правила, примеры, решения, арифметические действия с рациональными числами
Ниже рассмотрим правила основных математических действий над рациональными числами: сложение, вычитание, умножение и деление. Разберем теорию на практических примерах.
Действие сложения рациональных чисел
Рациональные числа содержат натуральные, тогда смысл действия сложения рациональных чисел сопоставим со смыслом сложения натуральных. Например, сумму рациональных чисел, записанную как 5+1 4возможно описать следующим образом: к 5 целым предметам добавили четверть такого предмета, после чего полученное количество рассматривается совместно.
Сформулируем правила сложения рациональных чисел:
Сложение нуля с отличным от него рациональным числом
Определение 1Прибавление нуля к любому числу дает то же число. Данное правило возможно записать в виде равенства: a + 0 = a (для любого рационального числа а). Используя переместительное свойство сложения, получим также верное равенство: 0 + a = a.
Пара простых примеров: сумма рационального числа 2,1 и числа 0 равно 2,1 и: 645+0 = 645.
Сложение противоположных рациональных чисел
Определение 2Сумма противоположных чисел равна нулю.
Данное правило можно записать в виде: a+(-a)=0 (для любого рационального числа a).
К примеру, числа 45,13 и -45,13 являются противоположными, т.е. их сумма равно нулю: 45,13+(-45,13) = 0.
Сложение положительных рациональных чисел
В виде обыкновенной дроби возможно представить любое положительное рациональное число и использовать далее схему сложения обыкновенных дробей.
Пример 1Необходимо произвести сложение рациональных чисел: 0,6 и 59.
Решение
Выполним перевод десятичной дроби в обыкновенную и тогда: 0,6 + 59 = 610 + 59.
Осуществим сложение дробей с разными знаменателями:
610+59= 5490+ 5090= 10490=1745
Ответ: 0,6 + 59= 1745.
Рациональные числа, которые подвергают действию сложения, возможно записать в виде конечных десятичных дробей или в виде смешанных чисел и, таким образом, осуществить сложение десятичных дробей и смешанных чисел соответственно.
Сложение рациональных чисел с разными знаками
Определение 3Для того, чтобы осуществить сложение рациональных чисел с разными знаками, необходимо из бОльшего модуля слагаемых вычесть меньший и перед полученным результатом поставить знак того числа, модуль которого больше.
Пример 2Необходимо осуществить сложение рациональных чисел с разными знаками 8,2 и -234 .
Решение
Согласно исходным данным, необходимо произвести сложение положительного числа с отрицательным. Придерживаясь вышеуказанного правила, определим модули заданных чисел: |8,2| = 8,2 и|-234|=234. Проведя сравнение модулей — рациональных чисел, получим: 8,2 > 234 и соответственно поймем, какое число из заданных станет уменьшаемым, а какое — вычитаемым. Произведем вычитание смешанных чисел, т.е.: 8,2-234= 8210- 234= 59 20.
Полученному результату присваивается знак плюс, т.к. бОльшее из слагаемых по модулю – положительное число. Ответ: 8,2 +(-234)= 5920.
Сложение отрицательных рациональных чисел
Определение 4Для того, чтобы произвести сложение отрицательных рациональных чисел, необходимо сложить модули заданных слагаемых, затем полученному результату присвоить знак минус.
Пример 3Необходимо произвести сложение чисел: -4,0203 и -12,193.
Решение
Модули заданных чисел соответственно равны: 4,0203 и 12,193. Сложим их:
Полученному результату присваиваем знак минус: -16,2133.
Ответ: (-4,0203)+(-12,193) =-16,2133.
Действие вычитания рациональных чисел
Вычитание – действие, обратное сложению, в котором мы находим неизвестное слагаемое по сумме и известному слагаемому. Тогда из равенства c+b=a следует, что a-b=c и a-c=b. И наоборот: из равенств a-b =c и a-c=b следует, что c+b=a.
Определение 5При вычитании из бОльшего положительного рационального числа мы либо производим вычитание обыкновенных дробей, либо, если это уместно, вычитание десятичных дробей или смешанных.
Необходимо вычислить разность рациональных чисел: 4,(36)– 15.
Решение
Сначала переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную: 4,(36) = 4+(0,36 + 0,0036 +…)= 4+0,361-0,01=4 + 3699=4+ 411= 4411
Далее переходим к действию вычитания обыкновенной дроби из смешанного числа: 4, (36)-15= 4411- 15=4 + 411-15=4+2055- 1155=4+955=4955
Ответ: 4,(36)-15= 4955
Определение 6В прочих случаях вычитание рациональных чисел необходимо заменить сложением: к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: a–b=a+(-b).
Указанное равенство можно доказать, опираясь на свойства действий с рациональными числами. Они дают возможность записать цепочку равенств: (a+(-b))+b=a+((-b)+b)=a+0=a. Отсюда в силу смысла действия вычитания следует, что сумма a+(-b) есть разность чисел a и b.
Пример 5Необходимо из рационального числа 27 вычесть рациональное число 537
Решение
Согласно последнему указанному правилу используем для дальнейших действий число, противоположное вычитаемому, т.
е. -537. Тогда: 27-537=27+-537
Далее произведем сложение рациональных чисел с разными знаками: 27+-537=-537-27=-537-27= -517
Ответ:27+-537=-517
Действие умножения рациональных чисел
Общее понятие числа расширяется от натуральных чисел к целым, так же как от целых к рациональным. Все действия с целыми числами имеют те же свойства, что и действия с натуральными. В таком случае, и действия с рациональными числами также должны характеризоваться всеми свойствами действий с целыми числами. Но для действия умножения рациональных чисел присуще дополнительное свойство: свойство умножения взаимообратных чисел. Вышесказанному соответствуют все правила умножения рациональных чисел. Укажем их.
Умножение на нуль
Определение 7Произведение любого рационального числа a на нуль есть нуль.
Т.е. a·0=0.
Используя переместительное свойство умножения, получим: 0·а=0.
К примеру, умножение рационального числа 713 на 0 даст 0.
Перемножив отрицательное рациональное число -718и нуль, также получим нуль. В частном случае, произведение нуля на нуль есть нуль: 0·0=0.
Умножение на единицу
Определение 8Умножение любого рационального числа a на 1 дает число a.
Т.е. a·1=a или 1 · a = a (для любого рационального a). Единица здесь является нейтральным числом по умножению.
К примеру, умножение рационального числа 5,46 на 1 даст в итоге число 5,46.
Умножение взаимообратных чисел
Определение 9Если множители есть взаимообратные числа, то результатом их произведения будет единица. Т.е. : а·а-1=1.
К примеру, результатом произведения чисел 56 и 65 будет единица.
Умножение положительных рациональных чисел
В общих случаях умножение положительных рациональных чисел сводится к умножению обыкновенных дробей. Первым действием множители представляются в виде обыкновенных дробей, если заданные числа таковыми не являются.
Необходимо вычислить произведение положительных рациональных чисел 0,5 и 625.
Решение
Представим заданную десятичную дробь в виде обыкновенной 0,5 = 510= 12.
Далее произведем умножение обыкновенных дробей: 12 · 625= 650= 325.
Ответ: 0,5 ·625= 325
Можно также работать и с конечными десятичными дробями. Удобнее будет в данном случае не переходить к действиям над обыкновенными дробями.
Необходимо вычислить произведение рациональных чисел 2,121 и 3,4.
Решение
Перемножим десятичные дроби столбиком:
Ответ: 2,121 · 3,4 = 7,2114
В частных случаях нахождение произведения рациональных чисел представляет собой умножение натуральных чисел, умножение натурального числа на обыкновенную или десятичную дробь.
Умножение рациональных чисел с разными знаками
Определение 10Чтобы найти произведение рациональных чисел с разными знаками, необходимо перемножить модули множителей и полученному результату присвоить знак минус.
Необходимо найти произведение чисел: -338и 212
Решение
Согласно вышеуказанному правилу получим: -338·212=-338·212=-338·212
Заменим смешанные дроби неправильными и найдем искомое произведение: -338·212=-278·52=-13516=-8716
Ответ: -338·212=-8716
Умножение отрицательных рациональных чисел
Определение 11Для того, чтобы найти произведение отрицательных рациональных чисел, необходимо перемножить модули множителей.
Пример 9Необходимо найти произведение отрицательных рациональных чисел -3,146 и -56.
Решение: модули заданных чисел соответственно равны 3,146 и 56.
Перемножим их столбиком:
Полученный результат и будет являться искомым произведением.
Ответ: (-3,146) · (-56) = 176,176
Деление рациональных чисел
Деление – действие, обратно умножению, в ходе которого мы находим неизвестный множитель по заданному произведению и известному множителю.
Смысл действия деления можно записать так: из равенства b·c =a следует, что a:b =c и a:c=b. И наоборот: из равенств a:b=c и
На множестве рациональных чисел деление не считается самостоятельным действием, поскольку оно производится через действие умножения. Собственно, этот смысл заложен в правило деления рациональных чисел.
Определение 12Разделить число а на число b, отличное от нуля – то же самое, что умножить число a на число, обратное делителю. Т.е., на множестве рациональных чисел верно равенство: a:b=a·b-1.
Указанное равенство доказывается просто: на основе свойств действий с рациональными числами справедливой будет цепочка равенств (a·b-1)· b=a·(b-1·b)=a·1=a, которая и доказывает равенство a : b = a · b-1.
Таким образом, деление рационального числа на другое рациональное число, отличное от нуля, сводится к действию умножения рациональных чисел.
Необходимо выполнить действие деления 313:-116
Решение
Определим число, обратное заданному делителю. Запишем заданный делитель в виде неправильной дроби: -116= -76.
Число, обратное этой дроби, будет: -67. Теперь, согласно вышеуказанному правилу, произведем действие умножения рациональных чисел: 313-116=313·-67=103·(-67) =-(103·67)=-207= -267
Ответ: 313:-116=-267
правила, примеры, решения, арифметические действия с рациональными числами
Ниже рассмотрим правила основных математических действий над рациональными числами: сложение, вычитание, умножение и деление. Разберем теорию на практических примерах.
Действие сложения рациональных чисел
Рациональные числа содержат натуральные, тогда смысл действия сложения рациональных чисел сопоставим со смыслом сложения натуральных. Например, сумму рациональных чисел, записанную как 5+1 4возможно описать следующим образом: к 5 целым предметам добавили четверть такого предмета, после чего полученное количество рассматривается совместно.
Сформулируем правила сложения рациональных чисел:
Сложение нуля с отличным от него рациональным числом
Определение 1Прибавление нуля к любому числу дает то же число. Данное правило возможно записать в виде равенства: a + 0 = a (для любого рационального числа а). Используя переместительное свойство сложения, получим также верное равенство: 0 + a = a.
Пара простых примеров: сумма рационального числа 2,1 и числа 0 равно 2,1 и: 645+0 = 645.
Сложение противоположных рациональных чисел
Определение 2Сумма противоположных чисел равна нулю.
Данное правило можно записать в виде: a+(-a)=0 (для любого рационального числа a).
К примеру, числа 45,13 и -45,13 являются противоположными, т.е. их сумма равно нулю: 45,13+(-45,13) = 0.
Сложение положительных рациональных чисел
В виде обыкновенной дроби возможно представить любое положительное рациональное число и использовать далее схему сложения обыкновенных дробей.
Необходимо произвести сложение рациональных чисел: 0,6 и 59.
Решение
Выполним перевод десятичной дроби в обыкновенную и тогда: 0,6 + 59 = 610 + 59.
Осуществим сложение дробей с разными знаменателями:
610+59= 5490+ 5090= 10490=1745
Ответ: 0,6 + 59= 1745.
Рациональные числа, которые подвергают действию сложения, возможно записать в виде конечных десятичных дробей или в виде смешанных чисел и, таким образом, осуществить сложение десятичных дробей и смешанных чисел соответственно.
Сложение рациональных чисел с разными знаками
Определение 3Для того, чтобы осуществить сложение рациональных чисел с разными знаками, необходимо из бОльшего модуля слагаемых вычесть меньший и перед полученным результатом поставить знак того числа, модуль которого больше.
Пример 2Необходимо осуществить сложение рациональных чисел с разными знаками 8,2 и -234 .
Решение
Согласно исходным данным, необходимо произвести сложение положительного числа с отрицательным.
Придерживаясь вышеуказанного правила, определим модули заданных чисел: |8,2| = 8,2 и|-234|=234. Проведя сравнение модулей — рациональных чисел, получим: 8,2 > 234 и соответственно поймем, какое число из заданных станет уменьшаемым, а какое — вычитаемым. Произведем вычитание смешанных чисел, т.е.: 8,2-234= 8210- 234= 59 20.
Полученному результату присваивается знак плюс, т.к. бОльшее из слагаемых по модулю – положительное число. Ответ: 8,2 +(-234)= 5920.
Сложение отрицательных рациональных чисел
Определение 4Для того, чтобы произвести сложение отрицательных рациональных чисел, необходимо сложить модули заданных слагаемых, затем полученному результату присвоить знак минус.
Пример 3Необходимо произвести сложение чисел: -4,0203 и -12,193.
Решение
Модули заданных чисел соответственно равны: 4,0203 и 12,193. Сложим их:
Полученному результату присваиваем знак минус: -16,2133.
Ответ: (-4,0203)+(-12,193) =-16,2133.
Действие вычитания рациональных чисел
Вычитание – действие, обратное сложению, в котором мы находим неизвестное слагаемое по сумме и известному слагаемому. Тогда из равенства c+b=a следует, что a-b=c и a-c=b. И наоборот: из равенств a-b =c и a-c=b следует, что c+b=a.
Определение 5При вычитании из бОльшего положительного рационального числа мы либо производим вычитание обыкновенных дробей, либо, если это уместно, вычитание десятичных дробей или смешанных.
Пример 4Необходимо вычислить разность рациональных чисел: 4,(36)– 15.
Решение
Сначала переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную: 4,(36) = 4+(0,36 + 0,0036 +…)= 4+0,361-0,01=4 + 3699=4+ 411= 4411
Далее переходим к действию вычитания обыкновенной дроби из смешанного числа: 4, (36)-15= 4411- 15=4 + 411-15=4+2055- 1155=4+955=4955
Ответ: 4,(36)-15= 4955
Определение 6В прочих случаях вычитание рациональных чисел необходимо заменить сложением: к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: a–b=a+(-b).
Указанное равенство можно доказать, опираясь на свойства действий с рациональными числами. Они дают возможность записать цепочку равенств: (a+(-b))+b=a+((-b)+b)=a+0=a. Отсюда в силу смысла действия вычитания следует, что сумма a+(-b) есть разность чисел a и b.
Пример 5Необходимо из рационального числа 27 вычесть рациональное число 537
Решение
Согласно последнему указанному правилу используем для дальнейших действий число, противоположное вычитаемому, т.е. -537. Тогда: 27-537=27+-537
Далее произведем сложение рациональных чисел с разными знаками: 27+-537=-537-27=-537-27= -517
Ответ:27+-537=-517
Действие умножения рациональных чисел
Общее понятие числа расширяется от натуральных чисел к целым, так же как от целых к рациональным. Все действия с целыми числами имеют те же свойства, что и действия с натуральными. В таком случае, и действия с рациональными числами также должны характеризоваться всеми свойствами действий с целыми числами.
Но для действия умножения рациональных чисел присуще дополнительное свойство: свойство умножения взаимообратных чисел. Вышесказанному соответствуют все правила умножения рациональных чисел. Укажем их.
Умножение на нуль
Определение 7Произведение любого рационального числа a на нуль есть нуль.
Т.е. a·0=0.
Используя переместительное свойство умножения, получим: 0·а=0.
К примеру, умножение рационального числа 713 на 0 даст 0. Перемножив отрицательное рациональное число -718и нуль, также получим нуль. В частном случае, произведение нуля на нуль есть нуль: 0·0=0.
Умножение на единицу
Определение 8Умножение любого рационального числа a на 1 дает число a.
Т.е. a·1=a или 1 · a = a (для любого рационального a). Единица здесь является нейтральным числом по умножению.
К примеру, умножение рационального числа 5,46 на 1 даст в итоге число 5,46.
Умножение взаимообратных чисел
Определение 9Если множители есть взаимообратные числа, то результатом их произведения будет единица. Т.е. : а·а-1=1.
К примеру, результатом произведения чисел 56 и 65 будет единица.
Умножение положительных рациональных чисел
В общих случаях умножение положительных рациональных чисел сводится к умножению обыкновенных дробей. Первым действием множители представляются в виде обыкновенных дробей, если заданные числа таковыми не являются.
Пример 6Необходимо вычислить произведение положительных рациональных чисел 0,5 и 625.
Решение
Представим заданную десятичную дробь в виде обыкновенной 0,5 = 510= 12.
Далее произведем умножение обыкновенных дробей: 12 · 625= 650= 325.
Ответ: 0,5 ·625= 325
Можно также работать и с конечными десятичными дробями. Удобнее будет в данном случае не переходить к действиям над обыкновенными дробями.
Пример 7Необходимо вычислить произведение рациональных чисел 2,121 и 3,4.
Решение
Перемножим десятичные дроби столбиком:
Ответ: 2,121 · 3,4 = 7,2114
В частных случаях нахождение произведения рациональных чисел представляет собой умножение натуральных чисел, умножение натурального числа на обыкновенную или десятичную дробь.
Умножение рациональных чисел с разными знаками
Определение 10Чтобы найти произведение рациональных чисел с разными знаками, необходимо перемножить модули множителей и полученному результату присвоить знак минус.
Пример 8Необходимо найти произведение чисел: -338и 212
Решение
Согласно вышеуказанному правилу получим: -338·212=-338·212=-338·212
Заменим смешанные дроби неправильными и найдем искомое произведение: -338·212=-278·52=-13516=-8716
Ответ: -338·212=-8716
Умножение отрицательных рациональных чисел
Определение 11Для того, чтобы найти произведение отрицательных рациональных чисел, необходимо перемножить модули множителей.
Пример 9Необходимо найти произведение отрицательных рациональных чисел -3,146 и -56.
Решение: модули заданных чисел соответственно равны 3,146 и 56.
Перемножим их столбиком:
Полученный результат и будет являться искомым произведением.
Ответ: (-3,146) · (-56) = 176,176
Деление рациональных чисел
Деление – действие, обратно умножению, в ходе которого мы находим неизвестный множитель по заданному произведению и известному множителю. Смысл действия деления можно записать так: из равенства b·c =a следует, что a:b =c и a:c=b. И наоборот: из равенств a:b=c и a:c=b следует, что b·c=a.
На множестве рациональных чисел деление не считается самостоятельным действием, поскольку оно производится через действие умножения. Собственно, этот смысл заложен в правило деления рациональных чисел.
Определение 12Разделить число а на число b, отличное от нуля – то же самое, что умножить число a на число, обратное делителю. Т.е., на множестве рациональных чисел верно равенство: a:b=a·b-1.
Указанное равенство доказывается просто: на основе свойств действий с рациональными числами справедливой будет цепочка равенств (a·b-1)· b=a·(b-1·b)=a·1=a, которая и доказывает равенство a : b = a · b-1.
Таким образом, деление рационального числа на другое рациональное число, отличное от нуля, сводится к действию умножения рациональных чисел.
Пример 10Необходимо выполнить действие деления 313:-116
Решение
Определим число, обратное заданному делителю. Запишем заданный делитель в виде неправильной дроби: -116= -76.
Число, обратное этой дроби, будет: -67. Теперь, согласно вышеуказанному правилу, произведем действие умножения рациональных чисел: 313-116=313·-67=103·(-67) =-(103·67)=-207= -267
Ответ: 313:-116=-267
Вычитание рациональных чисел | Smore Newsletters
Вычитание рациональных чисел | Информационные бюллетениКрасивые и простые в использовании информационные бюллетени.
Авторизоваться
Зарегистрируйтесь сейчас (это бесплатно)
Вычитание рациональных чисел
При вычитании рациональных чисел мы следуем правилам вычитания целых чисел.
СОХРАНИТЬ знак первого числа прежний
ИЗМЕНИТЬ вычитание в сложение
ИЗМЕНИТЬ знак второго числа на противоположный, положительное становится отрицательным, отрицательное становится положительным.
Вычитание дробей
После использования сдачи сдачи найдите общий знаменатель и посмотрите на знаки ваших чисел.
Если знаки одинаковы
- Добавить
- Установите знак
Если знаки разные
- Почините более меньший номер от более крупного числа
- . С ОПРЕДЕЛЕНИЯ НОМЕР АБСМЮТНА С ЗДЕСКА ЗДЕСКА С ЗДЕСКО признак вашего ответа.
Вычитание десятичных знаков
После использования Keep, Change, Change посмотрите на знаки ваших чисел.
Если знаки одинаковы
- Добавить
- Установите знак
Если знаки разные
- Вычтите более меньший номер от большего числа
- .
определяет знак вашего ответа.
ОБЯЗАТЕЛЬНО ВЫПОЛНЯЙТЕ ДЕСЯТИЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ!
Вычитание рациональных чисел с отрицательными десятичными знаками
Полное имя:
Электронная почта:
На ваш почтовый ящик будет отправлено письмо с подтверждением. Легко отписаться в любой момент.
закрыть
Определите, находятся ли две величины в пропорциональном отношении, например, проверив эквивалентные отношения в таблице или нарисовав график на координатной плоскости и наблюдая, является ли график прямой линией, проходящей через начало координат.
| СС | 7 | 7.РП | 7.РП.А | 7.RP.A.2Популярные учебники
in Определите, находятся ли две величины в пропорциональном отношении, например, проверяя эквивалентные отношения в таблице или графически на координатной плоскости и наблюдая, является ли график прямой линией, проходящей через начало координат.Как выглядит прямое изменение на графике?
Хотите узнать, как графически выглядит прямой вариант? По сути, это прямая линия, проходящая через начало координат. Чтобы получить лучшее изображение, ознакомьтесь с этим руководством!
Что такое пропорция?
Идея пропорций заключается в том, что отношение может быть записано разными способами и при этом быть равным одному и тому же значению. Вот почему пропорции на самом деле являются уравнениями с равными отношениями. Это немного сложное определение, так что обязательно посмотрите туториал!
Как найти эквивалентные отношения, составив таблицу?
Чтобы освоить эквивалентные отношения, вам нужно попрактиковаться.
Следуйте этому руководству, чтобы попрактиковаться в заполнении таблицы с эквивалентными отношениями.Как найти эквивалентные отношения?
Коэффициенты используются для сравнения чисел. Когда вы работаете с коэффициентами, иногда проще работать с эквивалентным коэффициентом. Эквивалентные отношения имеют разные числа, но представляют одно и то же отношение. В этом уроке вы увидите, как найти эквивалентные отношения, сначала записав данное отношение в виде дроби. Взглянем!
Как узнать, пропорциональны ли два отношения?
Соотношения пропорциональны, если они представляют одно и то же отношение. Один из способов проверить, пропорциональны ли два отношения, — записать их в виде дробей, а затем уменьшить. Если приведенные дроби одинаковы, ваши отношения пропорциональны. Чтобы увидеть этот процесс в действии, ознакомьтесь с этим руководством!
Как определить, пропорциональны ли два отношения, используя перекрестные произведения?
Пытаетесь выяснить, пропорциональны ли два соотношения? Если они представлены в форме дроби, установите их равными друг другу, чтобы проверить, пропорциональны ли они.
Следуйте этому руководству, чтобы попрактиковаться в заполнении таблицы с эквивалентными отношениями.