Прямые второго порядка: 33. Линии второго порядка

33. Линии второго порядка

Линии второго порядка это эллипс, гипербола, парабола. Эти кривые представляют собой так называемые конические сечения. Это сечения конуса плоскостью. В зависимости от того, как проходит плоскость получается либо эллипс, либо парабола, либо гипербола. В механике линии второго порядка определяют траектории движения теля в поле центрального тяготения. Так, материальная точка (спутник) движется в поле тяготения Земли по эллипсу. Если его скорость равна второй космической, то по параболе, а если превысит вторую космическую – то по гиперболе.

Общее уравнение кривой второго порядка – это полином второй степени:

A11 x2 + 2 a12 x y + a22 y2 + 2 a13 x + 2 a23 y + a33 = 0

В математике доказывается (мы этим займемся через несколько лекций), что путем преобразований координат – поворотов осей и переносов осей можно всегда данное уравнение привести к виду:

A11 x2 + a22 y2 = a33 Или y2= 2px

Такой вид уравнения кривой второго порядка называется каноническим.

Более того, доказывается также, что этими тремя линиями ( эллипс, парабола, гипербола) исчерпываются все линии второго порядка.

Рассмотрим в отдельности каждую кривую.

Каноническое уравнение эллипса. Эллипс получается, если плоскость пересекает Все образующие конуса.

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная. Очевидно, при совпадении точек F1 и F2 эллипс представляет собой окружность.

Выведем каноническое уравнение эллипса: выберем начало координат в середине отрезка F1F2. Обозначим длину отрезка F1F2=2с, а расстояние, о котором мы говорили в определении эллипса – через 2а.

Лучше проделать следующие преобразования: умножим правую и левую части (*) на разность радикалов

, сложим снова с (*) и возведем в квадрат

Отсюда

Величины a и b называются большой и малой полуосями соответственно. Строим эллипс:

Каноническое уравнение гиперболы. Гипербола получается, когда плоскость пересекают образующие обеих полостей конуса.

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

 

 

 

Выберем опять оси координат и начало координат посередине отрезка F1F2. Расстояние F1F2 равно 2с. А разность расстояний обозначим через 2а.

Аналогично предыдущему выводу уравнения эллмпса, имеем:

 

 

 

 

 

Преобразуем, как и ранее к виду:

Величины a и b называются действительной и мнимой полуосями гиперболы соответственно. Строим гиперболу:

Сопряженная гипербола – ее ветви будут направлены вверх и вниз. Асимптоты гиперболы очевидно определяются уравнениями:

2а и 2в – действительная и мнимая оси гиперболы соответственно.

Каноническое уравнение параболы. Парабола получается, когда плоскость, пересекающая конус, параллельна одной из образующих. В механике космического полета существует так называемая параболическая скорость. Иначе еще она называется второй космической скоростью. Тело, имеющее вторую космическую скорость, движется по параболе, а если скорость больше – то по гиперболе.

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фркусом параболы, а фиксированная прямая – директрисой параболы.

Для вывода уравнения построим:

Согласно определению:

Это и есть каноническое уравнение параболы. Параметр р называеся параметром параболы. К примеру, парабола y = x2: p=1/2

Фокус – это точка F ( 0, 1/4), директриса y = — 1/4

Оказывается, директрису можно определить и для эллипса и для параболы. Заметим, что для параболы директрису можно определить и так: отношение расстояний от точки параболы до фокуса и до директрисы есть величина постоянная, равная единице. Для эллипса и гиперболы можно также ввести прямую, для которой отношение расстояний от некоторой точки эллипса или гиперболы до фокуса и до прямой, называемой тоже директрисой, есть величина постоянная.

Для выяснения этого свойства введем определение: эксцентриситетом эллипса (гиперболы) называется величина Е, равная E=C/A.

Если обратиться к уравнениям эллипса и гиперболы, то можно получить для Е выражение:

— эллипс

— гипербола

E < 1 для эллипса

E = 0 для окружности

E > 1 для гиперболы

Заметим, что величина эксцентриситета для эллипса характеризует его вытянутость, а для гиперболы – величину угла раствора ветвей гиперболы. Чем больше эксцентриситет гиперболы, тем больше угол раствора ветвей j.

Определение: директрисой D1 эллипса, отвечающей фокусу F1 является прямая, расположенная в той же полуплоскости, что и фокус F1 , перпендикулярно большой оси эллипса на расстоянии от его центра.

Уравнение директрисы D1:

Уравнение директрисы D2:

Теперь докажем теорему: отношение расстояния R1 от точки эллипса M(x, y) до фокуса F1 к расстоянию D1 от этой точки эллипса до директрисы D1 есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса: .

Действительно:

Нормированное уравнение директрисы есть:

Расстояние d1, очевидно есть (подставляем координаты точки М в нормированное уравнение):

Отношение

Теорема доказана.

Определим директрису для гиперболы. Директрисой D1 гиперболы, отвечающей фокусу F1 называется прямая, расположенная в полуплоскости, где расположен фокус F1, перпендикулярно действительной оси гиперболы на расстоянии от центра.

Можно доказать, аналогично эллипсу, теорему: отношение расстояние R1 некоторой точки гиперболы до ее фокуса F1 к расстоянию до директрисы D1 равно .

Эти свойства эллипса и гиперболы позволяют дать новое определение этих кривых. 2=0$; здесь $a$, $b$ и $p$ – дей­ст­ви­тель­ные чис­ла, не рав­ные ну­лю.

Ис­сле­до­ва­ние Л. в. п. мо­жет быть про­ве­де­но без при­ве­де­ния об­ще­го урав­не­ния к ка­но­нич. ви­ду. Для это­го вво­дят­ся т. н. ин­ва­ри­ан­ты Л. в. п. – вы­ра­же­ния, со­став­лен­ные из ко­эф­фи­ци­ен­тов об­ще­го урав­не­ния Л. в. п., зна­че­ния ко­то­рых не ме­ня­ют­ся при па­рал­лель­ном пе­ре­но­се и по­во­ро­те сис­те­мы ко­ор­ди­нат (ни­же $a_{ij}=a_{ji}$), $$\Delta =\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}, \;\delta =\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix},\; S=a_{11} + a_{22}.$$

Напр., эл­лип­сы, как не­рас­па­даю­щие­ся ли­нии, ха­рак­те­ри­зу­ют­ся тем, что для них $Δ≠ 0$; по­ло­жи­тель­ное зна­че­ние ин­ва­ри­ан­та $δ$ вы­де­ля­ет эл­лип­сы сре­ди др. ти­пов не­рас­па­даю­щих­ся ли­ний (для ги­пер­бол $δ<0$, для па­ра­бол $δ=0$). Раз­ли­чить слу­чаи дей­ст­ви­тель­но­го или мни­мо­го эл­лип­са по­зво­ля­ет со­пос­тав­ле­ние зна­ков ин­ва­ри­ан­тов $Δ$ и $S$: ес­ли $Δ$ и $S$ раз­ных зна­ков, то эл­липс дей­ст­ви­тель­ный, ес­ли $Δ$ и $S$ од­но­го зна­ка, то эл­липс мни­мый.

Три осн. ин­ва­ри­ан­та $Δ$, $δ$ и $S$ оп­ре­де­ля­ют Л. в. п. (кро­ме слу­чая па­рал­лель­ных пря­мых) с точ­но­стью до дви­же­ния евк­ли­до­вой плос­ко­сти: ес­ли со­от­вет­ст­вую­щие ин­ва­ри­ан­ты $Δ$, $δ$ и $S$ двух ли­ний сов­па­да­ют, то та­кие ли­нии мо­гут быть со­вме­ще­ны дви­же­ни­ем. Ины­ми сло­ва­ми, эти ли­нии эк­ви­ва­лент­ны по от­но­ше­нию к груп­пе дви­же­ний плос­ко­сти.

Су­ще­ст­ву­ют клас­си­фи­ка­ции Л. в. п. с ис­поль­зо­ва­ни­ем др. групп пре­об­ра­зо­ва­ний. Так, от­но­си­тель­но бо­лее об­щей, чем груп­па дви­же­ний, груп­пы аф­фин­ных пре­об­ра­зо­ва­ний эк­ви­ва­лент­ны­ми яв­ля­ют­ся лю­бые две ли­нии, оп­ре­де­ляе­мые урав­не­ния­ми од­но­го ка­но­нич. ви­да. Напр., две по­доб­ные Л. в. п. (см. По­до­бие) яв­ля­ют­ся эк­ви­ва­лент­ны­ми. Свя­зи ме­ж­ду разл. аф­фин­ны­ми клас­са­ми Л. в. п. по­зво­ля­ет ус­та­но­вить клас­си­фи­ка­ция с ис­поль­зо­ва­ни­ем про­ек­тив­ной гео­мет­рии.

Кро­ме ана­ли­тич. спо­со­ба оп­ре­де­ле­ния Л.  в. п. (с по­мо­щью урав­не­ния), су­ще­ст­ву­ют и др. спо­со­бы. Напр., эл­липс, ги­пер­бо­ла и па­ра­бо­ла мо­гут быть по­лу­че­ны как се­че­ния ко­ну­са плос­ко­стью – ко­ни­че­ские се­че­ния.

пар прямых линий: введение

Пары прямых: введение https://schooltutoring.com/help/wp-content/themes/movedo/images/empty/thumbnail.jpg 150 150 ШколаРепетиторская Академия ШколаРепетиторская Академия https://secure.gravatar.com/avatar/983a20e95a059722e4981790f518b20b?s=96&d=mm&r=g 3 декабря 2012 г. 2 декабря 2014 г.

Существует несколько формул и уравнений, используемых для взаимодействия прямых линий. Мы рассмотрим их ниже:

Рассмотрим уравнение (ax+by+c)(px+qy+r)=0, которое является уравнением второй степени с двумя переменными x и y . Уравнения ax+by+c=0 и px+qy+r=0 линейны относительно x и y

, поэтому любое из них представляет собой прямую линию. Пусть P(x,y) лежит на геометрическом месте уравнения (ax+by+c)(px+qy+r)=0, тогда

ax+by+c=0 или px+qy+r=0

Итак, P лежит либо на ax+by+c=0, либо на px+qy+r=0 (или на обоих).

Таким образом, уравнение второй степени с двумя переменными x и y представляет собой пару прямых.

iЕсли a,b,h — вещественные числа, не все равные нулю, то ax ² +2hxy+by ² =0 называется однородным уравнением второй степени по x и y и ax ² +2hxy+by ² +2gx+2fy+c=0 называется общим уравнением второй степени в х и у .

Если это общее уравнение второй степени содержит прямую, то это уравнение можно записать как произведение двух линейных множителей х и y .

Таким образом, если геометрическое место уравнения второй степени в x и y содержит прямую, то уравнение представляет собой пару прямых. Если геометрическое место уравнения второй степени с двумя переменными x и y — пара прямых, тогда мы можем записать это как (ax+by+c)(px+qy+r)=0, где ax+by+c и px+qy +r линейны в x и y .

Примечание:

(1)    Уравнение ax ² +2hxy+by ² =0 представляет пару прямых тогда и только тогда, когда h ² ≥ab.

(2)    Если h ² =ab, то прямые, представленные уравнением геометрического места, совпадают.

Мы также предлагаем репетиторство по географии. Нажмите здесь для получения дополнительной информации.

SchoolTutoring Academy — это ведущая компания, предоставляющая образовательные услуги для учащихся K-12 и колледжей.

Мы предлагаем программы репетиторства для учащихся K-12, классов AP и колледжей. Чтобы узнать больше о том, как мы помогаем родителям и учащимся во Флориде, посетите: Репетиторство во Флориде.

аналитическая геометрия — При каком условии уравнение второй степени представляет пару прямых?

спросил 92-ab} \over a+b} $, где $ \theta$ — угол между двумя прямыми.

• аналитическая геометрия
• конические сечения

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Если коника представляет собой пару прямых, то ее можно записать как $(px+qy+r)(p’x+q’y+r’)$. Следовательно, мы получаем $ab = pp’qq’$ и $h = \frac{pq’+p’q}{2}$.

1) Если и $pq’$, и $p’q$ больше нуля, примените AM-GM к $pq’$ и $p’q$, чтобы получить 93 $ связаны с матрицей $$\begin{pматрица} a&h&g\\h&b&f\\g&f&c \end{pmatrix}.

No related posts.