Формулы для первой производной функции
y есть функция y = y(x)
C = постоянная, производная (y’) постоянной есть 0
y = C => y’ = 0
пример: y = 5, y’ = 0
Если y есть функцией типа y = xn, формула для производной есть:
y = xn => y’ = nxn-1
пример: y = x3 y’ = 3x3-1 = 3x2
y = x-3 y’ = -3x-4
Из вышеприведенной формулы мы можем сказать, что для производной y’ функции y = x = x1 that:
если y = x тогда y’=1
y = f1(x) + f2(x) + f3(x) …=>
y’ = f’1(x) + f’2(x) + f’3(x) …
Эта формула представляет производную функции, являющейся суммой функций.
Пример: Если мы имеем две функции f(x) = x2 + x + 1 и
g(x) = x5 + 7 и y = f(x) + g(x) тогда y’ = f'(x) + g'(x) =>
y’ = (x2 + x + 1)’ + (x
Если функция есть произведением двух функций, формула производной выглядит так:
y = f(x).
g(x) => y’ = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
Если f(x) = C(C есть постоянной) и y = f(x)g(x)
y = Cg(x) y’=C’.g(x) + C.g'(x) = 0 + C.g'(x) = C.g'(x)
y = Cf(x) => y’ = C.f'(x)
Формулы вычисления производной
| y = |
| y’ = |
|
y = ln x => y’ = 1/x
y = ex => y’ = ex
y = sin x => y’ = cos x
y = cos x => y’ = -sin x
y = tg x => y’ = 1/cos2x
y = ctg x => y’ = —1/ sin2x
| y = arcsin x | => | y’ = |
|
| y = arccos x | => | y’ = |
|
x| y = arctg x | => | y’ = |
|
| y = arcctg x | => | y’ = |
|
если функция есть функцией функции: u = u(x)
y = f(u) => y’ = f'(u).u’
Пример. Пусть у нас есть функция y = sin(x2)
в этом случае u = x2, f(u) = sin(u), производные есть f'(u) = cos(u), u’ = 2x
Задачи с производными
1) f(x) = 10x + 4y. Найдите первую производную f'(x)
ОТВЕТ: Мы можем использовать формулу нахождения производной для суммы функций
f(x) = f1(x) + f2(x), f1(x) = 10x, f2(x) = 4y
для функции f2(x) = 4y, y есть постоянной, потому что аргумент f2(x) есть x.
Поэтому f’2(x) = (4y)’ = 0. Отсюда производная функции f(x) есть: f'(x) = 10 + 0 = 10.
| 2) Вычислите производную f(x) = |
|
ОТВЕТ: у нас есть две функции h(x) = x10 и g(x) = 4.15 + cos x
функция f(x) есть h(x), разделенная на g(x). h'(x) = 10x 9 g'(x) = 0 — sin x = -sin x
| f'(x) = |
|
| f'(x) = |
| = |
|
3) f(x) = ln(sinx). Какая производная функции f(x)?
ОТВЕТ: Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать последнюю формулу.
Как мы видим, f(x) есть функцией двух функций:
f(x) = h(g(x)), где h = ln и g = sin x
| f'(x) = | g'(x) | = |
| cos x | = |
|
Подробнее о производных на страницах математического форума
Форум о производных
{\ грех {х} \ пер {х}} (\ грех {х} \ пер {х}) ‘= … $ $ Можете ли вы закончить это сейчас?$\endgroup$
0
$\begingroup$
Поскольку правило степени требует, чтобы показатель степени был константой . $\sin x$ определенно является константой , а не .
$\endgroup$
$\begingroup$
Вы пытаетесь использовать правило $$\frac{d}{dx}f(g(x)) = g'(x)f'(g(x))$$ 9{2n}}{(2n)!}\ , \ x\in \mathbb{R}$$
Но как найти производные $\sin(x)$ и $\cos(x)$, используя определение производной и те определения выше?
Как и следовало бы начать с:
$$\lim_{h\to\infty}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}$$
Но после этого нет подскажите вообще.
Помощь приветствуется!
- исчисление
- тригонометрия
- производные
$\endgroup$
3 9{2n}}{(2n)!} = \cos x$$
и аналогично для второго тождества (будьте осторожны и убедитесь, что вы получили знак минус — подсказка: что происходит с первым членом?).
Чтобы доказать, что суммирование и дифференцирование можно поменять местами, достаточно доказать, что второй ряд (ряд производных) сходится равномерно (локально равномерно тоже хорошо). В этом случае вы можете сделать это, используя некоторые простые оценки факториала.
$\endgroup$
$\begingroup$
Используйте $\sin(x+h)=\sin(x)\cos(h) + \sin(h) \cos(x)$.
Или более явно
$ $ \ frac {\ sin (x + h) — \ sin (x)} {h} = \ frac {\ sin (x) (\ cos (h) -1)} {h} + \ frac {\ sin (h)\cos(x)}{h}$$
Как
$$\lim_{h \to 0} \frac{\sin(x) (\cos(h)-1)}{h}=0$$
И
$$\lim_{h\to 0} \frac{\sin(h)\cos(x)}{h}=\cos(x)$$
вы получаете, что $\sin'(x)=\cos(x)$.