Рациональные и иррациональные числа примеры: Рациональные и иррациональные числа

«Приведите примеры рациональных и иррациональных чисел. Почему они так называются? » — Яндекс Кью

Анонимный вопрос  · 1 нояб 2018  ·

202,0 K

Андрей Перепёлкин

Математика

Москвич, окончил Московский институт электроники…  · 28 янв 2021

Не очень понимаю, что вам дадут примеры без понимания общей сути, что такое рациональные и иррациональные числа, но извольте.

Примеры рациональных чисел: 4, 5/3.

Примеры иррациональных чисел: е, Ф (число Фидия) (чтобы не искать сложные символы, которых нет на клавиатуре).

Чтобы понять, почему они так называются, нужно знать значения слов «рациональный» и «иррациональный», не применительно к математике. Слово «рациональный» происходит от латинского «ratio» — разум и, соответственно, рациональным называют то, что основано на разуме, постижимо разумом, а иррациональным — в противоположность — то, что не постижимо разумом.

Рациональные числа очень легко описать и понять «разумом». Любое из них можно представить как дробь с целыми числителем и знаменателем. С иррациональными числами всё намного сложнее. Изначально они возникли из геометрических соображений, в частности, из желания выражать одновременно длину стороны квадрата и длину его диагонали. Как довольно легко доказывается, при помощи только рациональных чисел это сделать невозможно, что в конечном итоге привело к представлениям, что на числовой прямой есть бесконечное множество точек, описать которые каким-либо способом просто невозможно. Мы можем описать лишь некоторые из них, но нет способа выразить, например, при помощи какой-либо формулы любое из них, как можно это сделать с рациональными числами. Думаю, именно это свойство в конечном итоге определило их название.

8 оценили

  ·

4,8 K

Комментировать ответ…Комментировать…

Олеся Н.

Мне интересны множество тем: от психологии до…  · 6 нояб 2018

Действительные числа могут быть рациональными и иррациональными. Рациональное число — это обыкновенная дробь (числитель обыкновенной дроби целое число, а в знаменателе — натуральное). Иррациональное число — это бесконечная… Читать далее

51 оценил

  ·

38,8 K

Семен Данилов

12 мар 2020

Число Пи — иррациональное число соответственно?

Комментировать ответ…Комментировать…

Александр Воронов

Обожаю точные науки и испытываю огромный интерес…  · 3 нояб 2018

Рациональные числа — числа, используемые в быту, которые можно представить наглядно. Иррациональные числа представить наглядно нельзя, но они получаются из определённых закономерностей, которые наблюдаются в природе (знаменитое… Читать далее

18 оценили

  ·

15,1 K

Романтик Неисправимый

22 окт 2019

Почему же «иррациональные числа наглядно представить нельзя»?!! А разве диагональ квадрата со стороной 1 менее. 3…, где a0,a1,a2 — рациональные

e, pi — числа трансцендентные

Нет оценок  ·

774

Александр Рябцев

возражает

13 окт 2021

Иррациональные — это нерациональные числа. Трансцендентные числа — тоже иррациональные. Корни рациональных… Читать дальше

Комментировать ответ…Комментировать…

kazancev.va

27 дек 2019

Рациональные числа — конечны: 1,75/2 = 0,875. Видим 8 цифр, их больше нет. Иррациональные числа — бесконечны: число «Пи» не равно 3,141592… — не видно конца цифрам. Арифметический корень квадратный из двух не авен… Читать далее

25 оценили

  ·

19,0 K

Бруннен Джи

9 янв 2020

1/3 — рациональное число? оно конечно?

Комментировать ответ…Комментировать…

Вы знаете ответ на этот вопрос?

Поделитесь своим опытом и знаниями

Войти и ответить на вопрос

Рациональные и иррациональные числа.

Пропорция, проценты.

Слушайте материал в аудиоформате. Текстовый вариант смотрите ниже.

• Натуральные числа. Целые числа
• Арифметические вычисления. Обыкновенные дроби, десятичные дроби. Иррациональные числа
• Пропорция. Проценты

 

 

Натуральные числа. Целые числа

Множество натуральных чисел N={1,2,3,…}. Множество целых чисел Z={…,-2,-1,0,1,2,…}.

Если натуральное число А делится нацело (без остатка) на В, то говорят, что А кратно В, а число В является делителем числа А. Натуральное число называется чётным, если оно делится на 2. В противном случае – число нечётное.

Натуральное число n, не равное 1, называется простым, если оно имеет только два делителя: 1 и само число n. Примеры простых чисел: 5, 7, 11, 23. Натуральное число n называется составным, если оно имеет более двух делителей. Примеры: 6, 8, 15. Число 1 не является ни простым, ни составным.

Простое может разделиться
Лишь на себя и единицу,
А в составных такой подвох:
Делителей не меньше трёх.

Целые числа называются взаимно простыми, если они не имеют никаких общих делителей, кроме ±1.

Запись числа в стандартном виде: a*10ⁿ, где 1≤a и n — натуральное число.

Общим делителем чисел m и n называется число, на которое делятся оба числа m и n. Наибольший общий делитель чисел m и n обозначается НОД(m, n). Для отыскания НОД(m, n) необходимо разложить каждое из чисел m и n на простые множители и вычислить произведение общих простых множителей, взятых с наименьшим (из имеющихся) показателем степени. Общим кратным чисел m и n называется число, которое делится на каждое из чисел m и n. Наименьшее общее кратное чисел m и n обозначается НОК(m, n). Для отыскания НОК(m, n) необходимо разложить каждое из чисел m и n на простые множители и вычислить произведение общих простых множителей, взятых с наибольшим (из имеющихся) показателем.

Важное свойство: НОД(m, n)* НОК(m, n)=m*n.

 

 

 

Арифметические вычисления.

Обыкновенные дроби, десятичные дроби. Иррациональные числа

Дробь вида m/n, где m и n – натуральные числа, – обыкновенная дробь, m – её числитель, а n – знаменатель. Дробь правильная, если m

Дробь вида m/10ⁿ, где m и n – натуральные числа, называется десятичной. Любую десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной, например 0,236=236/1000.

Взаимно обратные перемножаем
И единицу изображаем.

Числа, представляемые обыкновенной дробью, где числитель целое число, а знаменатель натуральное, называются рациональными. Например: 2/3. 

Если при вычислении значения выражения в нём присутствуют и обыкновенные и десятичные дроби, то их следует представить в одинаковом виде.

Десятичная дробь, у которой начиная с некоторого знака после запятой повторяется цифра или группа цифр, называется бесконечной периодической. Повторяющуюся цифру или группу цифр называют периодом дроби и записывают в скобках, например 0,151515=0,(15). Любую бесконечную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной.

А) Если период такой дроби начинается сразу после запятой, то для представления её в виде обыкновенной необходимо в числителе записать период дроби, а в знаменателе число, записанное таким количеством девяток, сколько цифр в периоде.

Например:  0,(3)=3/9; 1,(26)=1(26/99).

Б) Если между запятой и периодом дроби есть ещё цифры, то числитель дроби равен разности между самим числом, включая один период, и числом, стоящим до периода, а знаменатель – число, записанное таким количеством девяток, сколько цифр в периоде, и таким количеством нулей, сколько цифр после запятой до периода.

Например: 0,2(13)=(213-2)/990=211/990; 4,35(7)=4((357-35)/900)=4(322/900).

Бесконечная десятичная непериодическая дробь называется иррациональным числом. Примерами таких чисел являются: √3; √5; π и др.

Множество всех рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных чисел и обозначается R.

 

 

Пропорция. Проценты

Пропорцией называется верное равенство вида: a/b=c/d.

Основное свойство пропорции: a*d=b*c.

Процентом (1%) числа называется его сотая часть. Таким образом, само число составляет 100%. Для решения задачи на проценты необходимо перевести процент в дробь: p₁=p%/100.

Понять разницу между рациональными и иррациональными числами: CCSS.Math.Content.8.NS.A.1

All Common Core: Математические ресурсы для 8-го класса

7 диагностических тестов 75 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 3 Следующая →

Common Core: Справка по математике для 8-го класса » Система счисления » Поймите разницу между рациональными и иррациональными числами: CCSS.Math.

Content.8.NS.A.1

Какое из следующих выражений иррационально?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Иррациональное число определяется как любое число, которое не может быть выражено в виде простой дроби или не имеет завершающих или повторяющихся десятичных знаков. Из предложенных вариантов ответа единственное число, которое нельзя представить в виде простой дроби или с повторяющимися или заканчивающимися десятичными знаками, — .

 

Сообщить об ошибке

Какое из следующих чисел является иррациональным?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Иррациональное число — это любое число, которое не может быть выражено как отношение целых чисел, т. е. дробь. Таким образом, единственное указанное иррациональное число — .

Сообщить об ошибке

Какое из этих выражений  не является иррациональным?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Квадратный корень из целого числа – это либо иррациональное число, либо целое число. Последнее имеет место тогда и только тогда, когда существует целое число, которое при умножении само на себя или в квадрате дает число внутри символа (подкоренное число) в качестве произведения. Из только 81 является квадратом целого числа (9).

Сообщить об ошибке

Какое из следующих чисел представляет собой иррациональное число?

Возможные ответы:

Все ответы иррациональны

Правильный ответ:5 Пояснение:

 

Пи — единственное указанное иррациональное число. Иррациональные числа представляют собой бесконечные неповторяющиеся десятичные дроби.

Сообщить об ошибке

Какое из следующих чисел не является иррациональным?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Корень целого числа — это одно из двух: целое или иррациональное число. Проверив все пять на калькуляторе, вы получите только точное целое число – 5. Это правильный выбор.

Сообщить об ошибке

Какое из следующих чисел является иррациональным?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Иррациональное число — это любое число, которое нельзя записать в виде дроби от целых чисел. Число пи и квадратные корни несовершенных квадратов являются примерами иррациональных чисел.

 можно записать в виде дроби . Термин представляет собой целое число. Квадратный корень  также является рациональным числом. , однако, не является полным квадратом, и поэтому его квадратный корень иррационален.

Сообщить об ошибке

Какое из следующих чисел является рациональным?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Рациональное число — это любое число, которое может быть представлено в виде дроби/отношения, где числитель и знаменатель являются целыми числами. Единственным ограничением этого определения является то, что знаменатель не может быть равен .

 

Используя приведенное выше определение, мы видим, что  ,  и   (то есть ) не могут быть выражены в виде дробей. Это непрерывающиеся числа, которые не повторяются, то есть десятичная дробь не имеет шаблона и постоянно меняется. Когда десятичная дробь не является конечной и постоянно изменяется, ее нельзя выразить в виде дроби.

  является правильным ответом, потому что , что может быть выражено как , удовлетворяя приведенному выше определению рационального числа.

Сообщить об ошибке

Какое из следующих чисел является иррациональным?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Определение иррационального числа — это число, которое не может быть выражено простой дробью, или число, которое не является рациональным.

 

Используя приведенное выше определение, мы видим, что  уже выражено простой дробью.

 

  любой номер и

. Все эти варианты можно выразить в виде простых дробей, сделав из них все рациональные числа и неправильные ответы.

 

  не может быть выражено в виде простой дроби и равно бесконечной, неповторяющейся (постоянно изменяющейся) десятичной дроби, начинающейся с

. Это иррациональное число и наш правильный ответ.

Сообщить об ошибке

Какое из следующих чисел НЕ является иррациональным?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Рациональные числа — это числа, которые можно записать как отношение двух целых чисел или просто дробь.

Решение  есть , которое можно записать как . Каждый из других ответов будет иметь решение с бесконечным числом десятичных знаков и, следовательно, не может быть записан в виде простого отношения. Это иррациональные числа.

Сообщить об ошибке

Какое из следующих чисел считается иррациональным?

 

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Иррациональное число не может быть представлено как частное двух целых чисел.

Иррациональные числа не заканчиваются и не повторяются.

Глядя на возможные ответы,

 можно сократить до , следовательно, это целое число.

 по определению представляет собой частное двух целых чисел и, следовательно, не является иррациональным числом.

 может быть переписано как  и по определению является частным двух целых чисел и, следовательно, не является иррациональным числом.

 является десятичным числом с ограничителем, поэтому его можно записать в виде дроби. Таким образом, это не иррациональное число.

 это число для  и не заканчивается, поэтому это иррационально.

Сообщить об ошибке

← Предыдущий 1 2 3 Следующий →

Уведомление об авторских правах

All Common Core: математические ресурсы для 8-го класса

7 диагностических тестов 75 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

Рациональные и иррациональные числа — различия и примеры

Определение рациональных и иррациональных чисел

• Рациональные числа могут быть записаны как отношение, которое сравнивает два числа или количества, давая простую дробь или смешанную дробь р/кв. К ним относятся целые или десятичные числа, завершающиеся (конечные) или повторяющиеся (повторяющиеся шаблоны). Знаменатель «q» — натуральное число, т. е. ненулевое.
• Иррациональные числа нельзя записать в виде отношения. Проще говоря, иррациональные числа включают в себя числа, которые не могут быть далее упрощены до дробей с натуральными числами и целыми числами. Десятичное число иррациональных чисел, если его расширить, не дает ни конечных, ни повторяющихся десятичных знаков. К ним относятся сурды и уникальные числа, такие как π (пи). Сурды — это несовершенные квадраты или кубы, которые нельзя упростить и удалить квадратные или кубические корни. «пи» — самое распространенное иррациональное число.

Ниже приведен рисунок, представляющий диаграмму Венна для рациональных и иррациональных чисел.

Рациональные и иррациональные числа

Рисунок 1 (заголовок: Рациональные и иррациональные числа, имя файла: Рациональные и иррациональные числа)

[Ссылка на пример: https://cdn1. byjus.com/wp-content/uploads/2020/ 08/Rational-and-Irrational-Numbers.png ]

Мы не можем составить список рациональных и иррациональных чисел, поскольку оба имеют бесконечный диапазон. Некоторые примеры приведены ниже.

Примеры рациональных и иррациональных чисел

Примеры рациональных чисел

Типичные примеры рациональных чисел:

1. 6; его можно записать как 6/1, где 6 и 1 — целые числа
2. 0,125; его можно записать как 1/8 или 125/1000
3. √81; его можно упростить до 9 или 9/1
4. 5,232323… или 0,111; это повторяющиеся десятичные дроби, поскольку они повторяются в шаблонах

Примеры иррациональных чисел

Типичные примеры иррациональных чисел:

1. 1/0; знаменатель равен нулю
2. π; его значение равно 3,142, непрерывное и неповторяющееся
3. √99; его значение равно 9,94987.. и его нельзя упростить дальше

Рациональные числа против иррациональных чисел

Обсуждая рациональные и иррациональные числа, нам нужно сравнить, чтобы найти, как оба термина математически отличаются друг от друга.

Ниже приведены различия между рациональными и иррациональными числами в таблице.

Разница между рациональными и иррациональными числами

Рациональные номера	IRRATION NUMPLE
можно было быть написано As RATI. q) form
Включить завершающие (конечные) или повторяющиеся (повторяющиеся в шаблонах) десятичные дроби	Включить неконечные (бесконечные) или неповторяющиеся (не повторяющиеся в шаблонах) десятичные дроби
Включает полные квадраты, такие как 1, 4, 9, 16, 25, 36.	Включает сурды (числа, которые нельзя упростить, чтобы удалить квадратный или кубический корень и т. д.), такие как √2, √3, √5
Числитель и знаменатель — целые числа; знаменатель не равен 0. Например, 3/4, 1/9	Невозможно записать числа в дробной форме. Например, π, √7

Теперь давайте узнаем, как идентифицировать рациональные и иррациональные числа на некоторых примерах.

No related posts.