Прогрессия арифметическая как решать: Арифметическая прогрессия — урок. Алгебра, 9 класс.

Содержание

Арифметическая прогрессия

Не откладывайте! ЗАГОВОРИТЕ на Английском!

ЗАМУЧИЛИ БОЛИ В СПИНЕ?

Александр | 2013-04-08

Арифметическая прогрессия. В состав типов заданий экзамена входят задачи на прогрессии. Это текстовые задачи. Задания предельно просты, в школьном курсе в этой теме имеются примеры посложнее. Необходимо понимать саму суть – что собой представляет арифметическая и геометрическая прогрессия, а также знать формулы (их необходимо выучить). Итак, известно, что существуют различные последовательности чисел, их множество, например:

23. 6, 89, 3, -2, 4 …

2,3; 8; 90: 45,5 …

Числа могут быть дробные, десятичные и пр… Так вот:

Арифметическая прогрессия – это такая последовательность чисел в которой каждое следующее число отличается от предыдущего на одну и ту же величину. Эта величина называется разностью арифметической прогрессии и обозначается буквой d.

a_n₊₁=a_n+d n = 1,2,3,4… (d — это разность)

! Каждый последующий член арифметической прогрессии равен сумме предыдущего и числа d.

Примеры арифметической прогрессии:

2,5,8,11,14,17… a₁ = 2 a₂ = 5 d = 3

1,2,3,4,5,6,7,8… a₁ = 1 a₂ = 2 d = 1

Формула n-го члена:

Формула суммы n первых членов:

Подставим в неё a_n=a₁+d (n – 1), получим ещё одну:

Эти формулы и необходимо знать (очень хорошо). Вы убедитесь, что задачи представленные ниже просты. Необходимо сразу обозначить исходные данные: где сумма, где первый член, где номер n-го члена или число первых членов прогрессии. Пример задачи:

Вере надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вера подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за четвертый день, если вся работа была выполнена за 16 дней.

Вере подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Это задача на арифметическую прогрессию. Количество дней, за которыё выполнена работа – это количество членов прогрессии (n = 6), 640 открыток – это сумма всех членов прогрессии (S = 640), 10 открыток – это первый член прогрессии, то есть а₁= 10.

Формула суммы членов арифметической прогрессии:

Значит, мы можем найти d – разность арифметической прогрессии. Это число открыток, на которое Вера увеличивает свою норму в каждый последующий день:

То есть, каждый день Вера подписывает на 4 открытки больше, чем в предыдущий. Значит, за второй день 10 + 4 = 14 штук, за третий 14 + 4 = 18 штук, за четвертый 18 + 4 = 22. Или можно посчитать по формуле n-го члена прогрессии:

Ответ: 22

Решите самостоятельно:

Посмотреть решение

Еще решение нескольких задач можете посмотреть здесь.

В данной рубрике продолжим рассматривать задачи (есть задания на проценты, на смеси и сплавы, на движение по окружности), не пропустите!

Всего доброго! Успехов вам!

С уважением, Александр.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Категория: Прогрессия | ЕГЭ-№9

НЕ ОТКЛАДЫВАЙ! Заговори на английском!

ДОЛОЙ обидные ошибки на ЕГЭ!!

Подготовка к ЕГЭ, онлайн-обучение с Фоксворд!

Замучили боль и скованность в мышцах спины?

*Нажимая на кнопку, я даю согласие на рассылку, обработку персональных данных и принимаю политику конфиденциальности.

Задачи на арифметическую прогрессию | Геометрия

Здравствуйте, друзья!

Сегодня мы открываем новую рубрику — поступающим в ВУЗы.
Молодые люди, поступающие в ВУЗы, особенно в технические,
должны владеть математической дисциплиной на очень хорошем уровне.
А чтобы им в этом помочь, мы будем решать различные задачи и примеры по алгебре и геометрии.
И начнём с решения задач на арифметическую прогрессию.

Задача 1. Сумма цифр двузначного числа равна 9. Если цифры этого числа переставить, то получится число, составляющее 5/6 первоначального.

Найти это число.
Решение. Любое двузначное число можно представить в виде 10х + у,
где х — число десятков,
у — число единиц.
При перестановке цифр получится другое число, а именно 10у + х.
Составляем первое уравнение: (10х+у)*5/6 = 10у+х.
Второе уравнение — это сумма цифр х и у. х+у = 9
Решаем совместно:
(10х+у)*5/6 = 10у+х
х+у = 9 ⇒ у = 9 — х Подставляем в первое уравнение:
(10х + 9 — х)*5/6 = 10(9-х) + х
(9х+9)*5/6 = 90-10х+х
3(15х+15)/6 = 90-9х
(15х+15)/2 = 90-9х
15х+15 = 180-18
33х = 165х
х=5 у=9-5 = 4
Ответ: искомое число равно 54.

Задача 2. Найти двузначное число по следующим условиям:

частное от деления искомого числа на сумму его цифр равно 8,
частное от деления произведения цифр на сумму цифр равно 14/9.
Решение: Число равно 10х+у
Сумма цифр равна х+у
Произведение цифр равно ху.
Составляем уравнения:
(10х+у)/(х+у) = 8
ху/(х+у) = 14/9 Домножаем на (х+у) правую и левую части обоих уравнений
10х+у = 8(х+у)            10х+у = 8х+8у       2х=7у      х = 3,5у
9ху = 14(х+у)                9ху = 14х+14у Используем метод подстановки
9*3,5у² = 49у+14у
31,5у² — 63у = 0
31,5у(у-2) = 0       Произведение двух множителей равно нулю,
когда один из множителей равен нулю.

у1 = 0 Не подходит по смыслу задачи.
у-2 = 0 у2 = 2 х= 3,5*2 = 7.
Ответ: число равно 72.

Задача 3. Найти четыре первых члена возрастающей арифметической прогрессии, зная, что сумма крайних членов равна 16,

а произведение средних равно 60.
Решение: а1 — первый член прогрессии;
а2 = а1 + d — второй член прогрессии
а3 = а1 + 2d — третий член прогрессии
а4 = а1 + 3d — четвёртый член прогрессии
а1 + а4 =16         а1 + а1 + 3d = 16           2a1+3d=16   a1 = (16-3d)/2
а2*а3= 60           (а1+d)(a1+2d) = 60
〈(16-3d)/2 +d〉〈(16-3d)/2 +2d〉 = 60
(16-d)/2 * (16+d)/2 = 60
16² — d² = 240
d² = 16
d = 4 Разность прогрессии принимаем за 4,
т.к. прогрессия по условию — возрастающая.
Тогда а1 = (16-12)/2 = 2.
а2 = 6;   а3 = 10,   а4 = 14.
Ответ: 2;6;10;14.

Задача 4. В арифметической прогрессии сумма пятого и шестого членов равна 23, а первый член равен -2.

Сколько нужно взять членов прогрессии, чтобы их сумма равнялась 33?
Решение: а1 = -2
a1 + a5 = 23 ⇒ а1 + 4d + a1 + 5d = 23 ⇒ -2 + 4d — 2 + 5d = 23
9d = 27 d = 3
Сумма n членов арифметической прогрессии равна
полу-сумме первого и n-ного члена, умноженная на n.

[a1 + a1 + d(n-1)]* n/2 = 33
[-2 -2 + 3(n-1)]*n = 66 ⇒ (3n-7)n =66
3n² — 7n — 66 = 0 Решая данное полное квадратное уравнение
через дискриминант, получим
n1 = (7+29)/6 = 6
n2 = (7-29)/6 = -11/3 Не подходит по условию задачи.
Ответ: число членов прогрессии равно 6.

На сегодня всё. Успехов и до новых задач!

Оставить комментарий

примеров арифметической прогрессии | CollegeHippo

Вот несколько вопросов по арифметической прогрессии и их решения

Вопрос 1 : Какой член A.P. 3,8,13 … равен 78?

Решение : Здесь a _n = a + (n – 1) d = 78

а = 3, г = 8- 3 = 5

Следовательно,

3 + (n -1) (5) = 78

(n-1) * 5 = 78 – 3 = 75

н – 1 = 75/5 = 15

n = 15 + 1 = 16

Отсюда ₁₆ (шестнадцатый срок) равен 78.

Вопрос 2 : Является ли – 150 членом ряда 11, 8, 5, 2,…?

Решение : Здесь а = 11, d = 8-11 = -3. Пусть _n = -150

Следовательно,

а + (n-1)d = -150

11+ (n-1) (-3) = -150

-3 (n-1) = -150 – 11 = -161

(n-1) = + 161/3 = 53 2/3, что не является целым числом.

Так как количество слагаемых никогда не может быть дробью

Следовательно, -150 не является членом данного ряда.

Вопрос 3 : Найдите 31-й ^-й-й член AP, у которого 11-й ^-й-й термин равен 38, а 16-й ^-й-й термин равен 73.

Решение: Пусть a будет 1 ^st термином, а d общей разностью.

Здесь а ₁₁ = а + 10d = 38 ….. (1)

а ₁₆ = а + 15d = 73….. (2)

Вычитая (2) из (1), получаем

а + 10d – 1 – 15 d = 38 – 73

-5 = – 35

д = 7

Подставляя d= 7 в (1), получаем

а + 10 * 7 = 38

а= 38 – 70 = – 32

а ₃₁ = а + 30 д

= -32 + 30 * 7

= -32 + 210 = 178

Следовательно, 31 ^st терм равен 178.

Вопрос 4 : Какой член AP 3, 15, 27, 39 … будет на 132 больше, чем его 54 ^-й-й член?

Решение: Дан ряд 3, 15, 27, 39…

Здесь а =3, d= 15-3 = 12

Поскольку a _n = a _k = (n-k) d

a _n – a ₅₄ = (n-54) 12

132 = 12n – 54 * 12 …..(так как дано _n – a ₅₄ = 132)

12 н = 132 + 54 * 12 = 12 (11+ 54)

n= 11 + 54 = 65

Подача заявки на программы магистратуры

Если вы хотите получить степень магистра или подать заявку на программы магистратуры, мы перечислили 400 специализаций из 2100 университетов.

Поиск программы магистратуры или аспирантуры

Вы можете найти подробную информацию о программе, рейтинг колледжей, стоимость обучения, требования к баллам GRE и GPA.

Список 1200 аккредитованных университетов, предлагающих онлайн-магистерскую программу

Нынешняя пандемия и меняющийся ландшафт

Наиболее полные данные по 1800 университетам США, 400 специализациям с баллами GRE, GPA и другими требованиями для поступления. Все бесплатно

Подбери меня к аспирантуре

Ваша сваха в аспирантуре. Вставьте свои требования, баллы и найдите школы, которые соответствуют вашим потребностям.

Если вы предпочитаете загружать дополнительные вопросы теста на понимание прочитанного и практиковать их, вы можете найти здесь

Загрузите файл: Бесплатный практический тест GRE на понимание прочитанного

Важные советы по арифметической прогрессии

Когда последовательный порядок чисел расположен в числовом ряду, это последующее число находится в A.P. Тем не менее, разница между каждым членом числового ряда и предыдущим числом в числовом ряду должна быть постоянной. , tn-1 – tn = константа. Эта константа известна как общая разность (c.d) в числовом ряду, а общая разность обозначается буквой «d» в A.P.

Арифметическая прогрессия обозначается аббревиатурой «А.П.». Кроме того, помните, что общие разности могут быть положительными, отрицательными или нулевыми и зависят от серии.

Для, например:-

Ряд натуральных чисел был дан для доказательства того, что общая разность каждого члена ряда и предыдущего числа в A.P постоянна:-

1,2,3,4,5, 6,7

2-1= 1

3-2= 1

4-3= 1

5-4= 1

6-5= 1

7-6= 1

Итак, здесь вы получаете общую разницу всего 1. Как видно, ряд постоянен.

Основные термины арифметической прогрессии

Прежде чем приступить к изучению этой темы, учащиеся должны знать некоторые важные термины, которые используются в А.П. Это:

Общая разница в А.П (А.П) серия обозначается буквой «d».

Первый член ряда А.П (А.П) обозначается «а».

N-й член ряда обозначается «an».

Сумма первых n слагаемых в A.P (A.P) обозначается «Sn».

Некоторые важные формулы арифметической прогрессии:

Тематическая формула арифметической прогрессии играет важную роль в решении вопроса о рядах. Однако возьмем ряд АП:-

а1, а2, а3, а4, а5, а6, а7,……………..ан.

Общая формула А.П. а, а + d, а + 2d, а + 3d, …..

В A.P формула n-го члена представляет собой

an =a+(n – 1)×d.

Сумма n членов ряда AP равна

S = n/2 [2a+(n−1)×d].

В A.P сумма всех членов конечного A.P и последнего члена «l» равна n/2(a + l).

Для нахождения n-го члена ряда используется формула Tn=Sn – Sn-1. Однако Tn является n-м членом ряда.

(Тем не менее, a — первый член в ряду, d — общая разность в ряду, n — количество членов в ряду, а an — n-й член в ряду).

Также ниже указан средний член важности арифметической прогрессии.

Некоторые важные советы по решению арифметической прогрессии

В ряду средний член важности арифметической прогрессии состоит из трех чисел в ряду. Итак, средний в ряду известен как среднее арифметическое. Однако, если серия представляет собой a, b и c. Где b — средний член ряда или среднее арифметическое. Итак, формула будет такой:-

b=(a+c)/2 .

Если мы рассмотрим m-й член ряда AP, это n, а n-й член считался m в ряду. Итак, мы посчитали, что общая разница между терминами будет равна -1, а (m+n)-й из AP будет равен нулю.

Иллюстрация:

Если задан ряд AP, 12-й член AP равен 6, а 6-й член равен 12. Итак, каким будет 18-й член AP?

Дано,

12-й член ряда равен 6

6-й член ряда равен 12

Итак, a12 = 6

a6 = 12

Однако

a+11d=6…… (i)

a+ 5d=12…….(ii)

(ii)

(ii), мы получаем

6d = -6

d = -1

Теперь подставим значение d в уравнение (i), теперь мы получим,

a= 11+6

Итак, значение a=17,

a18 = a+17d

a18= 17+17(-1) = 0,

Здесь значение n равно -1, поэтому значение (m+n)-го члена равно нулю.

Вывод

Арифметическая прогрессия — это короткая тема, в которой вы должны тщательно решать вопросы, так как все вопросы содержат разные условия.