Производная 5 корень из х: производная 5 корень из х

Ответ: . 

Вы можете пройти тест по Задачам №12 (исследование функции без использования производной)

Как найти производную корня

Перед тем как находить производную корня, обратите внимание на остальные функции, присутствующие в решаемом примере. Если в задаче имеется много подкоренных выражений, то воспользуйтесь следующим правилом нахождения производной квадратного корня:

(√х)’ = 1 / 2√х.

А для нахождения производной кубического корня примените формулу:

(³√х)’ = 1 / 3(³√х)²,

где через³√х обозначен кубический корень из х. (-⅔).

Продифференцировав все корни, внимательно посмотрите на остальные части примера. Если в ответе у вас получилось очень громоздкое выражение, то наверняка его можно упростить. Большинство школьных примеров составлено таким образом, чтобы в итоге получилось небольшое число или компактное выражение.

Во многих задачах на нахождение производной, корни (квадратные и кубические) встречаются вместе с другими функциями. Чтобы найти производную корня в этом случае, применяйте следующие правила:
• производная константы (постоянного числа, C) равняется нулю: C’ = 0;
• постоянный множитель выносится за знак производной: (k*f)’ = k * (f)’ (f – произвольная функция) ;
• производная суммы нескольких функций равняется сумме производных: (f + g)’ = (f)’ + (g)’;
• производная произведения двух функций равняется… нет, не произведению производных, а следующему выражению: (fg)’ = (f)’g + f (g)’;
• производная частного также равняется не частному производных, а находится согласно следующего правила: (f/g)’ = ((f)’g – f(g)’) / g².

Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Элементы математического анализа

Правила вычисления производных

     Вычисление производных основано на применении следующих правил, которые мы будем использовать без доказательств, поскольку доказательства выходят за рамки школьного курса математики.

      Правило 1 (производная от произведения числа на функцию). Справедливо равенство

(c f (x))’ = c f ‘ (x) ,

где  c – любое число.

      Другими словами, производная от произведения числа на функцию равна произведению этого числа на производную функции.

      Правило 2 (производная суммы функций). Производная суммы функций вычисляется по формуле

(f (x) + g (x))’ = f ‘ (x) + g’ (x),

то есть производная от суммы функций равна сумме производных этих функций.

      Правило 3 (производная разности функций). Производная разности функций вычисляется по формуле

(f (x) – g (x))’ = f ‘ (x) – g’ (x),

то есть производная от разности функций равна разности производных этих функций.

      Правило 4 (производная произведения двух функций). Производная произведения двух функций вычисляется по формуле

(f (x) g (x))’ =
= f ‘ (x) g (x) + f (x) g’ (x),

      Другими словами, производная от произведения двух функций равна производной от первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первая функция, умноженная на производную от второй функции.

      Правило 5 (производная частного двух функций). Производная от дроби (частного двух функций) вычисляется по формуле

      Определение. Рассмотрим функции   f (x)   и   g (x) .  Сложной функцией или «функцией от функции» называют функцию вида

f (g (x))

При этом функцию   f (x)   называют внешней функцией, а функцию   g (x)  – внутренней функцией.

      Правило 6 (производная сложной функции). Производная сложной функции вычисляется по формуле

[ f (g (x))]’ = f ‘ (g (x)) g’ (x)

      Другими словами, для того, чтобы найти производную от сложной функции   f (g (x))   в точке   x   нужно умножить производную внешней функции, вычисленную в точке   g (x) ,   на производную внутренней функции, вычисленную в точке   x .

Таблица производных часто встречающихся функций

      В следующей таблице приведены формулы для производных от степенных, показательных (экспоненциальных), логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций. Доказательство большинства их этих формул выходит за рамки школьного курса математики.

Таблица производных сложных функций

      В следующей таблице приведены формулы для производных сложных функций.

      В отдельных строках (с желтым фоном) приведены формулы для производных сложных функций в случае, когда внутренняя функция является линейной функцией и имеет вид   f (x) = kx + b , где  k  и  b  – любые числа, .

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике. 2

Производная квадратного корня

Нахождение производной квадратных корней функции может быть выполнено с использованием производной по определению или методом первого принципа.

Рассмотрим функцию вида $$ y = \ sqrt x $$.

Сначала мы берем приращение или небольшое изменение функции.
\ [\ begin {gather} y + \ Delta y = \ sqrt {x + \ Delta x} \\ \ Rightarrow \ Delta y = \ sqrt {x + \ Delta x} — y \\ \ end {собрано} \ ]

Подставляя значение функции $$ y = \ sqrt x $$ в приведенное выше уравнение, мы получаем
\ [\ Rightarrow \ Delta y = \ sqrt {x + \ Delta x} — \ sqrt x \]

Использование метода рационализации
\ [\ begin {gather} \ Rightarrow \ Delta y = \ sqrt {x + \ Delta x} — \ sqrt x \ times \ frac {{\ sqrt {x + \ Delta x} + \ sqrt x}} {{\ sqrt {x + \ Delta x} + \ sqrt x}} \\ \ Rightarrow \ Delta y = \ frac {{{{\ left ({\ sqrt {x + \ Delta x}} \ right )} ^ 2} — {{\ left ({\ sqrt x} \ right)} ^ 2}}} {{\ sqrt {x + \ Delta x} + \ sqrt x}} \\ \ Rightarrow \ Delta y = \ frac {{x + \ Delta x — x}} {{\ sqrt {x + \ Delta x} + \ sqrt x}} \\ \ Rightarrow \ Delta y = \ frac {{\ Delta x}} {{\ sqrt {x + \ Delta x} + \ sqrt x}} \\ \ end {gather} \]

Разделив обе стороны на $$ \ Delta x $$, мы получим
\ [\ begin {gather} \ frac {{\ Delta y}} {{\ Delta x}} = \ frac {{\ Delta x}} { {\ Delta x \ left ({\ sqrt {x + \ Delta x} + \ sqrt x} \ right)}} \\ \ frac {{\ Delta y}} {{\ Delta x}} = \ frac {1 } {{\ left ({\ sqrt {x + \ Delta x} + \ sqrt x} \ right)}} \\ \ end {gather} \]

Принимая предел обеих сторон как $$ \ Delta x \ to 0 $$, мы имеем
\ [\ begin {gather} \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {\ Дельта y}} {{\ Delta x}} = \ mathop {\ lim} \ limits _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {1} {{\ sqrt {x + \ Delta x} + \ sqrt x}} \\ \ frac {{dy}} {{dx}} = \ frac {1} {{\ sqrt {x + 0} + \ sqrt x}} \\ \ frac {{dy}} {{dx}} = \ frac {1} {{2 \ sqrt x}} \\ \ end {gather} \]

ПРИМЕЧАНИЕ : Если мы возьмем любую функцию из функции извлечения квадратного корня, тогда
\ [\ frac {{dy}} {{dx}} = \ frac {1} {{2 \ sqrt { f \ left (x \ right)}}} \ frac {d} {{dx}} f \ left (x \ right) = \ frac {1} {{2 \ sqrt {f \ left (x \ right)} }} f ‘\ left (x \ right) \]

Пример : Найдите производную $$ y = \ sqrt {2 {x ^ 2} + 5} $$

У нас есть заданная функция как
\ [y = \ sqrt {2 {x ^ 2} + 5} \]

Дифференцируя по переменной $$ x $$, получаем
\ [\ frac {{dy}} {{dx}} = \ frac {d} {{dx}} \ sqrt {2 {x ^ 2} + 5} \]

Теперь, используя формулу производной квадратного корня, получаем
\ [\ begin {gather} \ frac {{dy}} {{dx}} = \ frac {1} {{2 \ sqrt {2 {x ^ 2 } + 5}}} \ frac {d} {{dx}} \ left ({2 {x ^ 2} + 5} \ right) \\ \ frac {{dy}} {{dx}} = \ frac { {4x}} {{2 \ sqrt {2 {x ^ 2} + 5}}} \\ \ frac {{dy}} {{dx}} = \ frac {{2x}} {{\ sqrt {2 { x ^ 2} + 5}}} \\ \ end {собрано} \]

Производная квадратного корня x (x + 3)

Видео с вопросом: Дифференциация корневых функций с помощью правила цепочки

Стенограмма видеозаписи

Если 𝑦 равно корню пятой степени пять 𝑥 плюс два в седьмой степени, найти d𝑦 по d𝑥.

Вопрос хочет, чтобы мы нашли до пользователя d𝑥. Это первая производная от 𝑦 относительно. И мы видим, что 𝑦 равно корень пятой степени из седьмой степени линейной функции. Это композиция из трех функции. Так что мы могли бы сделать это, используя цепное правило дважды. И это сработает. Однако есть более простой способ используя наши законы экспонент. Мы будем использовать следующие два версии наших законов экспонентов.

Во-первых, мы знаем корень пятой степени от 𝑎 просто равно 𝑎 в степени одной пятой. Далее мы знаем, что 𝑎 в степени все в степени просто равно 𝑎 в степени раз 𝑐. Используя их, мы можем показать, что 𝑦 является равно пяти 𝑥 плюс два в степени семь больше пяти. Но теперь мы видим, что 𝑦 — это состав всего двух функций. Это линейная функция, возведенная в сила семи над пятью.Таким образом, мы можем дифференцировать это по используя цепное правило. Мы установим нашу внутреннюю функцию на пять 𝑥 плюс два будет равно 𝑢. Это дает нам, что 𝑦 равно 𝑢 в степени семь над пятью.

Напомним следующую версию цепного правила. Если у нас есть является функцией 𝑢 и 𝑢 является функцией, то мы можем найти производную по 𝑥 сначала найдя производную по и умножив ее на производная от по 𝑥.И это именно то, что мы имеют. Мы имеем, что является функцией 𝑢. Это 𝑢 в степени семи над 5. И мы имеем, что 𝑢 — функция из 𝑥. Пять 𝑥 плюс два. Итак, нам нужно найти d по d𝑢 и d𝑢 пользователя d𝑥.

Давайте начнем с поиска d𝑦 по d𝑢. Это производная от 𝑢 до степень семи над пятью по отношению к. И мы можем сделать это, используя правило силы для дифференциации.Умножаем на показатель, это семь больше пяти, и уменьшите этот показатель на единицу. Это дает нам семь пятых раз 𝑢 в степени семь пятых минус один. И семь пятых минус один равно до двух пятых. Итак, мы нашли выражение для d𝑦 пользователя d𝑢. Давайте теперь найдем выражение для d𝑢 пользователя d𝑥. У нас есть, что d𝑢 by d𝑥 — это первая производная от по.

И помните, 𝑢 равно пяти 𝑥 плюс два.Итак, мы хотим выделить пять 𝑥 плюс два по отношению к 𝑥. И мы можем оценить это, используя правило силы для дифференциации. Или мы можем заметить, что это линейная функция. Таким образом, его наклон равен коэффициент 𝑥, который равен пяти. Итак, мы нашли выражения для d𝑦 как d𝑢 и d𝑢 пользователя d𝑥. Теперь мы можем использовать цепное правило. Цепное правило говорит нам, что d𝑦 by d𝑥 равно d𝑦 на d𝑢, умноженное на d𝑢 на d𝑥. И мы обнаружили, что d𝑦 by d𝑢 — это равно семи пятым 𝑢 в степени два над пятью.И d𝑢 по d𝑥 равно 5. И мы можем упростить это, отменяя общий множитель пяти в числителе и знаменателе, давая нам семь раз 𝑢 в степени два больше пяти.

Но помните, мы находим выражение для производной по. Итак, мы хотим, чтобы наш ответ был в условия 𝑥. Итак, мы будем использовать нашу замену 𝑢 is равно пяти 𝑥 плюс два. Таким образом, используя замену 𝑢 равно пяти 𝑥 плюс два, мы показали, что d𝑦 на d𝑥 равно семи умноженным на пять 𝑥 плюс два в двух пятых.И мы могли бы оставить свой ответ как это. Однако помните, что наш оригинальный выражение для содержало корень пятой степени линейной функции. Итак, мы можем использовать оба наших закона экспоненты, чтобы написать наш ответ в этой форме. Делая это, мы получаем d𝑦 by d𝑥 is равно семи размеру корня пятой степени из пяти 𝑥 плюс два в квадрате.

Следовательно, используя цепное правило, мы показали, равно ли 𝑦 корню пятой степени из пяти 𝑥 плюс два к седьмой степени, то d𝑦 на d𝑥 равно семи разным корням пятой степени из пяти 𝑥 плюс два в квадрате.

Математическая сцена — Производные — Урок 3

Урок 3

Корни, отрицательные силы, умноженные и разделенные функции

Пример 1

Найдите производную от.

Мы тоже можем написать так проверим, действует ли правило дифференцирования степеней целыми числами То, что использовалось в уроке 2, также применимо и в этом случае. Мы бы получили

.

Пример 2

Используйте правило, чтобы различать следующие Например, сначала упростив корень и записав его в виде дроби с помощью обозначение.

Пример 3

Используйте определение производного инструмента для дифференцировать f (x) = x ¹ = ¹ / х.

Теперь докажем правило который показывает, как различать функцию, состоящую из двух функций, умноженных все вместе.

f (х) = и (х) v (х).

Мы знаем, что когда h мало

и

, что дает нам

ху (х) u (x + h) u (x) и, следовательно, u (x + h) ху (х) + и (х)

и hv (x) v (x + h) v (x) и, следовательно, v (x + h) hv (x) + v (x)

Ввод этих значений в приведенное выше уравнение, упрощая, отменяя и затем принимая предел, дает нам Правило нахождения производной при умножении двух функций:

Легче запомнить правило, если мы опускаем x.

Пример 4

Проверим правило и убедитесь, что вы это понимаете, найдя производную от f (x) = x ³ x ² .

Самый простой и очевидный способ состоит в том, чтобы сначала упростить, а затем найти производную: f (x) = x ⁵ и f (x) = 5x ⁴ .

Теперь воспользуйтесь правилом умножения:

Положим u = x ³ дает u = 3x ² и v = x ² дает v = 2x.

f (x) = (uv) = uv + uv

= 3x ² x ² + x ³

= 3x ⁴ + 2x ⁴ = 5x ⁴

, который соответствует нашему первому метод.

Теперь посложнее правило, правило дифференцирования рациональных функций u / v, где u и v являются функциями x:

Это можно доказать с помощью определение производной так же, как правило умножения доказано.Это также можно доказать с помощью правила, называемого цепным правилом, которое будет введено в уроке 5.

Даем цепное правило доказательство здесь, вы можете вернуться к этому доказательству, когда закончите урок 5.

Мы используем цепное правило (v ¹ ) = v ² v и правило (uv) = uv + uv где u и v являются функциями от x.

Это правило:

Пример 5

Используйте правило деления на дифференцировать

u = x + 1, так что u = 1 и v = x ² давая v = 2x.

Помещая их в формула выше дает нам

Попрактикуйтесь в этих методах, а затем пройдите тест 3 по производным.

шт. Запомните свой контрольный список.

Цепное правило — подход к исчислению

7

Производная функции от функции

Цепное правило

Доказательство цепного правила

Производная функции от функции

Пусть

f ( x ) = x ⁵ и g ( x ) = x ² + 1.

Если мы теперь позволим g ( x ) быть аргументом f , то f будет функцией g .

f ( г ( x )) = ( x ² + 1) ⁵ .

(Тема 3 Precalculus.)

Какая производная от f ( g ( x ))?

Во-первых, обратите внимание, что

То есть: производная f по аргументу (который в данном случае составляет x ) равна 5-кратной четвертой степени аргумента.

Это означает, что если g — или любая переменная — является аргументом f , применяется та же форма :

Другими словами, мы действительно можем взять производную функции аргумента только по этому аргументу.

Следовательно, с г = x ² + 1,

Затем производная g равна 2 x . То, что называется цепным правилом, гласит следующее:

«Если f является функцией g и g является функцией x ,

, тогда производная f относительно x
равна производной f ( g ) относительно g
раз производная g ( x ) относительно до x .»

Следовательно, согласно цепному правилу, производная от

( x ² + 1) ⁵

— это

5 ( x ² + 1) ⁴ · 2 x .

Примечание: In ( x ² + 1) ⁵ , x ² + 1 находится «внутри» 5-й степени, то есть «снаружи». Берем производную снаружи внутрь.Когда мы берем внешнюю производную, мы не меняем то, что находится внутри. Затем мы умножаем на производную того, что находится внутри.

Чтобы решить, какая функция является внешней, решает, какую из вы должны оценить, последнюю .

Оценить

( x ² + 1) ⁵ ,

, вам нужно сначала оценить x ² + 1. Затем вы должны взять его 5-ю степень.Таким образом, пятая сила находится снаружи. Вот почему мы сначала берем эту производную.

Когда мы пишем f ( g ( x )), f выходит за пределы g . Сначала возьмем производную от f по g .

Решение .Это имеет вид f ( g ( x )). Какая функция у f , то есть что снаружи, и что у g , что внутри?

g составляет x ⁴ — 2, потому что это внутри функции квадратного корня, которая равна f . Производная квадратного корня приведена в примере урока 6. Для любой аргумент g функции квадратного корня,

Здесь g равно x ⁴ — 2.Следовательно, поскольку производная от x ⁴ -2 равна 4 x ³ ,

Пример 2.Какова производная от y = sin ³ x ?

Решение . Это 3-я степень греха x . Чтобы решить, какая функция находится снаружи, как бы вы это оценили?

Сначала вы оцените sin x , а затем возьмете его 3-ю степень. sin x находится внутри третьей степени, которая находится снаружи.

Итак, производная 3-й степени — г ³ — это 3 г ² .Следовательно, если принять на данный момент, что производная sin x равна cos x (Урок 12), производная sin ³ x — снаружи внутрь — равна

3 sin ² x · cos x .

, производная которого равна — x ⁻² ; (Задача 4, Урок 4). Итак, у нас есть

Следовательно, его производная

— ( x ³ + 1) ⁻² · 3 x ²

Пример 4. Предположим, что y является функцией x . y = y ( x ). Примените цепное правило к

y , который, как мы предполагаем, является функцией x , находится внутри функции y ² . Производная y ² по отношению к y равна 2 y . Что касается производной от

Задача 1. Вычислите производную от ( x ² −3 x + 5) ⁹ .

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решите проблему сами!

9 ( x ² −3 x + 5) ⁸ (2 x — 3)

Проблема 2.Вычислите производную от ( x ⁴ — 3 x ² + 4) ^2/3 .

2/3 ( x ⁴ — 3 x ² + 4) ^-1/3 (4 x ³ — 6 x )

Задача 3. Вычислить производную sin ⁵ x .

5 sin ⁴ x cos x

Проблема 4.Вычислить производную sin x ⁵ .

Внутренняя функция: x ⁵ — вы бы оценили это последнее. Внешняя функция — sin x . (Это синус x ⁵ .) Следовательно, производная

cos x ⁵ · 5 x ⁴ .

Задача 5. Вычислить производную sin (1 + 2).

cos (1 + 2) x ^−1/2 .

Задача 6. Вычислить производную

¼ (sin x ) ^−3/4 cos x .

Пример 5. Более двух функций. Цепное правило может быть расширено до более чем двух функций. Например, пусть

Внешняя функция — это квадратный корень. Внутри это (1 + 2-я степень). А внутри — sin x .

Производная, следовательно,

(Сравните Пример 3.)

Задача 9. Предположим, что y является функцией x , и применим правило цепочки, чтобы выразить каждую производную относительно x .

Доказательство цепного правила

Чтобы доказать цепное правило, вернемся к основам.Пусть f является функцией g , которая, в свою очередь, является функцией x , так что мы имеем f ( g ( x )). Затем, когда значение г изменится на величину Δ г , значение г изменится на величину Δ f . У нас будет соотношение

Опять же, поскольку г является функцией x , тогда, когда x изменяется на величину Δ x , г изменится на величину Δ г .У нас будет соотношение

Но изменение x влияет на f , потому что оно зависит от g . У нас будет

Давайте теперь возьмем предел, поскольку Δ x приближается к 0. Тогда изменение в g ( x ) — Δ g — также приблизится к 0. Следовательно, с года предел a продукт равен произведению пределов (Урок 2), и по определению производной:

Это цепное правило.