Производная от модуля x: Найти производную y’ = f'(x) = x+(|x|) (х плюс (модуль от х |))

2 Модуль

Занятие № 13. Таблица производных. Непосредственное дифференцирование функций.

Цель занятия: Научить находить табличные производные, применяя к ним правила дифференцирования.

Производной от функциив точкех называется предел отношения её приращения в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

.

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Основные правила дифференцирования

Основные формулы дифференцирования

Применяя формулы и правила дифференцирования, найти производные следующих функций:

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Пример 5.

Пример 6.

Пример 7.

Пример 8.

Занятие № 14. Производная сложной функции. Правила дифференцирования.

Цель занятия: Научить находить производные от сложных функций.

Продифференцировать данные функции:

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Занятие № 15. Производная сложной функции. Производная высших порядков. Производная неявной функции.

Цель занятия: Закрепить нахождение производной от сложной функции и научить находить производные от неявно заданных функций.

Пример 1.

.

В данном примере прежде чем дифференцировать функцию, удобно её прологарифмировать, а затем найти производную как от неявной функции

.

Пример 2.

В данном примере удобно функцию сначала прологарифмировать

Пример 3. Найти и.

arctg y – y + x = 0

Дифференцируем заданное соотношение, рассматривая у как функцию от х

:

Находим далее :

В правую часть последнего равенства подставляем вместо его значение

.

Пример 4.

Если функция задана параметрическими уравнениями , то её производная находится по формуле :.

Вторая производная находится по формуле :

;

;

Занятие № 16. Дифференциал функции. Применение дифференциала для приближенных вычислений.

Цель занятия: Научить находить дифференциал первого и высших порядков, а также применять его для приближенных вычислений.

Дифференциалом функции называется главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента. Дифференциалом аргумента называется приращение аргумента:.

Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента:

Основные свойства дифференциала:

5. .

Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, тои.

Таким образом, дифференциал функции может применятся для приближенных вычислений.

Пример 1. Найти дифференциал функции

Пример 2. Найти дифференциал функции

Пример 3. Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядков функции

.

Пример 4. Найти дифференциалы первого и второго порядков функции .

Пример 5. Сравнить приращение и дифференциал функции .

Пример 6. Вычислить приближенное значение arcsin 0,51.

Пример 7. Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен 3,02 м.

Пример 8. Вычислить приближенное значение объема шара радиуса 2,01 м.

Занятие № 17. Правило Лопиталя.

Цель занятия: Научить вычислять пределы по данному правилу.

Правило Лопиталя. Если функции ибесконечно малые или бесконечно большие при, дифференцируемы в окрестности точки,в окрестности этой точки, существует, то существуети справедливо равенство:.

Эта теорема справедлива и при и позволяет раскрывать неопределённостии. Другие виды неопределённостей приводят к этим двум преобразованием выражения под знаком предела.

Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя.

Пример 1.

Здесь неопределённость вида . Применяя правило Лопиталя, имеем

Пример 2.

Здесь для получения результата приходится применять правило Лопиталя дважды, так как и данное отношение и отношение производных приводят к неопределённости типа . Повторные применения правила Лопиталя записываются обычно в одну цепочку равенств.

Пример 3.

Здесь неопределённость вида . Положим. Логарифмируя и применяя правило Лопиталя, получим

Таким образом,

Пример 4.

Это – неопределённость вида . Положими прологарифмируем:

Применяя правило Лопиталя, получим

, т.е.

Занятие № 18. Исследование функций с помощью производной.

Цель занятия: Показать на примерах различные способы исследования для разных функций.

Если в некоторой окрестности точки выполняется неравенствоили, то точканазываетсяточкой экстремума функции (соответственно точкой максимума или минимума).Необходимое условие экстремума: если – экстремальная точка функции, то первая производнаялибо равна нулю или бесконечности, либо не существует.Достаточное условие экстремума: является экстремальной точкой функции, если её первая производнаяменяет знак при переходе через точку: с плюса на минус – при максимуме, с минуса на плюс – при минимуме.

Кривая вогнута вверх (обозначают  ) на интервале , если в каждой точке этого интервала выполнено условиеприивогнута вниз (обозначают  ), если при.

Точка называетсяточкой перегиба кривой , если при переходе через точку меняется направление выпуклости.Необходимое условие точки перегиба: если — точка перегиба кривой, то вторая производнаялибо равна нулю или бесконечности, либо не существует.Достаточное условие точки перегиба: является точкой перегиба кривой, если при переходе через точкувторая производнаяменяет знак.

Прямая являетсянаклонной асимптотой кривой , если расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при. При этом

.

При имеемгоризонтальную асимптоту:

Если то прямаяназываетсявертикальной асимптотой.

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Решение. Наибольшее и наименьшее значения функции на замкнутом интервале достигаются или в точках экстремума, которые являются критическими точками функции, или на концах интервала. Задача сводится к сравнению между собой значений функции в указанных точках.

Находим стационарные точки:

Определяем значение функции в этих точках и на концах интервала

Среди полученных значений выбираем наибольшее и наименьшее

Пример 2.

Найти интервалы возрастания и убывания функции .

Пример 3. Исследовать на экстремум функцию .

Пример 4. Исследовать на экстремум функцию .

Пример 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-2; 3].

Пример 6. Найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой .

Пример 7. Найти точки перегиба кривой .

Пример 8. Найти асимптоты кривой .

Занятие № 19. Исследование функции с помощью производной и построение графиков.

Цель занятия: научить проводить полное исследование функции и строить графики.

Общая схема построения графика функции

1. Найти область определения.

2. Исследовать функцию на симметричность.

3. Исследовать функцию на периодичность.

4. Определить точки пересечения графика функции с координатными осями.

5. Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции.

6. Найти интервалы выпуклости, вогнутости графика функции и точки перегиба.

7. Выяснить существование асимптот.

8. Построить график функции. 2

   Как вы различаете модуль?

   Следовательно, производная функции модуля может быть записана как d(|x|)/dx = x/|x| , для всех значений x и x, не равных 0. Используя формулу функции модуля и формулы интегрирования, интеграл функции модуля равен (1/2)x ² + C, если x ≥ 0, и его интеграл равен -(1/2)x ² + C, если x < 0.

   Запрос на удаление

   | Просмотреть полный ответ на cuemath.com
   

   Может ли функция модуля быть дифференцируемой?

   Модуль функции не дифференцируем в точке, где эта функция равна нулю, поэтому, даже если функция дифференцируема при $ x = a $ , ее модуль не дифференцируем при $ x = a $ .

   Запрос на удаление

   | Посмотреть полный ответ на vedantu.com
   

   Можете ли вы различать абсолютные значения?

   Производная функции абсолютного значения и любой функции, если на то пошло, представляет собой наклон касательной к кривой в данной точке. Поскольку такие функции являются кусочными, можно дифференцировать каждую часть отдельно.

   Запрос на удаление

   | Посмотреть полный ответ на сайте Study.com
   

   Почему абсолютное значение не дифференцируемо?

   Левый предел не равен правому пределу, и, следовательно, предел разностного отношения f(x) = |x| при x = 0 не существует. Таким образом, функция абсолютного значения не дифференцируема при x = 0.

   Запрос на удаление

   | Посмотреть полный ответ на math.dartmouth.edu
   

   Всегда ли абсолютное значение дифференцируемо?

   Он дифференцируем везде, кроме x = 0.

   Запрос на удаление

   | Просмотреть полный ответ на en.wikipedia.org
   

   Исчисление исчисление 7 Производная функций абсолютного значения mathgotserved как быстро и легко обмануть

   Что такое правило модуля?

   Модульная функция — это функция, которая дает абсолютное значение числа или переменной. Он производит величину числа переменных. Ее также называют функцией абсолютного значения. Результат этой функции всегда положителен, независимо от того, какие входные данные были переданы функции.

   Запрос на удаление

   | Полный ответ на byjus.com
   

   Является ли функция модуля непрерывной или дифференцируемой?

   Модульная функция всюду непрерывна.

   Запрос на удаление

   | Посмотреть полный ответ на youtube.com
   

   Какие функции не могут быть дифференцируемыми?

   Функция не дифференцируема в точке а, если ее график имеет вертикальную касательную в точке а. Касательная линия к кривой становится круче по мере приближения x к a, пока не станет вертикальной линией.

   Запрос на удаление

   | Посмотреть полный ответ на calculus.nipissingu.ca
   

   Какие функции не дифференцируемы?

   Функция недифференцируема, если на ее графике есть точка возврата или угловая точка. Например, рассмотрим функцию f(x)=|x| , он имеет точку возврата в точке x=0, следовательно, он не дифференцируем в точке x=0 .

   Запрос на удаление

   | Посмотреть полный ответ на vedantu.com
   

   Как проверить, дифференцируема ли функция?

   Можно доказать, что функция дифференцируема, если ее левый предел равен правому пределу и производная существует в каждой внутренней точке области.

   Запрос на удаление

   | Посмотреть полный ответ на cuemath.com
   

   В каких 4 случаях функция не может быть дифференцируемой?

   Это так называемые разрывы. Четыре типа недифференцируемых функций: 1) Углы 2) Сборки 3) Вертикальные касательные 4) Любые разрывы Дайте мне функцию, которая непрерывна в точке, но не дифференцируема в этой точке.

   Запрос на удаление

   | Посмотреть полный ответ на lafcalc.weebly.com
   

   Какие функции всегда дифференцируемы?

   Синусы, косинусы и экспоненты везде дифференцируемы, но тангенсы и секансы сингулярны при определенных значениях.

   Запрос на удаление

   | Посмотреть полный ответ на ocw.mit.edu
   

   В чем разница между MOD и модулем?

   «по модулю» — это оператор. Например, мы можем сказать: «19 и 64 конгруэнтны по модулю 5». «модуль» — существительное. Он описывает 5 по модулю 5.

   Запрос на удаление

   | Посмотреть полный ответ на cs.stackexchange.com
   

   Является ли модуль комплексного числа дифференцируемым?

   Для |f(z)|=|z|, где z=x+iy, x, y вещественные, известно, что модуль |z| комплексно дифференцируема только при z=0, т. е. x=y=0.

   Запрос на удаление

   | Посмотреть полный ответ на math.stackexchange.com
   

   Является ли мод z 2 дифференцируемым?

   Это следует из уравнения CR, поскольку v(x, y) = 0 для всех x + iy ∈ C и, следовательно, все частные производные от v также равны нулю, а значит, то же верно и для u. Таким образом, функция f(z) = |z|2 не дифференцируема при z = 0. Однако уравнения CR не дают достаточных критериев дифференцируемости.

   Запрос на удаление

   | Посмотреть полный ответ на home.iitk.ac.in
   

   Каков модуль числа 4?

   Следовательно, модуль -4 равен 4, а главный аргумент -4 равен 0.

   Запрос на удаление

   | Посмотреть полный ответ на vedantu.com
   

   Почему модуль или абсолютное значение 2 и +2 или 2 и +2 равны?

   Пошаговое объяснение: модуль числа определяется как расстояние числа от 0 на числовой прямой и поэтому всегда неотрицательно, так как расстояние не может быть отрицательным. так как расстояние как +2, так и -2 от 0 равно 2. Таким образом, абсолютное значение или модуль обоих из них одинаковы.

   Запрос на удаление

   | Посмотреть полный ответ на brainly.in
   

   Какие существуют три типа модуля?

   Три типа модулей упругости.

   • 1∙ Модуль Юнга − эластичность при растяжении.
   • 2∙ Модуль сдвига − модуль жесткости, сдвиговой упругости.
   • 3∙ Объемный модуль − объемная эластичность.
   Запрос на удаление

   | Посмотреть полный ответ на toppr.com
   

   Какая функция не везде дифференцируема?

   В математике функция Вейерштрасса является примером действительнозначной функции, которая непрерывна везде, но нигде не дифференцируема. Это пример фрактальной кривой. Он назван в честь своего первооткрывателя Карла Вейерштрасса.

   Запрос на удаление

   | Посмотреть полный ответ на en. wikipedia.org
   

   Какие функции непрерывны, но не дифференцируемы?

   Примером функции, которая всюду непрерывна, но не может быть дифференцируемой ровно в двух точках, является g x = x — 1 + x + 1 .

   Запрос на удаление

   | Посмотреть полный ответ на byjus.com
   

   Каковы условия дифференцируемости?

   Функция f дифференцируема в точке x=a всякий раз, когда f′(a) существует, что означает, что f имеет касательную прямую в точке (a,f(a)) и, таким образом, f локально линейна при значении x=a. Неформально это означает, что функция выглядит как линия, если смотреть вблизи в точке (a,f(a)) и что в точке (a,f(a)) нет угловой точки или стыка.

   Запрос на удаление

   | Посмотреть полный ответ на math.libretexts.org
   

   Каковы четыре правила дифференциации?

   Правила дифференциации

   • Степенное правило.
   • Правило суммы и разности.
   • Правило продукта.
   • Частное правило.
   • Цепное правило.
   Запрос на удаление

   | Посмотреть полный ответ на byjus.com
   

   Как узнать, является ли функция дифференцируемой и сложной?

   Функция f является комплексно-дифференцируемой во внутренней точке z множества A, если производная f в точке z, определяемая как предел разностного отношения f′(z)=limh→0f(z+h)−f(z)h f ′ ( z ) = lim h → 0 f ( z + h ) − f ( z ) h существует в C.

   Запрос на удаление

   | Посмотреть полный ответ на direns.mines-paristech.fr
   

   Что определяет дифференцируемую функцию?

   В математике дифференцируемой функцией одной действительной переменной называется функция, производная которой существует в каждой точке своей области определения. Другими словами, график дифференцируемой функции имеет невертикальную касательную в каждой внутренней точке своей области определения.

   Запрос на удаление

   | Посмотреть полный ответ на en.wikipedia.org
   

   ← Предыдущий вопрос
   Как называются две религии, на которые разделяется христианство?

   Следующий вопрос →
   Какие головоломки делают вас умнее?

   исчисление

   — Нахождение производной |x| используя определение предела

   спросил 11 лет, 3 месяца назад

   Изменено 3 года назад

   Просмотрено 176 тысяч раз

   $\begingroup$

   Помогите, пожалуйста, вывести производную от абсолютного значения x, используя следующее определение предела. $ $ \ lim _ {\ Delta x \ rightarrow 0} \ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x} $$ Я понятия не имею, как начать. Пожалуйста, помогите.

   Спасибо

   • исчисление
   • пределы
   • производные

   $\endgroup$ 92}$

   $=\dfrac{|x|}{x}$

   $\endgroup$

   2

   $\begingroup$

   Поскольку абсолютное значение определяется регистрами, $$|x|=\left\{\begin{массив}{ll} х & \текст{если} х\geq 0;\\ -x & \text{если}x\lt 0, \end{массив}\right.$$ имеет смысл отдельно рассмотреть случаи $x\gt 0$, $x\lt 0$ и $x=0$.

   Для $x\gt0$, для $\Delta x$, достаточно близкого к $0$, мы будем иметь $x+\Delta x\gt 0$. Так $f(х)= |х| = x$ и $f(x+\Delta x) = |x+\Delta x| = х+\Дельта х$; подставив это в предел, мы имеем: $$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x) — f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{|x+\ Дельта x|-|x|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x+\Delta x)-x}{\Delta x}. $$ Вы должны быть в состоянии закончить это сейчас. 92}} = \frac{2x}{2|x|} = \frac{x}{|x|} \end{align}$$

   $\endgroup$

   3

   $\begingroup$

   Дешевый, нестрогий, нематематический, инженерный ответ: sgn(x) («signum x», знак x, равный -1 для x<0 и +1 для x> 0 ). Обратите внимание, что sgn(0) = 0 , что является практическим компромиссом, являющимся средним значением -1 («исходя из минусов») и +1 («исходя из плюсов»).

   Конечно, все мы знаем, что d|x|/dx — это , а не , определенное как x=0 . Интуитивно: «тангенс» |x| при x=0 может быть любой линией с наклоном -1 < s < +1 . Так что это не уникально. Следовательно: нет производной в этой точке.

   Еще раз: это не строгие соображения (см. Ответ @doraemonpaul для правильной математики), а скорее интуитивные подсказки, которые помогут вам понять проблему.

   Ответ Mathematica (версия 11) еще более прагматичен: D[Abs[x], x] ==> Abs'[x] . Мне очень нравится 🙂

   $\endgroup$

   $\begingroup$

   Простой ответ: если x < 0, это, очевидно, линейная линия с наклоном -1, а когда x > 0, это линия с наклоном 1, а при x = 0 можно использовать обе формулы и поэтому мы не можем вычислить производную.

   Итак:

   , когда x > 0, |x|' = 1

   при x < 0, |x|' = -1

   , когда x = 0, |x|' не определено

   Как сказал doraemonpaul, неявный способ сказать это |x|/x, потому что он возвращает знак x, за исключением случаев, когда x = 0, когда деление на 0 делает его неопределенным.

   х/|х| тоже мог работать.

   $\endgroup$

   1

   $\begingroup$

   Этот вопрос о дифференцировании оператора абсолютного значения можно поставить в более общую постановку (частичного) дифференцирования евклидовой нормы.

   No related posts.