Прямоугольник выпуклый: Выпуклый четырехугольник, параллелограмм, ромб, квадрат, трапеция

Многоугольники. Выпуклый многоугольник. Четырехугольник 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Многоугольники. Выпуклый многоугольник. Четырехугольник.

Треугольник – это частный случай многоугольника.

 

 

В самом названии уже подчеркивается, что это фигура, у которой три угла. Следовательно, в многоугольнике их может быть много, т.е. больше, чем три. Например, изобразим пятиугольник – фигуру с пятью углами.

Многоугольник – фигура, состоящая из нескольких точек (больше двух) и соответствующего количества отрезков, которые их последовательно соединяют. Эти точки называются вершинами многоугольника, а отрезки – сторонами. При этом никакие две смежные стороны не лежат на одной прямой и никакие две несмежные стороны не пересекаются.

Любой многоугольник разделяет плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. Внутреннюю область также относят к многоугольнику.

Иными словами, например, когда говорят о пятиугольнике А₁А₂А₃А₄А₅, имеют в виду и всю его внутреннюю область, и границу. А ко внутренней области относятся и все точки, которые лежат внутри многоугольника.

 

 

Многоугольники еще иногда называют n-угольниками, чтобы подчеркнуть, что рассматривается общий случай наличия какого-то неизвестного количества углов (n штук).

Периметр многоугольника – сумма длин сторон многоугольника.

Отрезок, соединяющий любые две противоположные вершины, называется диагональю многоугольника.

 

 

Многоугольники делятся на выпуклые и невыпуклые. Например, многоугольник, изображенный на рисунке выше, является выпуклым, а на рисунке ниже – невыпуклым.

 

 

Многоугольник называется выпуклым, если при проведении прямой через любую из его сторон весь многоугольник лежит только по одну сторону от этой прямой. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.

Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и углы равны.

Существенное отличие четырехугольника от треугольника в том, что он может быть выпуклым или невыпуклым.

 

 

 

Очень важное различие, о котором знает каждый плотник, состоит в том, что треугольник – «жесткая» фигура, а четырехугольник (как и все остальные многоугольники) – «нежесткая».

У треугольника невозможно изменить его форму, не изменив длин сторон. При этом у любого четырехугольника можно изменить его форму, не меняя длины сторон. На практике это будет означать, что треугольник, сколоченный из трех дощечек, будет жестким, не будет сминаться даже при сильных воздействиях, а четырехугольник при достаточной нагрузке со стороны изменит свою форму.

Для описания свойств многоугольников существуют две важнейшие теоремы об их углах: теорема о сумме внутренних углов выпуклого многоугольникаитеорема о сумме внешних углов выпуклого многоугольника.

Теорема. О сумме внутренних углов выпуклого многоугольника (n-угольника).

Сумма углов n-угольника равна 180°·(n-2).

Математическая запись: ∠A1+∠A2+…+∠An=180°(n-2), где n – количество его углов (сторон).

Вспомним, что любой четырехугольник состоит из двух треугольников (достаточно провести диагональ). Но сумма углов каждого из них одинакова и равна 180⁰, значит, сумма углов четырехугольника 360⁰.

Теорема. О сумме внешних углов выпуклого многоугольника (n-угольника).

∠1’+∠2’+…+∠n’=360°, где n – количество его углов (сторон), а ∠1′,…,∠n’ – внешние углы, по одному от каждой вершины.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

Поиск по сайту:

Справочник по математике

Геометрия (Планиметрия)

Четырехугольники

Типы четырехугольников

Типы параллелограмов

Типы трапеций

Типы четырёхугольников

      Классификация треугольников изложена в разделе нашего справочника «Типы треугольников».

      Целью данного раздела является классификация четырёхугольников.

      Классификация четырёхугольников по типам представлена на схеме 1.

Схема 1

      Рисунки и определения фигур, представленных на схеме 1, даны в следующей таблице.

Фигура	Рисунок	Определение
Четырёхугольник		Четырёхугольник – это часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией с четырьмя звеньями без самопересечений.
Выпуклый четырёхугольник		Выпуклый четырёхугольник – это четырёхугольник, который вместе с любыми двумя точками содержит и весь отрезок с концами в этих точках
Невыпуклый четырёхугольник		Четырёхугольник называют невыпуклым, если он не является выпуклым.
Параллелограмм		Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны
Трапеция		Трапеция – это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие стороны не параллельны (боковые   стороны).
Дельтоид		Дельтоид – это выпуклый четырёхугольник, состоящий из двух различных равнобедренных треугольников с общим основанием, вершины которых лежат по разные стороны от этого основания.

Четырёхугольник

Четырёхугольник – это часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной линией с четырьмя звеньями без самопересечений.

Выпуклый четырёхугольник

Выпуклый четырёхугольник – это четырёхугольник, который вместе с любыми двумя точками содержит и весь отрезок с концами в этих точках

Невыпуклый четырёхугольник

Четырёхугольник называют невыпуклым, если он не является выпуклым.

Параллелограмм

Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны

Трапеция

Трапеция – это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие стороны не параллельны (боковые   стороны).

Дельтоид

Дельтоид – это выпуклый четырёхугольник, состоящий из двух различных равнобедренных треугольников с общим основанием, вершины которых лежат по разные стороны от этого основания.

Типы параллелограммов

      На схеме 2 представлена классификация параллелограммов.

Схема 2

      Рисунки и определения фигур, представленных на схеме 2, даны в следующей таблице.

Фигура	Рисунок	Определение
Прямоугольник		Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые.
Ромб		Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Квадрат		Квадрат – это параллелограмм, у которого все углы прямые и все стороны равны.
Параллелограмм общего вида		Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны

Прямоугольник

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Ромб

Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Квадрат

Квадрат – это параллелограмм, у которого все углы прямые и все стороны равны.

Параллелограмм общего вида

Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны

Типы трапеций

      На схеме 3 представлена классификация трапеций.

Схема 3

      Рисунки и определения фигур, представленных на схеме 3, даны в следующей таблице.

Фигура	Рисунок	Определение
Равнобедренная (равнобочная) трапеция		Равнобедренной называют трапецию, у которой боковые стороны равны.
Прямоугольная трапеция		Прямоугольной называют трапецию, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.
Трапеция общего вида		Трапеция – это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Равнобедренная (равнобочная) трапеция

Равнобедренной называют трапецию, у которой боковые стороны равны.

Прямоугольная трапеция

Прямоугольной называют трапецию, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Трапеция общего вида

Трапеция – это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

До ЕГЭ по математике осталось
дней	часов	минут	секунд

НАШИ ПАРТНЕРЫ «НПО Астек» «Fastvideo» Бюро переводов «Медтран» Независимый бизнес-консультант Е.Самаров

Q5 Объясните, почему прямоугольник является выпуклым четырехугольником…

Перейти к

• Упражнение 3.1
• Упражнение 3. 2
• Упражнение 3.3
• Упражнение 3.4

• Рациональное число
• Линейные уравнения с одной переменной
• Понимание четырехугольников
• Практическая геометрия
• Обработка данных
• Квадраты и квадратные корни
• Кубы и кубические корни
• Сравнение количеств
• Алгебраические выражения и тождества
• Визуализация твердых фигур
• Измерение
• Показатели и силы
• Прямые и обратные пропорции
• Факторизация
• Введение в графики
• Игра с числами

Главная > Решения НЦЭРТ Класс 8 Математика > Глава 3. Понимание четырехугольников > Упражнение 3.4 > Вопрос 16

Вопрос 16 Упражнение 3.4

В5) Объясните, почему прямоугольник является выпуклым четырехугольником.

Ответ:

Решение:

Прямоугольник является выпуклым четырехугольником, так как его вершина приподнята и обе его диагонали лежат внутри него.

Связанные вопросы

**Укажите, верно это или нет:** **Все ромбы — воздушные змеи.**

**Укажите, верно это или нет:** **Все параллелограммы являются трапециями.**

**Укажите, верно это или нет:** **Все прямоугольники являются квадратами.**

**Укажите, верно это или нет:** **Все ромбы являются параллелограммами.**

**Укажите, верно это или нет:** **Все квадраты не являются параллелограммами. **

**Укажите, верно это или нет:** **Все воздушные змеи представляют собой ромбы.**

Фейсбук WhatsApp

Копировать ссылку

Было ли это полезно?

Упражнения

Упражнение 3.1

Упражнение 3.2

Упражнение 3.3

Упражнение 3.4

Главы

Рациональные числа

Линейные уравнения в одной вариабельной

СПАСИДЕНИЯ

ПРАКТИЧЕСКАЯ ГЕЙОМЕТРИЯ

Data Handling Handling Handladlals

. Корни

Кубы и кубические корни

Сравнение величин

Алгебраические выражения и идентичности

Визуализация твердых форм

Mensuration

Экспоненты и мощности

Прямые и обратные пропорции

Фактор

Введение в графики

играют с номерами

. n — 1 $ прямоугольники на каждом шаге моего алгоритма (см. рисунки ниже). Я утверждаю, что $A_{x_n} \ge a_n$ (и $a_n$ также описывается ниже и сходится к $1$ с разумной скоростью).

Пусть $\mathrm{diam}(O)$ — диаметр $O$, и пусть две точки $x$ и $y$ на $\partial O$ такие, что $\| х — у \| = \mathrm{диам}(O)$. (Функция, которая берет две точки в $O$ и выводит их расстояние, непрерывна, а $\partial O$ компактна, так что у нас действительно есть такая пара $(x,y)$.) Это означает, что в точке $x $ касательная, параллельная $\partial O$, проходящая через $x$, ортогональна прямой, проходящей из $x$ в $y$. См. рисунок ниже.

Теперь, поскольку $x$ и $y$ выбраны так, чтобы расстояние между ними было максимальным, векторы, касающиеся $\partial O$ в точках $x$ и $y$, в обоих направлениях «вверх» и «вниз» (см. рисунки) будут указывать внутрь (поскольку они имеют максимальное расстояние), так что «высота» точек на $\partial O$ относительно оси $x-y$ будет вогнутой функцией (минус выпуклая функция) , поэтому имеет максимум.

Выберите точку $z_1$ с максимальной высотой для верхней зоны и $z_2$ для нижней зоны. Я сделал еще один рисунок, который рассматривает нижний корпус, а верхний корпус симметричен.

На рисунке я определяю $f(t)$ как площадь определенного прямоугольника. Я определяю $f : (0,a) \to \mathbb R$, полагая $t$ расстоянием от пересечения между осью $x-y$ и точкой, опущенной ортогонально из $z_2$ (которая является нижней точкой) и некоторая точка слева от этой точки на оси $x-y$. Чтобы нарисовать прямоугольник, вы опускаетесь вертикально вниз, затем поворачиваетесь ортогонально, пока не достигнете границы, а затем поворачиваетесь ортогонально и снова останавливаетесь на оси $x-y$. Я определяю прямоугольник таким образом, потому что наихудшее выпуклое множество, имеющее $x$, $y$ и $z$ в этих местах, — это просто два треугольника, следовательно, площадь будет минимальной, и я получу нижнюю границу.

Используя геометрию, вы можете легко увидеть, что $$ f(t) = (t+\beta)(h-\alpha) = \left(t+\frac{t(d-a)}a \right)\left(h — \frac{ht}a \right) = \frac {dh}a \left( t \left( 1 — \frac ta \right) \right). $$ что дает максимум при $t = \frac a2$ (естественно, не так ли) и максимум при $\frac{3}{16} dh.

Теперь площадь обоих прямоугольников равна $\frac{3}{16}dh_1 +\frac{3}{16}dh_2 = \frac{3}{16}(d(h_1+h_2)) \ge \frac {3}{16}$, а неравенство возникает из-за того, что выпуклое множество можно заключить в прямоугольник шириной $d$ и высотой $h_1+h_2$, где $h_1$ – максимальная высота одной из конструкций, а $h_2$ — другой.

На шаге $1$ я удалил как минимум $r=3/16$ из множества $O$ с 2 прямоугольниками. Оставшееся пространство (представьте себе круг с вписанным в него квадратом, осталось $4$ зон… это новые выпуклые множества, которые я перебираю). Теперь из оставшейся области $(1-r)$ я могу удалить как минимум $3/16$, следовательно, теперь удалена область $r + (1-r)r$. Итерируя таким образом, я получаю $$ a_1 = r, \qquad a_n = a_{n-1} + (1-a_{n-1})r $$ а так как эта последовательность явно возрастает и ограничена сверху, то она сходится, и, допуская предел $a = a + (1-a)r$, получаем $a = 1$.