Нахождение производной от $\sqrt[3]{x}$ с использованием только ограничений
спросил
Изменено 6 лет, 9 месяцев назад
Просмотрено 16 тысяч раз
$\begingroup$
Мне нужно найти производную от $\sqrt[3]{x}$, используя только пределы 92}}$ (3 вместо 2 в знаменателе?)
ОБНОВЛЕНИЕ
Я обнаружил, что использую неправильное сопряжение на шаге 1. Но это (неправильное) сопряжение дает тот же результат, когда я умножаю на него числитель . Так что же с этим не так? (Я знаю, что это неправильно, но почему?)
- лимиты
$\endgroup$
3
Вот подсказка: используйте тождество $(a^3-b^3)=(a-b)\cdot(a^2+ab+b^2)$, где $a$, $b$ — подходящие кубические корни.
{-\frac{2}{3}}$. 9{1/n-1}
$.
$\endgroup$
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
Вопрос Видео: Оценка кубического корня числа с помощью линейной аппроксимации
Стенограмма видео
Найдя линейную аппроксимацию функции 𝑓 из 𝑥, равной кубическому корню из 𝑥 при подходящем значении 𝑥, оцените значение кубического корня из 1001.
Вопрос требует, чтобы мы оценили значение кубического корня из 1001. И он хочет, чтобы мы сделали это, найдя линейную аппроксимацию функции 𝑓 из 𝑥 равной кубическому корню из 𝑥 при подходящем значении 𝑥. Начнем с того, что вспомним, что такое линейная аппроксимация функции 𝑓 от 𝑥 в точке 𝑥 равна 𝑎. Если наша функция 𝑓 от 𝑥 дифференцируема при 𝑥 равна 𝑎, то мы можем аппроксимировать значения 𝑓 вблизи 𝑥 равно 𝑎 с помощью нашей касательной. И мы называем это линейной аппроксимацией 𝑙 из 𝑥. Его уравнение равно 𝑓 из 𝑎 плюс 𝑓 простое число из 𝑎, умноженное на 𝑥 минус 𝑎. И, конечно же, это просто уравнение касательной к нашей функции 𝑓 от 𝑥 в точке 𝑥 равно 𝑎.
Первое, что нам нужно решить, это значение 𝑎. И чтобы выбрать это, помните, мы хотим использовать нашу линейную аппроксимацию для аппроксимации кубического корня из 1001. И помните, наша линейная аппроксимация тем точнее, чем ближе наш ввод к 𝑥 равно 𝑎. Итак, мы хотим, чтобы 𝑓 из 𝑎 было близко к кубическому корню из 1001. В нашем случае 𝑓 из 𝑥 — это кубический корень из 𝑥. Итак, 𝑓 из 𝑎 — это кубический корень из 𝑎.
Итак, если мы выберем 𝑎 равным 1000, то кубический корень из 𝑎 будет кубическим корнем из 1000. Мы можем легко вычислить это значение. И мы знаем, что оно близко к кубическому корню из 1001. Поэтому мы возьмем 𝑎 равным 1000. Теперь нам нужно найти 𝑓 с оценкой 𝑎 и 𝑓 с простым числом 𝑎.
Начнем с 𝑓, оцененного в 𝑎. Это 𝑓 оценивается в 1000, что равно кубическому корню из 1000. И мы знаем, что 10 в кубе равно 1000, поэтому 𝑓 из 𝑎 равно 10. Теперь нам нужно найти 𝑓 простое число из 𝑎. Для этого нам нужно продифференцировать нашу функцию 𝑓 от 𝑥, которая является кубическим корнем из 𝑥.
Для этого мы перепишем кубический корень из 𝑥, используя наши законы показателей. Это равно 𝑥 в степени одной трети.
Теперь мы можем дифференцировать 𝑓 из 𝑥, используя степенное правило для дифференцирования. Мы умножаем на показатель степени 𝑥, который равен одной трети, и уменьшаем этот показатель на единицу. Мы получаем, что 𝑓 простое число 𝑥 равно одной трети, умноженной на 𝑥 в степени минус два больше трех. Мы хотим использовать это, чтобы найти выражение для 𝑓 простого числа 𝑎. Поэтому мы подставляем 𝑥 равно 1000 в наше выражение для 𝑓 простого числа 𝑥. Мы получаем одну треть, умноженную на 1000 в степени минус два на три.
Мы оценим это, используя наши законы показателей. Во-первых, 𝑎 в степени минус два над тремя равно кубическому корню из 𝑎, возведенному в степень минус два. Таким образом, мы получаем треть, умноженную на кубический корень из 1000 в степени минус два. А кубический корень из 1000 равен 10. Таким образом, мы можем упростить 𝑓 простое число из 1000, чтобы оно равнялось одной трети, умноженной на 10, в степени минус два.
И мы можем упростить это, используя наши законы показателей. 𝑎 в отрицательной степени 𝑛 равно единице, деленной на 𝑎 в 𝑛-й степени. Таким образом, 10 в степени отрицательного двойки — это единица на 10 в квадрате, то есть единица на 100. Таким образом, 𝑓 простое число 1000 равно единице, деленной на 300.
Теперь мы готовы найти наше линейное приближение кубического корня из 𝑥 в 𝑥 равно 1000. Сначала мы показали, что 𝑓, оцененное в 1000, равно 10. Затем мы показали, что 𝑓 простое число 1000 равно до единицы, разделенной на 300. Наконец, мы умножили единицу больше 300 на 𝑥 минус 𝑎, что равно 𝑥 минус 1000.
Помните, мы хотим оценить значение кубического корня из 1001. Кубический корень из 1001 равен 𝑓 оценивается как 1001. Таким образом, мы можем аппроксимировать это, подставив 1001 в наше линейное приближение. Подставляя 𝑥 равно 1001 в наше линейное приближение, мы получаем 10 плюс один на 300, умноженный на 1001 минус 1000. А 1001 минус 1000 равно единице. Таким образом, мы получаем 10 плюс один к 300, что мы можем упростить, чтобы получить 3001, деленное на 300.