Разложить на множители число онлайн калькулятор: Онлайн калькулятор. Разложение числа на множители

Разложение числа на множители — калькулятор онлайн | Математика

Создан: 01.03.2020 | Категория: Математика

Факторизация числа

подробнее

РазложитьОчистить ввод

❓Инструкция

 Калькулятор для разложения числа на множители с поддержкой больших чисел. Факторизация натурального числа с решением.

 Как пользоваться:

 В единственное поле требуется ввести натуральное число, которое необходимо разложить на множители.
 Нажать на кнопку «Разложить».
 Получить результат

 Галочка «Подробнее» указывает калькулятору выдать не только ответ, но и этапы работы алгоритма.

Ограничения:

 Число на входе должно быть натуральным.
 Максимальная длина введенного числа в символах — 35.

Так как данный метод факторизации фактически является перебором, то в каких-то определенных случаях (когда очередной делитель — большое число) калькулятор может работать долго, в связи с этим вычисления калькулятором прекращаются, если для очередного простого делителя потребовалось выполнить более 200 000 итераций.

Подробнее об алгоритме в разделе теория.

📖 Теория

 Рассмотрим еще один алгоритм разложения числа на множители. До этого мы разбирали метод факторизации Ферма. Узнали о слабых и сильных сторонах алгоритма. Текущий алгоритм является интуитивно понятным в отличие от Ферма, так как в какой-то степени является перебором.

 Алгоритм

На входе алгоритма имеем натуральное число n.

1. Методом перебора найдем наименьшее простое число, на которое делится n.
2. Поделим n на найденное простое, для полученного частного аналогично пункту 1 найдем наименьшее простое число, на которое делится частное и поделим.
3. Повторяем действия до тех пор, пока в частном не получим 1.

 В разделе «Примеры» можно на примере разобрать работу алгоритма. Обратим внимание на пункт 1. Простые делители мы находим методом перебора, в связи с этим алгоритм в некоторых случаях может работать долго.

➕ Примеры

 Рассмотрим в качестве примера натуральное число n = 1512.

1. Нетрудно заметить, что наименьшее простое число, на которое делится 1512 — это 2;
2. Поделим 1512 на 2, получим в частном 756. Теперь n = 756, аналогично находим наименьшее простое число и это снова 2.
3. Делим 756 на 2 получаем в частном 378. Опять же наименьший простой делитель 378 — это 2. Делим и получаем 189.
4. Получили нечетное число, а 2 не делит нечетное число. Наименьшим простым делителем числа 189 является 3, делим и получаем 63.
5. И снова нечетное число и наименьшим простым делителем является 3. Делим и получаем в частном 21.
6. Для 21 наименьшим простым делителем является 3. Делим и получаем 7.
7. Число 7 — является простым, это значит, что наименьший простой делитель 7 — это само число 7.
8. Делим 7 на 7 и получаем в частном 1. В частном получили 1, а значит алгоритм завершает свою работу. Все простые делители всех этапов формируют список простых множителей числа 1512.

 Итого: 1512 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 7

Удобнее всего писать данные в виде таблицы, где левая колонка — частные, а права — наименьшие простые делители.

Делимое	Простой делитель
1512	2
756	2
378	2
189	3
63	3
21	3
7	7
1

 Правая колонка — все простые множители числа 1512.

Заметили неточность в работе калькулятора? Убедительная просьба сообщить об этом в комментариях или через форму обратной связи. Заранее Вас благодарим.

Метод факторизации Ферма онлайн

Данный онлайн калькулятор производит разложение чисел (факторизация) методом Ферма. Для разложении числа на множители методом Ферма, введите в калькулятор факторизируемое число, количество шагов и нажмите на кнопку «Решить». Подробнее о методе разложения Ферма посмотрите ниже.

 Результат уже получен!

Метод Ферма − теория

Метод Ферма для разложения числа на множители основывается на следующем утверждении:

Утверждение 1. (метод факторизации Ферма). Пусть n>1 нечетное число¹) и пусть оно представлено в виде произведения двух натуральных множителей:

n=a·b

(1)

¹) В данной статье под словом число будем понимать натуральное (целое положительное) число.

Тогда n может быть представлен в виде разности квадратов двух чисел:

n=x2−y2,  (x>y)

(2)

Обратно. Пусть n>1 нечетное число и пусть оно представляется в виде разности двух квадратов (2). Тогда n можно представить в виде произведения двух чисел.

Доказательство. Пусть n представлен в виде (1). Произведение ab можно представить в следующем виде:

Тогда

где

Пусть теперь n представлен в виде разности квадратов двух чисел, т.е. в виде (2). Тогда можно записать

n=x2−y2=(x+y)(x−y)=ab,

где

a=x+y, b=x−y.

(4)

Данное утверждение дает возможность разложить нечетное число на два множителя. Отметим, что множители могут быть как простыми, так и составными.

Для разложения числа n на множители (факторизации) методом Ферма, нужно вычислить квадратный корень от n: s₁=√n. Выбрать наименьшее натуральное число больше s₁:s=⌈s₁⌉=⌈√n⌉. Задать k=0,1,… и вычислить x=s+k, l=x²−n и выяснить, является ли число l полным квадратом какого-то натурального числа y. Если l²=y, то остановить процедуру. Получить множители числа n: a=x+y, b=x−y. Если l не является квадратом некторого натурального числа, то увеличить k на 1: k=k+1, вычислить x=s+k, l=x²−n и повторить процедуру.

Метод факторизации Ферма − алгоритм

• Вход: Натуральное нечетное число
  n>1
• Выход: Натуральный делитель a.

1. Вычислить наименьшее целое число s такое, что s²≥ √n, т.е. s=⌈√n⌉.
2. Если s²=n, то a=s и завершить алгоритм.
3. Взять x=s, l=x²−n и счетчик шагов k=0.
4. Если l является полным квадратом, то вычислить y=√l , a=x+y и закончить алгоритм.
5. Вычислить k=k+1, x=x+1, l=x²−n. Перейти к пункту 4.

Другой делитель числа n равно b=n/a.

Покажем, что количество шагов алгоритма не превосходит величины

Имеем x=s+k. Тогда k=x−s. Учитывая, что a=x+y

, получим k=x−s=a−y−s. Так как справедливо неравенство a>s>b, имеем

Следовательно

Отметим, что процедуру разложения можно оптимизировать. Вместо вычисления на каждом шаге квадрат x² в выражении l=x²−n, можно вычислить в начале процедуры x₀=s, , а на следующих шагах

Рассмотрим метод Ферма на конкретных примерах.

Метод факторизации Ферма − примеры и решения

Пример 1. Разложить число n=517 на множители.

Решение. Находим наименьшее целое число s такое, что , то есть . Далее задавая k=0,1,… вычисляем l=(s+k)²−n. Если на каком то шаге l является квадратом натурального числа, то процедуру останавливаем:

При k=6 получили l=324, который является квадратом числа 18. Останавливаем процедуру и вычисляем множители a=x+y=29+18=47 и b=x−y=29−18=11. Таким образом разложение числа 517 имеет следующий вид: 517=47·11.

Ответ. 517=47·11.

Пример 2. Разложить число n=43 на множители.

Решение. Находим наименьшее целое число s такое, что , то есть . Далее задавая k=0,1,… вычисляем l=(s+k)²−n. Если на каком то шаге l является квадратом натурального числа, то процедуру останавливаем:

При k=15 получили l=441, который является квадратом числа 21. Останавливаем процедуру и вычисляем множители a=x+y=22+21=43 и b=x-y=22-21=1. Таким образом разложение числа 43 имеет следующий вид: 43=43·1. Это значит, что число 43 является простым числом.

Ответ. Число 43 простое.

Отметим, что метод Ферма эффективно работает, когда множители близки к числу s=√n.

При проверке, является ли число l полным квадратом необходимо вычислить квадратный корень из большого целого числа. Мы могли бы использовать для этого алгоритм Нютона. Но это очень медленная операция. Поэтому для повышения производительности алгоритма мы рассмотрим алгоритм вычисления целозначного квадратного корня от натурального числа.

Алгоритм вычисления целозначного квадратного корня от натурального числа

• Вход: Натуральное число n>0
• Выход: Натуральное число q, удовлетворяющее неравенству q²≤n<(q+1)².

1. Взять x=n
2. Вычислить .
3. Если y<x, то положить x=y и перейти к шагу 2.
4. Положить q=x и завершить алгоритм.

Докажем, что приведенный алгоритм находит целое число q такое, что q²≤n<(q+1)², т.е. q=⌊√n⌋.

Пусть x, n>0. Из неравенства следует, что

или

Тогда . Отсюда следует:

или

Таким образом, на каждом шаге алгоритма x≥q (так как ). Третий шаг алгоритма показывает, что последваптельность значений x убывает. Покажем, что алгоритм остановится тольно при x=q.

Предположим, что это не так и что на некотором шаге y≥x алгоритм остановлен, но x≠q, т.е. x>q.

Вычислим

Так как x>q, то x²>q². Поскольку x целое число, то x²≥(q+1)². Но (q+1)²>n. Следовательно x²>n. Тогда из уравнения (6) следует, что

y−x<0, что противоречит нашему начальному предположению y≥x.

Пример. Найти целозначный корень числа n=129.

Решение.

Присвоим x=n=129. Вычислим

Так как y<x, то присвоим x=65. Вычисляем:

Так как y<x, то присвоим x=33. Вычисляем:

y<x. Присвоим x=18. Вычисляем:

y<x. Присвоим x=11. Вычисляем:

y=x. Останавливаем алгоритм. x=11 целозначный корень от числа 129, квадрат которого не превосходит 129.

Ответ..

Калькулятор факторинга

+ онлайн-решатель с бесплатными шагами

Калькулятор факторинга — это онлайн-инструмент, который используется для деления числа на все соответствующие ему множители. В качестве альтернативы множители можно рассматривать как делители числа.

Каждый номер имеет ограниченное количество компонентов. Введите выражение в поле ниже, чтобы использовать факторинговый калькулятор .

Что такое факторинговый калькулятор?

Калькулятор факторинга — это онлайн-калькулятор, используемый для факторизации многочленов или деления заданных многочленов на более мелкие единицы.

Члены делятся таким образом, что при перемножении двух более простых членов получается новое полиномиальное уравнение .

Сложная задача обычно решается с использованием метода факторизации , чтобы ее можно было записать в более простых терминах. Наибольший общий множитель, группировка, общие трехчлены, разность двух квадратов и другие методы могут быть использованы для факторизации многочленов .

целых чисел , которые перемножаются для получения других целых чисел, известны как f актеров в умножении .

Например, 6 x 5 = 30. В этом случае делители 30 равны 6 и 5. Делители 30 также включают 1, 2, 3, 10, 15 и 30.

Целое число an по сути является коэффициентом «a» другого целого числа «b», если «b» можно разделить на «a» без остатка. При работе с дробями и попытках выявить закономерности в числах решающее значение имеют множителей .

Процесс простого факторизации состоит из определения простых чисел, которые при умножении дают желаемый результат. Например, простая факторизация из 120 дает следующее: 2 × 2 × 2 × 3 × 5. При определении простой факторизации чисел может быть полезно дерево факторов.

Из простого примера числа 120 видно, что простая факторизация может очень быстро утомить. К сожалению, алгоритма простой факторизации, который был бы эффективен для действительно больших целых чисел, пока не существует.

Как пользоваться калькулятором факторинга

Вы можете использовать калькулятор факторинга , следуя приведенным подробным инструкциям, и калькулятор предоставит вам нужные результаты. Вы можете следовать этим подробным инструкциям, чтобы получить значение переменной для данного уравнения.

Шаг 1

Введите желаемое число в поле ввода калькулятора факторинга.

Шаг 2

Нажмите кнопку «FACTOR» , чтобы определить коэффициенты заданного числа, а также полное пошаговое решение для Отобразится калькулятор факторинга .

Нахождение делителей заданного целого числа упрощается с помощью калькуляторов факторинга. Факторы — это те числа, которые перемножаются вместе, чтобы получить исходное число. Есть как положительные, так и отрицательные факторы. Если исходное число разделить на множитель, остатка не будет.

Как работает факторинговый калькулятор?

Калькулятор факторинга работает путем определения коэффициентов заданного числа. Факторы — это те числа, которые перемножаются вместе, чтобы получить исходное число. Есть оба положительные и отрицательные факторы . Если исходное число разделить на множитель, остатка не будет.

Важно иметь в виду, что множитель всегда будет равен или меньше заданной суммы всякий раз, когда мы факторизуем число. Кроме того, каждое число имеет по крайней мере два компонента, кроме 0 и 1. 1 и само число это.

наименьший возможный множитель числа равен 1. У нас есть три варианта определения множителей числа: деление, умножение или группировка.

Коэффициенты нахождения

• Исходное число выражается как произведение двух элементов с использованием метода умножения . Исходное число может быть выражено как произведение двух чисел различными способами. В результате каждый отдельный набор чисел используется для создания продукта, который будет его фактором.
• При использовании метода деления исходное число делится на все меньшие или равные значения. Фактор будет создан, если остаток равен нулю. 92)\].

  Ответ равен исходному выражению, когда мы умножаем его для проверки. Однако фактор x по-прежнему присутствует в каждом члене. В результате выражение не было учтено полностью.

  Хотя это уравнение частично учитывается, оно все же учитывается. 2x$ + 2ay и видим, что факторизация верна. 92x$ + 2ay = a(ax+2y)

  3(ax+2y) + a(ax+2y) — задача факторизации.

  В данном случае использовалось разложение по группам, потому что мы «сгруппировали» термины по два.

  Список математических калькуляторов

  Калькулятор факторов — примеры, онлайн-калькулятор факторов

  Калькулятор факторов вычисляет коэффициенты заданного числа таким образом, что при умножении значений факторов друг на друга мы получаем исходное число. Множитель можно определить как целое число, которое делит заданное число точно, не оставляя остатка.

  Что такое калькулятор факторов?

  Калькулятор коэффициентов — это онлайн-инструмент, который помогает найти коэффициенты для заданного числа. Мы можем вычислить делители числа как делением, так и умножением. При перемножении множителей получается исходное число. Чтобы использовать этот калькулятор коэффициентов , введите значение в поле ввода.

  Калькулятор коэффициентов

  ПРИМЕЧАНИЕ. Введите значение, не превышающее трех цифр.

  Как пользоваться калькулятором коэффициентов?

  Выполните следующие простые шаги, чтобы рассчитать коэффициенты данного числа с помощью онлайн-калькулятора коэффициентов:

  • Шаг 1: Перейдите к онлайн-калькулятору коэффициентов Cuemath.
  • Шаг 2: Введите число в поле ввода калькулятора коэффициентов
  • Шаг 3: Нажмите кнопку «Найти» , чтобы найти коэффициенты.
  • Шаг 4: Нажмите кнопку «Сброс», чтобы очистить поля и ввести новые значения.

  Как работает калькулятор коэффициентов?

  Предположим, мы умножаем два целых числа. Это дает нам продукт. Эти два числа также известны как множители произведения. Фактор числа будет целым числом. Десятичные дроби и дроби не могут быть делителями числа. Число 2 всегда будет одним из делителей четного числа. Если число имеет 5 в разряде единиц, то 5 всегда будет делителем такого числа. Предположим, что число больше нуля имеет 0 на месте единиц. Тогда 2, 5 и 10 обязательно будут делителями такого числа. Одним из лучших способов решения алгебраических выражений является их факторизация. Ниже приведены шаги для факторизации числа с использованием метода умножения.

  1. Выразите число как произведение двух чисел.
  2. Найдите все возможные уникальные комбинации, чтобы записать данное число как произведение двух целых чисел.
  3. Перечислите все эти комбинации без повторения.
  4. Числа, используемые в различных продуктах, дадут нам коэффициенты данного числа.

  Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?

  Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы. С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.

  Запишитесь на бесплатный пробный урок

  Решенные примеры на калькуляторе коэффициентов

  Пример 1:

  Перечислите коэффициенты числа 28 и проверьте их с помощью калькулятора коэффициентов.

  No related posts.