Пропорции и отношения: Отношения и пропорции в математике

Отношения и пропорции в математике

 

В математике отношением называется то частное, которое получается при делении одного числа на другое. Ранее сам этот термин использовался только в тех случаях, когда было необходимо выражение какой-либо одной величины в долях другой, причем такой, которая однородна первой. К примеру, отношения использовались при выражении площади в долях другой площади, длины в долях другой длины и т.п. Решение этой задачи производилось с помощью деления.

Таким образом, сам смысл термина «отношение» был несколько иной, чем термина «деление»: дело в том, что второй означал разделение определенной именованной величины на любое совершенно отвлеченное абстрактное число. В современной математике понятия «деление» и «отношение» по своему смыслу абсолютно идентичны и являются синонимами. Например, и тот, и другой термин с одинаковым успехом применяют для отношения величин, являющихся неоднородными: массы и объема, расстояния и времени и т. п. При этом многие отношения величин однородных принято выражать в процентах.

Пример

В супермаркете насчитывается четыреста наименований различных товаров. Из них двести произведено на территории Российской Федерации. Определить, каково отношение отечественных товаров к общему числу товаров, продаваемых в супермаркете?

400 – общее число товара

200 – РФ

Ответ: двести разделить на четыреста равняется ноль целых пять десятых, то есть пятьдесят процентов.

200 : 400 = 0,5 или 50%

В математике делимым принято называть предыдущий член отношения, а делителем – последующий член отношения. В приведенном выше примере предыдущим членом являлось число двести, а последующим – число четыреста.

Два равных отношения образуют пропорцию

В современной математике принято считать, что пропорцией является два равным между собой отношения. К примеру, если общее количество наименований товаров, продаваемых в одном супермаркете, – четыреста, а в России из них произведено двести, а те же значения для другого супермаркета составляют шестьсот и триста, то соотношение количества российских товаров к общему их числу, реализовываемых в обеих торговых предприятиях, одинаково:

1.Двести разделить на четыреста равняется ноль целых пять десятых, то есть пятьдесят процентов

200 : 400 = 0,5 или 50%

2.Триста разделить на шестьсот равняется ноль целых пять десятых, то есть пятьдесят процентов

300 : 600 = 0,5 или 50%

В данном случае имеется

пропорция, которую можно записать следующим образом:

200 400

=

300 600

Если формулировать это выражение так, как это принято делать в математике, то говорится, что двести относится к четыремстам так же, как триста относится к шестистам. При этом двести и шестьсот называются крайними членами пропорции, а четыреста и триста – средними членами пропорции.

Произведение средних членов пропорции

Согласно одному из законов математики, произведение средних членов любой пропорции равняется произведению ее крайних членов. Если возвратиться к приведенным выше примерам, то проиллюстрировать это можно следующим образом:

Двести умноженное на шестьсот равняется сто двадцать тысяч;

200 × 600 =

120 000

Триста умноженное на четыреста равняется сто двадцать тысяч.

300 × 400 = 120 000

Из этого следует, что любой из крайних членов пропорции равен произведению ее средних членов, деленному на другой крайний член. По тому же самому принципу каждый из средних членов пропорции равен крайних ее членов, деленному на другой средний член.

Если вернуться к приведенному выше примеру пропорции, то:

Двести равняется четыреста умноженное на триста и деленное на шестьсот.

200 =

400 × 300 600

Эти свойства широко используются в практических математических вычислениях тогда, когда требуется найти значение неизвестного члена пропорции при известных значениях трех членов остальных.

Что такое пропорция в математике?

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

Математика учит нас равенству отношений. Пропорции — тема несложная, но важная. Давайте разберемся, что такое пропорция и как с ней обращаться.

Что такое пропорция

Определение пропорции: 

Пропорция — это равенство двух отношения.

Пропорциональный — это такой, который находится в определенном отношении к какой-либо величине.

Пропорция всегда содержит равные коэффициенты. 

Если выразить определение формулой, то выглядеть оно будет так:

• a : b = c : d

Или вот так:

a и d — крайние члены пропорции, b и с — средние члены пропорции.

Читается это выражение так: a так относится к b, как c относится к d

Например:

15 : 5 = 3
 

9 : 3 = 3

Это равенство двух отношений: 15 так относится к 5, как 9 относится к 3. 

15 и 3 — крайние члены пропорции.

5 и 9 — средние члены пропорции.

Наглядный пример для понимания:

У нас есть восемь кусочков аппетитной пиццы и, предположим, четыре голодных друга.

• Запишем эту непростую ситуацию в виде отношения 8 кусочков к 4 голодным друзьям: 8 : 4 
• Далее преобразовываем это отношение в дробь: 8/4
• Выполняем деление: 8/4 = 2

Это значит, что 8 аппетитных кусочков пиццы будут так относиться к 4 голодным друзьям, что каждому голодающему достанется по 2 кусочка. Прекрасно!

А теперь представим, ситуацию, в которой есть только половина аппетитной пиццы, но при этом и голодных друга — всего два.

Что мы имеем: 4 кусочка и 2 друга, претендующих на них.

• Запишем в виде отношения: 4 : 2
• Преобразовываем получившееся отношение в дробь: 4/2
• Выполняем деление: 4/2 = 2

Это значит, что 4 аппетитных кусочка будут так относиться к 2 голодным друзьям, что каждому из них достанется по 2 кусочка. 

Оценив обе ситуации, делаем вывод, что отношение 8/4 пропорционально отношению 4/2. Отношения в пропорции — равные. 

Вывод: знание математических пропорций пригодится при заказе пиццы. Быстренько прикидываем отношение количества человек, претендующих на пиццу, и число кусочков — и сразу заказываем побольше пиццы, чтобы никто не остался голодным😉

 

Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут

Пройди тест — и мы покажем, кем ты можешь стать, а ещё пришлём подробный гайд, как реализовать себя уже сейчас

Основное свойство пропорции

Запомните основное свойство пропорции:

Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов этой пропорции.

В виде формулы свойство выглядит так:

a : b = c : d
a * d = b * c

Мы знаем, что a и d — крайние члены пропорции, b и c — средние. 

Это свойство следует применять, чтобы проверить пропорцию. Если все сходится согласно формулировке — пропорция составлена верно, и отношения в пропорции являются равными друг другу. 

Давайте проверим несколько пропорций.

Пример 1. Дана пропорция:6/2 = 12/4

• Чтобы проверить, верно ли составлена пропорция, перемножаем ее крайние члены: 6 * 4 = 24.
• Далее перемножаем средние члены пропорции: 2 * 12 = 24
   
• Произведение крайних членов пропорции равно 24, произведение средних членов пропорции также равно 24.
   
• 6 * 4 = 2 * 12
  24 = 24

Делаем вывод, что пропорция 6/2 = 12/4 составлена верно.  

Пример 2. Дана пропорция: 10/2 = 16/4

• Перемножаем крайние члены пропорции: 10 * 4 = 40.
• Перемножаем средние члены: 16 * 2 = 32.
• Произведение крайних членов пропорции равно 40. Произведение средних членов пропорции равно 32. 
• 10 * 4 ≠ 16 * 2
  40 ≠ 32

Отсюда делаем вывод, что  отношения в пропорции 10/2 ≠ 16/4 не являются равными. 

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Примеры решения задач с пропорцией

Чтобы потренироваться в составлении пропорций, решим вместе несколько задачек. 

Задачка 1. Дана математическая пропорция: 15/3 = x/4

Найдите x.

Как решаем:

 

1. По основному свойству пропорции перемножаем множители:
   15 * 4 = 3x


2. Получаем уравнение: 60 = 3x


3. 60/3 = x
   x = 20.

Ответ: в пропорции 15/3 = x/4, x = 20

Задачка 2. Найдите четвертый член пропорции: 18, 9 и 24.

Как решаем:

 

1. Записываем чиcла в виде дробей: 18/9 = 24/x
   Где x — четвертый член пропорции.


2. По основному свойству пропорции, перемножаем средние члены: 9 * 24 = 216


3. Выводим уравнение 18x = 216


4. Находим x:
   x = 216 : 18
   x = 12


5. Проверяем: 9 * 24 = 216, 18 * 12 = 216.
   Пропорция составлена верно.

Ответ: четвертый член пропорции — 12.

Задачка 3. 18 человек могут съесть пять килограммов суши за 8 часов, сколько часов понадобится 9 людям?

Как решаем:

 

1. Записываем числа в виде обратной пропорции: 18/9 = x/8


2. Перемножаем множители по основному свойству пропорции: 18 * 8 = 9x


3. Находим х:
   144 = 9x
   144 : 9 = 16

Ответ: 16 часов понадобится 9 людям, чтобы съесть все суши.  

Задачка 4. Дана пропорция: 20/2 = y/4

Найдите y.

Как решаем:

 

1. По основному свойству пропорции перемножаем множители:
   20 * 4 = 2y


2. Получаем уравнение: 80 = 2y


3. Находим у:
   80/2 = y
   x = 40.


4. Проверяем пропорцию: 20 * 4 = 80, 40 * 2 = 80.

Ответ: в пропорции 20/2 = y/4, y = 40

 

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Анастасия Белова

К предыдущей статье

212.4K

Сравнение дробей: как правильно

К следующей статье

266.2K

Что такое квадратный корень

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

2. Расскажем, как проходят занятия

3. Подберём курс

Пропорциональные отношения

Горячая математика

Пропорциональная зависимость – это зависимость, при которой две величины напрямую изменяются друг относительно друга. Мы говорим переменная у изменяется прямо как Икс если:

у «=» к Икс

для некоторых постоянный к , называемая константой пропорциональности.

(Некоторые учебники описывают пропорциональные отношения, говоря, что « у меняется пропорционально Икс » или это » у прямо пропорциональна Икс .»)

Это означает, что как Икс увеличивается, у увеличивается и по мере Икс уменьшается, у уменьшается — и что соотношение между ними всегда остается одним и тем же.

График уравнения пропорциональной зависимости представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат.

Пример 1:

При условии у варьируется пропорционально с Икс , с константа пропорциональности к «=» 1 3 , находить у когда Икс «=» 12 .

Напишите уравнение пропорциональной зависимости.

Переменная Икс меняется пропорционально у с константой пропорциональности, равной 1 3 .

Так,

Замените данное Икс ценить.

Пример 2:

При условии у варьируется пропорционально с Икс , Найди постоянная пропорциональности если у «=» 24 и Икс «=» 3 .

Напишите уравнение пропорциональной зависимости.

у «=» к Икс

Замените данное Икс и у значения и решить для к .

24 «=» к ⋅ 3 к «=» 8

Пример 3:

Предполагать у меняется пропорционально Икс , и у «=» 30 когда Икс «=» 6 . Какова ценность у когда Икс «=» 100 ?

Напишите уравнение пропорциональной зависимости.

у «=» к Икс

Замените данное Икс и у значения и решить для к .

30 «=» к ⋅ 6

к «=» 5

Уравнение у «=» 5 Икс . Теперь замените Икс «=» 100 и найти у .

у «=» 5 ⋅ 100 у «=» 500

Соотношение пропорциональности и примеры из повседневной жизни

В этом посте мы пойдем немного дальше с отношением пропорциональности . Давайте взглянем на несколько различных примеров отношения и пропорции в повседневной жизни. Прежде чем мы начнем, давайте рассмотрим обе эти концепции по следующей ссылке: соотношение и пропорция.

Как мы упоминали ранее, речь идет о двух способах соотнесения величин, чисел или величин друг с другом.

Теперь рассмотрим пример пропорциональных отношений в нашей повседневной жизни:

Когда мы заправляем машину бензином, существует зависимость между количеством галлонов топлива, которое мы заправляем в бак, и количеством денег, которые мы должны будем заплатить. Другими словами, чем больше газа мы впустим, тем больше денег мы заплатим. Кроме того, чем меньше денег мы платим, тем меньше бензина мы заправим в машину. Это соотношение зависит от цены галлона газа. Цена – это отношение пропорциональности, которое существует между количеством «галлонов газа» и количеством «денег, необходимых для заправки».

Между тем, другая машина может заправиться другим количеством топлива, чем наша. Цена за галлон остается неизменной, поэтому отношение между вложенными галлонами и уплаченными деньгами остается прежним, и, следовательно, заполнение бака каждого автомобиля бензином пропорционально, поскольку они следуют одному и тому же коэффициенту пропорциональности.

Пример: «Если каждый галлон бензина стоит 2 доллара и у меня есть 30 долларов в кошельке, я смогу залить в бак 15 галлонов, а если бы я захотел заправить 20 галлонов, мне пришлось бы заплатить 40 долларов.

Теперь давайте удостоверимся, что мы все поняли… Попробуйте решить следующую задачу:

Пример: «Вчера я залил в машину 10 галлонов бензина и заплатил 30 долларов. Через пару часов я вернулся на заправку на машине моего отца и, заправив бак, заплатил 18 долларов. Сколько галлонов бензина я залил в машину отца?»

Чтобы решить эту проблему, сначала нам нужно выяснить соотношение пропорциональности между галлонами, которые я залил в свою машину, и суммой, которую я заплатил.

30 $ ÷ 10 галлонов = 3 $/галлон ($ за галлон)

После того, как мы узнали, что соотношение равно 3 $/галлон, нам нужно рассчитать, сколько галлонов мы можем налить в бак с 18 $.

18 $ ÷ 3 $/галлон = 6 галлонов

Итак, во второй раз, когда я пошел на заправку, я заправил машину моего отца 6 галлонами бензина.