниже:

|C| = \(\left|\begin{array}{lll}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\a_{2} & b_{2} & c_{2} \\a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{массив}\right|\)

|D| = \(\left|\begin{array}{lll}p_{1} & q_{1} & r_{1} \\p_{2} & q_{2} & r_{2} \\p_{3} & q_{3} & r_{3}\end{массив}\right|\)

|С| × |Д| = \(\left|\begin{массив}{lll}
a_{1} p_{1}+b_{1} p_{2}+c_{1} p_{3} & a_{1} q_{1}+b_{1} q_{2}+c_{1} q_ {3} & a_{1} r_{1}+b_{1} r_{2}+c_{1} r_{3} \\a_{2} p_{1}+b_{2} p_{2}+ c_{2} p_{3} и a_{2} q_{1}+b_{2} q_{2}+c_{2} q_{3} & a_{2} r_{1}+b_{2} r_ {2}+c_{2} r_{3} \\a_{3} p_{1}+b_{3} p_{2}+c_{3} p_{3} и a_{3} q_{1}+ b_{3} q_{2}+c_{3} q_{3} & a_{3} r_{1}+b_{3} r_{2}+c_{3} r_{3}\end{массив}\ right|\)

Вот некоторые моменты, которые следует помнить при умножении двух определителей:

• Чтобы умножить два определителя, нам нужно убедиться, что они имеют один и тот же порядок
• Значение определителя не меняется, когда строки и столбцы меняются местами, поэтому мы также можем следовать правилам умножения столбец за строкой, строку за строкой или столбец за столбцом, чтобы умножить два определителя.

Свойства определителей

Для квадратных матриц разных типов при вычислении ее определителя они вычисляются на основе некоторых важных свойств определителей. Вот список некоторых важных свойств определителей:

Свойство1: «Определитель единичной матрицы всегда равен 1»

Рассмотрим определитель единичной матрицы I = \(\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\0 & 1\конец{массив}\справа]\), |I| = (1)(1) — (0)(0) = 1,

Таким образом, определитель любой единичной матрицы всегда равен 1,

Свойство 2: «Если любая квадратная матрица B порядка n×n имеет нулевая строка или нулевой столбец, то det(B) = 0″

Рассмотрим определитель единичной матрицы B,

|Б| = \(\left|\begin{array}{ll} 2 & 2 \\0 & 0\end{array}\right|\)

|B| = (2)(0) — (2)(0) = 0

Здесь квадратная матрица B имеет одну нулевую строку, и, таким образом, определитель этой квадратной матрицы обращается в нуль.

Свойство 3: «Если C является верхней или нижнетреугольной матрицей, то det(C) является произведением всех ее диагональных элементов»

Рассмотрим верхнюю треугольную матрицу C с диагональными элементами 3, 2 и 4 Определитель |C| можно найти как:

|С| = \(\left|\begin{array}{ccc}3 & 1 & 1 \\0 & 2 & 5 \\0 & 0 & 4\end{array}\right| \)

|C| = 3 × 2 × 4 = 24

Свойство 4: «Если D — квадратная матрица, то если ее строку умножить на константу k, то константу можно вынести из определителя»

|Д| = \(\left|\begin{массив}{ll}k×a & k×b \\c & d\end{массив}\right|\)	|Д| = k × \(\left|\begin{array}{ll}a & b \\c & d\end{array}\right|\)
|Д| = \(\left|\begin{массив}{ll}2 и 4 \\1 и 5\конец{массив}\right|\) = (2)(5) — (4)(1) = 10 — 4 = 6	|Д| = 2 × \(\left|\begin{array}{ll} 1 & 2 \\1 & 5\end{array}\right|\) = 2 × ((1)(5) — (2)(1)) = 2 × (5-2) = 2 × 3 = 6

Таким образом, определитель остается одним и тем же в обоих случаях.

Другими важными свойствами определителей являются:

• Квадратная матрица C считается обратимой тогда и только тогда, когда det(C) ≠ 0.
• Если B и C — две квадратные матрицы порядка n × n, то det(BC) = det(B) × det(C) = det(C) × det(B)
• Связь между определителем матрицы D и присоединенным к ней adj(D) может быть представлена ​​как D × adj(D) = adj(D) × D = |D| × I. Здесь D — квадратная матрица, а I — единичная матрица.

Правила операций над определителем

Следующие правила полезны для выполнения операций со строками и столбцами над определителями.

• Значение определителя не изменится, если строки и столбцы поменять местами.
• Знак определителя меняется, если поменять местами любые две строки или (два столбца).
• Если любые две строки или столбца матрицы равны, то значение определителя равно нулю.
• Если каждый элемент определенной строки или столбца умножается на константу, то значение определителя также умножается на константу.
• Если элементы строки или столбца выражены в виде суммы элементов, то определитель может быть выражен в виде суммы определителей.
• Если элементы строки или столбца сложить или вычесть с соответствующими кратными элементам другой строки или столбца, то значение определителя остается неизменным.

Важные примечания к определителю:

Вот несколько пунктов, которые следует помнить при изучении определителя:

• Определитель можно рассматривать как функцию, которая принимает квадратную матрицу в качестве входных данных и возвращает одно число. как его выход.
• Квадратная матрица может быть определена как матрица, имеющая одинаковое количество строк и столбцов.
• Для простейшей квадратной матрицы порядка 1×1, которая имеет только одно число, определитель становится самим числом.

☛ Похожие темы:

• Матричный калькулятор
• Формула матрицы
• Калькулятор диагональной матрицы
• Калькулятор матрицы транспонирования

 

Примеры определителей

1. Пример 1: Найдите определитель матрицы A, где \(A=\left[\begin{array}{ll}4 & 1 \\ \\3 & 2\end{array}\right]\)

   Решение:

   У нас есть

   \(|\mathrm{A}|=\left|\begin{array}{ll}4 & 1 \\ \\ 3 & 2\end{array}\right|\)

   найдите это, просто умножьте диагонали и вычтите произведения.

   |А| = (4 × 2) — (3 × 1)

   = 8 — 3

   = 5

   Ответ: |A| = 5.

2. Пример 2: Какой определитель матрицы 2×2 \(C = \left[\begin{array}{ll}4 & -2\\ \\ -8 & 4\end{array}\right]\ )?

   Решение:

   По формуле определителя матрицы 2×2,

   \(|\mathrm{C}|=\left|\begin{array}{ll}4 & -2\\ \\-8 & 4\конец{массив}\право|\)

   |C| = ((4)(4)-(-8)(-2)) = 16 — 16 = 0.

   Ответ: |C| = 0,

3. Пример 3: Найдите определитель матрицы 3×3 A, где \(A=\left[\begin{array}{ll}1 & 3 & 2 \\-3 & -1& -3\\2 & 3 & 1 \end{массив}\right]\).

   Решение:

   Разложим определитель данной матрицы 3х3 по первой строке.

   |С| = \(1 \cdot\left|\begin{array}{ll}-1 & -3 \\3 & 1\end{array}\right|-3 \cdot\left|\begin{array}{cc} -3 & -3 \\2 & 1\end{массив}\right|+2 \cdot\left|\begin{array}{ll} -3 & -1 \\2 & 3\end{массив}\right |\)

   = 1. (-1 -(-9) — 3. (-3 -(-6) + 2.(-9 -(-2))

   = 1. (-1 +9) — 3. (-3 +6) + 2 .(-9 +2)

   = 8 — 9 -14

   = -15

   Ответ: |A| = -15.

4. Пример 4: Использование свойств определителей и оценка значения определителя \(\left|\begin{array}{ccc}
   а-б&б-в&в-а \\
   б-в&в-а&а-б\
   с-а и а-б и б-с
   \end{массив}\right|\).

   Решение:

   Применяем элементарное преобразование строки R ₁ → R ₁ + R ₂ + R ₃ (по одному из свойств определителей элементарные преобразования строк не меняют значения определителя). Тогда указанный выше определитель превращается в:

   \(\left|\begin{array}{ccc}
   0&0&0\
   б-в&в-а&а-б\
   с-а и а-б и б-с
   \end{array}\right|\)

   По другому свойству определителей, если строка/столбец матрицы полностью с нулями, то ее определитель равен 0. Следовательно, значение вышеуказанного определителя равно 0,

   Ответ: 0.

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Есть вопросы по основным математическим понятиям?

Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, почему математика стоит за нашими сертифицированными экспертами.

Часто задаваемые вопросы об определителях

Что такое определитель?

Определитель квадратной матрицы C = [\(c_{ij}\)] порядка n×n может быть определен как скалярное значение, которое является действительным или комплексным числом, где \(c_{ij }\) является (i,j) ^-м -м элементом матрицы C. Он обозначается как det(C) или |C|, здесь определитель записывается путем взятия сетки чисел и размещения их внутри абсолютного значения полосы вместо квадратных скобок. Определитель квадратной матрицы \(C = \left[\begin{array}{ll} 4 & 2\\ \\ 5 & 3\end{array}\right]\) можно записать как: \(|C| = \left|\begin{массив}{ll} 4 & 2\\5 & 3\end{массив}\right|\). Он получается путем умножения элементов любой строки или столбца на соответствующие им коэффициенты и сложения произведений.

Для чего используются определители?

Детерминанты играют важную роль в линейных уравнениях, где они используются для регистрации изменений переменных в целых числах и того, как линейные преобразования изменяют объем или площадь. Детерминанты особенно полезны в приложениях, где используются обратные и сопряженные матрицы. Перекрестное произведение двух векторов также вычисляется с помощью определителей.

Какая формула определителя матрицы 2×2?

Для любой квадратной матрицы 2×2 или квадратной матрицы порядка 2×2 мы можем использовать эту формулу определителя для вычисления ее определителя:

\(C = \left|\begin{array}{ll}a & b\\c & d\end{array}\right|\). Формула для вычисления определителя 2×2: |C| = (a×d) — (b×c)

Каковы примеры определителей?

Рассмотрим пример квадратной матрицы D, D = \(\left[\begin{array}{ll}8 & 6 \\3 & 4\end{array}\right]\). Его определитель можно вычислить как: |D| = \(\left|\begin{array}{ll}8 & 6 \\3 & 4\end{array}\right|\) |D| = (8×4) – (6×3) = 32 – 18 = 14.

Детерминанты коммутативны?

Да, умножение определителей коммутативно, и это можно легко понять с помощью следующего свойства: если B и C — две квадратные матрицы порядка n × n, то det(BC) = det(B) × det(C) = det (С) × дет(В).

Каковы свойства определителей?

Вот список некоторых важных свойств определителей:

• Определитель единичной матрицы всегда равен 1
• Если любая квадратная матрица B порядка n×n имеет нулевую строку или нулевой столбец, то det(B) = 0,
• Если C является верхнетреугольной или нижнетреугольной матрицей, то det(C) является произведением всех ее диагональных элементов.
• Если D — квадратная матрица, то если ее строку умножить на константу k, то эту константу можно вынести из определителя.
• Квадратная матрица C считается обратимой тогда и только тогда, когда det(C) ≠ 0.
• Если B и C — две квадратные матрицы порядка n × n, то det(BC) = det(B) × det(C) = det(C) × det(B)
• Связь между определителем матрицы D и присоединенным к ней adj(D) может быть представлена ​​как D × adj(D) = adj(D) × D = |D| × I. Здесь D — квадратная матрица, а I — единичная матрица.

Как вы оцениваете определители матрицы 3×3?

Любой определитель 3×3 можно вычислить следующим образом:

\(C = \left[\begin{array}{ccc}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\a_{ 2} и b_{2} & c_{2} \\a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{массив}\right] \)
Его определитель можно вычислить как:

• a ₁ фиксируется как номер привязки, и вычисляется определитель 2×2 его подматрицы, которая представляет собой квадратную матрицу.
• Берется следующий номер привязки по порядку, теперь это b ₁ и вычисляется малый определитель, и, наконец, в качестве номера привязки берется c ₁ и вычисляется его определитель 2×2.
• Продолжайте попеременно умножать меньший определитель на номер привязки и на его знак \(\left|\begin{array}{ccc}+ &-& + \\- & + & — \\+ &-& + \end{ массив}\справа|\).
• |С| = \(\left|\begin{array}{ccc}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\a_{2} & b_{2} & c_{2} \\a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{массив}\right| \)
  |С| = \(a_{1} \cdot\left|\begin{array}{ll}b_{2} & c_{2} \\b_{3} & c_{3}\end{массив}\right|-b_ {1} \cdot\left|\begin{array}{cc}a_{2} & c_{2} \\a_{3} & c_{3}\end{array}\right|+c_{1} \ cdot\left|\begin{array}{ll}a_{2} & b_{2} \\a_{3} & b_{3}\end{array}\right|\)
• Наконец, просуммируйте их. |С| = \(a_{1}\left(b_{2} c_{3}-b_{3} c_{2}\right)-b_{1}\left(a_{2} c_{3}-a_{3 } c_{2}\right)+c_{1}\left(a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}\right)\)

Каковы правила выполнения операций со строками и столбцами над определителями?

Следующие правила полезны для выполнения операций со строками и столбцами над определителями.

• Если строки и столбцы поменять местами, то значение определителя не изменится
• При перестановке любых двух строк или (двух столбцов) знак определителя меняется
• Значение определителя матрицы, в которой две строки/столбца равны, равно нулю.
• Если каждый элемент определенной строки или столбца матрицы умножается на константу, то ее определитель также умножается на константу.
• Если элементы строки или столбца выражены в виде сумм, то определитель можно разбить на два и более определителей.
• Если строку (или столбец) умножить на число и полученные элементы добавить к другой строке (или столбцу), то определитель не изменится.

Где мы можем найти калькулятор определителя?

Чтобы найти определитель матрицы, используйте следующий калькулятор: Калькулятор определителя. Это поможет нам найти определитель матрицы 3×3.

Что такое определитель треугольной матрицы?

Определитель треугольной матрицы можно найти, вычислив произведение всех ее диагональных элементов. Это применимо как к верхнетреугольным, так и к нижнетреугольным матрицам.

Могут ли определители быть отрицательными?

Определители представляют скалярную величину, которая является действительным числом. Таким образом, определители могут быть отрицательными. Если определители отрицательны, это означает, что матрица изменила ориентацию своего базового вектора. |-А| = (-1) ⁿ |А|. Возьмите любой положительный определитель, поменяйте местами любые две строки или столбца матрицы и найдите его определитель, в результате чего будет отрицательный определитель.

Расчеты, математика и статистика – Набор академических навыков

Определитель матрицы

ContentsToggle Главное меню 1 Определение 2 Определитель матрицы $2 imes 2$ 2.1 Определение 2.2 Рабочие примеры 2.3 Видео примеры 3 3$ imes $3 Определители 3.1 Определение 3.2 Рабочие примеры 3.3 Видео пример 4 Рабочая тетрадь 5 Проверьте себя 6 Внешние ресурсы

Определение

Определитель матрицы представляет собой одно числовое значение, которое используется при вычислении обратной или при решении систем линейных уравнений.

Определитель матрицы $\mathbf{A}$ обозначается $\lvert \mathbf{A} \rvert$ или иногда $\det(\mathbf{A})$. Определитель определен только для квадратных матриц.

Матрица называется сингулярной , если ее определитель равен нулю.

Общая формула определителя матриц любого размера очень сложна. Вам будет предложено только вычислить определители матриц $2 \times 2$ или $3 \times 3$ вручную.

Определитель матрицы $2 \times 2$

Определение

Пусть $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix}$.

Определитель $\mathbf{A}$ равен \[\lvert \mathbf{A} \rvert = ad — bc\]

Примеры работы

Пример 1

Найдите определитель матрицы $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 4 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}$.

Решение

\begin{align} \lvert \mathbf{A} \rvert = \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} &= 4 \times 2 — 1 \times 0\ \ &=8 — 0\\ &=8 \end{align}

Пример 2

Найдите определитель матрицы $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} -6 & 3\\ -1 & 1 \end{pmatrix}$.

Решение

\begin{align} \lvert \mathbf{A} \rvert &= (-6) \times 1 — 3 \times (-1)\\ &=(-6) — (-3)\ \ &=-6+3\\ &=-3 \end{align}

Пример 3

Найдите определитель матрицы $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 5 & -10\\ -2 & 4\end{pmatrix}$.

Решение

\begin{align} \lvert \mathbf{A} \rvert &= 5 \times 4 — (-10) \times (-2)\\ &=20 — 20\\ &=0 \end {align}

Примечание: Поскольку ее определитель равен нулю, эта матрица не имеет обратной.

Примеры видео

Хейли Бишоп находит определитель матриц $2\times 2$ $\mathbf{A} = \begin{pmatrix}3&-1\\0&4\end{pmatrix}$ и $\mathbf{B} = \begin{pmatrix} -2&10\\-1&5\end{pmatrix}$.

3$\times$3 Определители

Определение

Определитель матрицы $3 x 3$ можно вычислить, разбив ее на более мелкие матрицы $2 x 2$ следующим образом:

\[\begin {vматрица} а и б и в \\ д&е&ф \\ г и ч и я \end{vmatrix} «=» а \begin{vmatrix} е & ж \\ привет \end{vmatrix} — б \begin{vmatrix} д и ж \\ г и я \end{vmatrix} + с \begin{vmatrix} д & е \\ г и ч \end{vmatrix}\]

Или

\[\begin{vmatrix} а_{11} и а_{12} и а_{13} \\ а_{21} и а_{22} и а_{23} \\ а_{31} и а_{32} и а_{33} \end{vmatrix} «=» а_{11} \begin{vmatrix} а_{22} и а_{23} \\ а_{32} и а_{33} \end{vmatrix} — а_{12} \begin{vmatrix} а_{21} и а_{23} \\ а_{31} и а_{33} \end{vmatrix} + а_{13} \begin{vmatrix} а_{21} и а_{22} \\ а_{31} и а_{32} \end{vmatrix}\]

Вот один из способов интерпретации формулы: для каждого элемента $a_{1i}$ в верхней строке заблокируйте строку и столбец, которым он принадлежит, и вычислите определитель оставшейся непокрытой матрицы $2 \times 2$, затем умножьте это на $a_{1i}$. Определитель представляет собой сумму этих значений, чередующихся сложением и вычитанием.

Примеры работы

Пример 1

Найдите определитель матрицы $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 3 & 4\\ 3 & 1 & 4 \end{pmatrix}$.

Решение

\begin{align} \lvert \mathbf{A} \rvert &= 1\begin{vmatrix} 3 и 4\\ 1 и 4 \end{vmatrix} -2 \begin{vmatrix} 0 и 4 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} +1 \begin{vmatrix} 0 & 3\\ 3 & 1 \end{vmatrix}\\\\ &= 1(3\times 4 — 4\times 1) -2 (0\умножить на 4 — 4\умножить на 3) +1(0 \умножить на 1 — 3\умножить на 3)\\ &= 1(12-4) -2(0-12) +1(0-9)\\ &= 8 +24-9\\ &=23 \end{align}

Пример 2

Найдите определитель матрицы $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3\\ -1 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$.

Решение

\begin{align} \lvert \mathbf{A} \rvert &= 1\begin{vmatrix} -1 & -3\\ 0 & 6 \end{vmatrix} -0 \begin{vmatrix} — 1 & -3\\ 0 & 6 \end{vmatrix} +3 \begin{vmatrix} -1 & -1\\ 0 & 0 \end{vmatrix}\\\\ &= 1\bigl((-1) \times 6 — (-3)\times 0\bigr) -0(\,\dotso\,) +3\bigl((-1) \times 0 — (-1)\times 0\bigr)\\ & = 1\bigr((-6)-0\bigl) -0 +3(0-0)\\ &=-6 +0\\ &=-6 \end{align}

Примечание: Был нет необходимости вычислять второй определитель $2 \times 2$, так как он умножается на ноль.