Присоединенные функции Лежандра
, ;;
Основные характеристики:
входят в состав сферических функций, которые описывают угловую зависимость состояния объекта в сферической системе координат ;
являются собственными функциями оператора момента импульса;
число n связано с модулем момента импульса;
число m связано с проекцией момента импульса на ось z. Для проекций возможны положительные и отрицательные значения. Проекция вектора не может быть больше его модуля, поэтому
, .
Уравнение с аргументом X
Присоединенные функции Лежандра удовлетворяют уравнению
(6.115)
При получаем уравнение Лежандра (6.93)
,
следовательно,
.
Уравнение с угловым аргументом
Учитываем
,
заменяем
, ,,
для получаем уравнение
. (6.116)
Форма Родрига
Приводимые далее результаты получены в учебнике путем решения уравнения (6.115) методом факторизации.
1. Первая форма для
(6.117)
Следовательно:
при четном функцияявляется полиномом;
при нечетномсводится к произведениюи полинома;
при выполняется
.
Из (6.117) и (6.96)
,
находим связь с полиномом Лежандра
. (6.118)
2. Вторая форма для
(6.119)
отличается
от первой формы (6.
3. Используем (6.117)
,
заменяем
,
сравниваем с (6.119) и получаем соотношение между функциями с положительным и отрицательным m
, . (6.120)
Низшие порядки
Используем (6.117) и (6.119)
,
.
Находим выражения для функций низших порядков:
;
, , ;
, , ;
, ;
.
Выполняются свойства четности и частные выражения
;
при ,
;
.
Выражение через полином
Используем связь присоединенных (6.118) и обычных полиномов Лежандра (6.98)
.
Учитываем
,
получаем полиномиальную форму
. (6.121)
Ортонормированность
Для одинаковых верхних индексов выполняется
. (6.123)
Для одинаковых нижних индексов
. (6.124)
Рекуррентные соотношения
Рекуррентные соотношения для присоединенных полиномов Лежандра получим из рекуррентных соотношений для обычных полиномов Лежандра.
1. Соотношение (6.110)
,
дифференцируем раз
,
умножаем результат на , сравниваем с (6.118)
и получаем
.
(6.125)
2. Соотношение (6.104)
,
дифференцируем m раз
.
Для правой стороны применяем формулу Лейбница (6.45)
при допускает толькои, это дает
.
Тогда получаем
.
Результат умножаем на , используем (6.118)
,
находим
. (6.126)
3. Исключаем из (6.126) и (6.125)
.
Получаем соотношение с одинаковыми верхними индексами
4. Дифференцируем однократно (6.117)
,
находим
.
Умножаем результат на
,
и
сравниваем с (6.
118)
.
Получаем
. (6.128)
5. Дифференцируем (6.119)
,
находим
,
умножаем результат на и сравниваем с (6.119)
.
Учитывая
,
,
получаем
. (6.130)
6. Из (6.130) вычитаем (6.128)
находим
. (6.132)
Присоединённые многочлены Лежандра | это… Что такое Присоединённые многочлены Лежандра?
Толкование
- Присоединённые многочлены Лежандра
Многочлены Лежандра — определённая ортогональная система многочленов, на отрезке [ − 1,1] по мере Лебега.
Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта.Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.
Содержание
- 1 Определение
- 2 Примеры
- 3 Свойства
- 4 Функции Лежандра
- 5 Литература
Определение
Многочлены Лежандра определяются по формуле (называемой формулой Родрига)
часто записываемой в виде
Они также могут быть вычислены по рекуррентной формулеПрисоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле
которую также можно представить в виде
При m = 0 функция совпадает с Pn.
Примеры
Первые четыре многочлена Лежандра равны:
- P0(x) = 1
- P1(x) = x
Свойства
- Присоединённые многочлены Лежандра являются решениями дифференциального уравнения
- Производящая функция для многочленов Лежандра равна
- Условие ортогональности этих полиномов на отрезке [ − 1,1]:
- При каждом m > 0 система присоединённых функций Лежандра полна в L2( − 1,1).
- В зависимости от m и n присоединённые многочлены Лежандра могут быть как чётными, так и нечётными функциями:
Функции Лежандра
Основная статья: Сферические функции
Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра Pn,m(x)) естественно возникают в теории потенциала. Сферические функции — это функции (в сферических координатах r,θ,φ) вида
- и ,
где — присоединённые многочлены Лежандра. Сферические функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в (при n < 0 — всюду, кроме нуля) и служат ортогональным базисом для функций.
Литература
- В.С. Владимиров, В.В. Жаринов. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5
Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта.
Wikimedia Foundation. 2010.
- Присоединённое представление лиевой алгебры
- Присосконоги
Полезное
Применение к заполнителям, используемым в бетоне.
Приложение A: Список связанных функций Лежандра. Трехмерный
математический анализ
форму частиц с помощью рентгеновской томографии и сферической
гармоники: применение к заполнителям, используемым в бетоне. Следующий: Приложение B: Верхний: Основной Предыдущий: БиблиографияПусть x = cos() и . Ассоциированные функции Лежандра P н м = P n m ( x ) приведены ниже, для n = 0,8 и м = 0, n , в Таблице 3 ( n = 0,5) и Таблице 4 ( n = 6,8). Соответствующие функции Лежандра с m = — M < 0 просто заданы с точки зрения эквивалентных функций с M > 0 по
| (30) |
Таблица 3: Список связанных полиномов Лежандра от n = 0 до n = 5. | ||
|---|---|---|
| п | м | Функция |
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | х |
| 1 | 1 | с |
| 2 | 0 | |
| 2 | 1 | 3 х с |
| 2 | 3 (1- x 2 ) | |
| 3 | 0 | |
| 3 | 1 | |
| 3 | 2 | 15 x (1- x 2 ) |
| 3 | 3 | 15 с 3 |
| 4 | 0 | |
| 4 | 1 | |
| 4 | 2 | |
| 4 | 3 | 105 xs 3 |
| 4 | 4 | 105 с 4 |
| 5 | 0 | |
| 5 | 1 | |
| 5 | 2 | |
| 5 | 3 | |
| 5 | 4 | 945 xs 4 |
| 5 | 5 | 945 с 5 |
Таблица 4: Список связанных полиномов Лежандра от n = 6 до n =
8. | ||
|---|---|---|
| п | м | Функция |
| 6 | 0 | |
| 6 | 1 | |
| 6 | 2 | |
| 6 | 3 | |
| 6 | 4 | |
| 6 | 5 | 10395 хз 5 |
| 6 | 6 | 10395 с 6 |
| 7 | 0 | |
| 7 | 1 | |
| 7 | 2 | |
| 7 | 3 | |
| 7 | 4 | |
| 7 | 5 | |
| 7 | 6 | 135 135 хз 6 |
| 7 | 7 | 135 135 с 7 |
| 8 | 0 | |
| 8 | 1 | |
| 8 | 2 | |
| 8 | 3 | |
| 8 | 4 | |
| 8 | 5 | |
| 8 | 6 | |
| 8 | 7 | 2 027 025 xs 7 |
| 8 | 8 | 2 027 025 с 8 |
Следующий: Приложение B: Вверх: Основной Предыдущий: Библиография
Фон: Сферические функции
Фон: Сферические функции| Содержание | ЕССС | Страница модели |
| Общая информация | Модели магнитного поля | |
| Сферические функции | ||
- Введение
- Функции Лежандра P n (x)
- Связанные функции Лежандра P n,m (x)
- Сопутствующие функции Лежандра, нормализованные по Гауссу P н,м (х)
- Квазинормализованные ассоциированные функции Лежандра Шмидта P н м (х)
- Нормализованные ассоциированные функции Лежандра по Шмидту R н м (х)
- Каталожные номера
Введение
В геомагнетике принято описывать геомагнитный скалярный потенциал V как разложение в ряд ортогональных сферических функций.
Они принимают
форма:
где R E — средний радиус Земли (6371,2 км), r — радиальное расстояние от центра Земли, phi — расстояние восточная долгота, измеренная от Гринвича, тета является геоцентрической широта, а P n m — связанная Лежандра функция степени n и порядка m . Эти связанные функции Лежандра могут быть нормализуется, как описано в следующих параграфах.
Обозначение, которое мы используем здесь для обозначения различных нормализации, находится в в соответствии с Чепменом и Бартельсом, 1940 г.
Функции Лежандра
P n (x)Функции Лежандра являются решениями второй степени дифференциальное уравнение:
Общее решение этого дифференциального уравнения без учета решений с отрицательным n определяется как:
В этом выражении константа K n является произвольным.
Обычно,
полином Лежандра нормализуется, если предположить, что P n (1) = 1.
В результате получается следующее выражение:, которая называется формулой Родригеса для многочленов Лежандра.
Связанные функции Лежандра
P n,m (x)Связанные функции Лежандра являются решениями связанного Дифференциальное уравнение Лежандра:
Легко проверить, что если y — это решение уравнения Лежандра. дифференциальное уравнение, (1- x 2 ) м /2 (d/d x ) m y является решением ассоциированного уравнение. Определим для положительного интеграла m :
P n,m называется ассоциированной функцией Лежандра. Секунда решение дифференциального уравнения, записанное Q n,m ( x ) , сингулярна при x = 1 и -1 и больше нас не касается.
Функции, используемые с «нормальной» константой нормализации K n = 1/2 n , использовались Нейманом и Максвеллом.
Сопутствующие функции Лежандра, нормализованные по Гауссу
P н,м (х)Гаусс и Лаплас использовали функции со значением K n :
где в обозначениях (2 и -1)!! = 1.3.5…(2 n — 1) , как введено формулой Шустера по аналогии с n !, и таким образом:
Это также нормализация, которая используется в модели Дженсен и Каин (1962).
Квазинормализованный по Шмидту ассоциированный Лежандр функции
P n m (x)Шмидт (1935) представил следующие константа нормализации:
Это делает связанные функции Лежандра:
Эта форма чаще всего используется в геомагнитных данных, так как именно она используется в Международный геомагнитный справочник Поле (см.
Педди, 1982 г. и Лангель, 1987 г.). Эта нормализация
был введен, потому что он оставляет сумму:инвариант при произвольном повороте координаты ( тета , фи ) системы в описании скалярного потенциала и, следовательно, магнитного поле Б .
Нормализованные по Шмидту ассоциированные функции Лежандра
R н м (х)Квазинормализованные ассоциированные функции Лежандра Шмидта не полностью нормированные гармоники в том смысле, что среднеквадратичное значение P n m cos ( m phi ) или P n m sin ( m phi ) по сфере не равно к 1. Шмидт ввел функции:
, которые полностью нормализованы. Какое-то время они использовались Шустером, но позже отказались от использования в геомагнитных моделях. Тем не менее, они широко используются в гравитационных моделях.
Ссылки
Чепмен, С.