§4. Частные производные
Пусть в некоторой (открытой) области задана функция двух переменных z=f(x, y). Возьмем произвольную М(х, у) этой области и дадим х приращение Δх, оставляя значение у неизменным. При этом функция f(x, y) получит приращение Δxz=f(x+Δx,y)-f(x,y). Оно называется частным приращением этой функции по х (рис 15)
Отношение
д ает среднюю скорость изменения функции z=f(x, y) по переменной х на участке от точки М(х,у) до точки М'(х+Δх,у). Рисунок 16
П редел этого отношения при Δх→0, если он существует и конечен, называется частной производной функции z=f(x,y) по переменной х в точке (х,у). Этот предел характеризует скорость изменения данной функции по х в самой точке М. Частную производную по х от функции z=f(x,y) обознача-
ю т следующими символами:
Таким образом,
Аналогично, считая х постоянной и давая у приращение Δу, мы получим частное приращение функции z = f(х, у) по у:
Δyz=f(x,y +
Δy) – f(x,y) (рис.
17)
Предел отношения частного приращения функции по у к приращению Δу при стремлении последнего к нулю (если он существует и конечен) называется частной производной этой функции по у в точке (х, у).
Частная производная функции z=f(х, у) по у обозначается обычно одним из следующих символов:
Таким образом,
Эта частная производная численно равна скорости изменения по у функции z=f(х,у) в точке М(х,у).
Значения частных производных f’х(х,у) и f’у(х,у),естественно, зависят от координат х, у рассматриваемой точки М, т.е. частные производные f’х(х,у) и f’у(х,у), в свою очередь, являются функциями двух переменных, определенными в заданной области или ее части (если не во
всех точках этой области сущест вуют частные производные).
Рисунок 17
Вычисление частных
производных по х (по у) от конкретных
функций производится по известным для
функций одной переменной правилам,
так как частная производная функция z
= f(х, у) по х (по у) есть по определению
обыкновенная производная функции z =
f(х, у), рассматриваемой как функция
одной переменной х (соответственно
у) при постоянном значении другой
переменной.
Например, для функции
f(х, у) = х² + ху² + у³ в любой точке (х, у) имеем f’х(х, у)= 2х+ у², f’у(х,у) = 2ху + 3у². В частности, f’х(1,2) = 2∙1+2²= 6, f’у(1,2) = 2∙ 1∙ 2+ +3∙2² = 16.
Рисунок 18
Частные производные функции двух переменных имеют простой
геометрический смысл.
Рассмотрим в пространстве XYZ поверхность S, имеющую уравнение
z= f(х, у). Эта поверхность изображает функцию f(х, у).
Дадим переменным х и у значения х0, у0. По определению f’х(х0, у0) есть обыкновенная производная (по х) от функции одной переменной
f(х, у0) при х = х0. График этой функции мы получим в сечении поверхности S плоскостью у = у0.
Так как производная
функции одной переменной х в данной
точке равна тангенсу угла наклона к оси
ОХ касательной к графику функции в этой
точке, заключаем, что f’х(х0, у0) есть
тангенс угла φ, составленного с осью
ОХ касательной, проведенной в точке N0
(х0, у0, f(х0, у0)) к сечению поверхности
S плоскостью у = у0 ( рис.
Аналогично f’у(х0, у0) есть тангенс угла θ, составляемого с осью OY касательной, проведенной в точке N0 к сечению поверхности S плоскостью х = х0 (рис. 19).
Для функций любого числа п переменных частные производные вводятся так же, как и для функций двух переменных. А именно, частная производная от функций и = f ( х, у, z,…w ) по любому из независимых переменных в точке ( х, у, z,…w) есть предел отношения частного приращения функции в этой точке к приращению соответствующей независимой переменной при стремлении последнего к нулю ( если этот предел существует и конечен). Обозначения аналогичны приведенным выше.
Например, если и=f(х, у,z),
то
Рисунок 19
| 1 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное х | |
| 2 | Оценить интеграл | интеграл натурального логарифма x относительно x | |
| 3 | Найти производную — d/dx | 92)||
| 21 | Оценить интеграл | интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x | |
| 22 | Найти производную — d/dx | грех(2x) | |
| 23 | Найти производную — d/dx | 9(3x) по отношению к x||
| 41 | Оценить интеграл | интеграл от cos(2x) относительно x | |
| 42 | Найти производную — d/dx | 1/(корень квадратный из х) | |
| 43 | Оценка интеграла 9бесконечность | ||
| 45 | Найти производную — d/dx | х/2 | |
| 46 | Найти производную — d/dx | -cos(x) | |
| 47 | Найти производную — d/dx | грех(3x) | 92+1|
| 68 | Оценить интеграл | интеграл от sin(x) по x | |
| 69 | Найти производную — d/dx | угловой синус(х) | |
| 70 | Оценить предел | ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х | |
| 85 | Найти производную — d/dx | лог х | |
| 86 | Найти производную — d/dx | арктан(х) | |
| 87 | Найти производную — d/dx | бревно натуральное 5х92 |
Частные производные
Частные производные
Определение частной производной
Пусть f(x,y) — функция двух переменных.
Затем мы определяем партиал производные как
| Определение частной производной
|
если эти пределы существуют.
Алгебраически мы можем думать о частной производной функции с
по x как производная от функции с
y поддерживается постоянной.
Геометрически производная по x в точке
Р представляет
наклон кривой, проходящей через P, проекция которой на
ху
плоскость представляет собой горизонтальную линию. (Если вы путешествуете на восток, насколько круты
ты лазишь?)
Пусть
f(x,y) = 2x + 3y
затем
Мы также используем обозначение f x и ж у для частных производных по x и y соответственно.
Упражнение:
Найдите f y для функции из приведенного выше примера.
Нахождение частных производных простым способом
Поскольку частная производная по x есть производная по остальным переменных, остающихся постоянными, мы можем найти частную производную, взяв обычная производная, считая остальные переменные постоянными.
Пример
Пусть
f(x,y) = 3xy 2 —
2x 2 г
затем
f x = 3y 2 — 4xy
и
f y = 6xy — 2x 2
Упражнения
Найдите обе частные производные для
f(x,y) = xy sin x
х + у
f(x,y) =
х — у
Частицы высшего порядка
Как и в случае с функцией одной переменной, мы можем определить вторые производные для
функции двух переменных.
За
функции двух переменных, имеем четыре типа:
ф хх ,
f xy f yx и f yy
Пример
Пусть
f(x,y) = y e x
затем
f x =
да x
и
f y = e x
Теперь, взяв части каждого из них, мы получим:
.
е хх =
да x f xy = e x f ух = е х и f yy = 0
Обратите внимание, что
f xy = f yx
Теорема Пусть f(x,y) — функция с непрерывным вторым порядком
производные, затем |
Функции более чем двух переменных
Предположим, что
f(x,y,z) = xy — 2yz
является функцией трех переменных,
тогда мы можем определить частные производные во многом так же, как мы определили
частные производные по трем переменным.