Совместные и несовместные события. Противоположные события. Полная группа событий
События называют несовместными, если в одном и том же испытании появление одного из событий исключает появление других событий. Простейшим примером несовместных событий является пара противоположных событий. Событие, противоположное данному, обычно обозначается той же латинской буквой с чёрточкой наверху:
– в результате броска монеты выпадет орёл;
– в результате этого же броска выпадет решка.
Совершено ясно, что в отдельно взятом испытании появление орла исключает появление решки (и наоборот), поэтому данные события и называются несовместными.
Противоположные события легко формулируются из соображений элементарной логики:
– в результате броска игрального кубика выпадет 5 очков;
– в результате этого же броска выпадет число очков, отличное от пяти.
Либо 5, либо не 5, т.е. данные события несовместны и противоположны.
Аналогично:
– из колоды будет извлечена карта трефовой масти, либо:
– извлечена пика, черва или бубна.
Множество несовместных событий образуют полную группу, если в результате отдельно взятого испытания обязательно появится одно и только одно из этих событий. Очевидно, что любая пара противоположных событий, например, и (выпадение / невыпадение «пятёрки») образует полную группу. Но, разумеется, полную группу могут образовывать не только противоположные события:
– в результате броска игрального кубика выпадет 1 очко;
– … 2 очка;
– … 3 очка;
– … 4 очка;
– … 5 очков;
– … 6 очков.
События несовместны (поскольку появление какой-либо грани исключает одновременное появление других) и образуют полную группу (так как в результате испытания обязательно появится одно из этих шести событий).
И из этих двух примеров вытекает ещё одно важное понятие, которое нам потребуется в дальнейшем – это элементарность
исхода (события).
Если совсем просто, то элементарное событие нельзя «разложить на другие события». Например, события элементарны, но событие не является таковым, так как подразумевает выпадение 1, 2, 3, 4 или 6 очков (включает в себя 5 элементарных исходов).
В примере с картами события (извлечение трефы, пики, червы или бубны соответственно) несовместны и образуют полную группу, но они неэлементарны. Если считать, что в колоде 36 карт, то каждое из перечисленных выше событий включает в себя 9 элементарных исходов. Аналогично – события (извлечение шестёрки, семёрки, …, короля, туза) несовместны, образуют полную группу и неэлементарны (каждое включает в себя 4 исхода).
Таким образом, элементарным исходом здесь считается лишь извлечение какой-то конкретной карты, и 36 несовместных элементарных исходов тоже образуют полную группу событий.
И коротко о событиях совместных. События называются совместными, если в отдельно взятом испытании появление одного из них не исключает появление другого.
Например:
– из колоды карт будет извлечена трефа;
– из колоды карт будет извлечена семёрка.
– данные события совместны, т.к. при излечении семёрки треф одновременно имеют место оба события.
Понятие совместности охватывает и бОльшее количество событий:
– завтра в 12.00 будет дождь;
– завтра в 12.00 будет гроза;
– завтра в 12.00 будет солнце.
Ситуация, конечно, редкая, но совместное появление всех трёх событий, не исключено. Следует отметить, что перечисленные события совместны и попарно.
1.2.3. Сложение и умножение событий
1.2.1. Виды событий
| Оглавление |
Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.
Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!
С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин
Теория вероятности. Готовимся к егэ по математике
Продолжение статьи «Теория вероятности.
Классическое определение».
В заданиях ЕГЭ по математике встречаются и более сложные задачи на вероятность (нежели мы рассматривали в части 1), где приходится применять правило сложения, умножения вероятностей, различать совместные и несовместные события.
Итак, теория.
Совместные и несовместные события
События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.
Например, бросая игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение четного числа очков и выпадение нечетного числа очков. Эти события несовместны.
События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого.
Например, бросая игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение нечетного числа очков и выпадение числа очков, кратных трем. Когда выпадает три, реализуются оба события.
Сумма событий
Суммой (или объединением) нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.
При этом сумма двух несовместных событий есть сумма вероятностей этих событий:
Например, вероятность выпадения 5 или 6 очков на игральном кубике при одном броске, будет , потому что оба события (выпадение 5, выпадение 6) неовместны и вероятность реализации одного или второго события вычисляется следующим образом:
Вероятность же суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления:
Например, в торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдем вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов (то есть или в одном, или в другом, или в обоих сразу).
Вероятность первого события «кофе закончится в первом автомате» также как и вероятность второго события «кофе закончится во втором автомате» по условию равна 0,3. События являются совместными.
Вероятность совместной реализации первых двух событий по условию равна 0,12.
Значит, вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов есть
Зависимые и независимые события
Два случайных события А и В называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. В противном случае события А и В называют зависимыми.
Например, при одновременном броске двух кубиков выпадение на одном из них, скажем 1, и на втором 5, – независимые события.
Произведение вероятностей
Произведением (или пересечением) нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Если происходят два независимых события А и В с вероятностями соответственно Р(А) и Р(В), то вероятность реализации событий А и В одновременно равна произведению вероятностей:
Например, нас интересует выпадение на игральном кубике два раза подряд шестерки.
Оба события независимы и вероятность реализации каждого из них по отдельности – . Вероятность того, что произойдут оба эти события будет вычисляться по указанной выше формуле: .
Подборку задач на отработку темы смотрите здесь.
Совместная вероятность Определение, формула, распределение и примеры
Совместная вероятность — это статистическая мера, которая вычисляет вероятность того, что два события произойдут вместе и в один и тот же момент времени, или вероятность того, что произойдут два независимых события. Это вероятность того, что событие Y произойдет одновременно с событием X. Вероятность — это статистическая мера вероятности того, что событие произойдет. Вероятность наступления любого события находится в диапазоне от 0 до 1, где 0 указывает на то, что событие не произойдет или вероятность его возникновения отсутствует, а 1 указывает на то, что событие обязательно произойдет, или на вероятность его возникновения. событие 100 процентов.
Что такое совместная вероятность? Совместная вероятность — это тип вероятности, связанный с пересечением двух независимых событий.
Его можно применять к ситуациям, когда одновременно может произойти более одного независимого наблюдения, или к ситуациям, когда мы хотим знать возможность двух независимых событий, происходящих по отдельности.
Пример совместной вероятности: Совместная вероятность вытащить карту из колоды красных и 6 или общая вероятность выпадения 6 и 4 при бросании двух разных костей или при бросании одной и той же кости дважды .
Пусть A и B будут двумя событиями, тогда совместная вероятность двух событий может быть представлена как \( P\left(A\cap B\right) \).
Символ \( \cap \) представляет общие возможности или пересечение происходящих событий A и B.
На приведенной выше диаграмме общая часть представляет общую вероятность.
Формула совместной вероятности Формула совместной вероятности для двух событий A и B можно записать как \( P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\times P\left(B\right) \).
Пример: Из полной колоды из 52 карт Совместная вероятность подобрать карту, которая одновременно красная и 6 равна \( P\left(A\cap B\right) = P\left (red\cap6\right) = P(red) \times P(6) = \frac{26}{52}\times \frac{4}{52} = \frac{2}{52} = \frac{ 1{26} \).
Другой способ думать об этом состоит в том, что есть только две карты, которые будут красный и 6 одновременно, и эти карты либо 6 червей, либо 6 бубнов, таким образом, можно снять 2 из 52 карт. Формула дает нам тот же ответ.
Мы можем определить событие A как выбор красных карт цветов, вероятность которого равна \( \frac{26}{52} \), а событие B как выбор 6 пронумерованных карт, вероятность которых \ ( \frac{4}{52} \).
Тогда согласно формуле совместной вероятности мы можем написать,
\( P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\times P\left(B\right) = \frac{26}{52}\times\frac{4} {52}=\frac{1}{26} \).
Это также может быть представлено следующей диаграммой Венна.
Точно так же мы рассматриваем бросание двух игральных костей за раз. Затем мы рассматриваем событие A для получения 6 на 1-м кубике и событие B для получения 4 на втором кубике, вероятность каждого из событий равна \( \frac{1}{6} \)
Образец места для броска двух игральных костей приведен ниже:
Здесь общая вероятность двух событий равна \( P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\times P\left(B\right) =\frac{1}{6}\times\frac{1}{6}=\frac{1}{36} \).
Совместное распределение вероятностей Совместное распределение вероятностей используется для описания общих ситуаций, когда наблюдаются несколько случайных величин, таких как X и Y , что аналогично экспериментальной вероятности. Совместная функция массы вероятности или совместная плотность используются для вычисления вероятностей, включающих такие переменные, как X и Y .
Пример совместного распределения вероятностей: У нас есть коробка с десятью шарами, в которой четыре белых, три красных и три черных. Здесь количество выбранных красных шаров равно X , а количество выбранных белых шаров равно Y . Если выбрать из коробки пять шаров без замены и подсчитать количество белых и красных шаров в выборке, то можно найти вероятности любого события с участием X и Y , используя таблицу совместного распределения вероятностей. Используя таблицу совместного распределения вероятностей, мы можем найти вероятность того, что кто-то выберет одинаковое количество красных и белых шаров, или вероятность того, что кто-то выберет больше красных шаров, чем белых шаров, и так далее.
Пусть совместное распределение вероятностей показывает распределение вероятностей для двух (или более) случайных величин.
Формальное определение совместного распределения вероятностей может быть записано как:
\( f(x,\ y)=P(X=x,\ Y=y) \)
Мы используем совместное распределение вероятностей для поиска связи между двумя переменными.
Пример совместного распределения вероятностей для отношения между двумя переменными: У нас есть коробка с десятью шарами, в которой четыре белых, три черных и три красных. Нужно выбрать пять шаров из коробки без замены и посчитать количество белых и красных шаров в выборке. Какова вероятность того, что в выборке будут обнаружены два белых и два красных шара? 9{10}C_5}=\frac{54}{252} \),
Где X = количество выбранных красных шаров, Y = количество выбранных белых шаров.
Предположим, что это вычисление выполняется для каждой возможной пары значений X и Y. Эти возможности могут быть сведены в таблицу, как показано ниже. Эта таблица известна как Совместная таблица распределения вероятностей для X и Y .
| \( X=количество\ красных\ шаров\ выбрано\стрелка вправо\) \( Y=number\ of\ white\ balls\ selected\downarrow\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 0 | 0 | 0 | 6/252 | 12/252 | 3/252 |
| 1 | 0 | 12/252 | 54/252 | 36/252 | 3/252 |
| 2 | 3/252 | 36/252 | 54/252 | 12/252 | 0 |
| 3 | 3/252 | 12/252 | 6/252 | 0 | 0 |
(Х, У). Как и для любого распределения вероятностей, требуется, чтобы каждое из значений вероятности было неотрицательным, а сумма вероятностей по всем значениям X и Y была равна единице. То есть функция f(x, y) удовлетворяет двум свойствам, упомянутым ниже.- \( f\left(x,\y\right)\ge0,\\forall\ x,\y\)
- \( \Sigma_{x,\ y}f\left(x,\ y\right)=1 \)
Совместная функция плотности вероятности — это функция, используемая для характеристики вероятности распределение нескольких непрерывных случайных величин, которые вместе образуют непрерывный случайный вектор. Это многомерное обобщение функции плотности вероятности, которое описывает распределение одной непрерывной переменной.
Пример совместной функции плотности вероятности: 92 \), имеем
\( \begin{align}\label{}P\big((X,Y) \in A\big) =\iint \limits_A f_{XY}(x,y)dxdy \ hspace{30pt}\end{align} \).
Функция \( f_{XY}(x,\ y) \) известна как Совместная функция плотности вероятности X и Y. ( X+Y>3 \) т. е. \( P\влево(X+Y>3\вправо) \).
Сначала идентифицируется область в интересующей плоскости (x, y) , а затем мы находим объем под совместной функцией плотности вероятности над этой областью.
На приведенном выше графике заштрихована область, где \(x+y>3 \). Вероятность \( P\left(X+Y>3\right) \) — это объем под PDF в этой области. Применяя геометрический аргумент, мы получаем, что площадь заштрихованной области равна ¼, поэтому интересующая вероятность равна \( \frac{1}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{1} {8} \). Мы также находим эту вероятность, интегрируя совместную PDF по области следующим образом: 3-y} f(x, y) dx dy \\ 92 \\
& = \frac{1}{8}.
\end{align*} \)
Свойства совместного распределения вероятностейСвойства совместного распределения вероятности приведены ниже:
- Любой логический вопрос о случайной величине создает событие.
- Любые две случайные величины X и Y независимы тогда и только тогда, когда удовлетворяет совместная кумулятивная функция распределения.
\( F_{XY}(xy)=F_X(x)\ \times\ F_Y(y) \).
- Любые две дискретные случайные величины X и Y независимы тогда и только тогда, когда функция массы совместной вероятности удовлетворяет следующему условию:
| Условная вероятность | Совместная вероятность |
|
|
|
|
|
|
Совместная таблица вероятностей используется для представления данных о возникновении одного или нескольких событий в табличной форме. Мы используем эту таблицу для оценки некоторой связи между двумя переменными. Все события, перечисленные в таблице, происходят одновременно.
Пример: В таблице ниже показаны события продажи компьютеров в вымышленном магазине. Он описывает частоту продаж по полу покупателя и типу приобретаемого компьютера.
| – | PC | Mac | Row Total |
| Male | 66 | 40 | 106 |
| Female | 30 | 87 | 117 |
| Всего колонна | 96 | 127 | 223 |