Математический вектор: Математический вектор, 8 (восемь) букв

alexxlab / / Разное

Содержание

Математический Вектор — ответ на кроссворд и сканворд

Решение этого кроссворда состоит из 8 букв длиной и начинается с буквы Г

Ниже вы найдете правильный ответ на математический вектор, если вам нужна дополнительная помощь в завершении кроссворда, продолжайте навигацию и воспользуйтесь нашей функцией поиска.

ответ на кроссворд и сканворд

Вторник, 4 Августа 2020 Г.


ГРАДИЕНТ

предыдущий следующий

ты знаешь ответ ?

ответ:

связанные кроссворды

  1. Градиент
    1. Плавный переход от одного цвета к другому
    2. Вектор, указывающий направление наибольшего роста
    3. Заливка с плавными переходами между цветами
    4. Вид заливки в компьютерной графике
  2. Градиент
    1. Характеристика, показывающая направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой
  3. Градиент
    1. Способ заливки в графике 8 букв

Вектор (математика) | это.

.. Что такое Вектор (математика)?

Вектор

У этого термина существуют и другие значения, см. Вектор.

Ве́ктор — понятие, определяемое в разных разделах математики различно.

Содержание

  • 1 Понятие вектора в абстрактной алгебре
  • 2 Понятие вектора в стандартном евклидовом n-мерном пространстве
  • 3 Вектор в линейном пространстве
    • 3.1 Операции над векторами
    • 3.2 Евклидовы и нормированные пространства
  • 4 Геометрическая интерпретация
    • 4.1 Свободные, скользящие и фиксированные векторы
    • 4.2 Операции над векторами
      • 4.2.1 Сложение
      • 4.2.2 Вычитание
      • 4.2.3 Скалярное произведение
      • 4.2.4 Векторное произведение
      • 4.2.5 Смешанное произведение
      • 4.2.6 Базис и разложение по базису
    • 4.3 Обозначения
  • 5 Вектор как последовательность
  • 6 История
  • 7 См. также
  • 8 Литература
  • 9 Ссылки

Пусть  — некоторое поле с аддитивной операцией +, мультипликативной операцией *, аддитивной единицей 0 и мультипликативной единицей 1. Пусть  — некоторая абелева группа с единицей . Если существует операция , такая что для любых и для любых выполняются соотношения:

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

тогда называется векторным пространством над полем , элементы V называются векторами, элементы F — скалярами, а указанная операция  — умножением вектора на скаляр.

Понятие вектора в стандартном евклидовом n-мерном пространстве

Вектор в арифметическом n-мерном пространстве
Является частным случаем определения вектора в абстрактной алгебре. Если в качестве взять поле действительных чисел с операциями сложения и умножения. , где  — декартова степень множества R; для операцию «+» зададим следующим образом: , нейтральный элемент: =(0,…,0), обратный элемент: ; операцию умножения на скаляр: . Тогда вектор, задаваемый кортежем длиной n, состоящим из действительных чисел является арифметическим вектором векторного пространства над полем действительных чисел .

n-мерное пространство задается как  — декартова степень множества действительных чисел, точка — как кортеж длины n из действительных чисел, что соответствует определению пространства как множества точек.

Вектор в планарной евклидовой геометрии (связанный вектор) — упорядоченная пара точек, одна из которых называется началом, вторая — концом вектора.

Два вектора равны, если разности по каждой из координат с одинаковыми номерами конечной и начальной точки для этих векторов равны. Эти разности называются пространственными координатами вектора.

Свободный вектор задается классом всех равных связанных векторов и полагается равным каждому из этих связанных векторов и таким образом может быть определен как вектор в арифметическом пространстве (кортеж чисел длины n (пространственных координат равных ему связанных векторов) с операциями сложения и умножения на скаляр).

Результатом операций со связанными векторами принимается вектор, начальная точка которого совпадает с начальной точкой первого слагаемого при сложении векторов и начальной точке исходного вектора при умножении вектора на скаляр.

Нуль-вектор — вектор, начало и конец которого совпадают.

Также существует более распространенное определение вектора как направленного отрезка, но оно требует определения прямой и отрезка в n-мерном пространстве.

Прямая, на которой лежит ненулевой вектор с началом в точке , заданный свободным вектором с пространственными координатами  — множество точек , удовлетворяющее условию:

Отрезок MN — множество всех точек O(удовлетворяющих условию ), все различные точки которого принадлежат одной прямой, точки M и N называются концевыми точками отрезка. Отрезок называется направленным, если его концевые точки упорядочены. Если концы отрезка совпадают, он состоит из 1 точки.

При введение скалярного произведения, угла и длины вектора, задающей расстояние между двумя точками как расстояние между начальной и конечной точками вектора(как показано ниже([1], [2], [3])) векторное пространство становится евклидовым нормированным пространством и при n=3 соответствует модели физического трехмерного пространства; при n=2 — плоскости этого пространства; при n=1 точка соответствует числу на числовой прямой, свободный вектор — разности двух чисел, а длина вектора соответствует модулю; при n=0 существует только одна точка(задается пустым кортежем), декартово произведение содержит только пустой кортеж, соответственно пространство представляет собой точку, есть только нулевой вектор; пространство при n>3 не имеет наглядной геометрической интерпретации, так как физическое пространство трёхмерно.

Скалярное произведение определяется по формуле: , [1]
(где  — пространственные координаты векторов )

Длина вектора: , [2]
(где  — пространственные координаты вектора.)

Угол между двумя векторами (где  — пространственные координаты векторов ) определяется через скалярное произведение:
, [3]

Вектор в линейном пространстве

Линейное пространство — это множество элементов, называемых векторами, над которыми определённым образом определены операции сложения и умножения на число. В любом линейном пространстве можно выделить особую систему векторов, называемых базисом линейного пространства. Количество векторов в базисе равно размерности пространства. Любой вектор из пространства можно представить, как линейную комбинацию базисных векторов. То есть, если у нас есть базис , то , где  — это поле, над которым определенно линейное пространство .

Выбор базиса в линейном пространстве неоднозначен, однако коэффициенты векторов при измерении базиса связанны определённым образом. Пусть есть базис и . Причём: . Матрица , полученная из коэффициентов называться матрицей перехода от базиса к базису и связывает координаты вектора в различных базисах следующем образом: . Связь между матрицами перехода между двумя базисами: . Векторы могут иметь различную природу: направленные отрезки, матрицы, числа, функции и другие, однако все линейные пространства одной размерности изоморфны между собой.

Операции над векторами

Пусть в линейном пространстве выбран базис и в нём представлены вектора , , тогда суммой векторов будет называется следующий вектор: .
Пусть есть число , тогда произведением вектора на число будет называться следующий вектор:
Два ненулевых вектора и называются коллинеарными, если .

Евклидовы и нормированные пространства

Основная статья: Евклидово пространство

Основная статья: Нормированное пространство

Функция (в другом обозначении ), ставящая любым двум векторам в соответствие число и удовлетворяющая следующим аксиомам:

  1. Линейность по первому аргументу:
  2. Эрмитова симметричность: (в случае если векторы определены над полем действительных чисел, то )
  3. Положительная определённость: тогда и только тогда, когда ,

называется скалярным произведением вектора на вектор . Конечномерное линейное пространство с введённым скалярным произведением называется евклидовым. Для пространств над полем комплексных чисел иногда применяют термин унитарное пространство.

Два ненулевых вектора называются ортогональными, если .
Базис евклидова пространства называется ортогональным, если . Базис называется ортонормированным

, если , где  — символ Кронекера.

Скалярное произведение является билинейной формой, поэтому его можно записать в следующем виде:
, где  — матрица Грамма.
В случае ортонормированного базиса матрица будет единичной, и тогда, если , , то
в случае действительного пространства и в случае комплексного.

Так же в линейном пространстве можно ввести понятие нормы. Это функция, ставящая в соответствие любому вектору линейного пространства неотрицательное вещественное число и удовлетворяющая следующим аксиомам:

  1. тогда и только тогда, когда .
  2. .
  3. .

Угол между векторами определяется, как
.

Геометрическая интерпретация

Вектор в геометрии — упорядоченная пара точек (или направленный отрезок), одна из которых называется началом, вторая — концом вектора. Операция сложения вводится по правилу треугольника: пусть есть векторы и . Оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Операция умножения вектора на число вводится следующим образом: пусть есть вектор и число , тогда вектор получается изменением длины вектора в раз. Направление вектора сохраняется, если и меняется, если .

Нулевой вектор — такой, начало которого совпадает с его концом.

Противоположным данному называется вектор, начало которого совпадает с концом данного, а конец с началом данного (то есть такой, сумма которого с данным дает нулевой вектор).

Два геометрических вектора называются ортогональными, если они (как направленные отрезки) перпендикулярны друг другу.

Норма геометрического вектора определяется как длина соответвующего ему отрезка. Чаще всего называется модулем вектора и обозначается как .

Свободные, скользящие и фиксированные векторы

Иногда вместо того, чтобы рассматривать в качестве векторов множество всех равных направленных отрезков, берут только некоторую модификацию этого множества (фактормножество). Так, говорят о «свободных» (когда отождествляются все равные по длине и направлению направленные отрезки, считаясь полностью равными или — одним и тем же вектором), «скользящих» (отождествляются между собой все направленные отрезки, равные в смысле свободных векторов, начала и концы которых расположены на одной прямой) и «фиксированных» векторах (по сути дела, просто о направленных отрезках, когда разное начало означает уже неравенство векторов).

Иными словами, подразумевается, что свободный вектор может быть перенесен (параллельным переносом) как угодно (так, чтобы его начало совпало с любой точкой пространства), однако не перестает от этого быть собой. Скользящий же вектор может так же свободно переноситься только вдоль прямой, на которой он лежит, а фиксированный вообще не может переноситься. То есть его приложение к другой точке не имеет смысла; в частности любые операции, такие как сложение или вычитание, фиксированного вектора с фиксированным вектором, имеющим другое начало («приложенным к другой точке») не определены (не имеют смысла).

  • Важно заметить, что все операции над векторами (сложение, умножение на число, скалярное и векторное произведения, вычисление модуля или длины, угла между векторами итд) в принципе определены одинаково для всех типов векторов (свободных, скользящих или фиксированных), различие в типах сводится в этом отношении только к тому, что для скользящих и фиксированных наложено ограничение на возможность осуществления операций между двумя векторами, имеющими разное начало (так, для двух фиксированных векторов запрещено — или лишено смысла — сложение, если их начала отличаются; однако для всех случаев, когда эта операция разрешена — или имеет смысл — она такова же, как для свободных векторов). Поэтому часто тип вектора вообще явно не указывается, подразумевается, что он очевиден из контекста. Более того, один и тот же вектор в зависимости от контекста задачи может рассматриваться как фиксированный, скользящий или свободный, например, в механике векторы сил, приложенных к телу, могут суммироваться независимо от точки приложения при нахождении равнодействующей (и в статике, и в динамике при исследовании движения центра масс, изменения импульса итп), но не могут складываться друг с другом без учета точек приложения при вычислении вращающего момента (также и в статике и в динамике).

Можно дать такие строгие определения:

Говорят, что свободные векторы и равны, если найдутся точки и такие, что четырёхугольники и  — параллелограммы.

  • Замечание. «Ухищрение» (введение дополнительных точек) в определении равенства касается, прежде всего, случая, когда точки располагаются на одной прямой. В противном случае определение выглядит проще:

Говорят, что свободные

векторы и , не лежащие на одной прямой, равны, если четырёхугольник  — параллелограмм.

Говорят, что скользящие векторы и равны, если

  • точки располагаются на одной прямой,
  • векторы и равны между собой как свободные векторы.

Неформально говоря, скользящему вектору разрешено двигаться вдоль его прямой без изменения величины и направления.

  • Замечание. Скользящие векторы особо употребимы в механике. Простейший пример скользящего вектора в механике — сила. Перенос такого начала вектора вдоль прямой, на которой он лежит, не меняет момента силы ни относительно никакой точки; перенос же его на другую прямую, даже если не менять величины и направления вектора, может вызвать изменение его момента (скорее даже почти всегда вызовет): поэтому нельзя рассматривать силу как свободный вектор.

Говорят, что фиксированные векторы и равны, если попарно совпадают точки и , и .

Вектором в одном случае называется направленный отрезок, а в других случаях различные векторы — это разные классы эквивалентности направленных отрезков, определяемые неким конкретным отношением эквивалентности. Причем отношение эквивалентности может быть разным, определяя тип вектора («свободный», «фиксированный» итд). Проще говоря, внутри класса эквивалентности все входящие в него направленные отрезки рассматриваются как совершенно равные, и каждый может равно представлять весь класс.

Операции над векторами

Сложение

Операцию сложения геометрических векторов можно определить несколькими в принципе эквивалентными способами, каждый их которых однако может быть удобнее или естественнее в зависимости от ситуации и типа рассматриваемых векторов. Так, правило треугольника наиболее простое и геометрически фундаментальное, удобно для сложения любого количества векторов, однако правило параллелограмма более удобно для фиксированных или скользящих векторов, так как не требует переноса второго слагаемого (что в принципе могло бы смущать или запутывать в этих случаях) для построения суммы, то есть удобно для сложения векторов с началом в одной точке, в добавок имея то преимущество, что в нем более очевидно равноправие слагаемых; координатное же определение, являясь простым и удобным, бывает очень полезно для вычислений.

Два вектора u, v и вектор их суммы

Правило треугольника. Для сложения двух векторов и по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора. Это правило прямо и естественно обобщается для сложения любого количества векторов, переходя в правило ломаной: начало второго вектор совмещается с концом первого, начало третьего — с концом второго и т. д., сумма же n векторов есть вектор, с началом, совпадающим с началом первого, и концом, совпадающим с концом n-го (то есть изображается направленным отрезком, замыкающим ломаную).

Правило параллелограмма. Для сложения двух векторов и по правилу параллелограмма оба эти векторы переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

Сложение векторов с использованием координат. Каждая координата (см. Базис и разложение по базису) суммы векторов есть сумма соответствующей координаты всех (двух или более) суммируемых векторов. Например, для двумерного случая:

(Могут быть использованы прямоугольные или косоугольные координаты; правило сложения остаются одинаковыми для обоих этих типов координат).

  • Модуль (длину) вектора суммы можно вычислить, например, используя теорему косинусов где  — угол между отрезками, изображающими данные векторы, когда начало одного вектора совпадает с концом другого. Или: где  — угол между векторами (выходящими из одной точки).

Сложение двух скользящих векторов определено лишь в случае, когда прямые, на которых они расположены, пересекаются. Тогда каждый из векторов переносится вдоль своей прямой в точку пересечения этих прямых, после чего сложение осуществляется по правилу параллелограмма.

Сложение двух фиксированных векторов определено лишь в случае, когда они имеют общее начало. Их сложение в этом случае осуществляется по правилу параллелограмма.

Сложение коллинеарных скользящих векторов

Если скользящие векторы параллельны, то при их сложении главная трудность состоит в определении прямой, на которой будет расположена их сумма. (Величину и направление вектора суммы было бы естественно определить точно так же, как и в случае сложения свободных векторов.) В механике при изучении статики для решения вопроса о сложении параллельных сил, которые, как известно, задаются скользящими векторами, вводится дополнительная гипотеза: к системе векторов можно добавить два вектора, равных по величине, противоположных по направлению и расположенных на одной прямой, пересекающей прямые, на которых расположены данные векторы. Пусть, например, надо сложить скользящие векторы и , расположенные на параллельных прямых. Добавим к ним векторы и , расположенные на одной прямой. Прямые, на которых расположены векторы и , и пересекаются. Поэтому определены векторы

Прямые, на которых расположены векторы и , пересекаются всегда, за исключением случая, когда векторы и равны по величине и противоположны по направлению, в котором говорят, что векторы и образуют пару (векторов).

Таким образом, под суммой векторов и можно понимать сумму векторов и , и эта сумма векторов определена корректно во всех случаях, когда векторы и не образуют пару.

Вычитание

Операция вычитания из вектора вектора сводится к сложению первого вектора и вектора, противоположного второму:

(Само сложение при этом осуществляется так, как описано в параграфе выше, пользуясь, если это удобно, любым из приведенных там альтернативных способов).

Однако легко видеть, что из правила треугольника можно получить и отдельное геометрическое определение разности. Для этого достаточно посмотреть на чертеж, иллюстрирующий сложение по правилу треугольника и осознать, что разность векторов и на этом чертеже есть вектор Отсюда прямо формулируется правило треугольника для вычитания векторов:

разность двух векторов с общим началом (или перенесенных параллельно так, чтобы начала совпали) есть вектор с началом, совпадающим с концом вычитаемого и концом, совпадающим с концом уменьшаемого.

Это правило также может быть удобным.

Скалярное произведение

Основная статья: Скалярное произведение

Скалярное произведение двух векторов

Скалярное произведение на множестве геометрических векторов вводится, как

Скалярное произведение любого вектора и какого-то единичного вектора есть проекция (ортогональная проекция) вектора на направление этого единичного вектора:

Легко видеть, что скалярное произведение может быть записано через операцию (ортогонального) проецирования:

(где  — проекция вектора на направление ,  — проекция вектора на направление ).

  • В абстрактном подходе обычно сперва вводят скалярное произведение, а уже через него определяют понятие угла, ортогональность, ортогональную проекцию.
Векторное произведение

Основная статья: Векторное произведение

Векторное произведение двух векторов

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий следующим требованиям:

  • длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла φ между ними

  • вектор ортогонален каждому из векторов и
  • вектор направлен так, что тройка векторов является правой.

Обозначение:

Геометрически векторное произведение есть ориентированная площадь параллелограмма, построенного на векторах , представленная псевдовектором, ортогональным этому параллелограмму.

Свойства векторного произведения:

  1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак (антикоммутативность), т.е
  2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, то есть
  3. Векторное произведение обладает распределительным свойством:

Геометрическая интерпретация смешанного произведения.

Смешанное произведение

Основная статья: Смешанное произведение

Сме́шанное произведе́ние векторов  — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :

(равенство здесь записано для разных обозначений скалярного и векторного произведения, часто встречающихся в литературе).

Иногда смешанное произведение называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрически смешанное произведение есть (ориентированный) объём параллелепипеда, построенного на векторах .

То есть абсолютная величина его есть просто объем этого параллелепипеда (в общем случае — косоугольного), а знак определяется тем, представляют ли векторы правую тройку (тогда плюс) или левую (тогда минус). Иногда при использовании левого базиса знак может быть определен противоположным образом.

Базис и разложение по базису

Разложение вектора по трём ортогональным векторам трёхмерного евклидова пространства

Векторы (как направленные отрезки), лежащие на прямых, параллельных одной прямой, называются коллинеарными, а векторы, лежащие в плоскостях, параллельных одной плоскости — компланарными. Для свободных векторов коллинеарность и компланарность определяется как такие понятия для изображающих их направленных отрезков (то есть представителей соответствующих свободным векторам классов эквивалентности).

Каждый вектор плоскости можно единственным образом разложить по двум определённым неколлинеарным векторам этой плоскости, а каждый вектор трёхмерного евклидова пространства можно единственным образом разложить по трём определённым некомпланарным векторам. Эти векторы, взятые в определённом порядке называются базисом плоскости (пространства). Сопоставлением каждому вектору данной плоскости (пространства) его коэффициентов в таком его разложении, определяется аффинная система координат на плоскости (в пространстве). Если векторы, по которым производится разложение, ортогональны и единичны, то получаем прямоугольную декартову систему координат на плоскости (в пространстве). Разложение геометрического вектора по базису есть упорядоченная совокупность проекций вектора на базисные вектора.

Обозначения

Вектор, представленный набором элементов (компонент) допустимо обозначить следующим способами:

.

Для того, чтобы подчеркнуть, что это вектор (а не скаляр), используют черту сверху, стрелочку сверху, жирный или готический шрифт:

Сложение векторов почти всегда обозначается знаком плюс:

.

Умножение на число — просто написанием рядом, без специального знака, например:

,

причём число при этом обычно пишут слева.

Умножение на матрицу также обозначают написанием рядом, без специального знака, но здесь перестановка сомножителей в общем случае влияет на результат. Действие линейного оператора на вектор также обозначается написанием оператора слева, без специального знака.

Вектор как последовательность

Вектор — (последовательность, кортеж) однородных элементов. Это наиболее общее определение в том смысле, что может быть не задано обычных векторных операций вообще, их может быть меньше, или они могут не удовлетворять обычным аксиомам линейного пространства. Именно в таком виде вектор понимается в программировании, где, как правило, обозначается именем-идентификатором с квадратными скобками (например, object[]). Перечень свойств моделирует принятое в теории систем определение класса и состояния объекта. Так типы элементов вектора определяют класс объекта, а значения элементов — его состояние. Впрочем, вероятно, это употребление термина уже выходит за рамки обычно принятого в алгебре, да и в математике вообще.

С другой стороны, многие математические объекты (например матрицы, тензоры, функции и т. д.), в том числе обладающие структурой более общей, чем конечный (а иногда даже и чем счётный) упорядоченный список, удовлетворяют аксиомам векторного пространства, то есть являются с точки зрения алгебры векторами.

История

Интуитивно вектор понимается как объект, имеющий величину, направление и (необязательно) точку приложения. Зачатки векторного исчисления появились вместе с геометрической моделью комплексных чисел (Гаусс, 1831). Развитые операции с векторами опубликовал Гамильтон как часть своего кватернионного исчисления (вектор образовывали мнимые компоненты кватерниона). Гамильтон предложил сам термин вектор (лат. vector, несущий) и описал некоторые операции векторного анализа. Этот формализм использовал Максвелл в своих трудах по электромагнетизму, тем самым обратив внимание учёных на новое исчисление. Вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд (1903) придал векторному анализу современный вид.

См. также

  • Векторная величина
  • Векторное поле
  • Векторное пространство
  • Векторный анализ
  • Нулевой вектор
  • Псевдовектор
  • Радиус-вектор
  • Тензор

Литература

  • Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1985. — 232 с.
  • Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).

Ссылки

  • На Викискладе есть медиафайлы по теме Вектор (математика)

Основы космического полета: векторная математика

ВЕКТОРНАЯ МАТЕМАТИКА

Это основное введение в математику векторов. Векторы определяются как математические выражения, обладающие величиной и направлением, которые складываются по закону параллелограмма. Силы, перемещения, скорости, ускорения и импульсы являются примерами физических величин, которые могут быть математически представлены векторами. Физические величины, не имеющие направления, такие как объем, масса или энергия, представлены обычным числом или 9.0014 скаляров .

В этой статье скалярные переменные будут выделены курсивом, например, a . Переменные, которые являются векторами, будут выделены полужирным шрифтом, например, a , хотя обычно векторы обозначаются маленькими стрелками над переменной.

Во многих задачах желательно разложить силу на две или три составляющие, перпендикулярные друг другу. Эти векторы-компоненты обычно ориентированы в системе координат, наиболее популярной из которых является двумерная декартова плоскость. Декартова плоскость имеет горизонтальную ось, обозначенную x, и вертикальную ось, обозначенную y. Можно использовать тот же принцип, чтобы указать положение любой точки в трехмерном пространстве тремя декартовыми координатами, в которых оси — x, y и z.

Векторы в многомерных системах координат могут быть преобразованы в их составных векторов . В трехмерном случае это приводит к x-компоненте , y-компоненте и z-компоненте . На рисунке 1 справа показан пример вектора a , разделенного на его компоненты: a x , a y и a z . При разбиении вектора на его компоненты вектор представляет собой сумму компонентов,

a = a x + a y + a z

Сложение и вычитание

Добавление скалярных величин игнорирует всю информацию о направлениях; однако с векторами манипулируют несколько иначе — всегда нужно учитывать направление. Добавление двух или более векторов равносильно размещению векторов встык и созданию нового вектора, идущего от начальной точки к конечной, как показано на рис. 2. Если векторы имеют одинаковое направление, то это просто означает добавление вектора. величины, но если они имеют разные направления, сложение усложняется. Векторы добавляются путем их разделения на компоненты, а затем добавления компонентов, как показано ниже:

A + B = ( A x + B x ) + ( A Y + B Y ) + ( A 78879 + ) + ( A 7888 ) + ( A 788711 + ) + ( A 88711 + ) + ( A 888 ) + ( A 888 ). г )

Вычитание вектора определяется как сложение соответствующего отрицательного вектора, то есть под a – b мы подразумеваем a + ( –b ).

а – б = ( а х — B x ) + ( A Y — B Y ) + ( A Z — B Z )
— B Z ) 40021 — B Z )

Скалярное умножение

Операция умножения вектора на скаляр называется скалярным умножением. Если мы определим произведение n a скаляра n и вектора a как вектор, имеющий то же направление, что и на (если n положительное), или направление, противоположное направлению на (если n отрицательное), и величина, равная произведению на и абсолютное значение n . Результирующий вектор:

n a = n a x + n a y + n a z

Скалярное умножение является дистрибутивным по сравнению с векторным сложением в следующем смысле:

n ( a + b ) = n a + n b

Единичные векторы

На этом этапе мы введем три вектора величины 1, направленные соответственно вдоль положительных осей x, y и z. Эти векторы называются единичными векторами и обозначаются i , j и k соответственно. Вспоминая определение произведения скаляра на вектор, заметим, что прямоугольные компоненты A x , A Y и A Z вектора A может быть получена с помощью умножения соответственно векторы единиц I , J и K . Подходит для векторов I , J и K . Мы пишем

A = A x I + A Y J + A Z K

В то время как скаляры a x , a y and a z may be positive or negative, depending on the sense of a x , a y and a z , их абсолютные значения соответственно равны модулям составляющих векторов a x , a y и a z . Скаляры a x , a y и A Z называются скалярными компонентами вектора A , в то время как фактические компоненты A x , A Y и A Z 7. . как компоненты вектора из a . Однако, если нет возможности путаницы, вектор, а также скалярные компоненты и могут называться просто компонентами из 9.0020 и . Заметим, что скалярная составляющая a x положительна, когда составляющая вектора a x имеет тот же смысл, что и единичный вектор i (т.е. тот же смысл, что и положительная ось x) и отрицательная когда x имеет противоположный смысл. Аналогичный вывод можно сделать относительно знака скалярных составляющих a y и a z .

Величина

величина или длина вектора a , представленная a = | a |, можно получить, применяя теорему Пифагора,

A = ( A x 2 + A Y 2 + A Z 2 1) ) ) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1) 1)

Скалярный продукт

Скалярное произведение двух векторов a и b определяется как произведение величин a и b и косинуса угла, образованного a и b . Скалярное произведение a и b обозначается как a • b и определяется как:

a • b = a b cos

Обратите внимание, что только что определенное выражение является не вектором, а скаляром, что объясняет, почему скалярное произведение также упоминается как скалярное произведение числа a и b .

Скалярный продукт также может быть определен как сумма произведений компонентов каждого вектора,

a • b = a x b x + a y b y + a z b z

Комбинируя приведенные выше уравнения, мы видим, что

cos = ( a x B x + A Y B Y + A Z B Z ) / ( A B ) 444444444444444444444444444444444444444444444444444) / ( A B)

Перекрестное произведение

Перекрестное произведение двух векторов a и b , обозначенное как a × b , определяется как вектор, который удовлетворяет следующим условиям:

  • Линия действия a × b перпендикулярен плоскости, содержащей a и b (см. рис. 4).
  • Величина a × b является произведением величин a и b и синуса угла, образованного a и b .
  • Смысл a × b таков, что человек, находящийся на вершине a × b , будет наблюдать вращение против часовой стрелки, которое приводит a в соответствие с б . Говорят, что три вектора a , b и a × b , взятые в таком порядке, образуют правую триаду .

Перекрестное произведение отличается от скалярного произведения главным образом тем, что результатом перекрестного произведения двух векторов является вектор, поэтому его также называют векторным произведением . Перекрестное произведение определяется как

a × b = a b sin() п

, где n — единичный вектор, перпендикулярный обоим a и b .

Перекрестное произведение также может быть записано как

a × b = ( a y b z – a z b y ) i + ( a z b x – a x b z ) j + ( a x b y – a y б х ) к

Линия пересечения двух плоскостей

Если нам даны два вектора, n 1 и n 2 , нормальные к Плоскости 1 и Плоскости 2, то по простым геометрическим соображениям линия пересечения двух плоскостей перпендикулярна обеим нормалям. (см. рис. 5).

Чтобы найти вектор положения r любой точки на линии пересечения, мы (1) находим вектор v , которому параллельна прямая, и (2) найти вектор положения a определенной точки на прямой.

Как мы выяснили выше, перекрестное произведение двух векторов дает третий вектор, который перпендикулярен обоим векторам. Мы знаем, что v перпендикулярно обоим n 1 и n 2 ; следовательно, v параллельно n 1 × n 2 .

Чтобы найти a , мы находим любую точку на линии пересечения, которая удовлетворяет уравнениям обеих плоскостей. Если мы допустим, что точка имеет координату нуля x , то мы получим два уравнения с двумя неизвестными: y и z . Решая для y и z и устанавливая x = 0, мы имеем точку на линии пересечения, вектор положения которой равен a .

Замена на и a в следующее дает уравнение для линии пересечения:

г = а + т v

Преобразование координат

В астродинамике принято задавать векторы положения в полярных координатах долготы l, широты b и радиального расстояния r . Эти координаты преобразуются в прямоугольные координаты XYZ по следующим формулам:

x = r cos b cos l
y = r cos b sin l
z = r sin b

При заданных координатах XYZ долгота и широта вычисляются следующим образом:

л = арктан [ y / x ]
b = arctan[ z / ( x 2 + y 2 ) 1/2 ] = asin[ z / р ]

, где r — просто величина вектора. Важно уделить особое внимание размещению l в правильном квадранте.

ИСТОЧНИКИ:

Отредактировано и переработано Робертом А. Бреунигом, 2012 г.
Библиография

Главная страницаОсновы космических полетов — Ракетное топливо — Ракетное движение — Орбитальная механика — Межпланетный полет Космическое оборудование — Системы космических кораблей — Технические характеристики транспортных средств — Ракеты-носители Космические миссии — Пилотируемые космические полеты — Межпланетные космические корабли — Лунные космические кораблиВсемирные космические центрыКосмические вехиГлоссарийБиблиография

Назад

Дом

Математика векторной графики

На этой странице.

..

Не пропустите
Интерактивные кривые Безье

[Изображение SVG от GDJ. Источник]

Это каркасное изображение головы человека является примером файла масштабируемой векторной графики (SVG). Каркасы используются в качестве основы для CGI (компьютерных изображений) в видео. Каркас в основном состоит из треугольников.

Векторная графика широко используется в кино и игровой индустрии. Он состоит из комбинации основных математических фигур, называемых примитивами , которые описаны ниже.

(См. дополнительную информацию по этой теме здесь: Vector Art.)

полигонов

Многоугольник — это многогранная фигура. Простейшим двумерным многоугольником является треугольник. Вот первые 5 правильных многоугольников (треугольник, квадрат, пятиугольник, шестиугольник, семиугольник).

Конечно, мы могли бы использовать и неправильные многоугольники:

Вышеупомянутая грань каркаса в основном состоит из треугольников, но вы также можете найти неправильные многоугольники.

Круг

Круг также часто используется в векторной графике. Окружность с радиусом r имеет уравнение:

x 2 + у 2 = r 2

См. Круг для получения дополнительной информации.

Эллипс

Мы также можем использовать 92=1`

Дополнительную информацию об этом см. в разделе Эллипс.

Кривые Безье

Кривые Безье соединяют 2 или более точек плавной кривой. У нас может быть либо:

а. Линейные кривые Безье

Это просто прямая, проходящая через 2 точки.

Ранее мы узнали, что прямые можно записать в виде числа

.
`у = мх + b`

(Подробнее о прямых линиях)

Например, мы можем соединить точки `A(1, 4)` и `B(-3, 12)` прямой линией `y = -2x + 6`.

24-2-42468101214-2xyA (−3,12)B (1,4)Открыть изображение на новой странице

Чтобы получить уравнение этой линии, я использовал формулу

y − y 1 = м ( x − x 1 )

б.

Квадратичные кривые Безье

Мы хотим провести параболу (или квадратичную кривую Безье) через 3 заданные точки `P(1, 2)`, `Q(3, 5)` и `R(5, 4)` следующим образом

246246-2xyP (1,2)Q (3,5)R (5,4)Открыть изображение на новой странице 92+3,5х-1`

А вот график искомой квадратичной кривой, проходящей через 3 заданные точки:

246246-2xyP (1,2)Q (3,5)R (5,4)Открыть изображение на новой странице

с. Кубические кривые Безье

Мы можем найти кубическую кривую, проходящую через 4 заданные точки, используя тот же процесс, который мы только что сделали для квадратичной кривой выше.

Например, если я использую те же 3 точки `P(1, 2)`, `Q(3, 5)` и `R(5, 4)`, что и в приведенном выше примере, а затем добавляю 4-ю точку `S (6, 10)`, чтобы найти кубическую кривую, проходящую через эти 4 точки, мне нужно составить набор из 4 уравнений с 4 неизвестными, используя общую кубическую: 92+15.77x-9`

Вот результирующая кривая, проходящая через 4 заданные точки:

2461020-10xyP (1,2)Q (3,5)R (5,4)S (6,10)Открыть изображение на новой странице

Интерактивные графики кривой Безье

В следующем интерактивном режиме вы можете изучить примеры, приведенные для 4 типов кривых Безье, упомянутых выше.

В каждом случае перетащите точки и посмотрите, как это отразится на кривой. (Уравнения отображаются серым цветом при перетаскивании, потому что после изменения кривой уравнение больше не применяется.)

Мы создаем векторную графику, используя такие кривые.

Линейная y = −2 x + 6. Перетащите любую точку A или B.

Квадратичный y = −0,5 x 2 + 3,5 x − 1. Перетащите любую точку, A, B, или C.

Кубический y = 0,53 x 3 − 5,3 x 2 + 15,77 x − 9. Перетащите любую точку, A, B, C или Д.

Кубическая кривая Безье Безье, проходящая через точки `P,Q`. Перетащите любую из точек «ручки».

Copyright © www.intmath.com

Рисование кривых Безье в графической программе

Когда вы используете графическую программу для рисования кривых Безье, она выполняет всю необходимую математику в фоновом режиме.

No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *