вычисление производной сложной функции
Вы искали вычисление производной сложной функции? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и вычисление производной функции сложной функции, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «вычисление производной сложной функции».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как вычисление производной сложной функции,вычисление производной функции сложной функции,дифференцирование сложной функции,дифференцирование сложной функции примеры,дифференцирование сложных функций,дифференцирования сложной функции формулы,как брать производную сложной функции,как вычислить производную сложной функции,как найти производную сложной функции примеры,как решать производные сложные,как решать сложные производные,как решать сложные производные функции,как решать сложные функции,нахождение производных сложных функций,нахождение сложной производной,определение сложная функция,определение сложной функции,правила дифференцирования сложной функции,правило дифференцирования сложной функции,примеры дифференцирование сложной функции,примеры производная сложная,примеры производной сложной функции,примеры производные сложных функций,примеры производных сложных функций с решением,примеры решения производных сложных,примеры решения производных сложных функций,примеры решения сложных производных,примеры с решением производных сложных функций,примеры с решением сложных производных,примеры с решениями производная сложной функции,примеры сложная производная,примеры сложная функция,примеры сложной производной функции,примеры сложной функции производной,примеры сложные функции,примеры сложных производных функций с решением,примеры сложных функций,примеры сложных функций производные,примеры сложных функций производных с решением,производная корня сложной функции,производная от корня сложной функции,производная от скобки в степени,производная от сложной функции,производная от сложной функции корня,производная подкоренного выражения,производная сложная формулы,производная сложной функции корня,производная сложной функции от корня,производная сложной функции показательной,производная сложной функции примеры,производная сложной функции примеры решений,производная сложной функции примеры с решениями,производная сложной функции формулы,производная сложных функций,производная формулы сложная,производной сложной функции примеры,производные от сложных функций,производные примеры сложных функций,производные сложной функции,производные сложные примеры,производные сложных функций примеры,производные сложных функций примеры решения,производные сложных функций формулы,производные формулы сложных функций,решение сложных производных,сложная производная примеры,сложная производная формулы,сложная производная функция,сложная функция,сложная функция определение,сложная функция примеры,сложная функция примеры с решением,сложные производные,сложные производные как решать,сложные производные примеры,сложные производные примеры с решением,сложные производные формулы,сложные производные функции,сложные функции,сложные функции как решать,сложные функции примеры,сложные функции производной примеры,сложных производных примеры с решением,формула производной сложной функции,формула сложной производной,формула сложной производной функции,формула сложной функции производная,формула сложной функции производной,формулы производной сложной функции,формулы производной функции сложной,формулы производные сложных функций,формулы производных сложных,формулы производных сложных функций,формулы сложная производная,формулы сложной производной функции,формулы сложной функции производной,формулы сложных производных,формулы сложных производных функций,функции сложной производной формулы.
Где можно решить любую задачу по математике, а так же вычисление производной сложной функции Онлайн?
Решить задачу вычисление производной сложной функции вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.
Производная сложной функции — определение термина
y(x) = f{u[v(x)]} = находится по правилу цепочки: y′ = fu′ ⋅ uv′ ⋅ vx′
Научные статьи на тему «Производная сложной функции»
переменных $x$ и $y$, называется сложной функцией от аргументов $x,y$.
{2} +y, u=x+…
Определение 2
Полной производной заданной функции $z=F(x,y,u,v)$ нескольких переменных одного аргумента
В статье рассматриваются дифференциальные уравнения первого и второго порядка в частных производных для композиций тригонометрических функций, таких как sh (sin( x iy )), sh (cos( x iy )), ch (sin( x iy )), ch (cos( x iy )),… Показано, что все эти функции удовлетворяют дифференциальному уравнению первого порядка f f 2 f 2 f i и дифференциальному уравнению второго порядка 2 x 2 0 в частных производных. y x y Исследованию сложных тригонометрических функций в вещественной области посвящены работы [1]-[5]. Актуальность темы заключается в том, что результаты статьи представляют определенный вклад в теорию дифференциальных уравнений в частных производных, в теорию композиций функций. Результаты можно применять при преподавании математического анализа, теории функций комплексной переменной.
Статья от экспертов
Объектом исследования данной работы является предметная область, представляющая собой прецедентную зависимость между объектами и их характеристиками используемую при решения задач распознавания образов. Интеллектуальный анализ данных является одним из необходимых этапов решения плохо формализованных задач, поэтому во многих случаях от метода построения баз знаний, их анализа и минимизации зависит точность решения поставленной задачи. Разработка общих формальных методов для выявления логических закономерностей в любой заданной предметной области представляется весьма актуальной проблемой, так как предоставляет возможность формирования оптимальных баз знаний, что существенно упрощает решение и улучшает его качество. В данной работе для анализа и минимизации баз знаний используется аппарат дифференцирования булевых функций, который являются направлениями современной дискретной математики и находят свое применение в задачах динамического анализа и синтеза дискретных цифровых структур.
Creative Commons
Научный журнал
Повышай знания с онлайн-тренажером от Автор24!
- Напиши термин
- Выбери определение из предложенных или загрузи свое
- Тренажер от Автор24 поможет тебе выучить термины с помощью удобных и приятных карточек
2.3: Сложная дифференциация — Математика LibreTexts
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 76209
- Хуан Карлос Понсе Кампузано
- Университет Квинсленда
Понятие комплексной производной лежит в основе теории комплексных функций.
Определение комплексной производной аналогично определению производной действительной функции. Однако, несмотря на внешнее сходство, комплексная дифференциация представляет собой глубоко иную теорию.
Комплексная функция \(f(z)\) является дифференцируемой в точке \(z_{0}\in \mathbb{C}\) тогда и только тогда, когда существует следующее предельное разностное частное
\(\begin{eqnarray}\label{diff01}
f’(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}.
В качестве альтернативы, если \(\Delta z= z-z_{0}\), мы можем записать
\(\begin{eqnarray}\label{diff02}
f'(z_0) = \lim_{\Delta z \rightarrow 0} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z }.
\end{eqnarray}\)
Мы часто опускаем нижний индекс на \(z_{0}\) и вводим число
.\(\Delta w=f\left ( z+\Delta z \right )-f\left ( z \right )\).
, который обозначает изменение значения \(w=f(z)\), соответствующее изменению \(Δz\) в точке, в которой оценивается \(f\) .
Тогда мы можем записать уравнение (2) как
\(\frac{dw}{dz}=\lim_{Δz\стрелка вправо 0}\frac{\Delta w}{\Delta z}\).
Несмотря на то, что формула (1) для производной по форме идентична формуле производной действительнозначной функции, важно отметить, что \({f}’\left ( z_{0} \ right )\) следует из двумерного предела. Таким образом, для существования \({f}’\left ( z_{0} \right )\) должен существовать соответствующий предел, не зависящий от направления, с которого \(z\) приближается к предельной точке \(z_{0}\ ). Для функции одной действительной переменной у нас есть только два направления, то есть \(x
Рис. 1: Есть бесконечное множество направлений для приближения \(z_{0}\) .
Замечательная особенность комплексного дифференцирования состоит в том, что существование одной комплексной производной автоматически влечет за собой существование бесконечно многих производных! Это отличается от случая функции действительной переменной \(g(x)\), в которой \(g′(x)\) может существовать без существования \(g″(x)\).
Уравнения Коши-Римана
Теперь давайте посмотрим на замечательное следствие определения (1). Сначала мы посмотрим, что произойдет, если мы приблизимся к \(z_{0}\) в двух простейших направлениях — горизонтальном и вертикальном. Если мы установим
\(z=z_{0}+h=\left ( x_{0} +h\right )+iy_{0}\), \(h\in \mathbb{R}\),
, затем \(z\стрелка вправо z_{0}\) по горизонтальной линии как \(h→0\). Если мы запишем ff через его действительную и мнимую составляющие, то есть
\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\),
, то
\({f}’\left ( z_{0} \right )=\lim_{h\стрелка вправо 0}\frac{f\left ( z_{0}+h \right )-f\left ( z_{0 } \right )}{h}\)
затем
\({f}’\left ( z_{0} \right )=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left ( z_{0 }+h \right )-f\left ( z_{0} \right )}{h}=\lim_{h\стрелка вправо 0}\frac{f\left ( x_{0}+h+iy_{0} \ вправо )-f\влево ( x_{_{0}}+iy_{0} \right )}{h}\\=\lim_{h\стрелка вправо 0}\влево [ \frac{u\left ( x_{0 }+h,y_{0} \right )-u\left ( x_{0},y_{0} \right )}{h} \right ]+i\lim_{h\стрелка вправо 0}\left [ \frac {v\left ( x_{0}+h,y_{0} \right )-v\left ( x_{0},y_{0} \right )}{h}\right ]\\=u_{x} \left (x_{0},y_{0} \right)+iv_{x}\left (x_{0},y_{0} \right)\)
где \(u_{x}\left ( x_{0},y_{0} \right )\) и \(v_{x}\left ( x_{0},y_{0} \right )\) обозначают частные производные первого порядка по \(x\) функции \(u\) и \(v\) соответственно в точках \(\left ( x_{0},y_{0} \right ) \).
Если теперь мы установим
\(z=z_{0}+ik=x_{0}+i\left ( y_{0} +k\right )\), \(k\in \mathbb{R}\) ,
, затем \(z→0\) по вертикальной линии как \(k→0\). Следовательно, мы также имеем
\({f}’\left ( z_{0} \right )=\lim_{k\rightarrow 0}\frac{f\left ( z_{0}+ik \right )-f \left ( z_{0} \right )}{ik}=\lim_{k\стрелка вправо 0}\left [ -i\frac{f\left ( x_{0}+i\left ( y_{0} +k \right )\right )-f\left ( x_{_{0}}+iy_{0} \right )}{k}\right ]\\=\lim_{k\стрелка вправо 0}\left [ \frac{ v\left ( x_{0},y_{0}+k \right )-v\left ( x_{0},y_{0} \right )}{k} -i\frac{u\left ( x_{ 0},y_{0}+k \right )-u\left (x_{0},y_{0} \right )}{k}\right ]\\=v_{y}\left ( x_{0} ,y_{0} \right )-iu_{y}\left ( x_{0},y_{0} \right )\)
, где частные производные от \(u\) и \(v\) на этот раз относятся к \(y\). Приравнивая действительную и мнимую части этих двух формул для комплексной производной \({f}’\left ( z_{0}\), мы замечаем, что действительная и мнимая компоненты \(f(z)\) должны удовлетворять однородная линейная система уравнений в частных производных:
\(u_{x}=v_{y}\), \(u_{y}=-v_{x}\).
Это Коши-Римана уравнения названы в честь известных математиков девятнадцатого века Огюстена-Луи Коши и Бернхарда Римана, двух основоположников современного комплексного анализа.
Теорема \(\PageIndex{1}\)
Комплексная функция \(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\) имеет комплексную производную \(f′(z) \) тогда и только тогда, когда его действительная и мнимая части непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют уравнениям Коши-Римана
\(u_{x}=v_{y}\), \(u_{y}=-v_{x}\ )
В этом случае комплексная производная \(f(z)\) равна любому из следующих выражений:
\({f}’\left ( z \right )=u_{x}+iv_ {x}=v_{y}-iu_{y}\).
Пример \(\PageIndex{1}\) 9{n}log\,z\)), а \(c\) – любая комплексная константа. Из экспоненциальных формул для комплексных тригонометрических и гипербоических функций следует, что они также удовлетворяют стандартным правилам
\(\frac{d}{dz}sin\,z=cos\,z\), \(\frac{d {dz}cos\,z=-sin\,z\)
\(\frac{d}{dz}sin\,z=cosh\,z\), \(\frac{d}{dz} ch\,z=sinh\,z\)
Формулы для дифференцирования сумм, произведений, отношений, обратных и композиций комплексных функций идентичны их реальным аналогам с аналогичными доказательствами.
Это означает, что вам не нужно изучать какие-либо новые правила для выполнения сложной дифференциации!
Аналитические функции
Пусть \(f:A\стрелка вправо \mathbb{C}\), где \(A\subset \mathbb{C}\) – открытое множество. Функция называется аналитической на \(A\), если \(f\) дифференцируема в каждом \(z_{0}\in A\). Слово «голоморфный», которое иногда используется, является синонимом слова «аналитический». Фраза «аналитическая в \(z_{0}\) » означает \(f\) является аналитической в окрестности \(z_{0}\)
Эта страница под названием 2.3: Комплексная дифференциация распространяется по лицензии CC BY-NC-SA, автором, ремиксом и/или куратором этой страницы является Хуан Карлос Понсе Кампусано.
- Наверх
- Была ли эта статья полезной?
- Тип изделия
- Раздел или страница
- Автор
- Хуан Карлос Понсе Кампусано
- Лицензия
- CC BY-NC-SA
- Теги
Физический или геометрический смысл комплексной производной
Задавать вопрос
спросил
Изменено 6 лет, 10 месяцев назад
Просмотрено 5к раз
$\begingroup$
Производная функции с действительным знаком в точке — это наклон функции в этой точке.
Аналогично, каков физический или геометрический смысл производной комплекснозначной функции в точке?
- комплексный анализ
- комплексная геометрия
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Вы можете думать о производной как о выражении локального/мгновенного растяжения и вращения.
Например, предположим, что действительная функция $f$ имеет $f'(a)=2$ для некоторого $a$. Мы можем думать об этом как о том, что вблизи $a$ функция (приблизительно) удваивает расстояние, вплоть до добавления константы. Это то, что выражает касательная $2(x-a)+f(a)$. 9{i\theta}$ говорит, что вблизи $a$ мы (приблизительно) растягиваем/сокращаем расстояния на коэффициент $r$, а также поворачиваем на угол $\theta$. Например, $f'(a)=i$ означает, что мы просто вращаемся против часовой стрелки на $\pi/2$ радиан. А $f'(a)=-i/2$ означает, что мы сжимаемся в 2 раза и поворачиваемся против часовой стрелки на $3\pi/2$ радиан.
$\endgroup$
$\begingroup$
Один ясный физический смысл дает теория гармонических функций. В частности, если $f=u+iv$ комплексно-дифференцируема на открытом множестве, то обе составляющие функции удовлетворяют уравнению Лапласа. Другими словами, их можно рассматривать как возможные функции потенциальной энергии для силового поля, консервативного в домене, или как функции напряжения для электростатического поля в домене.