§ 3. Канонический вид квадратичной формы
Мы уже говорили о том, что в каждом базисе линейного пространства квадратичная форма задается однородным многочленом второй степени, который называется видом данной квадратичной формы.
Каноническим видом квадратичной формы называется такой ее вид, в котором коэффициенты при произведениях разноименных переменных равны 0, т. е. при .
Нормальным видом действительной квадратичной формы называется такой ее канонический вид, в котором отличные от нуля коэффициенты при квадратах равны 1 или –1. Все отличные от нуля коэффициенты при квадратах нормального вида комплексной квадратичной формы равны 1.
Теорема
5.6. Для любой
квадратичной формы, заданной на линейном
пространстве
в
существует базис, в котором эта
квадратичная форма имеет канонический
вид, и существует базис, в котором она
имеет нормальный вид.
Или другая формулировка этой же теоремы:
Для любой квадратичной формы от n переменных существует линейное невырожденное преобразование переменных, приводящее ее к каноническому виду, и существует линейное невырожденное преобразование переменных, приводящее ее к нормальному виду.
Теорему
5.6 мы докажем позже, а сейчас на примере
покажем, как привести квадратичную
форму к каноническому виду методом,
который называется методом Лагранжа или выделения полных квадратов. Он
заключается в следующем: выбираем
переменную, коэффициент при квадрате
которой отличен от 0, и выделяем полный
квадрат, включающий в себя все слагаемые
с этой переменной. С этой целью записываем
перед скобкой число, обратное выбранному
коэффициенту, а в скобках – половину
производной по выбранной переменной.
За скобками остается квадратичная
форма, количество переменных которой
уже на единицу меньше, с которой поступаем
также. После конечного числа шагов
получаем канонический вид.
Пример. ▼
где . Матрица этого линейного преобразования запишется так:
.
Как видим, она невырождена, значит, и преобразование переменных является невырожденным. Вводя обозначения
,
получаем нормальный вид квадратичной формы: .▲
Замечания. 1. На самом деле при применении метода Лагранжа получаем не прямое преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду, а обратное, т. е. преобразование, которое выражает не старые переменные через новые, а наоборот.
2. Если все коэффициенты при квадратах исходной квадратичной формы равны нулю, а отличен от нуля, например, коэффициент при произведении , применим вначале следующее преобразование: Матрица этого преобразования выглядит так:
.
Очевидно, она невырождена, и поэтому, соответствующее преобразование переменных также будет невырожденным.
Заметим, что канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно, тем не менее, имеет место
Теорема 5.7 (закон инерции). Все канонические виды одной квадратичной формы на действительном линейном пространстве имеют одинаковое число положительных коэффициентов и одинаковое число отрицательных коэффициентов. Нормальный вид квадратичной формы определяется однозначно с точностью до порядка следования коэффициентов.
►Доказательство достаточно провести для нормального вида.
Пусть в базисе линейного пространства квадратичная форма имеет вид
, (5.21)
а в базисе – вид
. (5.22)
Так
как ,
то достаточно показать, что .
Предположим, что это не так. Пусть,
например, .
Обозначим
, .
Так как а , то сумма не прямая, поэтому , следовательно, . Так как , то из (5.21) видно, что Но так как , то из (5.22) видно, видно, что Итак, мы пришли к противоречию. Таким образом, . Аналогично доказывается, что , значит, .◄
Замечание. Для квадратичных форм на комплексном линейном пространстве нормальный вид, очевидно, определяется однозначно, так как количество отличных от нуля коэффициентов совпадает с рангом квадратичной формы.
13. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
$\DeclareMathOperator{\rank}{rank}$
Определение. Квадратичной формой на конечномерном векторном пространстве $V$ над $\mathbb{F}$ называется функция $q:V \rightarrow \mathbb{F}$, обладающая двумя свойствами:
1) $q(-v)=q(v)~\forall v \in V$
2) $f(x,y)=\frac{1}{2}(q(x+y)-q(x)-q(y))$ – билинейная форма (симметрическая).
Определение. Симметрическая билинейная форма $f$, определенная формулой $f(x,y)=\frac{1}{2}(q(x+y)-q(x)-q(y))$, получается из $q$ поляризацией.
$f$ – билинейная форма, полярная к квадратичной форме $q$.
Пусть $f$ – произвольная билинейная симметричная форма. Положим:
$q_f(x)=f(x,x)$
$q_f(-x)=f(-x,-x)=f(x,x)=q_f(x)$ и
$f(x,y)=f(x,y)=\frac{1}{2}(f(x+y,x+y)-f(x,x)-f(y,y))$
То есть, по билинейной симметричной форме можно построить квадратичную форму.
Теорема. Каждая квадратичная форма $q$ однозначно представляется по своей билинейной форме $f$, т.е. $q=q_f$.
$\blacktriangle~ f(x,y)=\frac{1}{2}(q(x+y)-q(x)-q(y))$
Пусть $y=-x$. Тогда
$$-f(x,x)=\frac{1}{2}(q(0)-q(x)-q(-x)) \Rightarrow q(x)=f(x,x)+\frac{1}{2}q(0)$$
Так как $f$ – билинейная форма, то $f(0,0)=0$.
$x=0 \Rightarrow q(0)=\frac{1}{2}q(0) \Rightarrow q(0)=0 \Rightarrow f(x,x)=q(x)$.
Определение. Матрицей квадратичной формы $q=q_f$ относительно базиса $(e_1,.
n f_{ii}x_iy_i$$
Матрица $F$ имеет диагональный вид.
Замечание. В каноническом виде $\rank q_f=\rank f=$ число отличных от нуля коэффициентов $f_{ii}$.
Определение. Подпространство (ядро билинейной формы)
$$L_q=\{ u \in V ~|~ q(u+v)=q(u)+q(v)~\forall v \in V \}$$
называется изотропным (нулевым) подпространством.
Канонический вид квадратичной формы
Теорема. Для всякой симметричной билинейной формы $f$ на $V$ существует канонический базис.
$\blacktriangle$ Индукция по размерности.
$n=1$ – верно. Если $f \equiv 0$, то теорема очевидна: любой базис годится.
Предположим, что $f \neq 0$.
Существует вектор $e_1 \in V: f(e_1,e_1)=q(e_1) \neq 0$. Тогда линейная функция $f_1:x \rightarrow f(x,e_1)$ отлична от нуля ($f_1( e_1) \neq 0$). Рассмотрим $L=Ker f_1= \{x \in v ~|~ f_1(x)=0 \}$
$f_1$ – нетривиальная $\Rightarrow \dim L=n-1$ (т.к. это линейная функция).
По предположению индукции $L$ обладает базисом, в котором матрица формы $f$, ограниченной на $L$, диагональна, т.
TFA$ – диагональная матрица того же ранга, что и $F$.
Рекомендация видео с лучшим совпадением:
Решено проверенным экспертом
У нас нет заданного вами вопроса, но вот рекомендуемое видео, которое может помочь.
Вопрос о наилучшем совпадении
Пошаговый ответ
Привести квадратичную форму t0 к канонической форме с помощью ортогональной редукции 1Ox; + 2×3 + Sx3 411X2 1Ox_X1 + 6×2*3.
Рекомендуемые видео
Расшифровка
Нам нужно использовать ортогональную реакцию, чтобы уменьшить заданную квадратичную форму.
10 х, 1 квадрат плюс 2 х, 2 квадрат плюс 5 х, 3 в квадрате плюс 6 раз х, 2 х, 3 правильно, минус 10 раз х, 1 х, 3 минус 4 раза х, 1, х, 2 Итак это то, что нам дано. Форму необходимо привести к каноническому виду. Здесь я запишу коэффициенты х, 1 х, 2 х, 3, а здесь я запишу соответствующую матрицу. У нас есть минус 4 ладных коэффициента при написании между х 1 и х 2, потому что мы можем легко записать 10 баллов. Между x 1 и x 3 минус 10 очков x, 1 и x 3. Это неверно. У нас снова есть между х, 2 и х 1 балл, и это будет минус 4. Это минус три. Получаем минус 523 плюс 53 и 5. Вот что мы получаем прямо сейчас. Чтобы найти характеристическое уравнение, мы должны привести его к форме ортогональной редукции, исправить и найти. Если я назову эту матрицу так, то это будет определитель минус лямбда, а если я запишу характеристическое уравнение, то оно будет задано. I равно нулю. Что здесь является определяющим? 10 и 4. Минус 4. Вот и минус 5. Надо написать минус пять. У нас есть минус 5, минус 2 и минус 3.