2+n-72)=1/(n+9)Треугольники Единый круг Средний квадрат Матрица вращения Ортонормальная базис Комбинаторные идентичности Экспоненциальная функция Алгебра Фактор Параметризованные виды кривой Will Energy Will Energy Will Energy Will Energy Will Energy Will Energy Will Energy Will Hyperbure Will Energy Will Energy Will Hyperbure. вышеуказанного тождества. Более поздние части это эссе не часто зависит от предыдущих частей, поэтому, пожалуйста, не стесняйтесь просматривать пропустите непонятный текст, пока не найдете то, что вам удобно. Обычный способ понимания идентичности — через Пифагора.
теорема. В прямоугольном треугольнике со сторонами a , b , c и угол t в вершине
где a и c встречаются, cos(t) по определению a/c , sin(t) по определению b/c , и поэтому cos 2 (t) + sin 2 (t) is (a/c) 2 +(b/c) 2 , что простым
алгебраическая манипуляция (а 2 +b 2 )/с 2 . Традиционно (т.е. как я это выучил) следующим шагом будет поймите, что единичный круг с центром в (0,0) в (x,y) плоскость определяется x 2 +y 2 =1 . Вышеприведенное тождество может быть тогда интерпретируется как говорящая о том, что точка (cos(t), sin(t)) включен единичный круг. Кроме того, этот подход приводит к определению cos(t) и sin(t) для всех реальных t . Другой способ понять это тождество — использовать тригонометрические тождества.
Между прочим, эти тождества буквально выпрыгивают из головы. Другой способ взглянуть на это — вспомнить, что среднеквадратичное значение cos равно 1/√2 , как среднеквадратичное значение грех . Это означает, что потому что 2 равно 1/2 +
вариация, и sin 2 это 1/2 +
вариация , и удивительно вариация cos 2 есть точно отрицательная вариация грех 2 . На самом деле, это согласуется с фактом
что sin и cos просто версии со сдвигом по фазе
друг от друга, так что грех 2 и cos 2 являются сдвинутыми по фазе версиями друг друга, поэтому
их вариации должны быть как-то связаны. Еще один способ понять идентичность — использовать матрицы 2 на 2. линейная матрица, представляющая поворот против часовой стрелки на угол т это
Матрица
 Определитель
квадратная матрица имеет простую геометрическую интерпретацию. это площадь
коэффициент масштабирования. При вращении площадь не меняется, поэтому определитель
должен быть 1 . Итак, личность cos 2 (t)+sin 2 (t)=1 можно интерпретировать
как выражение довольно очевидного факта, что вращение объекта в (x,y) плоскость не меняет свою площадь. Матрица вращения отправляет точку (1,0) в (cos(x),sin(x)) и точка (0,1) от до (-sin(x),
cos(x)) . Стандартный базис e 1 =(1,0) , e 2 = (0,1) является ортонормированным базисом, что означает, что Поскольку вращение — это «жесткое движение», оно преобразует ортонормированный базис в
другой ортонормированный базис. Другой способ взглянуть на идентичность — через разложения степенных рядов
соз (х) и грех (х).
Это означает, что
В этом контексте тождество cos 2 (t)+sin 2 (t)=1 действительно кодирует бесконечное число тождеств с факториалами, а именно
Эти тождества могут быть перевыражены в терминах комбинаторных коэффициенты (
Они говорят, что сумма четных комбинаторных коэффициентов равна тот же результат, что и нечетные комбинаторные коэффициенты.  Этот результат может
доказываться непосредственно. Это легче всего увидеть, взглянув на Паскаля.
треугольник, и сложение терминов подряд в двух разных
способы. Кроме того, использование расширений степенных рядов для расширения
определение cos и sin в комплексные числа, мы
теперь известно, что тождество верно для комплекса т . Благодаря
Боб Ува за указание на это.
Во-первых, нужно понять, что единственное уравнение e ix =
cos(x)+isin(x) дает нам уравнение e -ix =
cos(x)-isin(x) и из этих двух уравнений мы можем решить для cos(x) и sin(x) , чтобы получить Во-вторых, быть умным (в другом смысле) и понять, что мы можем
разложить по 2 + б 2 как (а-иб)(а+иб) . Рассмотрим параметризованную кривую c(t) = (cos(t), sin(t)) .
тождество говорит нам, что эта параметризованная кривая всегда находится на единице
круг о происхождении. Наконец, еще один подход к установлению этого cos 2 (x)+sin 2 (x) равно 1 равно
осознать, что на самом деле речь идет о двух отдельных свойствах, а именно о том, что cos 2 (x)+sin 2 (x) — константа, и что
константа оказывается равной 1, т. Учитывая функцию f , чтобы установить, что f является
постоянная функция, достаточно установить, что производная от f равно нулю. Применение этой техники к f=cos 2 +sin 2 , на первом этапе используется
цепное правило, чтобы получить, что производная от cos 2 (x)+sin 2 (x) равно 2cos(x)cos’x +
2sin(x)sin'(x) . Через производные тождества cos'(x) =
-sin(x) и sin'(x) = cos(x) , мы имеем это 2cos(x)cos’x + 2sin(x)sin'(x) упрощается до 2cos(x)(-sin(x)) + 2sin(x)cos(x) , что равно нулю. Итак
идентичность можно рассматривать как интегрированную версию тривиального
личность Еще один способ увидеть, что cos 2 +sin 2 постоянна, состоит в том, чтобы понять, что она представляет собой сумму потенциальных и кинетические энергии решения x=cos(t) уравнения для простого гармонического движения x»(t)+x(t)=0 . Для частицы массой 1 кинетическая энергия равна (1/2)x'(t) 2 , а потенциальная энергия равна (1/2)x(t) 2 (с точностью до аддитивной константы). Закон сохранения энергии говорит нам, что (1/2)x'(t) 2 +(1/2)x(t) 2 является константой, и поэтому х'(т) 2 +х(т) 2 также является константой. Принимая решение x (t) = cos (t) (или x (t) = sin (t) ) получаем тождество. Я должен упомянуть, что ни одна из вышеперечисленных математических функций не зависит от
лежащая в основе физика. Если x(t) является решением второго порядка
уравнение x»(t)+F(x(t)) = 0 ,
тогда (1/2)x'(t) 2 + V(x(t)) ,
где V — производная от F , — константа. Между прочим, поскольку x(t)=acos(t)+bsin(t) является общим решением
к уравнению второго порядка имеем Следующий шаг к пониманию идентичности — сравнение и противопоставление это к тождеству для гиперболического косинуса и гиперболического синуса, а именно шш 2 (т) — шш 2 (т) = 1 . я отложу это к более позднему эссе.
Вернуться к началу страницы 92{\theta}$ Квадрат косинуса, равный вычитанию квадрата синуса из единицы, называется формулой квадрата косинуса. Его также называют квадратом тождества функции cos. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пифагор’
Теорема утверждает, что a 2 +b 2 есть c 2 , поэтому это упрощается до 1.
глядя на графики y = cos 2 (x) и y =
грех 2 (х) .
Это означает, что приведенные выше три уравнения будут
истинно, когда e 1 равно (cos(t), sin(t)) 
Если вы еще этого не видели, то это
пересчет a 2 -b 2 = (a-b)(a+b) .
Используя комплексные числа, мы получаем, что -b 2 равно (ib) 2 , что приводит к а 2 +b 2 = а 2 -(-b 2 ) =
a 2 — (ib) 2 = (a-ib)(a+ib) . Кстати,
конечно также верно, что 2 +б 2 =
(b-ia)(b+ia) . В любом случае, применяя факторизацию к cos 2 (x)+sin 2 (x) , получаем (cos(x)+isin(x))(cos(x)-isin(x)) , то есть e ix e -ix . Использование w для представления e ix , тот факт, что cos 2 (x)+sin 2 (x)=1 просто
запутанный способ сказать w(1/w)=1 .
Дифференцируя, имеем c'(t) =
(-sin(t), cos(t)) . с'(т) . c'(t) равно (-sin(t))(-sin(t))
+ cos(t)cos(t) , что просто cos 2 (t)+sin 2 (t) . Тот факт, что это 1 говорит нам, что параметризованная кривая на самом деле
параметризуется длиной дуги. Таким образом, тригонометрическое тождество может быть
рассматривается как просто констатация того факта, что радианы пересекают единицу
круг с единичной скоростью. Наконец, снова дифференцируя, получаем c»(t) = (-cos(t), -sin(t)) . Очевидно, c»(t).c»(t) =
cos 2 (t) + sin 2 (t) , так что тождество
говорит нам о том, что равномерное движение по окружности приводит к
ускорение постоянной величины.
е. для некоторого значения x , cos 2 (x)+sin 2 (x) равно 1 .
последнее свойство быстро устанавливается: беря x = 0 , cos(x)=1 и sin(x)= 0 . Четко 1 2 +0 2 =1 .
Простая дифференциация устанавливает это.