Произведение векторов: Скалярное произведение векторов — урок. Геометрия, 9 класс.

Алгебра свободных и скользящих векторов

Алгебра свободных и скользящих векторов

Меркин Д.Р. Алгебра свободных и скользящих векторов. М: изд-во «Физматгиз», 1962 — 165 с. В книге дается подробное изложение алгебры свободных и скользящих векторов. Содержание первой главы соответствует в основном программе по векторной алгебре курса высшей математики втузов. Во второй главе рассматривается теория преобразования системы скользящих векторов и приведения их к простейшему виду. Эта теория имеет важное значение в различных вопросах физики и техники; она может рассматриваться также, как вводная глава винтового исчисления. В книге большое внимание уделено примерам и разъяснению некоторых деталей и особенностей векторного исчисления, весьма важных в приложениях. Книга может служить учебным пособием для студентов и преподавателей втузов и университетов. Она рассчитана также на инженеров, желающих повысить свою теоретическую подготовку. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ ВВЕДЕНИЕ ГЛАВА I. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА 2. Определение вектора. 3. Классификация векторов. 4. Равенство векторов. 5. Перенос вектора. 6. Нуль-вектор. 7. Компланарность и коллинеарность векторов. 8. Прямопротивоположные векторы. § 2. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ 2. Сумма векторов. 3. Свойства суммы векторов. 4. Правила параллелограмма и параллелепипеда. 5. Разность двух векторов. 6. Свойства модуля суммы векторов. § 3. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО 2. Свойства произведения. 3. Деление вектора на число. 4. Единичные векторы. 5. Орт оси. 6. Коллинеарность двух векторов. § 4. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ 3. Разложение вектора по трем другим векторам. 4. Разложение вектора по ортам базиса. § 5. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ 2. Условие коллинеарности двух векторов. 3. Условие компланарности трех векторов. 4. Линейная зависимость четырех векторов. § 6. ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРА 2. Свойства составляющих вектора. 3. Проекция вектора на ось. 4. Свойства проекций. 5. Угол между векторами. 6. Вычисление проекций вектора. 7. Теорема о проекции сумммы векторов. 8. Псевдоскаляры. § 7. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ВЕКТОРА 2. Естественный способ задания свободного вектора. 3. Задание свободного вектора с помощью его проекций (координатный метод). 4. Связь между естественным и координатным способами задания вектора. 5. Задание несвободного вектора. 6. Задание скользящего вектора. 7. Некоторые приложения. § 8. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ 2. Свойства скалярного произведения. 3. Выражение скалярного произведения через проекции векторов. 4. Векторные уравнения геометрических мест. 5. Уравнение плоскости. 7. Изменение проекций вектора при преобразовании координат. 8. Другое определение вектора. § 9. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 2. Примеры из физики. 3. Способ Н. Е. Жуковского построения векторного произведения. 4. Свойства векторного произведения. 5. Разложение вектора-произведения по координатным ортам. 6. Условие коллинеарности двух векторов. 7. Тождество Лагранжа. 8. Полярные и аксиальные векторы. § 10. СЛОЖНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 2. Двойное векторное произведение. 3. Разложение вектора по трем другим векторам. 4. Скалярное произведение двух векторных произведений. 5. Векторное произведение двух векторных произведений. 6. Произведение двух смешанных произведений. 7. Взаимные реперы. § 11. ВЕКТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ ЛИНИИ 2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. 3. Плюкерово уравнение прямой в пространстве. 4. Прямая как пересечение двух плоскостей. § 12. ИНВАРИАНТЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОСЕЙ ГЛАВА II. АЛГЕБРА СКОЛЬЗЯЩИХ ВЕКТОРОВ § 13. МОМЕНТ ВЕКТОРА ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ И ОСИ. ЗАДАНИЕ СКОЛЬЗЯЩЕГО ВЕКТОРА 2. Момент вектора относительно точки. 3. Проекции момента. 4. Момент вектора относительно оси. 5. Задание скользящего вектора его проекциями и моментами относительно координатных осей. § 14. ГЛАВНЫЙ ВЕКТОР И ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ 2. Главный вектор системы векторов. 3. Главный момент системы векторов. 4. Система двух равнопротивоположных векторов. 5. Первая теорема Вариньона. 6. Изменение главного момента с изменением полюса. 7. Инварианты системы векторов. 8. Минимальный момент и центральная ось системы. 9. Распределение главных моментов в пространстве. 10. Понятие о винте. 11. Винт системы векторов. § 15. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ 2. Основные определения и аксиомы. § 16. ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ ВЕКТОРОВ К ПРОСТЕЙШЕМУ ВИДУ § 17. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СИСТЕМЫ СКОЛЬЗЯЩИХ ВЕКТОРОВ 2. Приведение произвольной системы скользящих векторов к системе двух векторов (геометрическое решение). § 18. УСЛОВИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ДВУХ СИСТЕМ СКОЛЬЗЯЩИХ ВЕКТОРОВ 2. Условия эквивалентности двух систем скользящих векторов. 3. Преобразование эквивалентных систем. § 19. ТЕОРИЯ ПАР 1. Пара векторов и ее момент. 2. Свойства пар. 3. Винт § 20. ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ СКОЛЬЗЯЩИХ ВЕКТОРОВ К ПРОСТЕЙШЕМУ ВИДУ 2. Приведение системы скользящих векторов к системе двух векторов (аналитическое решение). 3. Приведение системы скользящих векторов к вектору и паре. 4. Пример из кинематики. 5. Приведение системы скользящих векторов к винту. 6. Примеры. 7. Уравнения равновесия векторов. 8. Вторая теорема Вариньона. § 21. ИССЛЕДОВАНИЕ ЧАСТНЫХ СЛУЧАЕВ 2. Плоская система скользящих векторов. 3. Система параллельных скользящих векторов. 4. Центр системы параллельных векторов.

«Зачем нужно скалярное произведение векторов?» — Яндекс Кью

Популярное

Сообщества

Подскажите, пожалуйста, что мне, как девятикласснику, даёт скалярное произведение векторов? Что оно вычисляет?

Домашние задания

267Z»>22 декабря 2020  ·

2,5 K

ОтветитьУточнить

Надежда Шихова

Математика

8,6 K

Редактор, автор и переводчик книг по математике  · 30 дек 2020  ·

problemaday

1. Грубо говоря, скалярное произведение двух векторов говорит нам, насколько согласованы направления векторов.

Я нарисовала три варианта расположения двух векторов, зеленого и синего. Длины векторов не меняются от рисунка к рисунку, меняется только направление. В первом случае скалярное произведение наибольшее, во втором равно нулю, а в третьем — отрицательное, наименьшее из всех возможных.

Так, например, работа вычисляется как скалярное произведение силы (скажем, зеленый вектор) и перемещения (пусть синий). В первом случае сила хорошо поработала на перемещение — скалярное произведение положительно. В третьем случае сила противоположна перемещению, ее работа отрицательна, она только мешала. Во втором случае сила перпендикулярна перемещению, не мешала и не помогала — скалярное произведение равно нулю.

Согласованность направления можно было бы выразить углом, но угол вычислять трудно, а вот скалярное произведение в координатах — очень удобно.

2. Скалярный квадрат вектора, то есть скалярное произведение вектора на себя, дает квадрат длины вектора. И поэтому скалярное произведение помогает нам вычислять расстояния, когда заданы координаты.

На этой картинке видно, как вычисляют длину d вектора по его координатам х и у. Если мы повернем систему координат, то длину все равно можно будет вычислять по этой формуле, хотя координаты вектора и изменятся. Это свойство делает скалярное произведение универсальным инструментом. Хотя его удобно вычислять по координатам, от положения системы координат оно не зависит.

В какой-то фантастической книжке я читала про мозг, который просуществовал тысячелетия, не имея связи с внешним миром. Он мог бы развить довольно сложные математические структуры, не имея интуитивного представления о расстоянии. Чтобы объяснить такому мозгу, что такое длина, проще всего было бы рассказать о скалярном произведении.

3. В математике служат всякие разные пространства, например, пространства функций. Расстояния в них измеряются при помощи обобщений скалярного произведения. Другие его обобщения применяются для вычисления расстояний на криволинейных поверхностях, но это совсем другая история, не для 9 класса.

Комментировать ответ…Комментировать…

Вы знаете ответ на этот вопрос?

Поделитесь своим опытом и знаниями

Войти и ответить на вопрос

Векторное произведение векторов

Векторное произведение векторов

Векторное произведение и скалярное произведение — два способа умножения векторов, наиболее часто применяемые в физике и астрономии. Величину векторного произведения двух векторов можно получить, взяв произведение величин векторов на синус угла ( и направление определяется по правилу правой руки. Если векторы выразить через единичные векторы i, j и k в направлениях x, y и z, то векторное произведение можно выразить в довольно громоздкой форме: , что может быть сформулировано несколько более компактно в виде определителя.

Индекс Векторные понятия Приложения

Гиперфизика***** Механика R Ступица

Назад

Векторное произведение компактно записывается в виде определителя, который для случая 3×3 имеет удобную процедуру вычисления: После того, как вы познакомитесь со схемой вычисления определителя, это удобный способ восстановить расширенную форму:	Индекс Векторные концепции
Гиперфизика***** Механика R Ступица	Назад

Вы можете ввести значения в любое из полей ниже. Затем щелкните символ векторного произведения или угла.	Индекс Векторные концепции
Гиперфизика***** Механика R Ступица	Назад

Геометрически векторное произведение полезно как метод построения вектора, перпендикулярного плоскости, если у вас есть два вектора на плоскости. Физически появляется при расчете крутящего момента и при расчете магнитной силы на подвижном заряде.	Индекс Векторные концепции
Гиперфизика***** Механика R Ступица	Назад

Направление векторного произведения можно визуализировать с помощью правила правой руки. Если согнуть пальцы правой руки так, чтобы они вращались от вектора А к вектору В, то большой палец будет указывать в направлении векторного произведения. Векторное произведение A и B всегда перпендикулярно обоим A и B. Другой способ утверждения, который заключается в том, что векторное произведение перпендикулярно плоскости, образованной векторами A и B. Это правостороннее правило математически определяется выражением векторного произведения.

Индекс Векторные концепции

Гиперфизика***** Механика R Ступица

Вернуться назад

Произведение векторов — GeeksforGeeks

Векторные операции используются почти везде в области физики. Часто эти операции включают сложение, вычитание и умножение. Сложение и вычитание можно выполнять, используя закон сложения векторов треугольника. В случае произведений векторное умножение можно выполнить двумя способами: скалярным произведением или векторным произведением. Векторные произведения дают вектор как результирующее произведение после умножения. Во вращательном движении многие величины получаются с помощью векторных произведений. Становится важным понять концепции и интуицию, стоящую за этим продуктом. Давайте посмотрим на этот продукт в деталях.

Произведение векторов

В случае векторного умножения есть в основном два вида произведений — скалярное и векторное. Скалярный продукт — это вид умножения, в результате которого получается скалярная величина. Перекрестное произведение — это своего рода умножение, в результате которого получается векторная величина. Векторные произведения используются для определения других производных векторных величин. Уравнения для крутящего момента, угловой скорости и ускорения. Все эти величины включают операции, приводящие к векторам из векторов. Эти операции обычно являются векторными произведениями.

Скалярный продукт

Рассмотрим два вектора     и   . Скалярное произведение этих двух векторов определяется уравнением

Здесь θ — угол между двумя векторами.

В случае, если векторы заданы их компонентами. например, a = a ₁ i + a ₂ j + a ₃ k и b = b ₁ i + b ₂ j + b ₃ k. В этом случае скалярный продукт определяется как 

A.B = A ₁ B ₁ I + A ₂ B ₂ j + A ₃ B ₃ K

901718 1.10117. 2 01710171017. {A} и \vec{B}. Векторное произведение этих двух векторов обозначается . Направление этого вектора перпендикулярно обоим векторам. Величина этого вектора определяется выражением

Здесь θ — угол между двумя векторами.

Правило правой руки используется для определения направления результирующего вектора векторного произведения.

В случае, если векторы заданы их компонентами. например, a = a ₁ i + a ₂ j + a ₃ k и b = b ₁ i + b ₂ j + b ₃ k. В этом случае векторное произведение определяется выражением

 

Свойство 1: В отличие от сложения и скалярного произведения векторное произведение не является коммутативным по своей природе.

В этом случае величина обоих произведений будет одинаковой, но направление будет совершенно противоположным. Это означает, что

Свойство 2. Произведения векторов являются дистрибутивными по своей природе в отношении сложения векторов. Например, 

Примеры задач

Вопрос 1. Два вектора задаются формулами a = 2i + j + k и b = i + j + k. Найдите скалярное произведение этих двух векторов.

Ответ:  

Дано:

a = 2i + j + k

b = i + j + k

ab

⇒ (2i + j0 + k ).( i 9 j0 + k 0 6) ⇒ 2,1 + 1,1 + 1,1

⇒ 4

Вопрос 2. Два вектора задаются формулами a = i + j + k и b = i – 2j + 3k. Найдите скалярное произведение этих двух векторов.

Ответ:  

Дано:

a = i + j + k

b = i -2j + 3k

a.b

⇒ (i + j + k ).( i – 2j + 3k )

⇒ 1,1  – 2,1 + 1,3 

⇒ 1 – 2 + 3

⇒ 2

9000 , a = 4i +2j +2k и b = 2i + 2j + 2k. Найдите векторное произведение этих двух векторов.

Ответ:

Дается:

A = 4i + 2J + 2K

B = 2i + 2J + 2K

Вопрос 4: Два вектора даны на = I — j — j + k и b = i – j + k. Найдите векторное произведение этих двух векторов.

Ответ:

Дано:

A = I — J + K

B = I — J + K

Вопрос 5: два вектора даются, A = J + 4K. и b = 5i + 4j + 3k. Вычислите c = a x b + b x a.

Ответ:

Дано:

A = J + 4K

B = 5i + 4J + 3K

Пусть результирующий вектор C,

C = A B + B x A… (1)

Как упоминалось в приведенных выше свойствах, векторное произведение не является коммутативным по своей природе.

No related posts.