Производная 5 корень из х: производная 5 корень из х

4-2 $$

  • Содержание

    Найдите первообразную функции f(x) = 1\3cosx\3 + 4sin4x, график которой проходит через точку М(П;1)

    Решение: Общая формула для первообразных имеет вид sin(x/3) - 4cos4x + C. Найдем С, подставив в данное выражение координаты точки М:

    sin(п/3) - 4cos4п + C = 1,

    (Корень из 3)/2 -4 + С = 1, откуда С = 5 - (Корень из 3)/2

    Таким образом, первообразная, график которой проходит через точку М, имеет вид

    sin(x/3) - 4cos4x + 5 - (Корень из 3)/2

    $$ f(x)=\frac{1}{3}cos\frac{x}{3}+4sin4x\\ F(x)=sin\frac{x}{3}-cos4x+c\\ sin\frac{\pi}{3}-cos4\pi+c=1\\\frac{\sqrt3}{2}-1+c=1\\c=2-\frac{\sqrt3}{2}\\ c=\frac{4-\sqrt3}{2}\\ F(x)=sin\frac{x}{3}-cos4x+\frac{4-\sqrt3}{2} $$

  • Найдите ту первообразную функции f(x)=корень из 2 * cosx, график которой проходит через точку (П/4; 3)

    Решение: F(x)=√2sinx+C
    3=√2sinπ/4+C
    C=3-√2*√2/2=3-1=2
    F(x)=√2sinx+2

    Найдите ту первообразную функции f(x)=корень из 2 * cosx, график которой проходит через точку (П/4; 3)
    f(x)=√2cosx
    F(x)=√2*sinx+C
    Подставляем координаты точки в полученное выражение и находим С
    3=√2*sin(π/4)+C

    3=√2*√2/2+C
    3=1+С
    С=3-1=2
    Ответ: F(x)=√2sinx+2

  • Найдите ту
    первообразную функции f(x) = 3х – 1, для которой уравнение F(x) = 5 имеет единственный корень
    Решение: $$ \int{3x-1}\, dx = \frac{3x^{2}}{2} -x $$

    Чтобы это было равно 5, т. 2x}\), x∈[0;π/2), M(п/4;п/2)
    Решение: F(x)=2x-tgx + C, x∈[0;π/2)
    Подставим координаты точки М в выражение для F(x):

    π/2 = 2· (π\4) - tg (π/4) + C
    π/2=π/2 - 1 + С
    C= 1
    Ответ.F(x)=2x-tgx + 1, x∈[0;π/2)

  • Задания №12. Исследование функции без применения производной

    Надеюсь, вы различаете понятия  «точка минимума», «минимум»,  «наименьшее значение функции»… + показать


    Задача 1. Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции .

     Решение: + показать

    Подкоренное выражение – с графической точки зрения – парабола  с ветвями вверх и вершиной, абсцисса которой равна (согласно формуле ). В этой точке достигает минимума.

    Функция возрастает и определена в точке . Поэтому  достигает своего минимума в той же точке, в которой достигает минимума подкоренное выражение .

    Ответ: . 


    Задача 2. Найдите наименьшее значение функции

    Решение: + показать

    Проще всего, пожалуй, будет рассуждать так:

    поэтому

    .

    Значит, наименьшее значение функции – это .

    Ответ: . 


    Задача 3. Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции  .

    Решение: + показать

    Квадратный трехчлен , являющийся показателем степенной функции достигает максимума в точке (в вершине параболы  с ветвями вниз).

    В силу возрастания внешней функции (на ) максимум также достигается в точке .

    Ответ: . 


    Задача 4. Най­ди­те  ми­ни­му­м функ­ции .

    Решение: + показать

    Очевидно, минимум функции  достигается в точке   (вершине параболы), то есть в точке

    В силу возрастания внешней функции (основание логарима больше 1), при этом функция определена в точке , минимум исходной функции   будет достигаться также в точке .

    Тогда  

     Ответ: . 


    Задача 5. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции

    Решение: + показать

    Наименьшее значение функции  – в точке (вершине параболы с ветвями вверх).

    В силу возрастания  показательной функции (на R), ее наименьшее значение достигается в той же точке, в которой достигается наименьшее значение  функции , то есть в точке 12. Тогда само значение функции в точке 12 есть

    Ответ: . 


    Вы можете пройти тест по Задачам №12 (исследование функции без использования производной)

    Как найти производную корня

    В задачах по математическому анализу иногда требуется найти производную корня. В зависимости от условий задачи, производная от функции «корень квадратный» (кубический) находится непосредственно или путем преобразования «корня» в степенную функцию с дробным показателем.Вам понадобится

    Перед тем как находить производную корня, обратите внимание на остальные функции, присутствующие в решаемом примере. Если в задаче имеется много подкоренных выражений, то воспользуйтесь следующим правилом нахождения производной квадратного корня:

    (√х)' = 1 / 2√х.

    А для нахождения производной кубического корня примените формулу:

    (³√х)' = 1 / 3(³√х)²,

    где через³√х обозначен кубический корень из х. (-⅔).

    Продифференцировав все корни, внимательно посмотрите на остальные части примера. Если в ответе у вас получилось очень громоздкое выражение, то наверняка его можно упростить. Большинство школьных примеров составлено таким образом, чтобы в итоге получилось небольшое число или компактное выражение.

    Во многих задачах на нахождение производной, корни (квадратные и кубические) встречаются вместе с другими функциями. Чтобы найти производную корня в этом случае, применяйте следующие правила:
    • производная константы (постоянного числа, C) равняется нулю: C' = 0;
    • постоянный множитель выносится за знак производной: (k*f)' = k * (f)' (f – произвольная функция) ;
    • производная суммы нескольких функций равняется сумме производных: (f + g)' = (f)' + (g)';
    • производная произведения двух функций равняется… нет, не произведению производных, а следующему выражению: (fg)' = (f)'g + f (g)';
    • производная частного также равняется не частному производных, а находится согласно следующего правила: (f/g)' = ((f)'g – f(g)') / g².

    Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике - Элементы математического анализа

    Правила вычисления производных

         Вычисление производных основано на применении следующих

    правил, которые мы будем использовать без доказательств, поскольку доказательства выходят за рамки школьного курса математики.

          Правило 1 (производная от произведения числа на функцию). Справедливо равенство

    (c f (x))' = c f ' (x) ,

    где  c – любое число.

          Другими словами, производная от произведения числа на функцию равна произведению этого числа на производную функции.

          Правило 2 (производная суммы функций). Производная суммы функций вычисляется по формуле

    (f (x) + g (x))' = f ' (x) + g' (x),

    то есть производная от суммы функций равна сумме производных этих функций.

          Правило 3 (производная разности функций). Производная разности функций вычисляется по формуле

    (f (x) – g (x))' = f ' (x) – g' (x),

    то есть производная от разности функций равна разности производных этих функций.

          Правило 4 (производная произведения двух функций). Производная произведения двух функций вычисляется по формуле

    (f (x) g (x))' =
    = f ' (x) g (x) + f (x) g' (x),

          Другими словами, производная от произведения двух функций равна производной от первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную от второй функции.

          Правило 5 (производная частного двух функций). Производная от дроби (частного двух функций) вычисляется по формуле

          Определение. Рассмотрим функции   f (x)   и   g (x) .  Сложной функцией или «функцией от функции» называют функцию вида

    f (g (x))

    При этом функцию   f (x)   называют внешней функцией, а функцию  

    g (x)  – внутренней функцией.

          Правило 6 (производная сложной функции). Производная сложной функции вычисляется по формуле

    [ f (g (x))]' = f ' (g (x)) g' (x)

          Другими словами, для того, чтобы найти производную от сложной функции   f (g (x))   в точке   x   нужно умножить производную внешней функции, вычисленную в точке   g (x) ,   на производную внутренней функции, вычисленную в точке   x .

    Таблица производных часто встречающихся функций

          В следующей таблице приведены формулы для производных от степенных, показательных (экспоненциальных), логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций

    . Доказательство большинства их этих формул выходит за рамки школьного курса математики.

    ФункцияФормула для производнойНазвание формулы

    y = c ,

    где  c – любое число

    y' = 0Производная от постоянной функции

    y = x c ,

    где  c – любое число

    y' = c xc – 1Производная степенной функции
    y = e xy' = e xПроизводная от экспоненты (показательной функции с основанием   e)

    y = a x

    где  a – любое положительное число, не равное 1

    y' = a x ln aПроизводная от показательной функции с основанием   a
    y = ln x ,   x > 0,   x > 0Производная от натурального логарифма

    y = log a x ,   x > 0

    где  a – любое положительное число, не равное 1

    ,   x > 0
    Производная от логарифма по основанию   a
    y = sin xy' = cos xПроизводная синуса
    y = cos xy' = – sin xПроизводная косинуса

    y = tg x ,

    , Производная тангенса

    y = ctg x ,

    , Производная котангенса

    y = arcsin x ,

    Производная арксинуса

    y = arccos x ,

    Производная арккосинуса
    y = arctg xПроизводная арктангенса
    y = arcctg xПроизводная арккотангенса
    Производная от постоянной функции

    Функция:

    y = c ,

    где  c – любое число

    Формула для производной:

    y' = 0

    Производная степенной функции

    Функция:

    y = x c ,

    где  c – любое число

    Формула для производной:

    y' = c xc – 1

    Производная от экспоненты (показательной функции с основанием   e)

    Функция:

    y = e x

    Формула для производной:

    y' = e x

    Производная от показательной функции с основанием   a

    Функция:

    y = a x

    где  a – любое положительное число, не равное 1

    Формула для производной:

    y' = a x ln a

    Производная от натурального логарифма

    Функция:

    y = ln x ,   x > 0

    Формула для производной:

    ,   x > 0
    Производная от логарифма по основанию   a

    Функция:

    y = log a x ,   x > 0

    где  a – любое положительное число, не равное 1

    Формула для производной:

    ,   x > 0
    Производная синуса

    Функция:

    y = sin x

    Формула для производной:

    y' = cos x

    Производная косинуса

    Функция:

    y = cos x

    Формула для производной:

    y' = – sin x

    Производная тангенса

    Функция:

    y = tg x ,

    где

    Формула для производной:

    ,
    Производная котангенса

    Функция:

    y = ctg x ,

    где

    Формула для производной:

    ,
    Производная арксинуса

    Функция:

    y = arcsin x ,

    Формула для производной:

    Производная арккосинуса

    Функция:

    y = arccos x ,

    Формула для производной:

    Производная арктангенса

    Функция:

    y = arctg x

    Формула для производной:

    Производная арккотангенса

    Функция:

    y = arcctg x

    Формула для производной:

    Таблица производных сложных функций

          В следующей таблице приведены формулы для производных сложных функций.

          В отдельных строках (с желтым фоном) приведены формулы для производных сложных функций в случае, когда внутренняя функция является линейной функцией и имеет вид   f (x) = kx + b , где  k  и  b  – любые числа, .

    ФункцияФормула для производной

    y = (kx + b) c ,

    где  c – любое число.

    y' = kc (kx + b) c – 1 ,

    y = ( f (x)) c ,

    где  c – любое число.

    y = ekx + by = kekx + b
    y = e f (x)

    y = akx + b

    где  a – любое положительное число, не равное 1

    y = a f (x)

    где  a – любое положительное число, не равное 1

    y = ln (kx + b) ,   kx + b > 0,

    kx + b > 0

    y = ln ( f (x)) ,   f (x) > 0,

    f (x) > 0

    y = log a (kx + b) ,   kx + b > 0

    где  a – любое положительное число, не равное 1

    ,   kx + b > 0

    y = log a ( f (x)) ,   f (x) > 0

    где  a – любое положительное число, не равное 1

    ,   f (x) > 0
    y = sin (kx + b)y' = k cos (kx + b)
    y = sin ( f (x))
    y = cos (kx + b)y' = – k sin (kx + b)
    y = cos ( f (x))

    y = tg (kx + b),

    где

    ,

    y = tg ( f (x)),

    где

    ,

    y = ctg (kx + b),

    где

    ,

    y = ctg ( f (x)),

    где

    ,
    y = arcsin (kx + b),
    y = arcsin ( f (x)),
    y = arccos (kx + b),
    y = arccos ( f (x)),
    y = arctg (kx + b)
    y = arctg ( f (x))
    y = arcctg (kx + b)
    y = arcctg ( f (x))

    Функция:

    y = (kx + b) c ,

    где  c – любое число.

    Формула для производной:

    y' = kc (kx + b) c – 1 ,

    Функция:

    y = ( f (x)) c ,

    где  c – любое число.

    Формула для производной:

    Функция:

    y = ekx + b

    Формула для производной:

    y = kekx + b

    Функция:

    y = e f (x)

    Формула для производной:

    Функция:

    y = akx + b

    где  a – любое положительное число, не равное 1

    Формула для производной:

    Функция:

    y = a f (x)

    где  a – любое положительное число, не равное 1

    Формула для производной:

    Функция:

    y = ln (kx + b) ,   kx + b > 0

    Формула для производной:

    ,   kx + b > 0

    Функция:

    y = ln ( f (x)) ,   f (x) > 0

    Формула для производной:

    ,   f (x) > 0

    Функция:

    y = log a (kx + b) ,   kx + b > 0

    где  a – любое положительное число, не равное 1

    Формула для производной:

    ,   kx + b > 0

    Функция:

    y = log a ( f (x)) ,   f (x) > 0

    где  a – любое положительное число, не равное 1

    Формула для производной:

    ,   f (x) > 0

    Функция:

    y = sin (kx + b)

    Формула для производной:

    y' = k cos (kx + b)

    Функция:

    y = sin ( f (x))

    Формула для производной:

    Функция:

    y = cos (kx + b)

    Формула для производной:

    y' = – k sin (kx + b)

    Функция:

    y = cos ( f (x))

    Формула для производной:

    Функция:

    y = tg (kx + b),

    где

    Формула для производной:

    ,

    Функция:

    y = tg ( f (x)),

    где

    Формула для производной:

    ,

    Функция:

    y = ctg (kx + b),

    где

    Формула для производной:

    ,

    Функция:

    y = ctg ( f (x)),

    где

    Формула для производной:

    ,

    Функция:

    y = arcsin (kx + b),

    Формула для производной:

    Функция:

    y = arcsin ( f (x)),

    Формула для производной:

    Функция:

    y = arccos (kx + b),

    Формула для производной:

    Функция:

    y = arccos ( f (x)),

    Формула для производной:

    Функция:

    y = arctg (kx + b)

    Формула для производной:

    Функция:

    y = arctg ( f (x))

    Формула для производной:

    Функция:

    y = arcctg (kx + b)

    Формула для производной:

    Функция:

    y = arcctg ( f (x))

    Формула для производной:

          На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике. 2

    Производная квадратного корня

    Нахождение производной квадратных корней функции может быть выполнено с использованием производной по определению или методом первого принципа.

    Рассмотрим функцию вида $$ y = \ sqrt x $$.

    Сначала мы берем приращение или небольшое изменение функции.
    \ [\ begin {gather} y + \ Delta y = \ sqrt {x + \ Delta x} \\ \ Rightarrow \ Delta y = \ sqrt {x + \ Delta x} - y \\ \ end {собрано} \ ]

    Подставляя значение функции $$ y = \ sqrt x $$ в приведенное выше уравнение, мы получаем
    \ [\ Rightarrow \ Delta y = \ sqrt {x + \ Delta x} - \ sqrt x \]

    Использование метода рационализации
    \ [\ begin {gather} \ Rightarrow \ Delta y = \ sqrt {x + \ Delta x} - \ sqrt x \ times \ frac {{\ sqrt {x + \ Delta x} + \ sqrt x}} {{\ sqrt {x + \ Delta x} + \ sqrt x}} \\ \ Rightarrow \ Delta y = \ frac {{{{\ left ({\ sqrt {x + \ Delta x}} \ right )} ^ 2} - {{\ left ({\ sqrt x} \ right)} ^ 2}}} {{\ sqrt {x + \ Delta x} + \ sqrt x}} \\ \ Rightarrow \ Delta y = \ frac {{x + \ Delta x - x}} {{\ sqrt {x + \ Delta x} + \ sqrt x}} \\ \ Rightarrow \ Delta y = \ frac {{\ Delta x}} {{\ sqrt {x + \ Delta x} + \ sqrt x}} \\ \ end {gather} \]

    Разделив обе стороны на $$ \ Delta x $$, мы получим
    \ [\ begin {gather} \ frac {{\ Delta y}} {{\ Delta x}} = \ frac {{\ Delta x}} { {\ Delta x \ left ({\ sqrt {x + \ Delta x} + \ sqrt x} \ right)}} \\ \ frac {{\ Delta y}} {{\ Delta x}} = \ frac {1 } {{\ left ({\ sqrt {x + \ Delta x} + \ sqrt x} \ right)}} \\ \ end {gather} \]

    Принимая предел обеих сторон как $$ \ Delta x \ to 0 $$, мы имеем
    \ [\ begin {gather} \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {\ Дельта y}} {{\ Delta x}} = \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {1} {{\ sqrt {x + \ Delta x} + \ sqrt x}} \\ \ frac {{dy}} {{dx}} = \ frac {1} {{\ sqrt {x + 0} + \ sqrt x}} \\ \ frac {{dy}} {{dx}} = \ frac {1} {{2 \ sqrt x}} \\ \ end {gather} \]

    ПРИМЕЧАНИЕ : Если мы возьмем любую функцию из функции извлечения квадратного корня, тогда
    \ [\ frac {{dy}} {{dx}} = \ frac {1} {{2 \ sqrt { f \ left (x \ right)}}} \ frac {d} {{dx}} f \ left (x \ right) = \ frac {1} {{2 \ sqrt {f \ left (x \ right)} }} f '\ left (x \ right) \]

    Пример : Найдите производную $$ y = \ sqrt {2 {x ^ 2} + 5} $$

    У нас есть заданная функция как
    \ [y = \ sqrt {2 {x ^ 2} + 5} \]

    Дифференцируя по переменной $$ x $$, получаем
    \ [\ frac {{dy}} {{dx}} = \ frac {d} {{dx}} \ sqrt {2 {x ^ 2} + 5} \]

    Теперь, используя формулу производной квадратного корня, получаем
    \ [\ begin {gather} \ frac {{dy}} {{dx}} = \ frac {1} {{2 \ sqrt {2 {x ^ 2 } + 5}}} \ frac {d} {{dx}} \ left ({2 {x ^ 2} + 5} \ right) \\ \ frac {{dy}} {{dx}} = \ frac { {4x}} {{2 \ sqrt {2 {x ^ 2} + 5}}} \\ \ frac {{dy}} {{dx}} = \ frac {{2x}} {{\ sqrt {2 { x ^ 2} + 5}}} \\ \ end {собрано} \]

    Производная квадратного корня x (x + 3)

  • квадратный корень из x минус 3 квадратный корень из x с индексом 4 минус 4 равен 0

    квадратный корень из x минус 3 квадратный корень из x с индексом 4 минус 4 равен 0

  • Используйте вторую фундаментальную теорему исчисления, чтобы найти производную от f (x) = интеграл от 2x ^ 2 до x-5 квадратного корня из Sin (t) dt

    Используйте вторую фундаментальную теорему исчисления, чтобы найти производную f (x) = интеграл от 2x ^ 2 до x-5 квадратного корня из Sin (t) dt.Пожалуйста помоги.

  • 5 квадратный корень 6 (2 квадратный корень 15) 7 квадратный корень (3 - 2 квадратный корень 5) (6-2 квадратный корень 3) (6 + 2 квадратный корень 3) (2 квадратный корень 3 +5) в квадрате

    5 квадратный корень 6 (2 квадратный корень 15) 7 квадратный корень (3 - 2 квадратный корень 5) (6-2 квадратный корень 3) (6 + 2 квадратный корень 3) (2 квадратный корень 3 +5) в квадрате

  • Найти производную от f (x) = 1/3 sqrt x

    Найдите производную от f (x) = 1/3 sqrt x. 3 немного больше квадратного корня.4/3?

  • корень пятой степени из X, умноженный на квадратный корень из X

    корень пятой степени из X, умноженный на квадратный корень из X

  • Упражнение 2 Предположим, что un (x) = x (1/2), положительная функция квадратного корня. Для этой функции производная функция ...

    Упражнение 2 Предположим, что un (x) = x (1/2), положительная функция квадратного корня. Для этой функции производная функция u (x) является функцией (1/2) 1). На том же графике эскиз x (1/2) и (1/2) i) Для этого случая выразите наклон безразличия через точку (Cu1, Gna) через отношения tuo (T1 / T2) и ( c2 / n1).((x-1) / 3) = 3 квадратный корень 5

  • квадратный корень из 3, умноженный на квадратный корень из 15, а также квадратный корень из 18, умноженный на квадратный корень из 3 Чтобы умножить квадратные корни: sq rt из z умножить на sq rt из y Это будет квадратный корень из zy. 3x15 = 45 Итак, это квадрат

    квадратный корень из 3, умноженный на квадратный корень из 15, а также квадратный корень из 18, умноженный на квадратный корень из 3 Чтобы умножить квадратные корни: sq rt из z умножить на sq rt из y Это будет квадратный корень из zy. 3x15 = 45 Итак, это квадратный корень из 45.Думаешь, сможешь придумать следующий? Мэтт

  • как упростить квадратный корень из 27 минус квадратный корень из 49, разделенный на квадратный корень из 3

    Как упростить квадратный корень из 27 минус квадратный корень из 49, разделенный на квадратный корень из 3. Я получил два разных ответа, когда пытался это проверить. Это похоже на (27-49) (3), за исключением того, что все числа имеют свой собственный квадратный корень. Я не знаю, будет ли он выстроен в очередь, когда я опубликую вопрос

  • Упражнение 2 Предположим, что un () 2, положительная функция извлечения квадратного корня.Для этой функции производная функция () - это ...

    Упражнение 2 Предположим, что un () 2, положительная функция извлечения квадратного корня. Для этой функции производная функция () - это функция (1/2). На том же графике эскиз Z (W2) и (1/2) x-am. В этом случае нажмите на тот же график. S наклон безразличия через точку cn, n2) через два отношения, (n / π2) и (см2 / Cnl). Интерпретируйте, как наклон безразличия через точку (on, ona) зависит от этих двух соотношений.

  • Видео с вопросом: Дифференциация корневых функций с помощью правила цепочки

    Стенограмма видеозаписи

    Если 𝑦 равно корню пятой степени пять 𝑥 плюс два в седьмой степени, найти d𝑦 по d𝑥.

    Вопрос хочет, чтобы мы нашли до пользователя d𝑥. Это первая производная от 𝑦 относительно. И мы видим, что 𝑦 равно корень пятой степени из седьмой степени линейной функции. Это композиция из трех функции. Так что мы могли бы сделать это, используя цепное правило дважды. И это сработает. Однако есть более простой способ используя наши законы экспонент. Мы будем использовать следующие два версии наших законов экспонентов.

    Во-первых, мы знаем корень пятой степени от 𝑎 просто равно 𝑎 в степени одной пятой. Далее мы знаем, что 𝑎 в степени все в степени просто равно 𝑎 в степени раз 𝑐. Используя их, мы можем показать, что 𝑦 является равно пяти 𝑥 плюс два в степени семь больше пяти. Но теперь мы видим, что 𝑦 - это состав всего двух функций. Это линейная функция, возведенная в сила семи над пятью.Таким образом, мы можем дифференцировать это по используя цепное правило. Мы установим нашу внутреннюю функцию на пять 𝑥 плюс два будет равно 𝑢. Это дает нам, что 𝑦 равно 𝑢 в степени семь над пятью.

    Напомним следующую версию цепного правила. Если у нас есть является функцией 𝑢 и 𝑢 является функцией, то мы можем найти производную по 𝑥 сначала найдя производную по и умножив ее на производная от по 𝑥.И это именно то, что мы имеют. Мы имеем, что является функцией 𝑢. Это 𝑢 в степени семи над 5. И мы имеем, что 𝑢 - функция из 𝑥. Пять 𝑥 плюс два. Итак, нам нужно найти d по d𝑢 и d𝑢 пользователя d𝑥.

    Давайте начнем с поиска d𝑦 по d𝑢. Это производная от 𝑢 до степень семи над пятью по отношению к. И мы можем сделать это, используя правило силы для дифференциации.Умножаем на показатель, это семь больше пяти, и уменьшите этот показатель на единицу. Это дает нам семь пятых раз 𝑢 в степени семь пятых минус один. И семь пятых минус один равно до двух пятых. Итак, мы нашли выражение для d𝑦 пользователя d𝑢. Давайте теперь найдем выражение для d𝑢 пользователя d𝑥. У нас есть, что d𝑢 by d𝑥 - это первая производная от по.

    И помните, 𝑢 равно пяти 𝑥 плюс два.Итак, мы хотим выделить пять 𝑥 плюс два по отношению к 𝑥. И мы можем оценить это, используя правило силы для дифференциации. Или мы можем заметить, что это линейная функция. Таким образом, его наклон равен коэффициент 𝑥, который равен пяти. Итак, мы нашли выражения для d𝑦 как d𝑢 и d𝑢 пользователя d𝑥. Теперь мы можем использовать цепное правило. Цепное правило говорит нам, что d𝑦 by d𝑥 равно d𝑦 на d𝑢, умноженное на d𝑢 на d𝑥. И мы обнаружили, что d𝑦 by d𝑢 - это равно семи пятым 𝑢 в степени два над пятью.И d𝑢 по d𝑥 равно 5. И мы можем упростить это, отменяя общий множитель пяти в числителе и знаменателе, давая нам семь раз 𝑢 в степени два больше пяти.

    Но помните, мы находим выражение для производной по. Итак, мы хотим, чтобы наш ответ был в условия 𝑥. Итак, мы будем использовать нашу замену 𝑢 is равно пяти 𝑥 плюс два. Таким образом, используя замену 𝑢 равно пяти 𝑥 плюс два, мы показали, что d𝑦 на d𝑥 равно семи умноженным на пять 𝑥 плюс два в двух пятых.И мы могли бы оставить свой ответ как это. Однако помните, что наш оригинальный выражение для содержало корень пятой степени линейной функции. Итак, мы можем использовать оба наших закона экспоненты, чтобы написать наш ответ в этой форме. Делая это, мы получаем d𝑦 by d𝑥 is равно семи размеру корня пятой степени из пяти 𝑥 плюс два в квадрате.

    Следовательно, используя цепное правило, мы показали, равно ли 𝑦 корню пятой степени из пяти 𝑥 плюс два к седьмой степени, то d𝑦 на d𝑥 равно семи разным корням пятой степени из пяти 𝑥 плюс два в квадрате.

    Математическая сцена - Производные - Урок 3

    Математическая сцена - Производные - Урок 3 - Корни, отрицательные степени, умноженные и разделенные функции

    2009 Rasmus ehf и Джанн Сак

    Производные

    Урок 3

    Корни, отрицательные силы, умноженные и разделенные функции


    Пример 1

    Найдите производную от.

    Используйте правило:
    а 2 б 2 = (ab) (a + b)
    так что h можно исключить.

    Мы тоже можем написать так проверим, действует ли правило дифференцирования степеней целыми числами То, что использовалось в уроке 2, также применимо и в этом случае. Мы бы получили

    .

    Мы можем показать, что правило f (x) = nx n1 также применяется, когда n является дробь

    Пример 2

    Используйте правило, чтобы различать следующие Например, сначала упростив корень и записав его в виде дроби с помощью обозначение.

    Двигаться 7 / 6 вперед, затем уменьшите мощность на 1.

    Пример 3

    Используйте определение производного инструмента для дифференцировать f (x) = x 1 = 1 / х.

    Сначала упростите числитель, затем упростите и отмените столько, сколько возможно.

    Это говорит о том, что мы можно использовать правило f (x) = nx n1 на отрицательных степенях

    Теперь докажем правило который показывает, как различать функцию, состоящую из двух функций, умноженных все вместе.

    f (х) = и (х) v (х).

    Мы знаем, что когда h мало

    и

    , что дает нам

    ху (х) u (x + h) u (x) и, следовательно, u (x + h) ху (х) + и (х)

    и hv (x) v (x + h) v (x) и, следовательно, v (x + h) hv (x) + v (x)

    Ввод этих значений в приведенное выше уравнение, упрощая, отменяя и затем принимая предел, дает нам Правило нахождения производной при умножении двух функций:

    (и (х) v (х)) = и (х) v (х) + и (х) v (х)

    Легче запомнить правило, если мы опускаем x.

    Пример 4

    Проверим правило и убедитесь, что вы это понимаете, найдя производную от f (x) = x 3 x 2 .

    Самый простой и очевидный способ состоит в том, чтобы сначала упростить, а затем найти производную: f (x) = x 5 и f (x) = 5x 4 .

    Теперь воспользуйтесь правилом умножения:

    Положим u = x 3 дает u = 3x 2 и v = x 2 дает v = 2x.

    f (x) = (uv) = uv + uv

    = 3x 2 x 2 + x 3 2x

    = 3x 4 + 2x 4 = 5x 4

    , который соответствует нашему первому метод.

    Теперь посложнее правило, правило дифференцирования рациональных функций u / v, где u и v являются функциями x:

    Это можно доказать с помощью определение производной так же, как правило умножения доказано.Это также можно доказать с помощью правила, называемого цепным правилом, которое будет введено в уроке 5.

    Даем цепное правило доказательство здесь, вы можете вернуться к этому доказательству, когда закончите урок 5.

    Мы используем цепное правило (v 1 ) = v 2 v и правило (uv) = uv + uv где u и v являются функциями от x.

    Это правило:

    Пример 5

    Используйте правило деления на дифференцировать

    u = x + 1, так что u = 1 и v = x 2 давая v = 2x.

    Помещая их в формула выше дает нам


    Попрактикуйтесь в этих методах, а затем пройдите тест 3 по производным.

    шт. Запомните свой контрольный список.

    Цепное правило - подход к исчислению

    7

    Производная функции от функции

    Цепное правило

    Доказательство цепного правила

    Производная функции от функции

    Пусть

    f ( x ) = x 5 и g ( x ) = x 2 + 1.

    Если мы теперь позволим g ( x ) быть аргументом f , то f будет функцией g .

    f ( г ( x )) = ( x 2 + 1) 5 .

    (Тема 3 Precalculus.)

    Какая производная от f ( g ( x ))?

    Во-первых, обратите внимание, что

    d f ( x )
    dx
    = 5 x 4 .

    То есть: производная f по аргументу (который в данном случае составляет x ) равна 5-кратной четвертой степени аргумента.

    Это означает, что если g - или любая переменная - является аргументом f , применяется та же форма :

    d f ( g )
    dg
    = 5 г 4 .
    d f ( h )
    dh
    = 5 ч 4 .
    d f ( v )
    dv
    = 5 против 4 .

    Другими словами, мы действительно можем взять производную функции аргумента только по этому аргументу.

    Следовательно, с г = x 2 + 1,

    d f ( g )
    dg
    = 5 г 4 = 5 ( x 2 + 1) 4 .

    Затем производная g равна 2 x . То, что называется цепным правилом, гласит следующее:

    df ( г ( x ))
    dx
    = df ( г )
    dg
    · dg ( x )
    dx

    "Если f является функцией g и g является функцией x ,

    , тогда производная f относительно x
    равна производной f ( g ) относительно g
    раз производная g ( x ) относительно до x ."

    Следовательно, согласно цепному правилу, производная от

    ( x 2 + 1) 5

    - это

    5 ( x 2 + 1) 4 · 2 x .

    Примечание: In ( x 2 + 1) 5 , x 2 + 1 находится «внутри» 5-й степени, то есть «снаружи». Берем производную снаружи внутрь.Когда мы берем внешнюю производную, мы не меняем то, что находится внутри. Затем мы умножаем на производную того, что находится внутри.

    Чтобы решить, какая функция является внешней, решает, какую из вы должны оценить, последнюю .

    Оценить

    ( x 2 + 1) 5 ,

    , вам нужно сначала оценить x 2 + 1. Затем вы должны взять его 5-ю степень.Таким образом, пятая сила находится снаружи. Вот почему мы сначала берем эту производную.

    Когда мы пишем f ( g ( x )), f выходит за пределы g . Сначала возьмем производную от f по g .

    Пример 1. f ( x ) = . Какая его производная?

    Решение .Это имеет вид f ( g ( x )). Какая функция у f , то есть что снаружи, и что у g , что внутри?

    g составляет x 4 - 2, потому что это внутри функции квадратного корня, которая равна f . Производная квадратного корня приведена в примере урока 6. Для любой аргумент g функции квадратного корня,

    Здесь g равно x 4 - 2.Следовательно, поскольку производная от x 4 -2 равна 4 x 3 ,

    d
    dx
    = ½ ( x 4 - 2) −½ · 4 x 3 = 2 x 3 ( x 4 - 2) −½ .

    Пример 2.Какова производная от y = sin 3 x ?

    Решение . Это 3-я степень греха x . Чтобы решить, какая функция находится снаружи, как бы вы это оценили?

    Сначала вы оцените sin x , а затем возьмете его 3-ю степень. sin x находится внутри третьей степени, которая находится снаружи.

    Итак, производная 3-й степени - г 3 - это 3 г 2 .Следовательно, если принять на данный момент, что производная sin x равна cos x (Урок 12), производная sin 3 x - снаружи внутрь - равна

    3 sin 2 x · cos x .

    Пример 3. Какая производная от 1
    x 3 + 1
    ?
    Решение . x 3 + 1 внутри функции 1
    x
    = x -1 ,

    , производная которого равна - x −2 ; (Задача 4, Урок 4). Итак, у нас есть

    1
    x 3 + 1
    = ( x 3 + 1) -1 .

    Следовательно, его производная

    - ( x 3 + 1) −2 · 3 x 2

    Пример 4. Предположим, что y является функцией x . y = y ( x ). Примените цепное правило к

    Решение . dy 2
    dx
    = dy 2
    dy
    · dy
    dx
    = 2 y dy
    dx
    .

    y , который, как мы предполагаем, является функцией x , находится внутри функции y 2 . Производная y 2 по отношению к y равна 2 y . Что касается производной от

    y относительно x , мы указываем это как dy
    dx
    .(См. Урок 5.)

    Задача 1. Вычислите производную от ( x 2 −3 x + 5) 9 .

    Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
    Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
    Сначала решите проблему сами!

    9 ( x 2 −3 x + 5) 8 (2 x - 3)

    Проблема 2.Вычислите производную от ( x 4 - 3 x 2 + 4) 2/3 .

    2/3 ( x 4 - 3 x 2 + 4) -1/3 (4 x 3 - 6 x )

    Задача 3. Вычислить производную sin 5 x .

    5 sin 4 x cos x

    Проблема 4.Вычислить производную sin x 5 .

    Внутренняя функция: x 5 - вы бы оценили это последнее. Внешняя функция - sin x . (Это синус x 5 .) Следовательно, производная

    cos x 5 · 5 x 4 .

    Задача 5. Вычислить производную sin (1 + 2).

    cos (1 + 2) x −1/2 .

    Задача 6. Вычислить производную

    ¼ (sin x ) −3/4 cos x .

    Пример 5. Более двух функций. Цепное правило может быть расширено до более чем двух функций. Например, пусть

    f ( x ) = .

    Внешняя функция - это квадратный корень. Внутри это (1 + 2-я степень). А внутри - sin x .

    Производная, следовательно,

    ½ (1 + sin 2 x ) −1/2 · 2 sin x · cos x = sin x cos x
    .
    .
    Задача 7. Вычислить производную

    (Сравните Пример 3.)

    - [sin ( x 2 + 5)] −2 · cos ( x 2 + 5) · 2 x = 2 x cos ( x 2 + 5)
    sin 2 ( x 2 + 5)
    Проблема 8.Вычислить производную

    Задача 9. Предположим, что y является функцией x , и применим правило цепочки, чтобы выразить каждую производную относительно x .

    а) d
    dx
    и 3 = 3 и 2 dy
    dx
    б) d
    dx
    sin y = cos y dy
    dx
    в) d
    dx
    = ½ и −½ dy
    dx

    Доказательство цепного правила

    Чтобы доказать цепное правило, вернемся к основам.Пусть f является функцией g , которая, в свою очередь, является функцией x , так что мы имеем f ( g ( x )). Затем, когда значение г изменится на величину Δ г , значение г изменится на величину Δ f . У нас будет соотношение

    Опять же, поскольку г является функцией x , тогда, когда x изменяется на величину Δ x , г изменится на величину Δ г .У нас будет соотношение

    Но изменение x влияет на f , потому что оно зависит от g . У нас будет

    Δ f
    Δ x
    . Это будет произведение этих соотношений:
    Δ f
    Δ x
    = Δ f
    Δ g
    · Δ г
    Δ x
    .

    Давайте теперь возьмем предел, поскольку Δ x приближается к 0. Тогда изменение в g ( x ) - Δ g - также приблизится к 0. Следовательно, с года предел a продукт равен произведению пределов (Урок 2), и по определению производной:

    df
    dx
    = df
    dg
    · dg
    dx

    Это цепное правило.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *