Производные простые: Как найти производную функции, примеры решения

Традиционный подход

Допустим, нас интересует связь между и и x в следующем наборе данных:

 # Пакет для GAM
библиотека (мгцв)
# Tidyverse
библиотека (ggplot2)
# Легкая статистика
библиотека (мастер данных)
библиотека (параметры)
библиотека (на основе модели)
библиотека (отчет)
библиотека (см. )
набор.сид(333)
# Генерация данных
данные <- bayestestR::simulate_correlation (r = 0,85, n = 1000, имена = c ("y", "x"), среднее значение = c (100, 0), sd = c (15, 1))
ggplot (данные, aes (x, y)) +
  геом_точка() 

После визуализации данных некоторые люди могут сказать: «Ну, самое просто сделать, это запустить корреляцию анализ » (может они и не ошибаются, но ради демонстрация, здесь мы пойдем дальше). Сделаем так:

 rez <- cor.test(data$y, data$x)
report::report(rez) 

 > Размеры эффектов были обозначены в соответствии с рекомендациями Funder (2019).
>
> Корреляция «продукт-момент» Пирсона между данными $y и данными $x положительна,
> статистически значимые и очень большие (r = 0,85, 95% ДИ [0,83, 0,87],
> t(998) = 50,97, p < 0,001) 

Отлично, мы знаем, что существует значительная корреляция между двумя переменные! 🥳

Но мы хотели бы знать для каждого увеличения на 1 на x , насколько увеличивается и ? Другими словами, каков наклон отношения?

Традиционный подход к этому заключается в установке линейного модель и оценить ее параметры . Действительно, наклон линейной зависимости между предиктором и его результатом равен на самом деле что

Давайте подгоним модель линейной регрессии, визуализируем ее и опишем ее параметры.

 model_lm <- lm(y ~ x, данные = данные)
plot(modelbased::estimate_relation(model_lm)) 

 > Параметр | Коэффициент | ЮВ | 95% ДИ | т(998) | п
> -------------------------------------------------- --------------------
> (Перехват) | 100,00 | 0,25 | [99,51, 100,49] | 400,00 | < 0,001
> х | 12,75 | 0,25 | [12.26, 13.24] | 50,97 | < .001 

Таблица параметров показывает нам, что эффект x 12,75 . Это означает, что для каждого увеличения на 1 на x , y увеличивается на 12,75 .

Поздравляем, мы ответили на наш вопрос!

GAM также можно использовать для линейных зависимостей!

В игру вступил новый игрок.

Возможно, вы слышали об общих аддитивных моделях , также известных как игр , которые расширяют общие линейные модели (GLM) на обеспечивая элегантный и надежный способ моделирования нелинейных отношения. Но это не потому, что они хороши с пышными формами отношения, что они тоже не могут делать простые вещи! Мы даже можем использовать их для линейных звеньев или вообще когда не уверены о точной форме отношений. Потому что GAM обычно наказывают волнистые узоры, у них нет проблем с аппроксимацией линейных отношения, если на это указывают данные.

GAM могут быть установлены с использованием пакета mgcv , и единственный изменение заключается в том, что нам нужно указать гладкий термин ( s() ) для переменной, для которой мы хотим оценить (необязательно линейная) зависимость.

 model_gam <- mgcv::gam(y ~ s(x), данные = данные)
plot(modelbased::estimate_relation(model_gam), line = list(color = "blue")) 

 > # Фиксированные эффекты
>
> Параметр | Коэффициент | ЮВ | 95% ДИ | т(998. 00) | п
> -------------------------------------------------- ----------------------
> (Перехват) | 100,00 | 0,25 | [99,51, 100,49] | 400,00 | < 0,001
>
> # Гладкие термины
>
> Параметр | Ф | дф | п
> --------------------------------------------------------
> Гладкий член (x) | 2598,40 | 1,00 | < .001 

Ух ты, отношение, смоделированное на основе GAM, почти точно такое же, как это ГЛМ! GAM мощные 😎

Ладно, это круто, но есть один небольшая проблема . если вы посмотрите в таблице параметров действительно есть одна строка для «гладкого члена», но у него… без коэффициента! Действительно, поскольку GAM не прямые линии модели, он не возвращает значение наклона. Это почему некоторые люди считают GAM сложными для статистического обсуждения, т.к. их параметры трудно интерпретировать.

Оууу, так что это проблема, учитывая наш вопрос о влиянии x на и 😕

Или ?

Производные эффекты

Давайте представим еще одну концепцию, которая, вероятно, станет очень популярной. в ближайшем будущем в мире регрессий. Производные . Возможно, вы помните из урока математики в старшая школа, что производные в основном являются шаблоном склона выкройки _{(выкройки много)} .

На приведенном выше рисунке график показывает нелинейную зависимость между переменными, а на графике ниже показаны его 1-й заказ производная , то есть эволюция наклона этой кривой. Это может потребоваться немного времени, чтобы мысленно обдумать это преобразование, но как только вы его получите, станет очень легко думать с точки зрения производных.

Вы можете видеть, что производная достигает максимума, когда наклон кривой отношение находится на самом высоком уровне (когда оно самое крутое), а затем снова уменьшаться, пока не достигнет 0. Пересечение нуля производной означает инверсия тренда; это когда отношения начинают быть отрицательный.

Производные могут быть вычислены для статистических моделей, включая простые такие, как линейная регрессия. Прежде чем вы посмотрите на ответ ниже, попробуй подумать и представить, каким был бы производный сюжет нашего как будет выглядеть ранее рассчитанная линейная модель?

Мы знаем, что наклон равен 12,75 (из наших параметров анализ). Изменяется ли она в ходе отношений? Нет, потому что это прямая линия, поэтому наклон постоянен. Если наклон постоянная, то производная должна быть… тоже постоянная линия, верно? Давайте проверим это.

Чтобы вычислить производную, мы можем использовать Assessment_slopes() и указать, что мы хотим знать: тенденция x в течение («в») сам.

 deriv <- modelbased::estimate_slopes(model_lm, trend = "x", at = "x")
plot(deriv) + # добавить пунктирную линию на 0, чтобы показать отсутствие эффекта
  geom_hline(yintercept = 0, linetype = "штрих") 

 сводка (вывод) 

 > Средний предельный эффект
>
> Пуск | Конец | х | Коэффициент | ЮВ | 95% ДИ | т(998) | п
> -------------------------------------------------- ---------------------------
> -3,38 | 3. 28 | -0,05 | 12,75 | 0,25 | [12.26, 13.24] | 50,97 | < 0,001
> Предельные эффекты оценены для x 

На графике показана прямая горизонтальная линия на уровне 12,75 с фиксированным доверительный интервал (тот же, что и в таблице параметров). То есть Ожидается, что по определению линейная модель моделирует прямую линию с фиксированный уклон.

Запустив summary() на производной, мы получим сводка по «сегментам» (положительные, плоские, отрицательные). Здесь есть только один сегмент, средний коэффициент которого соответствует регрессии параметр.

Это означает, что нам не нужны параметры стол. Действительно, всю информацию о склоне можно извлекается из производной эффекта. И угадайте, что… это можно применить до любая модель !

Например, GAM. Давайте сделаем то же самое для нашей модели GAM:

 производных <- modelbased::estimate_slopes(model_gam, trend = "x", at = "x")
сюжет (производная, строка = список (цвет = "синий")) +
  geom_hline (yintercept = 0, тип линии = "штрих")
резюме(производное) 

Разве это не удивительно, результаты идентичны . Мораль история заключается в том, что GAM могут использоваться в самых разных областях. контексты, даже для простых случаев , и что производные являются простой способ их интерпретации.

Давайте перейдем к другому примеру!

GAM + Производные > LM: пример полиномиальной регрессии

Мы упоминали, что одним из «ограничений» GAM является то, что их параметры не легко интерпретируются. Мы предполагали, что для других классов моделей, таких как GLM, так оно и было. 92 + rnorm(nrow(данные), sd = 0,5) ggplot (данные, aes (x, y2)) + geom_point()

Подберем полиномиальную регрессию:

 model_poly <- lm(y2 ~ poly(x, 2), data = data)
# Длина увеличена для более плавной линии
plot(modelbased::estimate_relation(model_poly, length = 30)) 

 > Параметр | Коэффициент | ЮВ | 95% ДИ | т(997) | п
> -------------------------------------------------- ---------------------
> (Перехват) | 1.01 | 0,02 | [ 0,98, 1.04] | 62,32 | < 0,001
> х [1-я степень] | -1,37 | 0,51 | [-2,38, -0,37] | -2,68 | 0,007
> х [2-я степень] | 44,82 | 0,51 | [43,82, 45,83] | 87,38 | < . 001 

Если посмотреть на таблицу параметров, тоже немного непонятно, что делать коэффициент тоже см. Как интерпретировать эти цифры? Пытаясь понять, что потребует от вас много поиска и понимания о том, как работают многочлены. Ни у кого нет времени на Дать!

Вместо этого мы можем положиться на наши старые добрые производные для получения «линейный наклон» в каждой точке кривой.

 deriv <- modelbased::estimate_slopes(model_poly, trend = "x", at = "x")
сюжет(производная) +
  geom_hline(yintercept = 0, linetype = "штрих") 

 сводка (вывод)