Математика. Разложение на множители. Признаки делимости
Рассмотрим дробь
$\dfrac{1092}{1638}$.
Спрашивается: можно ли ее сократить и, если можно, то как? Поиском ответа на подобного рода вопросы мы сейчас и займемся.
Простые и составные числа
До сих пор задачи на умножение для нас заключались в том, чтобы по двум или нескольким сомножителям найти их произведение. Теперь попробуем решить обратную задачу. Нам дано какое-то натуральное число, и от нас требуется разбить его на множители, то есть подобрать такой пример на умножение с натуральными числами, результатом которого как раз является данное число. Вообще говоря, эта задача может иметь несколько решений. Например, число $30$ можно разбить на множители следующими пятью способами:
$\begin{align} &30 = 1 \cdot 30;\\ &30 = 2 \cdot 15;\\ &30 = 3 \cdot 10;\\ &30 = 5 \cdot 6;\\ &30 = 2 \cdot 3 \cdot 5. \end{align}$
Вместе с тем, число $31$ разбивается на множители единственным способом:
Можно еще менять сомножители местами, но мы условимся считать, что это не прибавляет новых способов. Также не добавляет новых способов умножение на единицу. Смысл следующих записей является для нас совершенно одинаковым:
$\begin{align} &31 = 1 \cdot 31;\\ &31 = 31 \cdot 1;\\ &31 = 1 \cdot 31 \cdot 1. \end{align}$
Говорят, что натуральное число $k$ кратно натуральному числу $d$, если $k$ можно разбить на множители таким образом:
$k = n \cdot d$,
где $n$ — тоже какое-то натуральное число. При этом число $d$ называется делителем числа $k$.
Например, число $30$ кратно каждому из восьми своих делителей: $1$, $2$, $3$, $5$, $6$, $10$, $15$ и $30$, в то время как число $31$ кратно только двум числам: $1$ и $31$.
Натуральное число, у которого есть в точности два различных делителя, называется простым. (При этом неизбежно оказывается, что один из делителей — это единица, а второй делитель равен самому этому числу.) Например, простым является число $31$.
Давайте выпишем первые несколько натуральных чисел и посмотрим, какие из них простые, а какие составные:
$1$ — не является ни простым, ни составным, потому что у него только один делитель;
$2$ — простое;
$3$ — простое;
$4 = 2 \cdot 2$ — составное;
$5$ — простое;
$6 = 2 \cdot 3$ — составное;
$7$ — простое;
$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2$ — составное;
$9 = 3 \cdot 3$ — составное;
$10 = 2 \cdot 5$ — составное;
$11$ — простое;
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ — составное;
$13$ — простое.
Процедура разложения на простые множители
Напомню, что мы начали эту главу с задачи о том, как можно сократить дробь
$\dfrac{1092}{1638}$.
Мы уже на полпути к ответу. Давайте разложим на простые множители числитель и знаменатель этой дроби и выясним, что из этого получится.
Прежде всего рассмотрим числитель, то есть число $1092$. Попытаемся найти какой-либо его делитель. Для этого будем брать все числа подряд и проверять, не подойдут ли они в качестве делителя. Начнем с двойки. Просто поделим наше число на $2$:
$\dfrac{1092} {2} = 546$.
В результате получилось целое число. Значит, двойка действительно является делителем, и мы можем разложить наше число на множители в таком виде:
$1092 = 2 \cdot 546$.
Возьмем второй сомножитель в этом выражении и проверим его на делимость на двойку:
$\dfrac{546} {2} = 273$.
Результатом снова оказалось целое число. Разложение на множители можно продолжить следующим образом:
$1092 = 2 \cdot 2 \cdot 273$.
Далее, опять берем из полученного выражения последний сомножитель и выясняем, не кратен ли он двойке:
$\dfrac{273} {2} = 136\dfrac{1}{2}$.
На этот раз мы не получили целого числа. Следовательно, на этот раз на роль очередного делителя двойка не подходит. Пробуем тройку:
$\dfrac{273} {3} = 91$.
Тройка подошла. Значит, мы можем записать так:
$1092 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 91$.
Проверяем тройку повторно:
$\dfrac{91}{3} = 30\dfrac{1}{3}$.
Тройка больше не подходит. Берем четверку? Нет, четверку проверять не нужно. Четверка — это составное число, в «состав» которого входят две двойки:
$4 = 2 \cdot 2$.
Мы уже знаем, что число $91$ на двойку не делится. Следовательно на число ${2 \cdot 2}$ оно не делится и подавно. По аналогичной причине, нам вообще не нужно проверять делимость на какие-либо составные числа. Пропускаем четверку и устраиваем проверку следующему простому числу, то есть пятерке:
$\dfrac{91}{5} = 18\dfrac{1}{5}$.
Пятерка не подошла. Шестерку, как составное число, пропускаем. Следующий «кандидат» в делители — это семерка:
$91 / 7 = 13$.
Семерка подходит. Разложение на множители принимает вид:
$1092 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13$.
Надо ли нам теперь проверять последний множитель ($13$) на делимость на $7$? Нет, не надо.
Это не надо делать по той причине, что $13$ меньше, чем $7 \cdot 7$:
$13 < 7 \cdot 7 = 49$.
Все числа, которые меньше, чем $49$, и которые при этом делятся на $7$, можно записать в виде ${n \cdot 7}$, где $n$ — какое-то натуральное число, которое должно быть меньше, чем $7$. Но все такие числа мы уже проверили и выяснили, что на роль делителей они не подходят. Значит, число $13$, будучи меньше, чем $49$, не может делиться на семерку. По этой же причине нет смысла проверять, делится ли $13$ на числа, которые больше $7$. Отсюда мы заключаем, что $13$ — простое число. И действительно, в списке чисел, который мы выписали выше, оно значится как простое. Вообще, процедуру разложения на множители следует прекращать тогда, когда «кандидат» в делители (в данном случае $7$), умноженный сам на себя (${7 \cdot 7}$), оказывается больше, чем последний (то есть самый большой) множитель разложения ($13$).
Итак, мы разложили числитель дроби
$\dfrac{1092}{1638}$
на простые множители:
$1092 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13$.
С помощью точно такой же процедуры раскладываем на простые множители знаменатель и получаем:
$1638 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13$.
Теперь, чтобы сократить дробь, достаточно просто вычеркнуть пары одинаковых чисел сверху и снизу:
$\require{cancel}\dfrac{1092}{1638} = \dfrac{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13}{2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13} = \dfrac{\cancel{\,2\,} \cdot 2 \cdot \cancel{\,3\,} \cdot \cancel{\,7\,} \cdot \cancel{13}}{\cancel{\,2\,} \cdot \cancel{\,3\,} \cdot 3 \cdot \cancel{\,7\,} \cdot \cancel{13}} = \dfrac{\,2\,}{3}\,$.
Замечание. Мы заодно убедились в справедливости так называемой основной теоремы арифметики: всякое натуральное число, которое больше двух, можно единственным образом представить в виде произведения простых чисел. (При этом формально считается, что произведение может состоять всего из одного сомножителя. Именно такие «усеченные» произведения получаются, когда мы раскладываем на множители простые числа.
)
Разумеется, не всякая дробь может быть сокращена, но это становится ясно опять-таки после того, как мы раскладываем числитель и знаменатель на простые множители. Вот пример такой несократимой дроби:
$\dfrac{28}{45} = \dfrac{2 \cdot 2 \cdot 7}{3 \cdot 3 \cdot 5}$.
Признаки делимости
Процедура разложения натурального числа на простые множители существенно упростилась бы, если бы проверку на делимость можно было делать каким-нибудь быстрым способом, не выполняя в реальности трудоемкую операцию деления. Такая возможность действительно есть. Для этого надо воспользоваться признаками делимости.
Мы уже знаем признак делимости на $10$. Этот признак можно сформулировать с помощью двух фраз:
(1) Всякое натуральное число, которое оканчивается цифрой $0$, делится на $10$.
(2) Всякое натуральное число, которое оканчивается любой другой цифрой, на $10$ не делится.
Если воспользоваться формальным математическим языком, то эти две фразы можно объединить в одну:
Натуральное число делится на $10$ тогда и только тогда, когда оно оканчивается нулем.
Отметим, что словосочетание «тогда и только тогда» несколько избыточно. Достаточно было бы сказать просто «только тогда». Но так уж у математиков принято выражаться, и мы не будем нарушать эту традицию. В то же время, когда мы говорим «число делится на $10$», то подразумеваем не просто «делится», а «делится нацело». Также заметим, что хотя мы формулируем признаки делимости для натуральных чисел, они с тем же успехом подходят и для целых чисел: если $a$ делится на $b$, то и $(-a)$ делится на b.
Таким образом, если нам нужно будет разложить на простые множители какое-либо число, которое оканчивается нулем, например $5670$, то мы начнем с того, что напишем:
$5670 = 2 \cdot 5 \cdot 567$.
А если число оканчивается двумя нулями? Тогда будем писать так:
$56700 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 567$.
Признак делимости на $\textbf{2}$. Натуральное число делится на $2$ тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на $2$, то есть равна $0$, $2$, $4$, $6$ или $8$.
Целые числа, которые делятся на $2$, называются четными. Целые числа, которые не делятся на $2$, называются нечетными.
Признак делимости на $\textbf{5}$. Натуральное число делится на $5$ тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на $5$, то есть равна $0$ или $5$.
Как бы ни было очевидно это утверждение, давайте его докажем со всей математической строгостью. Это нам пригодится, когда мы перейдем к признакам делимости на другие числа. Пусть нам дано произвольное натуральное число $a$, про которое мы хотим знать, делится ли оно на $5$ или нет. Представим его в виде
$a = n \cdot 10 + b$,
где $n$ — это число полных десятков в числе $a$ (то есть число $a$ с отброшенным последним знаком), а $b$ — однозначное число, выраженное последней цифрой числа $a$. После несложных преобразований получаем:
$a = 2n \cdot 5 + b = m \cdot 5 + b$,
где мы ввели новое обозначение, а именно ${m = 2n}$. Поскольку нас интересует делимость на $5$, поделим это равенство на $5$:
$a / 5 = m + b / 5$.
Отсюда видно, что число $a$ делится на $5$ тогда и только тогда, когда на $5$ делится число $b$. Прелесть этого утверждения заключается в том, что число $a$ может быть очень большим. Оно может состоять из очень многих цифр, и, вероятно, нам потребовалось бы весьма много времени, если бы мы в самом деле захотели поделить его на $5$. Но нам этого вовсе не нужно! Достаточно просто взглянуть на число $b$, которое настолько маленькое, что мы сразу же можем сказать, делится ли оно на $5$ или нет. По этой причине $b$ называется проверочным числом. В принципе, на роль проверочного подойдет любое достаточно малое число, которое можно записать в виде
$a — b = m \cdot 5$.
Здесь $a$ — по-прежнему произвольное натуральное число, делимость которого мы хотим установить, а ${m \cdot 5}$ обозначает просто некоторое число, делящееся на $5$.
Перейдем к обобщениям. Почти все признаки делимости, с которыми мы будем иметь дело, формулируются примерно одинаково: число $a$ делится на число $d$ тогда и только тогда, когда число $b$ делится на $d$.
При этом проверочное число $b$ может быть легко получено из числа $a$, а чтобы доказать признак делимости, достаточно убедиться, что разность ${a — b}$ кратна $d$, то есть представима в виде ${m \cdot d}$ (где $m$, как и ранее, — некоторое натуральное число).
Признак делимости на $\textbf{3}$. Натуральное число делится на $3$ тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на $3$. Например, число $123$ делится на $3$, поскольку ${1 + 2 + 3 = 6}$ делится на $3$.
Действительно, представим произвольное натуральное число $a$ в виде:
$a = \ldots + v\cdot 10000 + w\cdot 1000 + x\cdot 100 + y\cdot 10 + z$,
где под буквами $v$, $w$, $x$, $y$, $z$ подразумеваются значения соответствующих разрядов числа $a$, а многоточие (${…}$) говорит о том, что вместо него могут присутствовать еще и другие слагаемые. Тогда проверочное число $b$ равно
$b = \ldots + v + w + x + y + z$.
Разность чисел $a$ и $b$ представима в виде:
$\begin{align} &a — b =\\ &\ldots + 9999\cdot v + 999\cdot w + 99\cdot x + 9\cdot y =\\ &3\cdot 3 \cdot(\,\,\ldots + 1111\cdot v + 111\cdot w + 11\cdot x + 1\cdot y).
\end{align}$
Ясно, что эта разность кратна трем, что и доказывает данный признак делимости. Более того, эта разность кратна девяти. Поэтому отсюда же мы получаем —
признак делимости на $\textbf{9}$. Натуральное число делится на $9$ тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на $9$. Например, число $234$ делится на $9$, поскольку ${2 + 3 + 4 = 9}$ делится на $9$.
Признак делимости на $\textbf{7}$. Пусть $a$ — произвольное целое число, причем его последняя цифра равна $v$, а число, которое получается после отбрасывания последней цифры, равно $u$:
$a = u \cdot 10 + v$.
Число $a$ делится на $7$ тогда и только тогда, когда делится на $7$ число
$b = u — 2 \cdot v$.
Иными словами, проверочное число получается, если из проверяемого числа с отброшенной последней цифрой вычесть удвоенную последнюю цифру. Например, число $112$ делится на $7$, поскольку ${11 — 2\cdot 2 = 7}$ делится на $7$.
Для доказательства этого утверждения мы рассмотрим не разность ${a — b}$, а сумму ${2a + b}$.
Мы как бы подменяем задачу и рассматриваем делимость не числа $a$, а числа ${2a}$, причем в качестве проверочного числа берем не $b$, а $(-b)$. Но такая подмена совершенно законна, потому что числа $a$ и $2a$ одновременно либо делятся на $7$, либо не делятся (в разложении того и другого на простые множители семерка либо присутствует, либо нет). То же самое можно сказать и про числа $b$ и $(-b)$. Для указанной суммы имеем:
$2\cdot a + b = 2 (u \cdot 10 + v) + (u — 2 \cdot v) =$
$= 20\cdot u + 2\cdot v + u — 2\cdot v = 21\cdot u = 3\cdot 7\cdot u$.
Таким образом, мы получили число, кратное семи. Доказательство завершено.
Признак делимости на $\textbf{11}$. Натуральное число делится на $11$ тогда и только тогда, когда сумма его цифр, взятых с чередующимися знаками, делится на $11$. Например, число $759$ делится на $11$, поскольку ${7 — 5 + 9 = 11}$ делится на $11$.
Прежде чем приводить доказательство, заметим, что следующие числа делятся на $11$:
$\begin{align} &99 = 11 \cdot 9;\\ &1001 = 990 + 11 = 11 \cdot 90 + 11 = 11 \cdot 91;\\ &9999 = 11 \cdot 909;\\ &100001 = 99990 + 11 = 11 \cdot 9090 + 11 = 11 \cdot 9091;\\ &999999 = 11 \cdot 90909;\\ \end{align}$
и так далее.
Запишем, как мы это уже делали раньше, число $a$ в виде:
$a = \ldots + u\cdot 100000 + v\cdot 10000 + w\cdot 1000 + x\cdot 100 + y\cdot 10 + z$.
Тогда проверочное число равно
$b = \ldots — u + v — w + x — y + z$.
Вычитая $b$ из $a$, получаем:
$\begin{align*} &a — b =\\ &… +~u\cdot 100001 + v\cdot 9999 + w\cdot 1001 + x\cdot 99 + y\cdot 11 =\\ &11 \cdot (9091\cdot u + 909\cdot v + 91\cdot w + 9\cdot x + y). \end{align*}$
Для полноты картины приведем еще признаки делимости на $4$, на $6$ и на $8$. (Впрочем, поскольку это всё составные числа, практическая польза от этих признаков невелика.)
Признак делимости на $\textbf{4}$. Натуральное число делится на $4$ тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на $4$.
Признак делимости на $\textbf{8}$. Натуральное число делится на $8$ тогда и только тогда, когда три его последние цифры делятся на $8$.
Признак делимости на $\textbf{6}$.
Натуральное число делится на $6$ тогда и только тогда, когда оно делится на $2$ и на $3$.
Признак «неделимости»
Конечно, хорошо было бы иметь также признак, с помощью которого можно было бы быстро определить, является ли данное число простым или нет. К сожалению, такого признака не существует. Вместо этого приходится обращаться к таблице простых чисел, которую можно найти, например, в Википедии.
Запись разложения на простые множители
Теперь у нас есть полный набор инструментов для разложения чисел на простые множители. При этом удобно пользоваться записью «в столбик», которую мы покажем на примере разложения числа $4340$:
$\begin{array}{r|l} 4340 & 2\cdot 5 \\ 434 & 2 \\ 217 & 7 \\ 31 &31 \end{array}$
Конспект
1. Натуральное число $k$ называется кратным натуральному числу $d$, если $k$ делится нацело на $d$, то есть если ${k = n \cdot d}$, где $n$ — тоже какое-то натуральное число.
При этом число $d$ называется делителем числа $k$. Например, число $30$ имеет восемь делителей: $1$, $2$, $3$, $5$, $6$, $10$, $15$ и $30$. Число $31$ имеет только два делителя: $1$ и $31$.
2. Натуральное число, у которого есть в точности два различных делителя, называется простым. (При этом неизбежно оказывается, что один из делителей — это единица, а второй делитель равен самому этому числу.) Например, простым является число $31$. Натуральное число, у которых имеется больше двух делителей, называется составным. Таковым является, например, число $30$.
3. Чтобы сократить какую-либо дробь — например, ${1092 / 1638}$ — мы раскладываем ее числитель и знаменатель на простые множители, а затем вычеркиваем пары одинаковых чисел сверху и снизу:
$\dfrac{1092}{1638} = \dfrac{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13}{2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13} = \dfrac{\cancel{\,2\,} \cdot 2 \cdot \cancel{\,3\,} \cdot \cancel{\,7\,} \cdot \cancel{13}}{\cancel{\,2\,} \cdot \cancel{\,3\,} \cdot 3 \cdot \cancel{\,7\,} \cdot \cancel{13}} = \dfrac{\,2\,}{3}\,$.
Не всякая дробь может быть сокращена, например,
$\dfrac{28}{45} = \dfrac{2 \cdot 2 \cdot 7}{3 \cdot 3 \cdot 5}$.
4. При разложении чисел на простые множители удобно пользоваться признаками делимости, которые формулируются следующим образом: $a$ делится на $d$ тогда и только тогда, когда $b$ делится на $d$. При этом $a$ может быть очень большим, а проверочное число $b$, легко вычисляемое по числу $a$, является, напротив, сравнительно маленьким. Чтобы доказать признак делимости, достаточно установить, что разность ${a — b}$ делится на $d$.
Проверочные числа $b$, используемые в признаках делимости числа a на число $d$
Делитель $d$ | Проверочное число $b$ |
$2$ | Последняя цифра числа $a$ |
$3$ | Сумма цифр числа $a$ |
$4$ | Последние две цифры числа $a$ |
$5$ | Последняя цифра числа $a$ |
$6$ | (См. |
$7$ | Число $a$ с отброшенной последней цифрой |
$8$ | Последние три цифры числа $a$ |
$9$ | Сумма цифр числа $a$ |
$10$ | Последняя цифра числа $a$ |
$11$ | Сумма цифр числа $a$, взятых с чередующимся знаком |
делимость на $2$ и $3$)5. Целые числа, которые делятся на $2$, называются четными. Целые числа, которые не делятся на $2$, называются нечетными.
6. При разложении чисел на простые множители удобно пользоваться записью «в столбик», например:
$\begin{array}{r|l} 4340 & 2\cdot 5 \\ 434 & 2 \\ 217 & 7 \\ 31 &31 \end{array}$
Из «бесконечного» сборника типовых упражнений
Разложение на простые множители
Примеры на сокращение «большой» дроби («одноэтажная» запись)
То же («двухэтажная» запись)
ГИПР — Делится ли число на экране на 9 нацело, признак делимости на 9, видеотест 30 мин средний темп смотреть онлайн видео от ГИПР
12+
1 год и 2 недели назад
ГИПР — Говорит и показывает репетитор24 подписчика
Категория 12+.
Этот видеоролик — основа эпизода игры в репетитора и ученика и позволяет тренироваться применять признак делимости на 9 нацело (без остатка).
ВНИМАНИЕ: продолжительность видеоролика 30 минут, но это не означает, что нужно играть все полчаса. При появлении первых признаков усталости ПРЕКРАЩАЙТЕ ИГРУ!
Правила игры в этом эпизоде такие: после запуска видео репетитор-компьютер (планшет, смартфон, телевизор) показывает (отображает) на экране число, а вопрос репетитора следующий: «Делится ли изображенное число на 9 нацело?». Игрок-ученик должен дать ответ (вслух или про себя). Через некоторое время на экране появляется правильный ответ, с которым нужно сравнить свой собственный. Затем показывается следующее число и т. д.
Цель игрока-ученика — дать как можно больше правильных ответов.
Я рекомендую это видео в первую очередь детям, осваивающим тему «Признаки делимости нацело».
Таким образом, ролик представляет собой игровой видеотест, имеющий общие черты с программой-тренажером, дающей онлайн примеры и ответы на них.
Показ числа длится 4,2 секунды, а ответа — 1,2 секунды. Это, на мой взгляд, средний темп. Если тема игры Вам интересна и Вы добились успехов, рекомендую попробовать свои силы при помощи других видеотестов на эту же тему в среднем или даже в быстром темпе, а если Вам кажется, что вопросы задаются очень часто и Вы не успеваете продумывать ответы, то попробуйте потренировать навыки при помощи видеотестов на эту тему в медленном темпе. Если же тема не интересна, то не забывайте — это игра и она не должна идти по принуждению.
Объясню, зачем я создавал получасовой видеотест. У большинства моих роликов с такими же примерами продолжительность примерно равна пяти минутам (о выборе этого интервала и других параметров подробно рассмотрено в описании каждого указанного пятиминутного видеотеста). Пятиминутный интервал неудобен для тех, кто хочет играть дольше без переключения между видеотестами. Для таких людей и создан длинный игровой эпизод. Получасовую длительность нужно рассматривать только как возможность увеличения игрового интервала с пяти минут до значения на своё усмотрение, а НЕ КАК ОБЯЗАТЕЛЬНОЕ ВРЕМЯ ИГРЫ.
Поскольку предлагаемая игра подразумевает развитие навыков, применяемых в образовательном процессе ребенка, ролик отнесён к категории «Образование». Но я подчеркиваю — ролик не создавался как образовательный материал, соответствующий государственным стандартам в сфере образования, методическим указаниям и рекомендациям для образовательного процесса, т. е. образовательным материалом он не является.
Также, по моему мнению и отзывам некоторых моих подписчиков, результат моей работы оказался полностью или частично подходящим ответом на такие популярные поисковые запросы, как:
— признак делимости на 9;
— признак делимости чисел на девять;
— математика признаки делимости;
— упражнения на признаки делимости;
— признаки делимости натуральных чисел.
Я выкладываю этот видеоролик на всеобщее обозрение руководствуясь следующими соображениями. Для каждого ребенка, обращавшегося ко мне за помощью по математике и с которым я общался вживую, видеотест способствовал освоению темы; фактов негативного влияния не было.
Поэтому я предполагаю его полезность и для других заинтересованных людей и рассматриваю его одним из своих личных вкладов в развитие нашего общества, которое само помогало и помогает развиваться мне. Но я подчеркну еще раз — ролик разрабатывался для узкой группы детей, поэтому гарантировать улучшение математических навыков для других людей я не могу, хотя я очень хотел бы видеть такие улучшения. Поэтому обязательно задайте вопрос о полезности этого ролика в Вашем конкретном случае своему педагогу, а также уточните рекомендуемое ежедневное количество игровых эпизодов на разные темы.
Играем и тренируемся применять признак делимости на девять нацело!
Мои плэйлисты по признаку делимости на 9 без остатка:
в медленном темпе: https://rutube.ru/plst/50639
в среднем темпе: https://rutube.ru/plst/51180
в быстром темпе: https://rutube.ru/plst/51181
Большая коллекция моих видеороликов: https://rutube.ru/channel/23724933/
Подборки роликов, структурированные по темам и темпам: https://rutube.ru/channel/23724933/playlists/
Адрес моей группы: https://ok.
ru/giprgovorit
Мои каналы на других ресурсах: https://zen.yandex.ru/giprgovorit и https://yarus.ru/u/5776747
Коэффициенты 30 | Определение, примеры, деление и умножение числа 30
ВведениеОчень часто в процессе решения задачи у нас возникают вопросы, на которые в данный момент у нас нет ответов. Например, можно ли расставить 30 певцов в несколько рядов так, чтобы в каждом ряду было одинаковое количество певцов и не осталось ни одного? На этот вопрос отвечает понятие фактора.
Вам нужно понять, что такое множитель и каковы множители числа 30? Вы попадете в нужное место в нужное время и получите ответы на свои вопросы и многое другое!
Определение множителейМножитель числа — это целое число, на которое данное число делится без остатка. Эти числа могут быть положительными или отрицательными целыми числами, но в основном мы говорим о положительных факторах.
Например, делители 8 равны 1, 2, 4 и 8.
Если 8 разделить на любое из чисел 1, 2, 4, 8, ответ будет целым числом:
8 ÷ 1=8
8 ÷ 2=4
8 ÷ 4=2
8 ÷ 8=1
Другими словами, делители числа — это числа, которые делят это число нацело или точно, не оставляя остатка. Например, если число делится на 30 с остатком 0, то это число называется множителем.
Делителями числа являются любые числа, которые точно на него делятся, включая 1 и само число. Число 1 всегда является наименьшим целым делителем числа, само число всегда является наибольшим целым делителем числа. Таким образом, каждое число всегда имеет не менее двух делителей.
Простые числаЕсли число имеет ровно два делителя, 1 и само число, такое число называется простым числом. Число, имеющее более двух делителей, называется составным числом.
- Целое число 1 не является простым числом — оно имеет только один делитель 1.
- Наименьшее простое число — число 2 (делится без остатка и на 1, и на 2).
- Чтобы определить, является ли число простым или составным, необходимо проверить его по таблице простых чисел или по правилам делимости.
| Число | Правило делимости | 3 Равномерно0063 divisible Example | Not evenly divisible Example | |
| 1 | Any integer (not a fraction) is divisible by 1 | 1, 2, 15, 100, … | – | |
| 2 | Последняя цифра четная (0, 2, 4, 6, 8) | 12, 100, 148,… | 5, 11, 27, … | |
| 15, 36, 145, … | 7, 49, 115,… | |||
| 4 | . Последние два цифры образуют номер, деленное на 4 | 16, 128, 464,… | 39, 358,… | |
| 5 | 69, 358,…||||
| 5 | 69, 358, .||||
| 5 | 69, 358,||||
| 5 | 9, 358,||||
| 5 | 9, 358. цифра равен 0 или 510, 45, 195,… | 34, 901,… | ||
| 6 | делится на 2 и на 3 | 18, 42, 168,… | 45, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 56, 5, 42, 168, | 45, 56, 56, 18, 42, 168, … … |
| 7 | Удвойте последнюю цифру и вычтите ее из числа, образованного другими цифрами. Результат должен делиться на 7 | 28, 147,… | 37, 109,… | |
| 8 | . Последние три цифры образуют число, делится по 8 | 144, 2056,… | 242, 4102, … | 242, 4102. | The sum of the digits is divisible by 9 | 36, 378,… | 93, 805,… |
| 10 | Ends with 0 | 40, 800, 4050,… | 51, 208, … |
..ПРИМЕР: Проверить все правила делимости от 1 до 10 для числа 30.
РЕШЕНИЕ: Проверить все правила делимости на числа от 1 до 10.
На 1: Число 30 делится на 1 без остатка, так как любое целое число делится на 1.
На 2: Число 30 делится на 2 без остатка потому что оно заканчивается четным числом 0.
На 3: число 30 делится на 3 без остатка, потому что сумма его цифр 3+0=3 делится на 3 без остатка.
На 4: число 30 не делится на 4 без остатка потому что последние две цифры не образуют число, которое делится без остатка на 4.
На 5: число 30 делится на 5 без остатка, потому что оно оканчивается на 0.
На 6: число 30 делится на 6 без остатка, потому что оно делится и на 2, и на 3.
На 7: число 30 не делится нацело делится на 7, потому что 3-2⋅0=3 не делится на 7.
На 8: Число 30 не делится на 8 без остатка, потому что 30÷8=3 r. 6. Для этого числа правильнее разделить число на 8.
На 9: Число 30 не делится на 9 без остатка, потому что сумма его цифр 3+0=3 не делится на 3 без остатка.
На 10: Число 30 делится на 10 без остатка, так как оканчивается на 0.
Способы нахождения делителей числаСуществует три основных метода нахождения делителей числа:
- метод деления;
- метод умножения;
- метод простой факторизации.
МЕТОД ДЕЛЕНИЯ: метод деления состоит в том, чтобы найти все делители от 1 до самого числа, которые делят число без остатка.
МЕТОД УМНОЖЕНИЯ: метод умножения заключается в записи числа как произведения двух чисел различными возможными способами.
МЕТОД ПРОСТОЙ ФАКТОРИЗАЦИИ: метод простой факторизации состоит в том, чтобы представить составное число как произведение его простых множителей.
Из примера число 30 имеет более двух делителей, поэтому это составное число.
Мы можем использовать деление, чтобы найти все положительные множители числа 30 (начнем с 1, затем проверим 2, 3, 4, 5, 6 и т. д. до 15 (число 15 равно половине 30) и само число 30):
30÷1=30
30÷2=15
30÷3=10
30÷4=7 р.2
30÷5=6
30÷6=5
3÷706= 4 р.230÷8=3 р.6
30÷9=3 р.3
30÷10=3
30÷11=2 р.8
30÷12=2 р. 6
30÷13=2 r.4
30÷14=2 r.2
30÷15=2
30÷30=1
Следовательно, 30 имеет всего 8 положительных факторов: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 и 30.
Метод умножения для нахождения множителей 30Представьте число 30 как произведение двух чисел всеми возможными способами:
30= 1 × 30
30 = 2 × 15
30 = 3 × 10
30 = 90 × 0 6 Все числа, используемые в этих произведениях, являются множителями 30.
Таким образом, положительные множители 30 равны 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 и 30.
Разложение на простые множители — это способ представления числа в виде произведения его простых множителей. Например,
30=10×3
не является простой факторизацией 30, поскольку число 10 не является простым числом.
Представление
30=2×3×5
— это простая факторизация числа 30, поскольку числа 2, 3 и 5 — простые числа.
Существует два возможных способа выразить число как произведение простых множителей:
- метод деления;
- Метод факторного дерева.
ФАКТОРИЗАЦИЯ ПРЕМЬЕРА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА ДЕЛЕНИЯ
Метод деления можно использовать для нахождения простых множителей числа путем деления числа на простые числа. Чтобы найти простые множители числа методом деления, выполните следующие шаги:
ШАГ 1. Разделите число без остатка на наименьшее возможное простое число.
ШАГ 2. Разделите частное из шага 1 на наименьшее возможное простое число.
ШАГ 3: Повторяйте шаг 2, пока частное не станет равным 1.
ПОСЛЕДНИЙ ШАГ: Умножьте все простые множители, являющиеся делителями.
ПРИМЕР: Напишите разложение числа 30 на простые множители, используя метод деления.
РЕШЕНИЕ:
ШАГ 1. Наименьшее возможное простое число, которое без остатка делится на 30, — это число 2. Разделите 30 на 2:
30 ÷ 2=15
ШАГ 2. Наименьшее возможное простое число, на которое делится частное 15 без остатка, равно числу 3. Разделите 15 на 3:
15 ÷ 3=5
ШАГ 3. делит частное 5 без остатка на 5. Разделите 5 на 5:
5 ÷ 5=1
ПОСЛЕДНИЙ ШАГ: Умножьте все простые множители, являющиеся делителями:
30=2×3×5
ЗАМЕЧАНИЕ : Обычно эта факторизация выполняется с использованием таблицы, в которой записываются только простые множители и соответствующие им дроби.
| 2 | 30 |
| 3 | 15 |
| 5 | 5 |
| 1 |
Prime factorization of 30=235
PRIME FACTORIZATION USING FACTOR TREE METHOD
Факторное дерево — это специальная диаграмма, на которой мы рисуем множители числа, затем множители этих множителей и так далее, пока не получим только простые множители.
ПРИМЕР : Нарисуйте дерево множителей для числа 30.
РЕШЕНИЕ : Из таблицы умножения мы знаем, что 30=56. Таким образом,
Одно из этих чисел мы можем представить как произведение простых чисел:
6=2×3
Итак, окончательное дерево множителей — это
, а простая факторизация 30 — это 2×3×5.
ЗАМЕЧАНИЕ : Вы можете начать с произвольных чисел, дающих 30 в произведении, но конечный продукт всегда должен быть таким же, как простая факторизация уникальная . Например, вы можете нарисовать следующие два дерева множителей для числа 30
и убедитесь, что простые факторизации для всех деревьев факторов одинаковы. Это обеспечивается Фундаментальной теоремой арифметики, которая утверждает, что
каждое натуральное число, большее 1 , может быть записано как произведение простых чисел, и что с точностью до перестановки множителей это произведение единственно.
Чтобы найти простые множители числа с помощью метода дерева множителей, выполните следующие шаги:
ШАГ 1: Нарисуйте дерево множителей, начиная с произвольных чисел с произведением, равным заданному числу, и заканчивая только простыми числами.
ШАГ 2. Перемножьте все простые множители, встречающиеся в этом дереве множителей.
Метод нахождения множителей числа с помощью разложения числа на простые множители заключается в умножении произвольных комбинаций простых множителей.
ПРИМЕР : Разложение числа 30 на простые множители равно 2×3×5. Запишите все положительные множители числа 30, используя метод простой факторизации.
РЕШЕНИЕ : Чтобы записать все коэффициенты и не потерять ни одного, используйте следующие рекомендации по написанию комбинаций:
- сначала запишите все возможные степени первого простого множителя (начиная с показателя степени 0 и заканчивая максимально возможным показателем степени, определенным при разложении числа на простые множители):
2 0 =1, 2 1 =2
- затем запишите все возможные степени второго простого множителя (начиная с показателя степени 0 и заканчивая максимально возможным показателем степени, определенным в простой факторизации числа):
3 0 =1, 3 1 =3
- затем запишите все возможные степени второго простого множителя (начиная с показателя степени 0 и заканчивая максимально возможным показателем степени, определенным в простой факторизации числа):
5 0 =1, 5 1 =5
- now write all possible products of powers of two factors
2 1 x 3 1 =6, 2 1 x 5 1 =10, 3 1 x 5 1 =15
- и, наконец, произведение всех трех множителей
2 1 х 3 1 х 5 1 =30
Следовательно, положительный список всех множителей 3
1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Как видите, числа 2, 3 и 5 являются простыми делителями числа 30.
Используя простую факторизацию числа, мы можем найти количество множителей этого числа. Для этого выполните следующие шаги:
ШАГ 1: Запишите простую факторизацию числа в форме экспоненты.
ШАГ 2: Добавьте по единице к каждому показателю степени.
ШАГ 3: Перемножьте все полученные числа. Это произведение обозначает количество множителей числа.
ПРИМЕР : Найдите количество множителей числа 30.
РЕШЕНИЕ : Из предыдущего раздела, разложение числа 30 на простые множители равно 2×3×5. В экспоненциальной форме эта факторизация равна 2 1 x 3 1 x 5 1 .
Прибавьте 1 к каждой степени:
1+1=2
1+1=2
1+1=2
и умножьте полученные суммы:
2×2×2=8
Следовательно, количество множителей числа 30 равно 8.
Положительные пары множителей числа 30 Пара множителей числа представляет собой набор двух множителей, которые при умножении дают это число как произведение.
Например, множители 8 и 6 образуют пару множителей 48, потому что
48=8×6
ПРИМЕР: Перечислите все пары множителей числа 30.
РЕШЕНИЕ: Начните с 1. Поскольку 30=1×30, поместите 1 в начало списка и 30 в конец списка. Множители 1 и 30 образуют первую пару множителей числа 30.
Теперь попробуйте 2. Поскольку 30=2×15, поместите 2 в начало списка (после 1) и 15 в конец списка (перед 30). . Множители 2 и 15 образуют вторую пару множителей числа 30.
| 1 | 2 | 15 | 30 |
Затем попробуйте 3. Поскольку 30=3×10, поместите 3 в начало списка (после 2) и 10 в конец списка (перед 15). Factors 3 and 10 form the third factor pair of 30.
| 1 | 2 | 3 | 10 | 15 | 30 |
At last, try 5. Since 30=56 , поставить 5 в начало списка (после 3) и 6 в конец списка (до 10).
Множители 5 и 6 образуют последнюю четвёртую пару множителей числа 30.
| 1 | 2 | 3 | 5 | 6 | 10 | 15 | 30 |
AS AS AS WE FORE WE FORE WE FORE WE FORE WE FORE WE FORE FORE, и FORE WE FORE FORE FORE FARTING.
Мы можем графически изобразить положительные пары факторов, как показано ниже.
Мы могли бы также добавить в список пары множителей 6, 5, 10, 3, 15, 2, (30 ,1), но умножение является коммутативным, поэтому порядок чисел не имеет значения — вы получите тот же результат.
Отрицательные множители 30Из предыдущей темы мы знаем, что есть 4 пары положительных множителей по 30. Это пары 1, 30,
(2, 15), (3, 10) и 5, 6.
Если мы заметим, что произведение двух отрицательных чисел дает положительное число, то те же самые пары отрицательных чисел будут также парами множителей.
Таким образом, 4 пары отрицательных факторов:
-1 и -30
-2 и -15
-3 и -10
-3 и -10
и список пар отрицательных факторов —
| -1 | -2 | -3 | -5 | -6 | -10 | -159966 | -10 | -159969 | -30966996969696969696969696969696969869696967. два числа, окрашенные в один цвет, образуют пару с отрицательными множителями.Кроме того, мы можем графически представить пары отрицательных факторов так же, как графическое представление пар положительных факторов. Викторина
а) Какова наибольшая разница между двумя коэффициентами 30? б) Какова наименьшая положительная разность между двумя факторами 30? в) Какова наименьшая разница между двумя делителями 30? РЕШЕНИЕ : а) Наибольшая разница между наибольшим и наименьшим факторами. Наибольший фактор равен 30, наименьший фактор равен … -30 (не 1, как вы можете подумать, здесь речь идет не только о положительных факторах). Таким образом, наибольшая разница составляет 9 0007 30-(-30)=60 б) Наименьшая положительная разница между двумя ближайшими множителями. Два ближайших множителя — 5 и 6, поэтому наименьшая положительная разница равна 6-5=1 в) Наименьшая разница — между наименьшим и наибольшим множителями. -30-30=-60 ОТВЕТ: а) 60, б) 1, в) -60
б) Можете ли вы придумать правило делимости на 15? 30 делится на 15 без остатка? РЕШЕНИЕ : а) Мы знаем, что 12 есть произведение 3 и 4. Итак, правило делимости на 12: «Число делится на 4 и на 3» делится на 4 без остатка, значит, не делится на 12 без остатка. б) Мы знаем, что 15 — это произведение 3 и 5. Итак, правило делимости на 15: «Число делится на 3 и на 5» Число 30 делится без остатка на 3 и на 5, следовательно, делится на 15 без остатка. ОТВЕТ: а) Нет, б) Да
РЕШЕНИЕ . Чтобы определить количество строк так, чтобы в каждой строке было одинаковое количество певцов, нам нужно найти все множители числа певцов. Из статьи мы знаем, что 30 имеет 8 положительных факторов: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Заполните следующую таблицу:
Расставлять ли певцов, например, в 30 рядов по 1 певцу, решает капельмейстер, но формально у него есть 8 различных вариантов расстановки певчих. ОТВЕТ: 8 различных комбинаций
а) Число 30 имеет только простые делители. б) Число 30 – это 4 составных множителя. c) Числа -2 и 15 образуют пару множителей 30. РЕШЕНИЕ : а) Число 30 имеет 8 положительных делителей: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Только три из них (2, 3, 5) являются простыми делителями, поэтому утверждение а) является ложным. б) Число 30 имеет 8 положительных делителей: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Четыре из них (6, 10, 15, 30) являются составными числами, поэтому утверждение б) верно. c) Утверждение c) ложно, потому что -2×15=-30, а не 30. ОТВЕТ : a) Ложь b) Верно c) Ложь объем 30 ун3. можно сделать из таких же кубиков со стороной 1 ед.? РЕШЕНИЕ: Согласно статье, простая факторизация числа 18 равна 2×3×5. Тогда кубоиды могут быть 1 ед. 1 шт. × 2 ед. × 15 ед. 1 шт. × 3 ед. × 10 ед. 1 шт. × 5 ед. × 6 ед. 2 шт. × 3 ед. ×5 ед. ОТВЕТ: 5 различных кубоидов Выводы
Рабочие листы по математике с простыми числами (на тему Дивали) Теперь я хочу показать, что его можно разделить на $3,6$, используя малую теорему Ферма. |
Наибольший множитель равен 30, наименьший множитель равен -30. Итак, наименьшая разница
Сколькими способами капельмейстер может это сделать?
× 1 ед. × 30 ед.