53. Признак Абеля и Дирихле сходимости знакочередующихся рядов.
Т.1(признак Абеля): 1) пусть ряд — сходится; 2) последовательность — монотонна и ограничена, тогда ряд — сходится.
Т.2(признак Дирихле): пусть последовательность частичных сумм ряда ограничена, а последовательность 0, при n,тогда ряд сходится.
54. Функциональные ряды. Сходимость функциональных рядов.
Рассмотрим ряд: (1),где ф-ии fk(x) определены на множестве X , если зафиксировать x0 ,тогда (2)- числовой ряд
Опред1. x0-точка сходимости функционального ряда (1),если соответственно числовой ряд (2) сходится. Множество Е — область сходимости ряда (1),если (1) сходится во —
В обл.сходимости ряд (1) сходится к некоторой ф-ии: S(x)= —(3), для , (3)-сума ряда (1).
Опред2.
Последовательность Sn(x)
сходится на множестве Е равномерно
ф-ии S(x),если
выполнены условия: что для
следует,что |S
Sn(x) S(x) при n , Sn(x)= ,тогда |S(x)-Sn(x)|=| |=|rn(x)|.
Если (3) сходится к Sn(x) равномерно на Е,то rn(x) на Е.
55. Равномерная сходимость функциональных рядов. Условия равномерной сходимости.
Критерий Коши: для того,чтобы : S(x)= равномерно сходился к S(x) при n на Е,необходимо и достаточно,чтобы для ,
выполнялось неравенство: | | .
признаком равномерной сходимости ряда является признак Вейерштрасса:
если члены ряда (1) удовлетворяют неравенствам |fn(x)| an ,
,
и числовой ряд
сходится,то
ряд (1) равномерно сх.
Теорема: 1)признак Абеля: пусть ряд сходится равномерно на Е, а последовательность аn (x)- ограничена и монотонна на Е,тогда —сходится равномерно.
2)признак Дирихле: пусть последовательность частичных сумм Sn(x) ряда ограничена на множестве Е,последовательность аn (x)- ограничена на Е монотонно и равномерно на Е,тогда ряд сходится равномерно на Е.
56. Свойства равномерно сходящихся рядов.
Т1. Если ф-ция fn(x), где х Е непрерывна в т. х0 E и ряд равномерно сходится на Е, то его сумма S(x) = также непрерывна в т. х0.
Т2 .(Об почленном интегрировании ряда):
Если функциональный ряд с непрерывными членами сходится ф-ии S(x) равномерно на отрезке [a,b], то его можно почленно интегрировать на [x0,x] ,при этом справедливо равенство: ,причем ряд сходится равномерно на .
Т3.
Если ряд (1) с непрерывными дифф-ми членами на ф-ии S(x) равномерно и ряд сходится равномерно на ряд (1) равномерно сходится к непрерывно дифф-ой ф-ии S(x) и имеет место равенство:
S’(x)= ( )’ ,для .
57. Степенные ряды. Радиус сходимости. Формула Коши-Адамара.
Степенным рядом наз. функциональный ряд вида: a0+a1x+a2x2+… + anxn = (1) x R,членами которого являются степенные ф-ции. Числа an R и наз. коэффициентами ряда(1). Степенным рядом наз. также ряд: a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2… + an(x-x0)n = (2)
Степенной
ряд (1) сходится абсолютно по крайней
мере в т. х = 0, а ряд (2) в т. х = х0,
т.е. в этих случаях все члены,кроме 1
равны 0. Ряд (2) сводится к ряду (1) по ф-ле
у = х-х 0.
Будем рассматривать степенной ряд вида (1)
Число R>0 такое,что степенной ряд (1) сходится абсолютно для х R,R) и расходится для х ,удовлетворяющих нер-ву |x|>R- наз-я радиусом сходимости степенного ряда (1) а интервал (-R, +R) наз. интервалом сходимости.
В точках x=R ,x= -R ряд может как сходиться,так и расходиться.
Если ряд(1) сходится только в точке х=0,то считают,что R=0, если сходится для х R, то R= .
Радиус сходимости можно опред-ть,используя признак Даламбера или Коши:
1) R=
2) R= — формула Коши-Адамара, если известно поведение ряда в граничных точках: x1= -R ,x2= R,то множество х [-R,R] называют областью сходимости степенного ряда.
24. Признаки Абеля и Дирихле для несобственных интегралов.
(данные признаки используются для исследования на условную сходимость)
Г
О:
Если ∫│f(x)│dx
сущ-ет, сходится, то f-
интегрируема абсолютно, т.
е. интеграл
a
Г
∫f(x)-сходится абсолютно.
a
О: Если интеграл сходится, но не сходится абсолютно, то говорят, что он сходится условно.
Признак Абеля.
Пусть вып-ся условие второй теоремы о среднем:
ф-ии f(x) и g(x) ограничены и интегрируемы на [a;b]; g(x)-монотонна при х из (a;b),то
b c b
(1) ∫(f(x)*g(x))dx=g(a+0)∫f(x)dx+g(b-0)∫f(x)dx, где с из [a;b]
a a c
b b
Тогда ∫(f(x)*g(x))dx сходится, если ∫f(x)dx сходится и g(x) ограничена.
a a
(для док-ва необходимо обе части выражения (1) рассмотреть по модулю)
Признак
Дирихле.
Пусть вып-ся условие второй теоремы о среднем (см.выше), g(x) монотонно ->0 и f(x)-огранич., т. е.
b b
∫f(x)dx- ограничен, тогда ∫(f(x)*g(x))dx сходится.
a a
(для док-ва необходимо обе части выражения (1) рассмотреть по модулю)
Понятие абсолютной сходимости Опр: Будем говорить что ( , b – особ.тчк) абсолютно сход-ся, если сх-ся ( ) и условно если сам исх-й инт-л сход-ся, а ( ) – расходится. ■ Теорема Если интеграл сход-ся абсол-но то он сх-ся и в обычном смысле. Док-во: По свойствам интег-в | |<= ■
Замена
в несоб-м интеграле=если строго
монотон-я Док-во:=(по
опр-ю)= =(тк —
непрер.
и строго монт-я => —
непрер. и монт-я) = =(—
непрер-я)= (по
св-вам предела)= =■.
25.Признак сходимости (Достаточное условие)
Признак Коши — сходится
— сходится (b – особая точка)
ДОК: => из ОПР сходимости несобственных интегралов и критерия Коши (сходимость на ∞ и в т.)
26.Числовой ряд. Сходимость и расходимость числового ряда. Необходимый признак сходимости.
Рассмотрим бесконечную числовую последовательность
а1 ,а2 , …, аn , …и образуем из элементов этой посл-ти выражение вида
а1 +а2 + …+ аn + …= {1;∞}∑ аn
Это выражение принято называть числовым рядом.
Сумму
первых n
членов данного ряда будем называть
n-ой частичной
суммой данного ряда и обозначать Sn.
Ряд из аnназывается сходящимся, если сх-ся посл-ть { Sn} его частичных сумм. При этом lim Sn называется суммой данного ряда.
Если
(n->∞)lim
S
Следтвие(необходимое условие сходимости ряда):
Для сх-ти ряда {1;∞}∑ аnнеобходимо, чтобы посл-ть его членов являлась б.малой.
Док-во:
Достаточно док-ть, что для данного
сходящегося ряда и любого ε>0
найдется номер N0 такой, что при n>=N0 │an│<ε.
Пусть дано любое ε>0.
Согласно критерию Коши для ряда найдется
такой номер N, что при n>=N и для любого
натурального p выполняется неравенство
{n;n+p}│∑ ak │
< ε.
В частности, при p=1 │an+1│<ε (*) (при n>=N).
Если теперь положить номер
N
Опр1: ┘Дана числовая последовать {an} n прин Z. Выражение вида a1+a2+..+an=об=(1) и называть числовым рядом (an— общ. чл. ряда). Sk= — будем называть частичной суммой ряда. Опр2: Будем говорить, что ч. ряд (1) сходится и его сумма = S, если сходится послед-ть частичных сумм ряда и и расходится если не сущ-ет предел послед-ти частич-х сумм или ■. Пример1: an=a1+(n-1)d ┘a1=1, d=2, Рассмотрим послед-ть частичных сумм {Sk} k прин Z. S1=a1=1 S2=a1+a2=1+3=4 S3=a1+a2+ a3=1+3+5=9 S4=a1+a2+
.+an=(a1+an)n/2=
a1+an+(n-1)d*n/2=
1+1+(n-1)2*n/2=n2.
{Sk}
1,4,9,16,..,n2 =>
ряд расх-ся■. Пример2: an=(-1)n Рассмотрим послед-ть частичных сумм
S1=-1
S2=-1+1=0
S3=-1+1-1=-1
S4=0
{Sk}=-1,0,-1,0
предела не сущ. =>
ряд
расх-ся■. Пример3: an=(1/2)n геом.
прогр.
S1=1/2
S2=1/2+1/4=3/4
S3=1/2+1/4+1/8=7/8
S4=1/2+1/4+1/8+1/16=15/16
Sn=a1(1-q)n/(1-q)=(1/2)*(1-1/2)/(1/2)n {Sk}=1/2,3/4,7/8,15/16,..,(1-1/2)n=1
=1.
■ Замечание: Зная все
частичные суммы можно восста-ть вид
ряда. a1=S1 a2=S2-S1 a3=S3-S2 … an=Sn-Sn-1 ■ Исследование
поведения ч.
рядов сводится к исследованию
поведения их сумм. ■1)Т1.(необходимые условия): Если числовой ряд (1) – сходится то .Док-во: an=Sn-Sn-1 т.к. ряд сходится ; => = = .
Замечание: Условие является только необходимым но не достаточным: если не следует что ряд сходится, но если или не существует, то ряд расходится.Пример: , не существует => ряд расходится.
2)Т2: пусть и -сходятся, тогда сходится и ряд = + => справедливо только для сходящихся.
Док-во: Sn= ; σn= , тогда =
Пусть и тогда = (свойства пределов)= = αS+βσ.
3)Опр: Rn= — остаток ряда (составлен из Sn – частичных сумм), т.е. Rn= —
Т3. (Об остатке): Если ряд сходится, то .
Док-во:
,
тогда по опред. Rn=S-Sn ;
=
=
=0.
Утверждение: отбрасывание конечного числа членов ряда не виляет на его сходимость.
4)Т4.(Критерий Коши): ; ряд сходится.
Док-во: т.к. исследование сходимости рядов эквивалентно исследованию сходимости последовательностей {Sn}, то из кр.Коши для последовательностей => кр.Коши для рядов. {Sn} – сходится.
= =
Замечание: ряд расходится
Пример: — гармонический ряд. n’=n; p’=n; ε0=1/2. = . (по кр.Коши) ряд расходится. — расходится.
Суммируемость по Абелю
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Abel.htmlАбель
суммируемость является обобщенным критерием сходимости степенных рядов.
Он расширяет обычное определение суммы ряда и дает
способ суммирования некоторых расходящихся рядов.
Давайте начнем с
ряд ∑n=0∞an, сходящийся или нет, и использовать этот ряд
определить серию мощности
| f(r)=∑n=0∞anrn. |
Обратите внимание, что при |r|<1 суммируемость f(r) достигается легче, чем суммируемость оригинальный сериал. Исходя из этого наблюдения, мы говорим, что серия ∑an равна суммируемая по Абелю если определяющий ряд ибо f(r) сходится при всех |r|<1, а если f(r) сходится к некоторый предел L при r→1-. Если это так, то мы скажем что ∑an Abel сходится к L.
Конечно, важно спросить, является ли обычный сходящийся ряд также суммируема по Абелю и сходится ли она к тому же пределу? Это верно, и результат известен как предельная теорема Абеля, или просто как теорема Абеля.
Теорема 1 (Абель)
Пусть ∑n=0∞an — ряд; пусть
| sN=a0+⋯+aN,N∈ℕ, |
обозначают соответствующие
частичные суммы; и пусть f(r) — соответствующий степенной ряд
определено, как указано выше.
Если ∑an сходится, то в
обычном смысле, что sN сходятся к некоторому пределу L как
N→∞, то ряд также суммируем по Абелю и
f(r)→L при r→1-.
Стандартный пример расходящегося ряда, который, тем не менее, является абелевым. суммируемым является знакопеременный ряд
| ∑n=0∞(-1)n. |
Соответствующая серия мощности:
| 11+r=∑n=0∞(-1)nrn. |
С
| 11+r→12 as r→1-, |
этот иначе расходящийся ряд Абеля сходится к 12.
Теорема Абеля является прототипом ряда других теорем о сходимости, которые в анализе известны как абелевы теоремы. Важным классом ассоциированных результатов являются так называемые Тауберовы теоремы. Они описывают различные критерии сходимости и иногда обеспечивают частичные обращения для различных абелевых теорем.
Общее обращение к теореме Абеля неверно, как в приведенном выше примере.
иллюстрирует 1 1 Мы хотим, чтобы обратное было ложным; вся идея
заключается в описании метода суммирования некоторых расходящихся рядов!.
Однако в 1890-х гг.
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/ history/Mathematicians/Tauber.htmlТаубер
доказано следующее частичное обращение.
Теорема 2 (Таубер)
Предположим, что ∑an — ряд, суммируемый по Абелю, и что nan→0 при n→∞. Тогда ∑нан сходится и в обычном смысле.
Доказательство приведенной выше теоремы несложно, но и не может быть сказал о более общих тауберовых теоремах. Самый известный из них принадлежат Харди, Харди-Литтлвуду, Вайнеру и Икехаре. В целом случаях вывод состоит в том, что некоторый ряд или некоторый интеграл сходится. Однако доказательства длинны и требуют изощренные техники. Особого внимания заслуживает теорема Икехары. потому что он используется для доказательства теоремы о простых числах.
| Написание доказательств | ||||
| Советы по математическому письму | Примеры доказательств по индукции | Доказательства целочисленности биномиальных коэффициентов | Четко определенные функции | |
| Теория групп | ||||
| Почему группы? | Знак перестановок | Головоломка «Пятнадцать» (и кубик Рубика) | Порядок элементов | |
| Подгруппы циклических групп | Подгруппы Z /( стр a ) × Z /( p b ) | Цикличность ( Z / ( p )) × | Косеты и теорема Лагранжа | |
| Частные группы | Гомоморфизмы | Изоморфизмы | Нет подгруппы A 4 не имеет индекса 2 | |
| Группы порядка 4 и 6 | Группы порядка 12 | Группы заказа р 2 | Группы заказа р 3 | |
| Группы порядка 16 | Обобщенные кватернионы | Генераторные установки | Спряжение в группе | |
| 2-параметрическая неабелева группа | Двугранные группы I | Двугранные группы II | Изометрии самолет и комплексные числа | |
| Изометрии самолет и линейная алгебра | Изометрии Р Н | СЛ 2 ( Р ) | СЛ 2 ( З ) | |
| Доказательство теоремы Коши | Следствия теоремы Коши | Разложение конечных абелевых групп | Групповые действия | |
| Транзитивные групповые действия | Теоремы Силова (доказательство) | Следствия теорем Силова | Еще о теоремах Силова | |
| Когда все группы порядка n являются циклическими? | Простота A n | Простота PSL n ( F ) | Характеры конечных абелевых групп | |
| Характеры конечных абелевых групп (краткая версия) | Полупрямые продукты | Подгруппа серии I | Подгруппа серии II | |
| Разбиение коротких точных последовательностей на группы | Теорема Шура-Цассенхауза | Релятивистское сложение и теория групп | Эшер Печать Галерея и факторгруппы | |
| Теорема Машке об общих полях | Представления аффинной группы и группы Гейзенберга над конечными полями | Степень не может делить размер группы | Почему текстовые задачи сложны | |
| Теория колец | ||||
| Теорема деления в Z и R [ T ] | Подсчет корней многочленов | Стандартные определения колец | Заметки об идеалах | |
| Испытания на неприводимость в Q [ T ] | Неприводимое число, которое факторизуется по модулю всех простых чисел | Неприводимость x n — x — 1 | Норма Гаусса и лемма Гаусса | |
| Замечания о Евклидовы домены | Нётеровы кольца | Симметричные полиномы | Приложения уникальной факторизации | |
| Нильпотенты, единицы и делители нуля многочленов | Максимальные идеалы в кольцах многочленов | Примитивные векторы и SL n | лемма Цорна (в теории групп, теории колец и линейной алгебре) | |
| Алгебры | Кватернионные алгебры | |||
| Линейная/полилинейная алгебра | ||||
| Измерение | Минимальный полином | Одновременная коммутативность операторов | Потенциально диагонализируемые операторы | |
| Полупростые операторы | Дифференциальные уравнения и линейная алгебра | Линейные рекурсии по всем полям | Норма матрицы | |
| Пифагорейское происхождение | Теорема Пфистера о суммах квадратов | Теорема Гурвица о суммах квадратов (от линейная алгебра) | Теорема Гурвица о суммах квадратов (от теория представлений) | |
| Суммы квадратов в Q и F ( T ) | Введение в модули | Модули через PID | Одновременно выровненные базы | |
| Стабильно бесплатные модули | Нётеровы модули | Двойные модули | Бесконечномерные дуальные пространства | |
| Билинейные формы | Универсальные тождества I | Универсальные тождества II | Разбиение коротких точных последовательностей на модули | |
| Комплексификация | Тензорные произведения I | Тензорные произведения II | Внешние полномочия | |
| Расширение базы и внешние силы | ||||
| Поля и теория Галуа | ||||
| Корни и неприводимые многочлены | Корни по кругу | Простые радикальные расширения | Конечные поля | |
| След и норма, я | След и норма, II | Разделяемые расширения | Идеальные поля | |
| Построение алгебраических замыканий I | Построение алгебраических замыканий, II | лемма Цорна (с полями) | Разделение полей | |
| Сепарабельные расширения и тензорные произведения | Разделяющие поля и тензорные произведения | переписка Галуа | Примеры переписки Галуа | |
| Приложения теории Галуа | Группы Галуа как группы перестановок | Теоремы соответствия Галуа | Группы Галуа кубик и квартик (не характер 2) | |
| Группы Галуа кубик и квартик (все характеристики) | Циклотомические расширения | Распознавание групп Галуа S n и A n | Линейная независимость персонажей | |
| Теорема Артина-Шрайера | Спуск Галуа | |||
| Элементарная теория чисел | ||||
| Теорема деления в Z и F [ T ] | Делимость и наибольший общий делитель | Делимость без тождества Безу | Модульная арифметика | |
| Модульная арифметика (короткая версия) | Уникальная факторизация в Z и F [ T ] | Аналогии между Z и F [ T ] | Универсальный тест на делимость | |
| Пифагоровы тройки | Маленькая теорема Ферма | тест Ферма | Теорема Эйлера | |
| Заказы в модульной арифметике | Теория чисел и криптография | Китайская теорема об остатках | Числа Кармайкла и критерий Корсельта | |
| Когда -1 является квадратом простых чисел по модулю? | Бесконечность простых чисел | Шаблоны в простых числах | Квадратные узоры и бесконечно много простых чисел | |
| «Топологическое» доказательство бесконечности простых чисел | Тест Соловея-Штрассена | Тест Миллера-Рабина | Испытания на неприводимость в F p [ T ] | |
| уравнение Пелла, I | Уравнение Пелла, II | Отрицание и обращение цепных дробей | Гауссовы целые числа | |
| Факторинг в квадратичных полях | Суммы двух квадратов и решеток | Доказательства по происхождению | Пример спуск по Эйлеру | |
| Проблема с конгруэнтными числами | Арифметические прогрессии трех квадратов | Арифметические прогрессии четырех квадратов | Шаблоны квадратичных вычетов по простому модулю | |
| Квадратичная взаимность в странная характеристика | Квадратичная взаимность в характеристика 2 | |||
| Алгебраическая теория чисел | ||||
| Примеры Уравнение Морделла | Факторинг в квадратичных полях | Уникальная факторизация идеалов | Факторинг идеалов по Дедекинду | |
| Теорема Дедекинда об индексе | Дискриминанты и разветвленные простые числа | Полностью разветвленные простые числа и многочлены Эйзенштейна | Кольца целых чисел без степенного базиса | |
| Кольцо целых чисел в радикальном расширении | Несвободное относительное целочисленное расширение | Идеальные классы и граница Кронекера | Расчеты группы классов по границе Минковского | |
| Идеальные классы и относительные целые числа | Идеальные классы и SL 2 | Идеальные классы и сопряжение матриц над Z | Единичная теорема Дирихле | |
| Единичная теорема Шевалле | Существование элементов Фробениуса (d’après Frobenius) | Группы Галуа над Q и факторизация по модулю p | Простые числа степени 1 и условия сравнения | |
| Евклидовы доказательства теоремы Дирихле | Неприводимость усеченных экспонент | Группа Галуа x n — x — 1 над Q | Другой идеал | |
| Идеал проводника порядка | Суммы Гаусса и Якоби на конечных полях и Z / m Z | L -функции для сумм Гаусса и Якоби | Инварианты поля расщепления куба I | |
| Инварианты поля расщепления куба II | Инварианты поля расщепления кубики III | Инварианты поля расщепления кубики IV | Инварианты поля расщепления куба, V | |
| Теорема Островского для Q | Теорема Островского для К ( и ) | Теорема Островского для Ф ( Т ) | Теорема Островского для числовые поля | |
| p -адическое расширение рациональных чисел | Биномиальные коэффициенты и p -адические пределы | p -адические гармонические суммы | лемма Гензеля | |
| Многомерная лемма Гензеля | Эквивалентность абсолютных значений | Эквивалентность норм | Локально-глобальный принцип | |
| Единицы с простыми степенями и конечные подгруппы GL n ( Q ) | Группа символов Q | Полевые автоморфизмы R и Q p | Бесконечная серия в p -адических полях | |
| Расширения Малера | Применение теоремы Штрассмана | Интегральные решения x 3 — 2 y 3 = 1. | ||
Если вы найдете типографский или
другие ошибки в этих файлах или есть комментарии,
пожалуйста, дайте мне знать. Файлы, которые были изменены, будут повторно опубликованы
без каких-либо указаний на то, что они были изменены (извините).