Производная корня из x: Производная корня из х, sqrt(x)’

Содержание

Производная корня (√x)' · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Для нахождения производных от сложный функций, содержащих корень, используйте калькулятор производных на этом сайте (тем более он даёт ещё ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ). Этот калькулятор находится по ссылке:

https://www.kontrolnaya-rabota.ru/s/proizvodnaya-funktsii/one/

Например, если надо найти производную от корня из x, умноженного на e в степени x.

Вводим в форму эту функцию sqrt(x)*exp(x) как изображено на рисунке выше.

Получим результат, когда нажмём на кнопку "Найти производную".

Результат вычисления производной от функции f(x) = sqrt(x)*exp(x):


                 x  
    ___  x      ℯ   
╲╱ x ⋅ℯ  + ───────
                 ___
            2⋅╲╱ x 
=

sqrt(x)*exp(x) + exp(x)/(2*sqrt(x))

Общее правило

Производную от корня очень просто посчитать. 2-1)/(1-sqrt(x))

  1. Применим правило производной частного:

    и .

    Чтобы найти :

    1. Заменим .

    2. В силу правила, применим: получим

  2. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

    1. дифференцируем почленно:

      1. Производная постоянной равна нулю.

      2. В силу правила, применим: получим

      В результате:

    В результате последовательности правил:

Чтобы найти :

  1. дифференцируем почленно:

    1. Производная постоянной равна нулю. 2-1)/x

      1. Применим правило производной частного:

        и .

        Чтобы найти :

        1. Заменим .

        2. В силу правила, применим: получим

      2. Затем примените цепочку правил. Умножим на :

        1. дифференцируем почленно:

          1. Производная постоянной равна нулю.

          2. В силу правила, применим: получим

          В результате:

        В результате последовательности правил:

      Чтобы найти :

      1. В силу правила, применим: получим

      Теперь применим правило производной деления:

    2. Теперь упростим:


    3. Ответ:

      Mathway | Популярные задачи

      1 Trovare la Derivata - d/dx натуральный логарифм x
      2 Вычислим интеграл интеграл натурального логарифма x по x
      3 Trovare la Derivata - d/dx e^x
      4 Вычислим интеграл интеграл e^(2x) относительно x
      5 Trovare la Derivata - d/dx 1/x
      6 Trovare la Derivata - d/dx x^2
      7 Trovare la Derivata - d/dx 1/(x^2)
      8 Trovare la Derivata - d/dx sin(x)^2
      9 Trovare la Derivata - d/dx sec(x)
      10 Вычислим интеграл интеграл e^x относительно x
      11 Вычислим интеграл интеграл x^2 относительно x
      12 Вычислим интеграл интеграл квадратного корня x по x
      13 Trovare la Derivata - d/dx cos(x)^2
      14 Вычислим интеграл интеграл 1/x относительно x
      15 Вычислим интеграл интеграл sin(x)^2 относительно x
      16 Trovare la Derivata - d/dx x^3
      17 Trovare la Derivata - d/dx sec(x)^2
      18 Вычислим интеграл интеграл cos(x)^2 относительно x
      19 Вычислим интеграл интеграл sec(x)^2 относительно x
      20 Trovare la Derivata - d/dx e^(x^2)
      21 Вычислим интеграл интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
      22 Trovare la Derivata - d/dx sin(2x)
      23 Trovare la Derivata - d/dx tan(x)^2
      24 Вычислим интеграл интеграл 1/(x^2) относительно x
      25 Trovare la Derivata - d/dx 2^x
      26 График натуральный логарифм a
      27 Trovare la Derivata - d/dx cos(2x)
      28 Trovare la Derivata - d/dx xe^x
      29 Вычислим интеграл интеграл 2x относительно x
      30 Trovare la Derivata - d/dx ( натуральный логарифм x)^2
      31 Trovare la Derivata - d/dx натуральный логарифм (x)^2
      32 Trovare la Derivata - d/dx 3x^2
      33 Вычислим интеграл интеграл xe^(2x) относительно x
      34 Trovare la Derivata - d/dx 2e^x
      35 Trovare la Derivata - d/dx натуральный логарифм 2x
      36 Trovare la Derivata - d/dx -sin(x)
      37 Trovare la Derivata - d/dx 4x^2-x+5
      38 Trovare la Derivata - d/dx y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
      39 Trovare la Derivata - d/dx 2x^2
      40 Вычислим интеграл интеграл e^(3x) относительно x
      41 Вычислим интеграл интеграл cos(2x) относительно x
      42 Trovare la Derivata - d/dx 1/( квадратный корень x)
      43 Вычислим интеграл интеграл e^(x^2) относительно x
      44 Вычислить e^infinity
      45 Trovare la Derivata - d/dx x/2
      46 Trovare la Derivata - d/dx -cos(x)
      47 Trovare la Derivata - d/dx sin(3x)
      48 Trovare la Derivata - d/dx 1/(x^3)
      49 Вычислим интеграл интеграл tan(x)^2 относительно x
      50 Вычислим интеграл интеграл 1 относительно x
      51 Trovare la Derivata - d/dx x^x
      52 Trovare la Derivata - d/dx x натуральный логарифм x
      53 Trovare la Derivata - d/dx x^4
      54 Оценить предел предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
      55 Вычислим интеграл интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
      56 Trovare la Derivata - d/dx f(x) = square root of x
      57 Trovare la Derivata - d/dx x^2sin(x)
      58 Вычислим интеграл интеграл sin(2x) относительно x
      59 Trovare la Derivata - d/dx 3e^x
      60 Вычислим интеграл интеграл xe^x относительно x
      61 Trovare la Derivata - d/dx y=x^2
      62 Trovare la Derivata - d/dx квадратный корень x^2+1
      63 Trovare la Derivata - d/dx sin(x^2)
      64 Вычислим интеграл интеграл e^(-2x) относительно x
      65 Вычислим интеграл интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
      66 Trovare la Derivata - d/dx e^2
      67 Trovare la Derivata - d/dx x^2+1
      68 Вычислим интеграл интеграл sin(x) относительно x
      69 Trovare la Derivata - d/dx arcsin(x)
      70 Оценить предел предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
      71 Вычислим интеграл интеграл e^(-x) относительно x
      72 Trovare la Derivata - d/dx x^5
      73 Trovare la Derivata - d/dx 2/x
      74 Trovare la Derivata - d/dx натуральный логарифм 3x
      75 Trovare la Derivata - d/dx x^(1/2)
      76 Trovare la Derivata - d/[email protected] f(x) = square root of x
      77 Trovare la Derivata - d/dx cos(x^2)
      78 Trovare la Derivata - d/dx 1/(x^5)
      79 Trovare la Derivata - d/dx кубический корень x^2
      80 Вычислим интеграл интеграл cos(x) относительно x
      81 Вычислим интеграл интеграл e^(-x^2) относительно x
      82 Trovare la Derivata - d/[email protected] f(x)=x^3
      83 Вычислим интеграл интеграл 4x^2+7 от 0 до 10 относительно x
      84 Вычислим интеграл интеграл от ( натуральный логарифм x)^2 по x
      85 Trovare la Derivata - d/dx логарифм x
      86 Trovare la Derivata - d/dx arctan(x)
      87 Trovare la Derivata - d/dx натуральный логарифм 5x
      88 Trovare la Derivata - d/dx 5e^x
      89 Trovare la Derivata - d/dx cos(3x)
      90 Вычислим интеграл интеграл x^3 относительно x
      91 Вычислим интеграл интеграл x^2e^x относительно x
      92 Trovare la Derivata - d/dx 16 корень четвертой степени 4x^4+4
      93 Trovare la Derivata - d/dx x/(e^x)
      94 Оценить предел предел arctan(e^x), если x стремится к 3
      95 Вычислим интеграл интеграл (e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x)) относительно x
      96 Trovare la Derivata - d/dx 3^x
      97 Вычислим интеграл интеграл xe^(x^2) относительно x
      98 Trovare la Derivata - d/dx 2sin(x)
      99 Вычислить sec(0)^2
      100 Trovare la Derivata - d/dx натуральный логарифм x^2

      Производная от корня из x.

      Производная степенной функции (степени и корни)

      На этом занятии мы будем учиться применять формулы и правила дифференцирования.

      Примеры. Найти производные функций.

      1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Применяем правило I , формулы 4, 2 и 1 . Получаем:

      y’=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

      2. y=3x 6 -2x+5. Решаем аналогично, используя те же формулы и формулу 3.

      y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

      Применяем правило I , формулы 3, 5 и 6 и 1.

      Применяем правило IV , формулы 5 и 1 .

      В пятом примере по правилу I производная суммы равна сумме производных, а производную 1-го слагаемого мы только что находили (пример 4 ), поэтому, будем находить производные 2-го и 3-го слагаемых, а для 1-го слагаемого можем сразу писать результат.

      Дифференцируем 2-ое и 3-е слагаемые по формуле 4 . Для этого преобразуем корни третьей и четвертой степеней в знаменателях к степеням с отрицательными показателями, а затем, по 4 формуле, находим производные степеней.

      Посмотрите на данный пример и полученный результат. Уловили закономерность? Хорошо. Это означает, что мы получили новую формулу и можем добавить ее в нашу таблицу производных.

      Решим шестой пример и выведем еще одну формулу.

      Используем правило IV и формулу 4 . Получившиеся дроби сократим.

      Смотрим на данную функцию и на ее производную. Вы, конечно, поняли закономерность и готовы назвать формулу:

      Учим новые формулы!

      Примеры.

      1. Найти приращение аргумента и приращение функции y=x 2 , если начальное значение аргумента было равно 4 , а новое -4,01 .

      Решение.

      Новое значение аргумента х=х 0 +Δx . Подставим данные: 4,01=4+Δх, отсюда приращение аргумента Δх =4,01-4=0,01. Приращение функции, по определению, равно разности между новым и прежним значениями функции, т.е. Δy=f (х 0 +Δх) - f (x 0). Так как у нас функция y=x 2 , то Δу =(х 0 +Δx) 2 — (х 0) 2 =(х 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 — (х 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

      2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

      Ответ: приращение аргумента Δх =0,01; приращение функции Δу =0,0801.

      Можно было приращение функции найти по-другому: Δy =y (х 0 +Δx) -y (х 0)=у(4,01) -у(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

      2. Найти угол наклона касательной к графику функции y=f (x) в точке х 0 , если f "(х 0) = 1 .

      Решение.

      Значение производной в точке касания х 0 и есть значение тангенса угла наклона касательной (геометрический смысл производной). Имеем: f "(х 0) = tgα = 1 → α = 45°, так как tg45°=1.

      Ответ: касательная к графику данной функции образует с положительным направлением оси Ох угол, равный 45° .

      3. Вывести формулу производной функции y=x n .

      Дифференцирование — это действие нахождения производной функции.

      При нахождении производных применяют формулы, которые были выведены на основании определения производной, так же, как мы вывели формулу производной степени: (x n)" = nx n-1 .

      Вот эти формулы.

      Таблицу производных легче будет заучить, проговаривая словесные формулировки:

      1. Производная постоянной величины равна нулю.

      2. Икс штрих равен единице.

      3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

      4. Производная степени равна произведению показателя этой степени на степень с тем же основанием, но показателем на единицу меньше.

      5. Производная корня равна единице, деленной на два таких же корня.

      6. Производная единицы, деленной на икс равна минус единице, деленной на икс в квадрате.

      7. Производная синуса равна косинусу.

      8. Производная косинуса равна минус синусу.

      9. Производная тангенса равна единице, деленной на квадрат косинуса.

      10. Производная котангенса равна минус единице, деленной на квадрат синуса.

      Учим правила дифференцирования .

      1. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных слагаемых.

      2. Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго.

      3. Производная «у», деленного на «вэ» равна дроби, в числителе которой "у штрих умноженный на «вэ» минус «у, умноженный на вэ штрих», а в знаменателе — «вэ в квадрате».

      4. Частный случай формулы 3.

      Учим вместе!

      Страница 1 из 1 1

      На котором мы разобрали простейшие производные, а также познакомились с правилами дифференцирования и некоторыми техническими приемами нахождения производных. Таким образом, если с производными функций у Вас не очень или какие-нибудь моменты данной статьи будут не совсем понятны, то сначала ознакомьтесь с вышеуказанным уроком. Пожалуйста, настройтесь на серьезный лад – материал не из простых, но я все-таки постараюсь изложить его просто и доступно.

      На практике с производной сложной функции приходится сталкиваться очень часто, я бы даже сказал, почти всегда, когда Вам даны задания на нахождение производных.

      Смотрим в таблицу на правило (№5) дифференцирования сложной функции:

      Разбираемся. Прежде всего, обратим внимание на запись . Здесь у нас две функции – и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.

      Функцию я буду называть внешней функцией , а функцию – внутренней (или вложенной) функцией .

      ! Данные определения не являются теоретическими и не должны фигурировать в чистовом оформлении заданий. Я применяю неформальные выражения «внешняя функция», «внутренняя» функция только для того, чтобы Вам легче было понять материал.

      Для того, чтобы прояснить ситуацию, рассмотрим:

      Пример 1

      Найти производную функции

      Под синусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится.

      Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя:

      В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция – это сложная функция, причем многочлен является внутренней функцией (вложением), а – внешней функцией.

      Первый шаг , который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней .

      В случае простых примеров вроде понятно, что под синус вложен многочлен . А как же быть, если всё не очевидно? Как точно определить, какая функция является внешней, а какая внутренней? Для этого я предлагаю использовать следующий прием, который можно проводить мысленно или на черновике.

      Представим, что нам нужно вычислить на калькуляторе значение выражения при (вместо единицы может быть любое число).

      Что мы вычислим в первую очередь? В первую очередь нужно будет выполнить следующее действие: , поэтому многочлен и будет внутренней функцией :


      Во вторую очередь нужно будет найти , поэтому синус – будет внешней функцией:

      После того, как мы РАЗОБРАЛИСЬ с внутренней и внешней функциями самое время применить правило дифференцирования сложной функции .

      Начинаем решать. Из урока Как найти производную? мы помним, что оформление решения любой производной всегда начинается так – заключаем выражение в скобки и ставим справа вверху штрих:

      Сначала находим производную внешней функции (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что . Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением , в данном случае:

      Обратите внимание, что внутренняя функция не изменилась, её мы не трогаем .

      Ну и совершенно очевидно, что

      Результат применения формулы в чистовом оформлении выглядит так:

      Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:

      Если осталось какое-либо недопонимание, перепишите решение на бумагу и еще раз прочитайте объяснения.

      Пример 2

      Найти производную функции

      Пример 3

      Найти производную функции

      Как всегда записываем:

      Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение выражения при . Что нужно выполнить в первую очередь? В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание: , значит, многочлен – и есть внутренняя функция:

      И, только потом выполняется возведение в степень , следовательно, степенная функция – это внешняя функция:

      Согласно формуле , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу: . Повторяем еще раз: любая табличная формула справедлива не только для «икс», но и для сложного выражения . Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:

      Снова подчеркиваю, что когда мы берем производную от внешней функции , внутренняя функция у нас не меняется:

      Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции и немного «причесать» результат:

      Пример 4

      Найти производную функции

      Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

      Для закрепления понимания производной сложной функции приведу пример без комментариев, попробуйте самостоятельно разобраться, порассуждать, где внешняя и где внутренняя функция, почему задания решены именно так?

      Пример 5

      а) Найти производную функции

      б) Найти производную функции

      Пример 6

      Найти производную функции

      Здесь у нас корень, а для того, чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:

      Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции :

      Степень снова представляем в виде радикала (корня), а для производной внутренней функции применяем простое правило дифференцирования суммы:

      Готово. Можно еще в скобках привести выражение к общему знаменателю и записать всё одной дробью. Красиво, конечно, но когда получаются громоздкие длинные производные – лучше этого не делать (легко запутаться, допустить ненужную ошибку, да и преподавателю будет неудобно проверять).

      Пример 7

      Найти производную функции

      Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

      Интересно отметить, что иногда вместо правила дифференцирования сложной функции можно использовать правило дифференцирования частного , но такое решение будет выглядеть как извращение необычно. Вот характерный пример:

      Пример 8

      Найти производную функции

      Здесь можно использовать правило дифференцирования частного , но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции:

      Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель:

      Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция.

      Используем наше правило :

      Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем обратно вниз:

      Готово. В рассмотренном примере важно не запутаться в знаках. Кстати, попробуйте решить его с помощью правила , ответы должны совпасть.

      Пример 9

      Найти производную функции

      Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

      До сих пор мы рассматривали случаи, когда у нас в сложной функции было только одно вложение. В практических же заданиях часто можно встретить производные, где, как матрешки, одна в другую, вложены сразу 3, а то и 4-5 функций.

      Пример 10

      Найти производную функции

      Разбираемся во вложениях этой функции. Пробуем вычислить выражение с помощью подопытного значения . Как бы мы считали на калькуляторе?

      Сначала нужно найти , значит, арксинус – самое глубокое вложение:

      Затем этот арксинус единицы следует возвести в квадрат :

      И, наконец, семерку возводим в степень :

      То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой внутренней функцией является арксинус, а самой внешней функцией – показательная функция.

      Начинаем решать

      Согласно правилу сначала нужно взять производную от внешней функции. Смотрим в таблицу производных и находим производную показательной функции: Единственное отличие – вместо «икс» у нас сложное выражение , что не отменяет справедливость данной формулы. Итак, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий.

      Операция отыскания производной называется дифференцированием.

      В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

      Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

      Чтобы найти производную , надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного - в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

      Пример 1. Найти производную функции

      Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

      Из таблицы производных выясняем, что производная "икса" равна единице, а производная синуса - косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

      Пример 2. Найти производную функции

      Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

      Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

      Таблица производных простых функций

      Правила дифференцирования

      1. Производная суммы или разности
      2. Производная произведения
      2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель
      3. Производная частного
      4. Производная сложной функции

      Правило 1. Если функции

      дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

      причём

      т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

      Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны , т.е.

      Правило 2. Если функции

      дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

      причём

      т. е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

      Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной :

      Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

      Например, для трёх множителей:

      Правило 3. Если функции

      дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

      т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

      Где что искать на других страницах

      При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные - в статье "Производная произведения и частного функций " .

      Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

      А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u "v , в котором u - число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

      Другая частая ошибка - механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

      По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .

      Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие "Производная суммы дробей со степенями и корнями ".

      Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие "Производные простых тригонометрических функций".

      Пошаговые примеры - как найти производную

      Пример 3. Найти производную функции

      Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители - суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

      Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, "икс" у нас превращается в единицу, а минус 5 - в ноль. Во втором выражении "икс" умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную "икса". Получаем следующие значения производных:

      Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

      Пример 4. Найти производную функции

      Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

      Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

      Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие "Производная суммы дробей со степенями и корнями" .

      Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок "Производные простых тригонометрических функций" .

      Пример 5. Найти производную функции

      Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых - квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

      Пример 6. Найти производную функции

      Решение. В данной функции видим частное, делимое которого - квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

      Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на .

      Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная - одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

      Геометрический и физический смысл производной

      Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

      Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

      Иначе это можно записать так:

      Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

      производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.


      Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

      Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

      Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

      Правило первое: выносим константу

      Константу можно вынести за знак производной. Более того - это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило - если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .

      Пример. Вычислим производную:

      Правило второе: производная суммы функций

      Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

      Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

      Найти производную функции:

      Правило третье: производная произведения функций

      Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

      Пример: найти производную функции:

      Решение:

      Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

      В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

      В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

      Правило четвертое: производная частного двух функций

      Формула для определения производной от частного двух функций:

      Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

      С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

      Здравствуйте, уважаемые читатели. После прочтения статьи у вас, вероятно, возникнет закономерный вопрос: «А зачем, собственно, это надо?». В силу этого сперва считаю необходимым заблаговременно сообщить, что искомый метод решения квадратных уравнений представлен скорее с морально-эстетической стороны математики, нежели со стороны практического сухого применения. Также заранее извиняюсь перед теми читателями, которые посчитают мои дилетантские изречения неприемлемыми. Итак, начнем забивать гвозди микроскопом.

      Имеем алгебраическое уравнение второй степени (оно же квадратное) в общем виде:

      Перейдем от квадратного уравнения к квадратичной функции:

      Где, очевидно, необходимо найти такие значения аргумента функции, в которых оная возвратила бы ноль.

      Кажется, нужно просто решить квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант . Но мы ведь собрались здесь не для этого. Давайте-ка лучше возьмем производную!

      Исходя из определения физического смысла производной первого порядка ясно, что подставляя аргумент в получившуюся выше функцию мы (в частности) получим скорость изменения функции в заданной этим аргументом точке.

      На этот раз мы получили «скорость скорости» изменения функции (то бишь ускорение ) в конкретной точке. Немного проанализировав полученное, можно сделать вывод, что «ускорением» является константа, которая не зависит от аргумента функции - запомним это.

      Сейчас вспомним немного физику и равноускоренное движение (РУД). Что у нас есть в арсенале? Верно, имеется формула для определения координаты перемещения по оси при искомом движении:

      Где - время, - начальная скорость, - ускорение.
      Нетрудно заметить, что наша изначальная функция как раз представляет из себя РУД.

      Разве формула перемещения для РУД не является следствием решения квадратного уравнения?

      Нет. Формула для РУД выше по факту есть результат взятия интеграла от формулы скорости при ПРУД. Или из графика можно найти площадь фигуры. Там вылезет трапеция.
      Формула перемещения при РУД не вытекает из решения каких-либо квадратных уравнений. Это очень важно, иначе не было бы смысла статьи.


      Теперь осталось разобраться что есть что, и чего нам не хватает.

      «Ускорение» у нас уже есть - им является производная второго порядка , выведенная выше. А вот чтобы получить начальную скорость , нам нужно взять в общем-то любой (обозначим его как ) и подставить его в производную теперь уже первого порядка - ибо она и будет искомым.

      В таком случае возникает вопрос, какой же нужно взять? Очевидно, такой, чтобы начальная скорость была равна нулю, чтобы формула «перемещения при РУД» стала иметь вид:

      В таком случае составим уравнение для поиска :

      [подставили в производную первого порядка ]

      Корнем такого уравнения относительно будет:

      А значением исходной функции при таком аргументе будет:

      Теперь становится очевидно, что:

      Соединим все «детали пазла» воедино:

      Вот мы и получили окончательное решение поставленной задачи. Вообще Америку мы не открыли - мы просто пришли к формуле решения квадратного уравнения через дискриминант окольными путями. {k_n-1}(x).$

      Замечание. Для нахождения корней $f(x)$ можно использовать соображение:

      $\frac{f(x)}{НОД(f,f')}=p_1(x)...p_n(x)$

      Производная степени | Математика

      Производная степени встречается в большинстве примеров на дифференцирование. Само правило нахождения производной степени простое. При дифференцировании степени с натуральным показателем проблем, как правило, не возникает. А вот найти производную степени с отрицательным или дробным показателями несколько сложнее. Легче всего понять, как найти производную степени, на примерах.

      Открываем таблицу производных и правила дифференцирования.

      Основная формула, по которой  может быть найдена производная любой степени —

         

      Примеры. Найти производную степени:

         

         

      Поскольку при дифференцировании число выносится за знак производной, то множитель, стоящий перед степенью, при нахождении производной просто переписываем:

         

         

      Нахождение производной степени, стоящей в знаменателе дроби, немного сложнее. Прежде чем воспользоваться основной формулой, степень поднимаем из числителя в знаменатель. Получившуюся в результате вычислений степень с отрицательным показателем снова преобразовываем.

         

         

         

         

         

         

      Производная степени используется и для дифференцирования корней. Предварительно корень приводится к степени, а в найденной производной снова возвращаемся к корню.

      Например,

         

         

         

         

         

         

      Если корень в знаменателе, сначала преобразовываем его в степень, затем — поднимаем наверх с отрицательным показателем, а  далее — как обычно, производная степени.

      Например,

         

         

         

         

         

         

         

         

      Примеры для самопроверки. Найти производную степени:

         

      Показать решение

         

         

         

         

         

         

         

       

      "Решаем с помощью производной"

      Производная широко применяется при решении ряда задач элементарной математики. Из всего круга таких задач выделим те, при решении которых используется теорема Лагранжа и ее следствия. К ним относятся задачи на доказательство тождеств, неравенств, вывод формул тригонометрии, разложение алгебраических выражений на множители, решение уравнений, неравенств, систем уравнений, уравнений с параметрами. При этом можно указать общие методы решения и некоторые частные приемы.

      Теорема Лагранжа. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема во внутренних точках этого отрезка. Тогда существует внутренняя точка с этого отрезка, такая, что <Рисунок1>.

      Следствие 1 (условие постоянства). Если функция f непрерывна на отрезке [a;b], а ее производная равна нулю внутри этого отрезка, то функция f постоянна на [a;b].

      Следствие 2. Если функции и непрерывны на отрезке [a;b] и имеют одинаковые производные внутри этого отрезка, то они отличаются лишь постоянным слагаемым.

      Условие монотонности функции также является следствием теоремы Лагранжа. В школьном учебнике оно устанавливается отдельно в виде теоремы.

      Следствие 3 (условие монотонности). Если функция f непрерывна на промежутке I и ее производная положительна (соответственно отрицательна) во внутренних точках этого промежутка, то функция f возрастает (соответственно убывает) на I.

      Теорему Лагранжа можно применять:

      - при доказательстве неравенств, в частности – числовых неравенств;

      - при исследовании вопроса о корнях многочлена или уравнения;

      - при решении уравнений.

      В процессе решения таких задач вводится в рассмотрение функция f(x) на отрезке [a;b], удовлетворяющая условиям теоремы Лагранжа, для нее записывается формула Лагранжа <Рисунок1>, c (a;b) и оценивается f’(c), а, следовательно, и выражение <Рисунок2>, что позволяет доказать рассматриваемое неравенство или решить вопрос о корнях многочлена, уравнения.

      Пример 1. Доказать, что <Рисунок3>.

      Решение. Функция f(x)=arccosx на отрезке [0,6;0,8] непрерывна и дифференцируема на интервале (0,6;0,8), <Рисунок4>. Следовательно, для функции f(x) на данном отрезке выполняются условия теоремы Лагранжа и <Рисунок5>, где 0,6<c<0,8. Имеем <Рисунок6>, т.е. <Рисунок7>. Оценим число<Рисунок8>. Так как 0,6<c<0,8, то 0,36<1-c2<0,64 и 0,6<<Рисунок9><0,8, следовательно <Рисунок10>. Тогда <Рисунок11> и окончательно <Рисунок3>.

      Пример 2. Доказать, что ex>=ex.

      Решение. Неравенство справедливо при х=1. Рассмотрим функцию f(x)=ex-ex. Тогда для любого числа b (b>1) для данной функции выполняются условия теоремы Лагранжа на отрезке [1;b], а для b<1 – выполняется условие теоремы на отрезке [b;1] и, следовательно, существует внутренняя точка соответствующего отрезка, такая, что <Рисунок12>, т. е. <Рисунок13>. Так как c>1 при b>1, то ec>e и, следовательно, ec-e>0. Тогда <Рисунок14>, а значит eb-eb>0, т.е. eb>eb для любого b>1. Таким образом доказано, что ex>=ex при x>=1.

      Если b<1, то <Рисунок15>, т.е. с<1, тогда ec<e и ec-e<0. Учитывая, что b-1<0, из равенства <Рисунок13>, следует, что eb-eb>0, т.е. eb>eb.

      Итак, доказано, что неравенство ex>=ex верно при любом действительном х. В частности, при x=c+1 получим ec+1>=e(c+1), т.е. ec>=c+1, где с – любое действительное число.

      Пример 3. Доказать, что уравнение <Рисунок16> не имеет действительных положительных корней.

      Решение. Пусть b – любое положительное число. Рассмотрим функцию f(x)= <Рисунок17>, непрерывную на отрезке [a;b] и имеющую производную <Рисунок18> на интервале (0;b). По теореме Лагранжа имеем <Рисунок19>, 0<c<b, т.е. <Рисунок20>. А так как при любом с>0 ec>c+1 (доказано в примере 2), то ec-c>1 и, следовательно, <Рисунок21>. Отсюда получим <Рисунок22>, а значит <Рисунок23> для любого b>0. Таким образом, <Рисунок24> при x>0, т.е. <Рисунок25>, следовательно, равенство <Рисунок16> не выполняется ни при каком x>0. А, значит, уравнение <Рисунок16> не имеет действительных положительных корней.

      Пример 4. Доказать, что на промежутке (0, 2) имеется не более двух различных действительных корней уравнения <Рисунок26>.

      Решение. Предположим, что уравнение имеет не менее трех различных действительных корней х1, х2, х3, принадлежащих промежутку (0,2), и пусть x1<x2<x3. Тогда они являются нулями функции <Рисунок27>, т.е. f(x1)=f(x2)=f(x3)=0. На каждом из отрезков [x1;x2], [x2;x3] для функции f(x) выполняются условия теоремы Лагранжа, следовательно, существуют числа c1 и с2 из интервалов (х12), (х23) соответственно, такие, что <Рисунок28> и <Рисунок29>. А так как f(x1)=f(x2)=f(x3)=0, то f’(c1)=0 и f’(c2)=0, причем с1с2.

      Найдем производную f’(x):

      <Рисунок30>. Так как <Рисунок31> для любых х, то уравнение f’(x)=0 имеет единственный корень x=, принадлежащий промежутку (0, 2). Пришли к противоречию, так как с1 и с21с2) являются корнями уравнения f’(x)=0, тем самым доказано, что уравнение <Рисунок26> имеет на промежутке (0,2) не более двух различных действительных корней.

      Пример 5. Решить уравнение x9-9x5+63x-55=0.

      Решение. Легко заметить, что число х1=1 является корнем данного уравнения. Предположим, что существует еще хотя бы один действительный корень х2, отличный от х1. Числа х1 и х2 являются нулями функции f(x)=x9-9x5+63x-55 и, следовательно, f(x1)=f(x2)=0. Применим терему Лагранжа к функции f(x) на отрезке [x1;x2], если x1<x2 или на отрезке [x2;x1], если x1>x2. Следовательно, найдется такая внутренняя точка с этого отрезка, что будет выполняться <Рисунок32>. Учитывая, что f(x1)=f(x2)=0, получим f’(с)=0, т.е. число с – корень уравнения f’(x)=0. Но производная f’(x)=9x8-45x4+63, т.е. f’(x)=9(x4-2,5)2+6,75 положительна для любых х, а значит уравнение f’(x)=0 не имеет корней. Полученное противоречие доказывает, что найденный корень х1=1 является единственным корнем уравнения x9-9x5+63x-55=0.

      Пример 6.

      Определить число критических точек функции y=(x2-1)(x2-8х)(x-9).

      Решение. Так как степень многочлена f(x)= (x2-1)(x2-8х)(x-9) равна 5, то его производная f’(x) является многочленом четвертой степени и имеет не более четырех действительных корней. Применим теорему Лагранжа к функции f(x)=(x+1)(x-1)х(x-8)(x-9) на отрезках [-1;0], [0;1], [1;8], [8;9] и при этом учтем, что f(-1)=f(0)=f(1)=f(8)=f(9)=0. На каждом таком отрезке найдутся внутренние точки х1, х2, х3, х4 соответственно, такие, что <Рисунок33>, <Рисунок34>, <Рисунок35>, <Рисунок36>, т.е. f’(x1)=0, f’(x2)=0, f’(x3)=0, f’(x4)=0. А учитывая, что x1, х2, х3, х4 – различные корни многочлена f’(x) четвертой степени, делаем вывод, что других корней, отличных от полученных, нет и, следовательно, функция y=(x2-1)(x2-8х)(x-9) имеет четыре критические точки.

      Условие монотонности функции можно применять:

      - при решении неравенств;

      - при доказательстве неравенств с переменной;

      - при доказательстве числовых неравенств;

      - при исследовании вопроса о количестве корней уравнения;

      - в некоторых случаях при решении уравнений, уравнений с параметрами, систем уравнений.

      Решение задач с использованием условия монотонности основано на связи между возрастанием или убыванием функции и знаком ее производной на некотором промежутке. При этом, сравнивая различные значения аргумента из этого промежутка рассматриваемой монотонной функции, делается вывод о соответствующих значениях данной функции.

      Пример 7. Доказать, что 3xcosx<sinx+sin2x, если 0<x<<Рисунок37>.

      Решение. Докажем, что, если 0<x<<Рисунок37>, то sinx+sin2x-3xcosx>0, т.е. cosx(tgx+2sinx-3x)>0. Рассмотрим непрерывную на промежутке <Рисунок38>функцию f(x)=tgx-3x+2sinx. Ее производная <Рисунок39> при <Рисунок40> принимает положительные значения, следовательно, функция f(x) возрастает на промежутке <Рисунок38>и на нем f(x)>f(0).

      Учитывая, что f(0)=0, будем иметь tgx-3x+2sinx>0. А так как на промежутке <Рисунок38> cosx>0, то и cosx(tgx+2sinx-3x)>0. Таким образом доказано, что sinx+sin2x-3xcosx>0, то есть, что 3xcosx<sinx+sin2x, если 0<x<<Рисунок37>.

      Пример 8. Доказать, что

      1) <Рисунок41> и <Рисунок42>, если 0<x1<x2<=e;

      2) <Рисунок43>и <Рисунок44>, если e<=x1<x2.

      Решение. Рассмотрим непрерывную на промежутке (0;+) функцию <Рисунок45>. Так как ее производная <Рисунок46> равна нулю при х=е, а при 0<x<e f’(x)>0 и f’(x)<0 при x>e, то на промежутке (0;e] функция f(x) возрастает, а на промежутке [e;+) - убывает. Тогда для любых значений х1 и х2 таких, что 0<x1<x2<=e, будет выполняться неравенство f(x1)<f(x2), то есть <Рисунок47>. Запишем его в виде <Рисунок48>, <Рисунок49>. Учитывая, что функция ln t возрастающая, получим <Рисунок50>. А если обе части неравенства <Рисунок47> умножить на произведение x1x2>0, то получим x2lnx1<x1lnx2, далее <Рисунок51>, откуда и будем иметь <Рисунок52>.

      Если же e<=x1<x2, то f(x1)>f(x2), то есть <Рисунок47>, откуда и получим <Рисунок53>и <Рисунок54>.

      Доказанными в примере 8 неравенствами можно воспользоваться при сравнении чисел и при доказательстве числовых неравенств.

      Пример 9. Сравнить (сtg48°)tg48° и (сtg50°)tg50°.

      Решение. Заметим, что сtg48°=сtg<Рисунок55>, tg48°=tg<Рисунок55>, ctg50°=ctg<Рисунок55>, tg50°=tg<Рисунок55>, а также, что <Рисунок57>. Взяв <Рисунок58>, <Рисунок59> и учитывая, что <Рисунок53>, если 0<x1<x2<=e, получим <Рисунок60>, т.е. (сtg48°)tg48° > (сtg50°)tg50°.

      Пример 10. Доказать, что 2006 2007>2007 2006.

      Решение. Воспользуемся неравенством x1x2>x2x1, если e<=x1<x2. Положив х1=2006 и х2=2007, имеем e<2006<2007, следовательно, 2006 2007>2007 2006.

      Пример 11.

      Определить число действительных корней уравнения 2х3-24х-19=0.

      Решение. Функция f(x)= 2х3-24х-19 непрерывна на всей числовой прямой и имеет производную f’(x)=6x2-24=6(x-2)(x+2).

      При x<-2 и x>2 f’(x)>0, а при –2<x<2 f’(x)<0. Следовательно, на промежутках (-:-2],[2;+) функция возрастает, а на промежутке [-2;2] – убывает. Вычислим значения функции в точках х=-3, х=-2, х=2, х=5. Имеем f(-3)=-1<0, f(-2)=13>0, f(2)=-51<0, f(5)=111>0. Так как функция f(x) на концах отрезков [-3;-2], [-2;2], [2;5] принимает значения разных знаков, то на каждом из них имеется только один корень уравнения. Таким образом, уравнение 2х3-24х-19=0 имеет три действительных корня, которые находятся на промежутках  (-3;-2), (-2;2), (2;5).

      Остальные следствия теоремы Лагранжа можно применять:

      - при доказательстве тождеств, в частности при выводе формул элементарной математики;

      - при упрощении выражений;

      - при разложении алгебраических выражений на множители.

      При решении ряда таких задач на некотором промежутке рассматривается либо одна функция f(x), такая, что ее производная f’(x)=0 и, следовательно, функция постоянна, т. е. имеет вид f(x)=c, либо две функции f(x) и g(x), такие, что f’(x)=g’(x), и делается вывод, что f(x)=g(x)+c (c - постоянная). Эту постоянную находят, положив х равным некоторому значению х1.

      Пример 12. Вывести формулу <Рисунок61>.

      Решение. Функция f(x)= <Рисунок62> непрерывна на всей числовой прямой. Найдем производную этой функции f’(x)=2sinxcosx-sin2x=sin2x-sin2x. f’(x)=0 для любого действительного значения х, следовательно, на основании условия постоянства функции можно сделать вывод, что функция f(x) постоянна, т.е. f(x)=c. Для определения постоянной c положим х=0 и получим f(0)=c, т.е. sin20-0,5+0,5cos0=c. Таким образом, с=0 и значит f(x)=0, откуда и получим <Рисунок62>=0, или <Рисунок61>.

      Пример 13. Доказать, что arctgx=arcsin<Рисунок63> при x<0.

      Решение. Рассмотрим две непрерывные на промежутке (-;0] функции f(x)=arctgx и g(x)=arcsin<Рисунок64>, тогда они непрерывны на любом отрезке [b;0]. Найдем производные этих функций.

      <Рисунок65>, <Рисунок66>. Так как при x<0 |x|=-x, то <Рисунок67> и тогда f’(x)=g’(x) внутри отрезка [b;0]. На основании следствия 2 имеем f(x)=g(x)+c, где с – постоянная. Для определения с положим, например, х=-1, что дает arctg(-1)=arcsin<Рисунок69>, то есть <Рисунок68> Итак, получим arctgx=arcsin<Рисунок63> при x<0.

      Пример 14. Доказать тождество

      <Рисунок70>

      Решение. Заметим, что <Рисунок71>, <Рисунок72> для любого действительного х и функции <Рисунок73>, <Рисунок74> непрерывны на всей числовой прямой. Имеем <Рисунок75>,

      <Рисунок76>.

      1) Рассмотрим функцию F(x)=f(x)+g(x), x (-;-1) (0;1).

      F(x)= <Рисунок77>, а F’(x)=f’(x)+g’(x)= <Рисунок78>. Если x (-;-1), то |х2-1|=х2-1, |х|=-х и F’(x)=0. Если x (0;1), то |х2-1|=-(х2-1), |х|=х и F’(x)=0. На основании условия постоянства функции F(x)=c, то есть <Рисунок79>. На каждом из рассматриваемых промежутков определим с, положив, например, х=<Рисунок80> и x=<Рисунок81>.

      <Рисунок82>, cледовательно, с=.

      <Рисунок83>, следовательно, с=0. Имеем: <Рисунок84> при x (-;-1), <Рисунок85> при x (0;1).

      2) Рассмотрим функцию G(x)=f(x)-g(x), x (-1;0) (1; +).

      <Рисунок86>, <Рисунок87>.

      Если x (-1;0), то |х2-1|=-(х2-1), |x|=-x и G’(x)=0.

      Если x (1; +), то |х2-1|=х2-1, |x|=x и G’(x)=0. Тогда на указанных промежутках функция G(x) постоянна, т.е. <Рисунок88>. Положим x=<Рисунок80> и x=<Рисунок81>, получим <Рисунок89>, следовательно, с=; <Рисунок90>, тогда с=0.

      Имеем: <Рисунок91> при x (-1;0), <Рисунок92> при x (1;+ ).

      3) Вычислим значения f(x) и g(x) при х=± 1 и х=0.

      f(-1)=arccos(-1)=, g(-1)=arcsin0=0; следовательно, при х=-1 f(x)=+g(x), то есть <Рисунок93>. <Рисунок94>, <Рисунок95>, следовательно, при х=0 f(x)=-g(x), то есть <Рисунок96>. f(1)=arccos1=0, g(1)=arcsin0=0, следовательно, при х= 1 f(x)=g(x), то есть <Рисунок97>.

      Таким образом, данное тождество доказано для всех действительных х.

      Пример 15. Разложить на множители выражение

      y2(x-z)+x2(z-y)+z2(y-x).

      Решение. На данное выражение будем смотреть как на функцию от переменной х: f(x)=y2(x-z)+x2(z-y)+z2(y-x).

      Найдем f’(x).

      f’(x)=y2+2x(z-y)-z2=y2-z2-2x(y-z)=(y-z)(y+z)-2x(y-z)=(y-z)(y+z-2x).

      Будем считать, что (y-z)(y+z-2x) есть производная некоторой другой функции g(x), при этом множитель (y-z) будем рассматривать как постоянную, вынесенную при дифференцировании за знак производной, т.е.

      g’(x)=(y-z)((y+z)-2x). В качестве функции g(x) можно взять g(x)=(y-z)((y-z)x-x2).

      Так как функции f(x) и g(x) непрерывны и дифференцируемы на всей числовой прямой и f’(x)=g’(x), то по следствию 2 f(x)=g(x)+c, где с не зависит от х, но, возможно, зависит от y и z. Имеем y2(x-z)+x2(z-y)+z2(y-x)=(y-z)((y+z)x-x2)+c. Найдем с, полагая в этом равенстве, например, х=0. Имеем yz2-zy2=c. Тогда f(x)=g(x)+yz2-zy2, то есть

      f(x)=(y-z)((y+z)x-x2)+yz2-zy2=(y-z)(xy+xz-x2)-yz(y-z)=(y-z)(xy-x2+xz-yz)=(y-z)(x(y-x)-z(y-x))=(y-z)(y-x)(x-z).

      Итак, y2(x-z)+x2(z-y)+z2(y-x)=(y-z)(y-x)(x-z).

      Рисунки

      Исчисление

      - Производная квадратного корня от X

      исчисление - Производная квадратного корня от X - Mathematics Stack Exchange
      Сеть обмена стеков

      Сеть Stack Exchange состоит из 177 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

      Посетить Stack Exchange
      1. 0
      2. +0
      3. Авторизоваться Зарегистрироваться

      Mathematics Stack Exchange - это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

      Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

      Кто угодно может задать вопрос

      Кто угодно может ответить

      Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

      Спросил

      Просмотрено 11к раз

      $ \ begingroup $

      Хотите улучшить этот вопрос? Добавьте подробности и проясните проблему, отредактировав этот пост.

      Закрыт 5 лет назад.

      Учитывая $ y = \ sqrt x $ и ничего более, используя формулу предела $$ f '(x) = \ lim_ {h \ to0} \ frac {f (x + h) -f (x)} { h} $$ (то есть, f, простое число x, равно пределу стремления h к нулю с уравнением ((f суммы x и h) минус (функция x)) по h)

      как нам преобразовать (не оценивать) в нотацию Лейбница, $ \ frac {dy} {dx} $?

      У меня здесь много проблем, и я ненавижу исключать радикалы из знаменателей.Кто-нибудь проведет меня через это?

      (Также, что такое MathJaX?)

      Вопрос 22 на странице 107 книги из этой задачи здесь

      Создан 11 сен.

      Нефер007

      11 золотой знак11 серебряный знак55 бронзовых знаков

      $ \ endgroup $ 3 $ \ begingroup $

      Вот как оценить лимит, если вы об этом спрашиваете: $$ \ begin {align} \ lim_ {h \ to 0} \ dfrac {f (x + h) -f (x)} {h} & ​​= \ lim_ {h \ to 0} \ dfrac {\ sqrt {x + h} - \ sqrt {x}} {h} \\ & = \ lim_ {h \ to 0} \ dfrac {\ sqrt {x + h} - \ sqrt {x}} {h} \ dfrac {\ sqrt {x + h} + \ sqrt {x}} {\ sqrt {x + h} + \ sqrt {x}} \\ & = \ lim_ {h \ to 0} \ dfrac {h} {h (\ sqrt { x + h} + \ sqrt {x})} \\ & = \ lim_ {h \ to 0} \ dfrac {1} {(\ sqrt {x + h} + \ sqrt {x})} \\ & = \ dfrac {1} {2 \ sqrt {x}} \ end {align} $$

      Полезно помнить, что два величайших математических трюка - это умножение на 1 доллар и сложение на 0 долларов. Выше я просто умножил на особенно полезную версию числа 1 $.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *