Сложные проценты на примерах
Задачи на сложные проценты решаются в достаточно быстрый способ при знании нескольких простых формул. Часть из них касается начислений по вкладу или кредиту, когда те осуществляются через определенные промежутки времени . Также сложные проценты используют в задачах химии, медицины и ряде других сфер.
ФОРМУЛЫ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ
В случае размещения вкладов с капитализацией процентов на годы конечная сумма депозита определяется формулой
Здесь P – первоначальный взнос, r – процентная ставка, n – количество лет. По сложным процентам работают банки, инвестиционные фонды, страховые компании. Распространенные за рубежом, а теперь и в Украине — пенсионные фонды и фонды страхования жизни работают по схеме сложных процентов.
При размещении вкладов с капитализацией процентов ежеквартально формула сложных процентов будет выглядеть
где q – количество полных кварталов.
При капитализации процентов ежемесячно применяют следующую формулу для вычислений
где s – количество месяцев существования соглашения.
Последний случай, непрерывное начисление процентов, когда сложные проценты начисляются ежедневно, рассчитывают по формуле
где m – количество дней.
Страхование жизни и откладывания пенсий исчисляют сложными формулами, кроме начисления сложных процентов ежегодно осуществляются необходимые взносы.
Рассмотрим два случая накопления. Мужчина откладывает 5000 грн. в течение 20 лет. За это время он отложит
20*5000=100000 (грн).
При откладывании в накопительные фонды с годовой ставкой 13%, за первый год сумма возрастет до
5000*(1+13/100)=5650 (грн).
В следующем году человек в данной суммы добавляет еще 5000 грн. В результате, за второй год сумма увеличится
(5650+5000)*(1+0,13)=12034.50 (грн) .
Продолжая подобные вычисления, в конце срока получим сумму размером 457349,58 грн.
Поверьте — ошибок при исчислении форуме, большое значение набегает за счет сложных процентов. Сомнительным остается только история изменения платежеспособности гривны через 20 лет.
Учитывая политику государства вкладывать деньги в такие фонды люди не спешат, однако за рубежом практика откладывания денег распространена, правда процентные ставки намного ниже.
Рассмотрим распространенные задачи на сложные проценты.
Пример 1. Вкладчик положил на депозит $ 3000 под 9% годовых на 10 лет. Какая сумма аккумулируется конце 10-го года при годовой капитализации? На сколько вырастет сумма по сравнению с первоначальным взносом?
Решение: Применяем формулу сложных процентов для нахождения суммы в конце срока
Чтобы ответить на второй вопрос, от значения 7102,09 вычитаем сумму вклада.
Разница составляет 4102 доллара.
Пример 2. Инвестор вложил 7000 грн под 10% годовых при условии начисления сложных процентов ежеквартально. Какую сумму он получит через 8 лет?
Решение: Применяем 2 формулу сложных процентов. Находим количество кварталов
8*4=32.
и подставляем в формулу
Например, возьмем задачи из учебника для 9 класса авторов А.
Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир «Аглгебра». (Номер в скобках)
Задача 1. (556) Костюм стоил 600 грн. После того как цена была снижена дважды, он стал стоить 432 грн., Причем процент снижения второй был в 2 раза больше, чем в первый раз. На сколько процентов каждый раз снижалась цена?
Решение: Для упрощения вычислений обозначим
X – первая скидка;
X/2 – вторая скидка.
Для вычисления неизвестной X составляем уравнение
Упрощаем, и сводим к квадратному уравнению
и решаем
Первый решение не имеет физического смысла, второй учитываем при вычислениях. Значение 0,2 соответствует снижению на 0,2*100%=20% после первой скидки, и X/2 =10% после второй скидки.
Задача 2. (557) Определенный товар стоил 200 грн. Сначала его цену повысили на несколько процентов, а затем снизили на столько же процентов, после чего стоимость его стала 192 грн. На сколько процентов каждый раз происходила смена цены товара?
Решение: Поскольку проценты одинаковы, то обозначаем изменении цены товара через X.
На основе условия задачи получим уравнение
Его упрощение приведет к решению уравнения
откуда корни приобретут значений
Первая значение отвергаем, оно меняет суть задачи (сначала имеем снижение, а затем рост процентов, противоречит условию). Второе при пересчете составит 0,2*100%=20% процентов.
Задача 3. (558) Вкладчик положил в банк 4000 грн. За первый год ему начислена определенный процент годовых, а второго года банковский процент увеличен на 4%. На конец второго года на счете стало 4664 грн. Сколько процентов составила банковская ставка в первый год?
Решение: Обозначим через X – увеличение вклада в первый год, тогда
X+4/100%=X+0,04
начисления во второй год.
По условию задачи составляем уравнение для определения неизвестной X
После упрощений получим квадратное уравнение вида
Вычисляем дискриминант
и корни уравнения
Первый корень отбрасываем, второй соответствует ставке в 6% годовых.
Задача 4. (564) В сосуде 12 кг кислоты. Часть кислоты отлили и долили до прежнего уровня водой. Затем снова отлили столько же, как и в первый раз, и долили водой до прежнего уровня. Сколько литров жидкости отливали каждый раз, если в результате получили 25-процентный раствор кислоты?
Решение: Обозначим через X – часть кислоты, которую отливали.
После первого раза ее осталось 12-X, а процентное содержание кислоты
После второй попытки содержание кислоты в сосуде составило
.
Разведя водой до 12 кг, процентное содержание составляло 25%. Составляем уравнение
Упрощаем проценты и избавляемся знаменателей
Решаем квадратное уравнение
Условии задачи удовлетворяет второе решение, а это значит, что каждый раз отливали 6 кг жидкости.
На этом знакомство со сложными процентами завершается. На практике Вам встретятся как простые так и сложные задачи. При проблемах с вычисления сложных процентов обращайтесь к нам, мы поможем Вам в решении задач.
Задачи — Простые и сложные проценты
Контрольная работа
- формат docx
- размер 29.96 КБ
- добавлен 22 декабря 2010 г.
Наращенная сумма долга
Процентные ставки
Депозит
Сумма учета и дисконт
Кредиторская задолженность
Похожие разделы
- Академическая и специальная литература
- Финансово-экономические дисциплины
- Статистика экономическая
- Статистика финансов
- Академическая и специальная литература
- Финансы
- Академическая и специальная литература
- Финансово-экономические дисциплины
- Эконометрика
- Анализ экономических данных в Excel
- Финансовая математика в Excel
Смотрите также
Контрольная работа
- формат doc
- размер 275.
5 КБ - добавлен 09 февраля 2011 г.
5 КБКонтрольная работа по финансовой математике РГТЭУ, 1 курс (2 высшее), 1 семестр, бух. учет и аудит.4 вариант, 15 задач на простые и сложные проценты, дисконтирование, актуарный метод погашения долга частичными платежами и правило торговца.11 страниц.
Лабораторная
- формат doc
- размер 113.5 КБ
- добавлен 10 декабря 2009 г.
Контрольная работа по теме «Сложные проценты» + решение 6 задач. В контрольной работе теоретическую часть включает в сея раскрытие темы «Сложные проценты», и решение задач по финансовой математике
- формат pdf
- размер 7.
- добавлен 08 апреля 2009 г.
Учебное пособие для вузов. В книге приводятся методы расчетов финансовых и коммерческих операций. Рассматриваются простые и сложные проценты, потоки платежей. Книга 2005 года
- формат djvu
- размер 4.35 МБ
- добавлен 26 июня 2011 г.
Учебное пособие для учащихся 5-9 классов. Чебоксары: Изд-во Чув. -го ун. -та. 2000 г. 160 с. Приведены задачи практического содержания, позволяющие со среднего звена общеобразовательной школы познакомиться с основами рыночных отношений. Для учителей, студентов и школьников. Простое тройное правило. Отношения и пропорции. Прямая пропорциональность величин. Обратная пропорциональность величин. Сложное тройное правило. Правило процентов. Понятие про.
Статья
- формат pdf
- размер 212.29 КБ
- добавлен 28 сентября 2010 г.
Челябинский Государственный Университет. Преподаватель: Маврина Н. А. Содержание: Предмет и задачи фин. математики. Проценты и виды процентных ставок. Простые проценты. Дисконтирование по простым процентам. Начисление процентов при конверсионных операциях. Сложные проценты. Эквивалентность ставок. Номинальные и эффективные ставки процентов. Консолидация платежей и замена платежей. Денежные потоки. Анализ доходности операций.
Статья
- формат doc
- размер 290.35 КБ
- добавлен
26 февраля 2010 г.
Лекции по финансовой математике: доступное изложение с практическими примерами по следующим темам: Простые проценты, Сложные проценты, Консолидация и пролонгация финансовых обязательств, Рентные платежи, Оценка инвестиционных проектов, Кредиты, Ценные бумаги
- формат pdf
- размер 4.61 МБ
- добавлен 26 мая 2009 г.
М.: ТОО «Остожье», 2000. – 267с. Процентные деньги Сложные проценты Уравнения эквивалентности Простые аннуитеты Обыкновенные общие аннуитеты Вечная рента Облигации Обесценивание Общие аннуитеты Акции Приложения
- формат doc
- размер 763.5 КБ
- добавлен 12 марта 2011 г.
Содержание. введение. Введение в предмет математической экономики.
Простые проценты. Сложные проценты. Производные процентные расчеты. Рентные платежи и их анализ. Применение теории процентуальных расчетов в финансовых операциях. Тестовые задания. Варианты зачетной работы. Глоссарий. приложения.
- формат doc
- размер 1.38 МБ
- добавлен 21 января 2012 г.
НИУ-ВШЭ, Москва, 2011 г.,- 14 с. Теоретический материал, формулы и задачи по следующим темам: Простые проценты .Наращение по простым процентам Переменные ставки Реинвестирование Дисконтирование по простым процентной и учетным ставкам Наращение по учетной ставке Сложные проценты Наращение по сложной процентной ставке Плавающие процентные ставки Сравнение роста наращенных сумм при сложных и простых процентах Формулы удвоения Смешанный способ н…
- формат doc
- размер 471.96 КБ
- добавлен
09 ноября 2010 г.
РЭУ им. Г. В. Плеханова 2 курс, 2 семестр, 79 страниц, Представлены 6 тем. . Простые проценты. Сложные проценты. Потоки платежей. Инвестиции в облигации. Инвестиционный портфель. Риски.
Простые и сложные проценты — Математика для нашего мира
Результаты обучения
- Расчет единовременных простых процентов и простых процентов с течением времени
- Определить APY с учетом процентного сценария
- Расчет сложных процентов
Мы должны работать с деньгами каждый день. В то время как балансировка чековой книжки или расчет ежемесячных расходов на эспрессо требует только арифметики, когда мы начинаем копить, планировать выход на пенсию или нуждаемся в кредите, нам нужно больше математики.
Простые проценты
Обсуждение процентов начинается с основного долга или суммы, с которой начинается ваш счет. Это может быть стартовая инвестиция или начальная сумма кредита.
Проценты в самой простой форме рассчитываются как процент от основной суммы. Например, если вы одолжили у друга 100 долларов и согласны вернуть их с процентной ставкой 5%, то сумма процентов, которую вы заплатите, составит всего 5% от 100: 100 долларов (0,05) = 5 долларов. Общая сумма, которую вы должны будете вернуть, составит 105 долларов США, первоначальная основная сумма плюс проценты.
Простые единовременные проценты
(1)
Примеры
Друг просит одолжить 300 долларов и соглашается вернуть их в течение 30 дней под 3% годовых. Сколько процентов вы заработаете?
Решение:
(3) = 300 долларов | основной |
| г = 0,03 | 3% ставка |
| I = 300 долл. США (0,03) = 9 долл. США. | Вы заработаете $9 процентов. |
В следующем видео подробно рассматривается этот пример.
Единовременные простые проценты характерны только для чрезвычайно краткосрочных кредитов. Для более долгосрочных кредитов проценты обычно выплачиваются ежедневно, ежемесячно, ежеквартально или ежегодно. В этом случае проценты будут начисляться регулярно.
Например, облигации представляют собой заем, предоставленный эмитенту облигаций (компании или правительству) вами, держателем облигаций. В обмен на кредит эмитент соглашается платить проценты, часто ежегодно. Облигации имеют срок погашения, когда эмитент выплачивает первоначальную стоимость облигации.
Упражнения
Предположим, ваш город строит новый парк и выпускает облигации, чтобы собрать деньги на его строительство. Вы получаете облигацию на 1000 долларов, по которой выплачивается 5% годовых и срок погашения которой составляет 5 лет.
Сколько процентов вы заработаете?
[reveal-answer q=”14596″]Показать решение[/reveal-answer]
[hidden-answer a=”14596″]Каждый год вы будете получать 5% годовых: 1000 долларов (0,05) = 50 долларов в виде процентов. Таким образом, в течение пяти лет вы заработаете в общей сложности 250 долларов в виде процентов. Когда срок погашения облигации истекает, вы получите обратно 1000 долларов, которые вы первоначально заплатили, в результате чего у вас останется 1250 долларов.[/hidden-answer]
Дальнейшее объяснение решения этого примера можно увидеть здесь.
Мы можем обобщить эту идею простых процентов с течением времени.
Простые проценты с течением времени
(4)
Единицы измерения (годы, месяцы и т. д.) для времени должны соответствовать периоду времени для процентной ставки.
APR – годовая процентная ставка
Процентные ставки обычно указываются в виде годовой процентной ставки (APR) – общая сумма процентов, которые будут выплачены в течение года. Если проценты выплачиваются меньшими временными интервалами, годовая процентная ставка будет разделена.
Например, ежемесячная выплата в размере 6% годовых будет разделена на двенадцать платежей по 0,5%.
Годовая ставка 4%, уплачиваемая ежеквартально, будет разделена на четыре платежа по 1%.
Пример
Казначейские облигации (казначейские облигации) — это облигации, выпущенные федеральным правительством для покрытия его расходов. Предположим, вы получили казначейские облигации на 1000 долларов с годовой ставкой 4%, выплачиваемой раз в полгода, со сроком погашения через 4 года. Сколько процентов вы заработаете?
Решение:
Так как проценты выплачиваются раз в полгода (два раза в год), процентная ставка 4% будет разделена на два платежа по 2%.
(6) = 1000 долларов | основной |
| г = 0,02 | Ставка 2% за полугодие |
| т = 8 | 4 года = 8 полугодий |
| I = 1000 долларов (0,02) (8) = 160 долларов. | Вы заработаете 160 долларов США в виде процентов за четыре года. |
В этом видео объясняется решение.
Попробуйте
Щелкните здесь, чтобы попробовать решить эту проблему.
Попробуйте
Кредитная компания взимает проценты в размере 30 долларов США за месячный кредит в размере 500 долларов США. Найдите годовую процентную ставку, которую они взимают.
Решение:
I = $30 процентов
= $500 основной суммы
r = неизвестно
t = 1 месяц
Используя , получаем .
Решая, получаем r = 0,06, или 6%. Поскольку время было месячным, это ежемесячный процент. Годовая ставка будет в 12 раз больше: 72% годовых.
Попробуйте
Щелкните здесь, чтобы попробовать решить эту проблему.
Сложные проценты
С простыми процентами мы предполагали, что мы прикарманили проценты, когда мы их получили. На стандартном банковском счете любые проценты, которые мы зарабатываем, автоматически добавляются к нашему балансу, и мы получаем проценты на эти проценты в последующие годы. Это реинвестирование процентов называется начислением сложных процентов .
Предположим, что мы кладем 1000 долларов на банковский счет с ежемесячной процентной ставкой 3%. Как будут расти наши деньги?
Процентная ставка в размере 3% представляет собой годовую процентную ставку (APR) – общую сумму процентов, подлежащих выплате в течение года. Поскольку проценты выплачиваются ежемесячно, каждый месяц мы будем зарабатывать 3% ÷ 12 = 0,25% в месяц.
В первый месяц
- P 0 = 1000 долларов
- r = 0,0025 (0,25%)
- I = 1000 долл. США (0,0025) = 2,50 долл. США
- A = 1000 долл. США + 2,50 долл. США = 1002,50 долл. США
В первый месяц мы заработаем 2,50 доллара в виде процентов, увеличив баланс нашего счета до 1002,50 доллара.
Во втором месяце
- P 0 = 1002,50 долл. США
- I = 1002,50 долл. США (0,0025) = 2,51 долл. США (округлено)
- A = 1002,50 долл. США + 2,51 долл. США = 1005,01 долл. США
Обратите внимание, что во второй месяц мы заработали больше процентов, чем в первый месяц. Это связано с тем, что мы заработали проценты не только на первоначальные 1000 долларов США, которые мы внесли, но мы также получили проценты на 2,50 доллара США процентов, которые мы заработали в первый месяц. Это ключевое преимущество начисляет проценты.
Подсчет еще нескольких месяцев дает следующее:
| Месяц | Начальный баланс | Полученные проценты | Конечный баланс |
| 1 | 1000.00 | 2,50 | 1002.50 |
| 2 | 1002.50 | 2,51 | 1005.01 |
| 3 | 1005.01 | 2,51 | 1007.52 |
| 4 | 1007.52 | 2,52 | 1010.04 |
| 5 | 1010.04 | 2,53 | 1012,57 |
| 6 | 1012,57 | 2,53 | 1015.10 |
| 7 | 1015.10 | 2,54 | 1017,64 |
| 8 | 1017,64 | 2,54 | 1020.18 |
| 9 | 1020.18 | 2,55 | 1022.73 |
| 10 | 1022. 73 | 2,56 | 1025.29 |
| 11 | 1025.29 | 2,56 | 1027,85 |
| 12 | 1027,85 | 2,57 | 1030.42 |
Мы хотим упростить процесс расчета сложных процентов, поскольку создание таблицы, подобной приведенной выше, требует много времени. К счастью, математика хорошо подсказывает, как срезать путь. Чтобы найти уравнение, представляющее это, если P m представляет собой сумму денег через m месяцев, тогда мы могли бы написать рекурсивное уравнение:
P 0 = 1000 долларов США
P м = (1+0,0025) P м-1
Вы, вероятно, знаете, что это рекурсивная форма экспоненциального роста. Если нет, мы проходим шаги, чтобы построить явное уравнение для роста в следующем примере.
Пример
Постройте явное уравнение для роста 1000 долларов, размещенных на банковском счете с процентной ставкой 3%, с ежемесячным начислением сложных процентов.
Решение:
- P 0 = 1000 долларов
- P 1 = 1,0025 P 0 = 1,0025 (1000)
- P 2 = 1,0025 P 1 = 1,0025 (1,0025 (1000)) = 1,0025 2(1000)
- P 3 = 1,0025 P 2 = 1,0025 (1,00252(1000)) = 1,00253(1000)
- П 4 = 1,0025 P 3 = 1,0025 (1,00253(1000)) = 1,00254(1000)
Наблюдая закономерность, мы можем сделать вывод:
- P м = (1,0025) м (1000 долларов США)
Обратите внимание, что 1000 долларов в уравнении были P 0 , начальной суммой. Мы нашли 1,0025, прибавив единицу к темпу роста, деленному на 12, поскольку мы начисляли сложные проценты 12 раз в год.
Обобщая наш результат, мы могли бы написать
В этой формуле:
- m — количество периодов начисления процентов (месяцев в нашем примере)
- r это годовая процентная ставка
- k – количество соединений в год.
Посмотрите это видео, чтобы ознакомиться с концепцией сложных процентов.
Хотя эта формула работает нормально, чаще используется формула, включающая количество лет, а не количество периодов начисления сложных процентов. Если N количество лет, тогда м = N k . Это изменение дает нам стандартную формулу сложных процентов.
Сложные проценты
- P N остаток на счете после N лет.
- P 0 — начальный баланс счета (также называемый начальным депозитом или основной суммой)
- r — годовая процентная ставка в десятичной форме
- k — количество периодов начисления процентов в одном году.
- Если начисление производится ежегодно (раз в год), к = 1.
- Если начисление процентов производится ежеквартально, k = 4.
- Если начисление процентов производится ежемесячно, к = 12.
- Если начисление процентов производится ежедневно, k = 365.
- Если начисление производится ежегодно (раз в год), к = 1.
Самое важное, что следует помнить об использовании этой формулы, это то, что она предполагает, что мы кладем деньги на счет один раз и оставляем их там, чтобы получать проценты.
В следующем примере показано, как использовать формулу сложных процентов для определения остатка по депозитному сертификату через 20 лет.
Пример
Депозитный сертификат (CD) — это сберегательный инструмент, который предлагают многие банки. Обычно это дает более высокую процентную ставку, но вы не можете получить доступ к своим инвестициям в течение определенного периода времени. Предположим, вы вкладываете 3000 долларов в депозитный сертификат с ежемесячной процентной ставкой 6%.
Сколько будет у вас на счету через 20 лет?
Решение:
В этом примере
| P 0 = 3000 долл. США | первоначальный взнос |
| r = 0,06 | 6% годовых |
| к = 12 | 12 месяцев в 1 году |
| N = 20 | так как мы ищем, сколько у нас будет через 20 лет |
Итак (округлите ответ до копейки)
Ниже представлено видео с решением этой задачи.
Давайте сравним сумму денег, заработанную на сложном проценте, с суммой, которую вы заработаете на простых процентах
| Годы | Простые проценты (15 долларов США в месяц) | 6% ежемесячно начисляется = 0,5% каждый месяц. |
| 5 | $3900 | 4046,55 $ |
| 10 | 4800 $ | 5458,19 $ |
| 15 | $5700 | 7362,28 $ |
| 20 | 6600 $ | 9930,61 $ |
| 25 | 7500 $ | 13394,91 $ |
| 30 | $8400 | 18067,73 $ |
| 35 | $9300 | 24370,65 $ |
Как видите, в течение длительного периода времени начисление сложных процентов сильно влияет на баланс счета. Вы можете распознать в этом разницу между линейным ростом и экспоненциальным ростом.
Попробуйте
Щелкните здесь, чтобы попробовать решить эту проблему.
Оценка степени на калькуляторе Desmos
Когда нам нужно вычислить что-то подобное, достаточно просто умножить. Но когда нам нужно вычислить что-то вроде , было бы очень утомительно вычислять это, умножая на себя раз! Поэтому, чтобы упростить задачу, мы можем использовать возможности наших научных калькуляторов.
В этом классе мы используем калькулятор Desmos. Если вы просто хотите возвести число в квадрат, ключ и 2 . Если вы хотите возвести число в другую степень, вы используете клавишу a b в главном меню.
Для оценки мы должны ввести 1,005 a b 240 . Попробуйте — вы должны получить ответ на рисунке ниже:
В большинстве научных калькуляторов есть кнопка для экспоненты. Если вы не используете калькулятор Desmos, он обычно помечен следующим образом:
9, , или .
Пример
Вы знаете, что через 18 лет вам потребуется 40 000 долларов на образование вашего ребенка. Если ваш счет зарабатывает 4% ежеквартально, сколько вам нужно внести сейчас, чтобы достичь своей цели?
Решение:
В этом примере мы ищем P 0 .
| г = 0,04 | 4% |
| к = 4 | 4 квартала в 1 году |
| N = 18 | Так как мы знаем баланс через 18 лет |
| P 18 = 40 000 долларов США | Сумма, которую мы имеем за 18 лет |
В этом случае нам нужно составить уравнение и найти P 0 .
(7)
Таким образом, вам нужно внести 19 539,84 долларов США сейчас, чтобы иметь 40 000 долларов через 18 лет.
Попробуйте
Нажмите здесь, чтобы попробовать решить эту проблему.
Округление
Если вы не вводите всю формулу в Desmos, а делаете это по частям, важно быть очень осторожным с округлением при расчетах с показателями степени. В общем, вы хотите сохранить как можно больше десятичных знаков во время вычислений. Убедитесь, что содержит не менее 3 значащих цифр (числа после любых начальных нулей). Округление 0,00012345 до 0,000123 обычно дает «достаточно близкий» ответ, но всегда лучше оставить больше цифр.
Пример
Чтобы понять, почему недопустимость чрезмерного округления так важна, если вы решите не вводить всю формулу сразу в Desmos, предположим, что вы инвестируете 1000 долларов США под 5% годовых, начисляемых ежемесячно в течение 30 лет.
| P 0 = 1000 долларов | первоначальный взнос |
| г = 0,05 | 5% |
| к = 12 | 12 месяцев в 1 году |
| Н = 30 | так как ищем сумму через 30 лет |
Если мы сначала вычислим r/k , то найдем 0,05/12 = 0,00416666666667
Вот результат округления до различных значений:
р/к округлить до: | Получается P30 : | Ошибка |
| 0,004 | 4208,59 $ | 259,15 $ |
| 0,0042 | 4521,45 $ | 53,71 $ |
| 0,00417 | 4473,09 $ | 5,35 $ |
| 0,004167 | 4468,28 $ | 0,54 $ |
| 0,0041667 | 4467,80 $ | 0,06 $ |
| без округления | 4467,74 $ |
Если вы работаете в банке, вы, конечно, вообще не будете округлять.
Для наших целей ответ, который мы получили, округлив до 0,00417, трех значащих цифр, достаточно близок — скидка 5 долларов с 4500 долларов не так уж и плоха. Конечно, сохранение этого четвертого знака после запятой не помешало бы.
Просмотрите следующее для демонстрации этого примера.
Использование калькулятора Desmos
Во многих случаях можно полностью избежать округления, вводя данные в калькулятор. Например, в приведенном выше примере нам нужно было вычислить
. Мы можем быстро вычислить это на калькуляторе Desmos, введя формулу сразу:
Чтобы ввести это в калькулятор, введите следующее:
1000 * (1 + 0,05/12) a b (12 * 30)
Примечание: a b находится в первой строке, во втором столбце главного меню выше.
. Теперь вы можете округлить свой окончательный ответ до ближайшего цента.
Attributions
Эта глава содержит материалы, взятые из книги Math in Society (в OpenTextBookStore) Дэвида Липпмана, и используется в соответствии с лицензией CC Attribution-Share Alike 3.0 United States (CC BY-SA 3.0 US).
Эта глава содержит материалы, взятые из Math for the Liberal Arts (о Lumen Learning) компании Lumen Learning, и используется в соответствии с лицензией CC BY: Attribution .
Media Attributions
- Desmos Exponent Entry
- Сложные проценты
Простые и сложные проценты
Простые проценты
Приведенные ниже формулы будут полезны для решения задач на простые проценты.
I = Prt
A = I + P
A —-> Накопленная стоимость (конечная стоимость)
P —-> Основная сумма (начальная стоимость инвестиции)
r —-> Годовая процентная ставка (в десятичном числе)
I —-> Сумма процентов
t —-> Время (в годах)
Сложные проценты
Приведенные ниже формулы будут полезны при решении задач на сложные интерес.
A = P(1 + r/n) nt
C.I = A — P
A ——> Накопленная стоимость (конечная стоимость)
P ——> Основная сумма (начальная стоимость инвестиции)
r ——> Годовая процентная ставка (в десятичной дроби)
n ——> Количество начислений процентов в год
t ——> Время (в годах)
C.I ——> Сумма процентов
Разница между простыми и сложными процентами Проценты
Важное примечание:
Когда мы смотрим на приведенную выше картинку, становится ясно, что проценты, полученные в S.I и CI, одинаковы (100 долларов США) за 1-й год, когда проценты ежегодно начисляются в CI.
Разница между сложными и простыми процентами за 2 года и 3 года
Приведенные выше две формулы применимы только при следующих условиях.
1. Основная сумма простых и сложных процентов должна быть одинаковой.
2. Процентная ставка должна быть одинаковой для простых и сложных процентов.
3.
В случае сложных процентов проценты должны начисляться ежегодно.
Решенные примеры
Пример 1 :
Найдите простые проценты за 2 года на 2000 долларов под 6% годовых.
Решение:
Формула для простых процентов: 100
= 240
Таким образом, полученные проценты составляют 240 долларов.
Пример 2 :
В простых процентах денежная сумма удваивается за 10 лет. Найдите количество лет, которое потребуется, чтобы увеличить себя втрое.
Решение:
Пусть P будет суммой вложенных денег.
Дано : Сумма денег удваивается за 10 лет
Тогда P станет 2P через 10 лет.
Теперь мы можем рассчитать проценты за десять лет, как указано ниже.
При использовании простых процентов проценты будут одинаковыми каждый год.
Таким образом, проценты, полученные в следующие 10 лет, также будут P.
Это было объяснено ниже.
Итак, потребуется 20 лет, чтобы принципал сам стал тройным.
Пример 3 :
В виде простых процентов сумма денег составляет 6200 долларов через 2 года и 7400 долларов через 3 года. Найдите главного.
Решение:
По истечении 2 лет мы получим 6200 долларов
По истечении 3 лет мы получим 7400 долларов
Из этих двух данных мы можем получить проценты, полученные за 3-й год, как показано ниже. .
Простые проценты будут одинаковыми каждый год.
Исходя из этого, мы можем рассчитать основную сумму, как указано ниже.
Итак, основная сумма составляет 3800 долларов.
Пример 4 :
800 долларов США инвестированы , где процентная ставка составляет 20 % в год. Если проценты начисляются раз в полгода, какова будет накопленная стоимость и сложные проценты через 2 года?
Решение:
Формула для нахождения суммарного значения: — —> Основная сумма (первоначальная стоимость инвестиции)
r ——> Годовая процентная ставка (в десятичном числе)
n ——> Количество начислений процентов в год
t ——> Время (в годах)
Здесь
P = 800
r = 20% = 0,2
n = 2
t = 2
Суммарное значение:
= 800(1 + 0,1) 4
= 800(1,1) 4
= 800 x 1,4641
= 1171,28
Сложные проценты:
= A — P
= 1171,28 — 800
= 371,28
Накопленная стоимость и сложные проценты через два года составят 1171,28 и 371,28 долларов соответственно.
Пример 5 :
Сумма денег, размещенная под сложные проценты, удваивается за 3 года. Через сколько лет он увеличится в четыре раза?
Решение:
Пусть P будет суммой, вложенной первоначально.
Из предоставленной информации P становится 2P через 3 года.
Поскольку инвестиции представляют собой сложные проценты, основная сумма долга в 4-м году будет равна 2P
И 2P станет 4P (удвоится) в следующие 3 года.
Следовательно, по истечении 6 лет накопленная стоимость составит 4P.
Таким образом, сумма вклада увеличится в 4 раза за 6 лет.3
Пример 6:
Разница между сложными процентами и простыми процентами на определенную инвестицию из расчета 10% в год в течение 2 лет составляет 631 доллар. Найдите стоимость инвестиций.
Решение:
Разница между сложными процентами и простыми процентами за 2 года составляет 631.
Тогда мы имеем,
P(R/100) 2 = 631
Замените R = 10,
P (10/100) 2 = 631
= 631
= 631
Умножьте обе части на 100
P = 631 x 100 9 0013
P = 63100
Итак, стоимость инвестиции составляет 63100 долларов США.
Пример 7 :
Разница между сложными процентами и простыми процентами по определенной основной сумме составляет 10% в год в течение 3 лет и составляет 31 доллар США. Найдите главного.
Решение:
Разница между сложными процентами и простыми процентами за три года равна 31.
Тогда мы имеем,
P(R/100) 2 (R/100 + 3) = 31 9001 3
Заменитель R = 10.
P(10/100) 2 (10/100 + 3) = 31
P(1/10) 2 (1/10 + 3) = 31
(31/10)
= 31
Умножьте обе части на 1000/31.
P = 31 x (1000/31)
P = 1000
Итак, основная сумма составляет 1000 долларов.
Пример 8 :
Сложные и простые проценты на определенную сумму в течение 2 лет составляют 1230 и 1200 долларов соответственно. Процентная ставка одинакова как для сложных процентов, так и для простых процентов, и она начисляется ежегодно. Что такое принципал?
Решение:
Чтобы найти основную сумму, нам нужна процентная ставка.
Итак, сначала найдем процентную ставку.
Шаг 1:
Простые проценты за два года составляют 1200 долларов. Таким образом, проценты в год по простым процентам составляют 600 долларов США
Таким образом, сложные проценты за 1-й год составляют 600 долларов США, а за 2-й год — 630 долларов США.
(Поскольку проценты начисляются ежегодно, S.I и C.I за 1-й год будут одинаковыми)
Шаг 2:
Когда мы сравниваем начисленные проценты за 1-й и 2-й год, становится ясно, что проценты, полученные за 2-й год на 30 больше, чем в первый год.
Потому что при сложных процентах проценты в размере 600 долларов, полученные в 1-м году, принесли эти 30 долларов во 2-й год.
Можно рассматривать как простые проценты на один год.
Принцип = 600, проценты = 30
I = PRT / 100
30 = (600 x R x 1) / 100
30 = 6R
Делим e с обеих сторон на 6.
30/6 = R
5 = R
Итак, R = 5%
Шаг 3:
Разница между сложными процентами и простыми процентами за два года составляет
= 1230 — 1200
= 30
Тогда имеем
P(R/100) 2 = 30
Подстановка R = 5.