Производная квадрата синуса: Производная синуса: формулы и примеры решений

2

Доказать неравенство (синус квадрата больше квадрата синуса) : Анализ-I

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Legioner93	Доказать неравенство (синус квадрата больше квадрата синуса) 23. 05.2011, 00:46
Заслуженный участник 28/07/09 1177	для . Нужно для быстрого доказательства равномерной сходимости функционального ряда. Для бесконечно малых легко доказывается выписыванием первых двух членов формулы Тейлора. Для такого интервала не получается. Методами мат. анализа решить не получилось (нахождение нулей производной, формула Лагранжа). Если решение и есть, то, наверное, с каким-нибудь изящным трюком, неравенством. Спасибо. P.S. Wolframalpha дает одним из решений интервал .

Sasha2	Re: Доказать неравенство 23. 05.2011, 06:29
21/06/06 1721	Да какой там изящный трюк. Все очень даже примитивно. Рассмотрим функцию . Ее значение в нуле равно , а ее производная равна . На указанном промежутке и следовательно в силу убывания косинуса . Ну а то, что (все там же) и ежу понятно. Таким образом, возрастание указанной функции (в силу положительности производной) налицо, а вместе с ним и справедливость данного неравенства. Ну и конечно, это неравенство также справедливо на промежутке от до , что очевидно в силу того, что в этом промежутке уже больше , а значит (в силу возрастания синуса) будем иметь , ну а в силу того, что сам то синус не больше единицы, также справедливо и такое неравенство: . Вот это промежуток от до , наверно вольфрам и выдает.

Legioner93	Re: Доказать неравенство 23.05.2011, 06:54
Заслуженный участник 28/07/09 1177	Хм, действительно. Большое спасибо:)

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию

Страница 1 из 1

[ Сообщений: 3 ]

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Видео с вопросами: Нахождение первой производной композиции радикальных и тригонометрических функций с помощью правила частных

Стенограмма видео

Определить производную функция 𝑠 от 𝑡 равна квадратному корню из отрицательного греха 𝑡 плюс семь к отрицательному потому что 𝑡 плюс семь.

Теперь мы сразу видим в этот вопрос, что у нас есть частное. Итак, нам нужно подать заявку частное правило в какой-то момент. Но нужно ли нам делать что-нибудь еще? ну у нас не только это частное. У нас есть квадратный корень из этого частное, что означает, что у нас есть составная функция. Итак, нам также понадобится применить цепное правило. Мы начнем с того, что позволим 𝑢 быть это частное под квадратным корнем. 𝑢 равно отрицательному греху 𝑡 плюс семь больше отрицательного cos 𝑡 плюс семь. Тогда 𝑠 становится функцией 𝑢. Он равен квадратному корню из 𝑢, которое мы можем выразить, используя обозначение индекса как 𝑢 в половинной степени.

Цепное правило с использованием букв 𝑠, 𝑡 и 𝑢, как мы имеем в этом вопросе, говорит нам, что производная от 𝑠 с отношение к 𝑡 равно d𝑠 на d𝑢, умноженному на d𝑢 на d𝑡. Применяя степенное правило, мы видим что d𝑠 на d𝑢 равно половине 𝑢 в степени отрицательной половины. Но чтобы найти d𝑢 по d𝑡, нам нужно будет применить правило отношения.

Мы определим 𝑓 как функцию в числителе это отрицательный грех 𝑡 плюс семь, а 𝑔 — функция в знаменатель, отрицательный cos 𝑡 плюс семь. Чтобы найти производные от эти две функции, нам нужно вспомнить, как мы различаем sin и cos. Есть полезный маленький цикл что мы можем вспомнить. Производная sin 𝑡 есть cos 𝑡. Производная от cos 𝑡 равна отрицательный грех 𝑡. Производная отрицательного греха 𝑡 является отрицательным, потому что 𝑡. И производная от отрицательного cos 𝑡 это грех 𝑡. И тогда мы идем по кругу еще раз.

Вспоминая, что производная от константа равна нулю, у нас есть, что 𝑓 простое число равно отрицательному cos 𝑡 и 𝑔 простое число равно греху 𝑡. Теперь мы можем заменить в Факторное правило для нахождения d𝑢 по d𝑡. Это 𝑔, это минус, потому что 𝑡 плюс семь, умножить на 𝑓 простое число, минус кос 𝑡, минус 𝑓, это отрицательный грех 𝑡 плюс семь, умножить на 𝑔 простое число, это грех 𝑡, всего 𝑔 в квадрате. Теперь нам нужно сделать некоторые упрощение. Итак, мы раскроем скобки в числитель, который дает косинус в квадрате 𝑡 минус семь косос 𝑡 плюс грех в квадрате 𝑡 минус семь грех 𝑡 сверх отрицательного косинуса 𝑡 плюс семь в квадрате.

На данный момент мы можем вспомнить один наших тригонометрических тождеств, квадрат квадрата 𝑡 плюс квадрат греха 𝑡 равен один. Итак, это упрощается до одного минуса семь cos 𝑡 минус семь sin 𝑡 сверх отрицательного cos 𝑡 плюс семь в квадрате. Теперь, когда мы нашли оба d𝑢 на d𝑡 и d𝑠 на d𝑢, мы можем заменить их в цепное правило. Тогда мы имеем, что d𝑠 by d𝑡 равно равно d𝑠 на d𝑢, это половина 𝑢 в степени отрицательной половины, умноженная на d𝑢 на d𝑡, это один минус семь, потому что 𝑡 минус семь, грех 𝑡 сверх отрицательного, потому что 𝑡 плюс семь в квадрате.

Помните, однако, что d𝑠 by d𝑡 должно быть только с точки зрения 𝑡. Итак, нам нужно обратить наше замена. У нас отрицательный грех 𝑡 плюс семь над отрицательным cos 𝑡 плюс семь в отрицательной степени половина, умноженная на один минус семь, потому что 𝑡 минус семь, грех 𝑡, больше двух, умноженное на минус, потому что 𝑡 плюс семь в квадрате. Эта сила отрицательной половины означает обратное, поэтому мы можем справиться с этим, инвертируя дробь. И первая часть становится отрицательной cos 𝑡 плюс семь к минусу sin 𝑡 плюс семь к степени плюса одна половина.

Затем мы можем упростить силы. У нас есть отрицательный cos 𝑡 плюс семь в степени половины в числителе, а затем минус кос 𝑡 плюс семь в степень двойки в знаменателе. Что приведет к власти минус три больше двух в целом. Это сила трех над двумя в знаменатель.

Это приводит нас к одному минус семь cos 𝑡 минус семь sin 𝑡 в числителе. И в знаменателе два раза квадратный корень из отрицательного греха 𝑡 плюс семь. Это отрицательный грех 𝑡 плюс семь в степени половины, умноженной на отрицательный cos 𝑡, плюс семь в степени три больше двух.

В этом вопросе мы видели что мы можем применить как частное, так и цепное правило к задаче, связанной с производные тригонометрических функций.

Синус и косинус

Синус и косинус Существует множество способов определения синуса и косинуса. в зависимости от того, что вы уже знаете. Если вы изучали свойства кривых в пространстве, пусть точка движется по единичной окружности против часовой стрелки, начиная с 1,0, с постоянной скоростью 1 единица в секунду. Координаты x и y дают косинус и синус соответственно. Или вы можете определить эти функции как степенные ряды. Или вы можете определить их с точки зрения площади частей единичного круга. Или вы можете определить их в терминах интегралов, как мы сделали с log(). Я выберу последний курс, поскольку это согласуется с тем, что мы сделали до сих пор. Но все определения эквивалентны, и мы могли бы начать с любого из них и вывести остальные.

Пусть арксинус x, записанный как in(x), быть интегралом от 1/sqrt(1-t2), поскольку t изменяется от 0 до x. Функция не определена вне x = ±1. По симметрии asin(-x) = -asin(x). Обратите внимание, что asin(1) — неопределенный интеграл; будем надеяться, что сходится.

На самом деле мы можем показать, что этот интеграл конечен. Замените 1-t2 на 1-t, который меньше, следовательно, дробь (подынтегральная функция) больше. Теперь мы интегрируем 1 по sqrt(t) от 0 до 1. Интеграл равен 2sqrt(t), а площадь равна 2, следовательно, арксинус числа 1 не больше 2.

Пусть π символизирует удвоенный арксинус числа 1. Другими словами, asin(1) = π/2, и asin(-1) = -π/2.

Пусть синус x, записанный как sin(x), будет обратной функцией, отображение диапазона [-π/2,π/2] обратно в [-1,1].

Напишите asin(sin(x)) = x и продифференцируйте. По цепному правилу производная sin(x) равна sqrt(1-sin2(x)). Назовем эту производную косинусом x или cos(x). Возьмем производную sqrt(1-sin2(x)), отменить 2cos(x) сверху и снизу и получить -sin(x). Таким образом, вторая производная от sin(x) равна -sin(x), а вторая производная от cos(x) равна -cos(x). Последовательный цикл производных через sin(x), cos(x), -sin(x), -cos(x), навсегда.

Мы определили косинус как производную от синуса, и показал, что это квадратный корень из 1 минус квадрат синуса. Другими словами, sin(t)2 + cos(t)2 = 1. Синус и косинус вместе взятые всегда определяют точку на единичной окружности. Обычно мы позволяем синусу быть координатой y, а косинус — это координата x. Поскольку t изменяется от -π/2 до π/2, косинус и синус описывают правую половину единичного круга от 0,-1 против часовой стрелки до 0,1. Синус монотонно возрастает со временем, и косинус начинается с 0, движется к 1 и возвращается к 0. Кроме того, если вы знакомы с векторным исчислением, скорость этой частицы квадратный корень из суммы квадратов производных компонентов, или (-sin(t))2 + cos(t)2, или 1. Частица движется с постоянной скоростью, описывая полуокружность. Как упоминалось ранее, можно определить синус и косинус следующим образом: измерение координат при движении по кругу с постоянной скоростью, затем вычислить все производные и интегралы. Не удивляйтесь, если ваш учебник делает это таким образом, но мне нравится начинать с интегралов и работать оттуда.

Как бы мы сюда не попали, по определению или по заключению, sin(t) и cos(t) отслеживают правую половину единичного круга поскольку t изменяется от -π/2 до π/2. Мы можем расширить эту функцию вперед и назад во времени, движение частицы по единичной окружности. Функция периодическая с периодом 2π. Если мы добавим 2π к t, синус и косинус будут одинаковыми, пройдя один раз вокруг единичного круга. Поскольку производная или косинус равна 0 вверху и внизу круга, расширенная функция дифференцируема где части соединены вместе, следовательно, он везде дифференцируем. Используя аналогичный аргумент, функция косинуса везде дифференцируема.