Как найти формулу радиуса окружности, вписанной в треугольник
Если окружность располагается внутри угла и касается его сторон, её называют вписанной в этот угол. Центр такой вписанной окружности располагается на биссектрисе этого угла.
Если же она лежит внутри выпуклого многоугольника и соприкасается со всеми его сторонами, она называется вписанной в выпуклый многоугольник.
Содержание:
- Окружность, вписанная в треугольник
- Вычисление с помощью полупериметра
- Вычисление с учётом площади треугольника
- Расчёт с помощью тригонометрических функций
- Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник
- Видео
Окружность, вписанная в треугольник
Окружность, вписанная в треугольник, соприкасается с каждой стороной этой фигуры лишь в одной точке. В один треугольник возможно вписать лишь одну окружность.
Радиус такой окружности будет зависеть от следующих параметров треугольника:
- Длин сторон треугольника.
- Его площади.
- Его периметра.
- Величины углов треугольника.
Для того чтобы вычислить радиус вписанной окружности в треугольник, не всегда обязательно знать все перечисленные выше параметры, поскольку они взаимосвязаны между собой через тригонометрические функции.
Вычисление с помощью полупериметра
Чтобы рассчитать величину радиуса вписанной окружности в треугольник, необходимо учитывать следующие параметры:
- Если известны длины всех сторон геометрической фигуры (обозначим их буквами a, b и c), то вычислять радиус придётся путём извлечения квадратного корня.
- Приступая к вычислениям, необходимо добавить к исходным данным ещё одну переменную — полупериметр (р). Его можно рассчитать, сложив все длины и полученную сумму разделив на 2. p = (a+b+c)/2. Таким образом можно существенно упростить формулу нахождения радиуса.
- В целом формула должна включать в себя знак радикала, под который помещается дробь, знаменателем этой дроби будет величина полупериметра р.
- Числителем данной дроби будет представлять собой произведение разностей (p-a)*(p-b)*(p-c)
- Таким образом, полный вид формулы будет представлен следующим образом: r = √(p-a)*(p-b)*(p-c)/p).
Вычисление с учётом площади треугольника
Если нам известна площадь треугольника и длины всех его сторон, это позволит найти радиус интересующей нас окружности, не прибегая к извлечению корней.
- Для начала нужно удвоить величину площади.
- Результат делится на сумму длин всех сторон. Тогда формула будет выглядеть следующим образом: r = 2*S/(a+b+c).
- Если воспользоваться величиной полупериметра, можно получить совсем простую формулу: r = S/p.
Расчёт с помощью тригонометрических функций
Если в условии задачи присутствует длина одной из сторон, величина противоположного угла и периметр, можно воспользоваться тригонометрической функцией — тангенсом. В этом случае формула расчёта будет иметь следующий вид:
r = (P /2- a)* tg (α/2), где r — искомый радиус, Р — периметр, а — значение длины одной из сторон, α — величина противоположного стороне, а угла.
Радиус окружности, которую необходимо будет вписывать в правильный треугольник, можно найти по формуле r = a*√3/6.
Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник
В прямоугольный треугольник можно вписать только одну окружность. Центр такой окружности одновременно служит точкой пересечения всех биссектрис. Эта геометрическая фигура имеет некоторые отличительные черты, которые необходимо учесть, вычисляя радиус вписанной окружности.
- Для начала необходимо выстроить прямоугольный треугольник с заданными параметрами. Построить такую фигуру можно по размеру её одной стороны и величинам двух углов или же по двум сторонам и углу между этими сторонами. Все эти параметры должны быть указаны в условии задачи. Треугольник обозначается как АВС, причём С — это вершина прямого угла. Катеты при этом обозначаются переменными, а и b, а гипотенуза — переменной с.
- Для построения классической формулы и вычисления радиуса окружности необходимо найти размеры всех сторон описанной в условии задачи фигуры и по ним вычислить полупериметр.
- Если в условии дан размер одного катета и одного угла, необходимо понять, прилежащий этот угол или противолежащий. В первом случае гипотенуза находится с помощью теоремы синусов: с=a/sinСАВ, во втором случае применяют теорему косинусов с=a/cosCBA.
- Когда все расчёты выполнены и величины всех сторон известны, находят полупериметр по формуле, описанной выше.
- Зная величину полупериметра, можно найти радиус. Формула представляет собой дробь. Её числителем является произведение разностей полупериметра и каждой из сторон, а знаменателем —величина полупериметра.
Следует заметить, что числитель данной формулы является показателем площади. В этом случае формула нахождения радиуса гораздо упрощается — достаточно разделить площадь на полупериметр.
Определить площадь геометрической фигуры можно и в том случае, если известны оба катета. По сумме квадратов этих катетов находится гипотенуза, далее вычисляется полупериметр. Вычислить площадь можно, умножив друг на друга величины катетов и разделив полученное на 2.
Если в условиях даны длины и катетов и гипотенузы, определить радиус можно по очень простой формуле: для этого складываются длины катетов, из полученного числа вычитается длина гипотенузы. Результат необходимо разделить пополам.
Видео
Из этого видео вы узнаете, как находить радиус вписанной в треугольник окружности.
Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус вписанной в треугольник окружности, в том числе радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности. Для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности выберите тип треугольника, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Содержание
- Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и боковая сторона
- Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и угол при основании
- Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны боковая сторона и угол при основании
- Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны боковая сторона и высота
- Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и высота
1. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и боковая сторона
Пусть известны известны основание a и боковая сторона b равнобедренного треугольника (Рис. 1). Выведем формулу вычисления радиуса вписанной окружности через основание и боковую сторону.
Радиус вписанной в треугольник окружности через три стороны a, b, c вычисляется из следующей формулы:
где полупериметр p вычисляется из формулы:
Учитывая, что у равнобедренного треугольника боковые стороны равны (\( \small b=c \)), имеем:
| \( \small p=\frac{\large a+b+c}{\large 2} \) \( \small =\frac{\large 2b+a}{\large 2}, \) | (3) |
| \( \small p-a=\frac{\large 2b+a}{\large 2}-a \) \( \small =\frac{\large 2b-a}{\large 2}, \) | (4) |
| \( \small p-b=p-c=\frac{\large 2b+a}{\large 2}-b \) \( \small =\frac{\large a}{\large 2}. \) | (5) |
Подставляя (3)-(5) в (1), получим формулу вычисления радиуса вписанной в равнобедренный треугольник окружности:
Пример 1. Известны основание a=13 и боковая сторона b=7 равнобедренного треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в треугольник воспользуемся формулой (6). Подставим значения \( \small a,\; b \) в (6):
Ответ:
2. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны основание и угол при основании
Пусть известны основание a и прилежащий к ней угол β равнобедренного треугольника (Рис.2). Выведем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.
Из центра вписанной окружности проведем перпендикуляры OH и OE к сторонам a=BC и b=AC, соответственно (r=OH=OE). Соединим точки C и O. Полученные прямоугольные треугольники OCE и OCH равны по гипотенузе и катету (см. статью Прямоугольный треугольник. Тогда \( \small \angle OCE=\angle OCH=\frac{\large \beta}{\large 2}. \) Для прямоугольного треугольника OCH можно записать:
| \( \small \frac{\large OH}{\large HC}=\frac{\large r}{\large \frac{a}{2}}=\mathrm{tg}\frac{\large \beta}{\large 2} . \) |
Откуда получим формулу радиуса вписанной в треугольник окружности:
| \( \small r=\frac{\large a}{\large 2} \cdot \mathrm{tg}\frac{\large \beta}{\large 2} .\) | (8) |
Учитывая формулы половинного угла тригонометрических функций, формулу (8) можно записать так:
| \( \small r=\frac{\large a}{\large 2} \cdot \frac{\large \sin \beta}{\large 1+\cos \beta} .\) | (9) |
Пример 2. Известны основание \( \small a=15 \) и \( \small \beta=30° \) равнобедренного треугольника. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанный в треугольник воспользуемся формулой (8) (или (9)). Подставим значения \( \small a=15, \; \beta=30° \) в (8):
Ответ:
3. Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, если известны боковая сторона и угол при основании
Пусть известны боковая сторона b и угол при основании β равнобедренного треугольника (Рис. 3). Найдем формулу радиуса вписанной в треугольник окружности.
Высота равнобедренного треугольника AH делит равнобедренный треугольник ABC на две равные части. Тогда для треугольника AHC справедливо равенство:
| \( \small \frac{\large CH}{\large AC}=\frac{\large \frac{a}{2}}{\large b}= \cos \beta .\) |
Откуда:
| \( \small a=2b \cdot \cos \beta .\) | (10) |
Подставляя (10) в (8), получим формулу вписанной в равнобедренный треугольник окружности:
| \( \small r=\frac{\large a}{\large 2} \cdot \mathrm{tg}\frac{\large \beta}{\large 2}=\frac{\large 2b \cdot \cos \beta}{\large 2} \cdot \mathrm{tg}\frac{\large \beta}{\large 2} \) \( \small =b \cos \beta \cdot \mathrm{tg}\frac{\large \beta}{\large 2} \) |
или
| \( \small r=b \cdot \cos \beta \cdot \mathrm{tg}\frac{\large \beta}{\large 2} \) | (11) |
Учитывая формулы половинного угла тригонометрических функций, формулу (11) можно записать и так:
| \( \small r=b \cdot \frac{\large \sin \beta \ \cdot \ \cos \beta}{\large 1+ \cos \beta} \) | (12) |
Пример 3. 2 }}\)
Пример 5. Основание и высота равнобедренного треугольника равны \( \small a=7 ,\) \( \small h=9, \) соответственно. Найти радиус окружности вписанной в треугольник.
Решение. Для нахождения радиуса окружности вписанной в равнобедренный треугольник воспользуемся формулой (21). Подставим значения \( \small a=7 ,\) \( \small h=9 \) в (21):
Ответ:
Смотрите также:
- Окружность, описанная около треугольника
- Радиус описанной окружности около треугольника онлайн
- Радиус описанной окружности около равнобедренного треугольника онлайн
- Радиус описанной окружности около равностороннего треугольника онлайн
- Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника онлайн
- Радиус вписанной в треугольник окружности онлайн
Как использовать кружные уравнения в координатной геометрии
от: Марк Райан и
Обновлены: 12-08-2016
Из книги: Геометрия для Dummies
Геометрия для Dummies
16. На Amazon
Вот уравнения окружности:
- Окружность с центром в начале координат, (0, 0), x 2 + у 2 = r 2 где r — радиус окружности.
- Окружность с центром в любой точке ( h , k ), ( х – ч ) 2 + ( у – к ) 2 = r 2 где ( h , k ) — центр круга, а r — его радиус.
(Как вы помните из курса алгебры, это кажется обратным, но вычитание любого положительного числа h из x на самом деле перемещает круг на вправо, , а вычитание любого положительного числа k из y перемещает круг круг вверх; добавление числа к x перемещает круг влево, и добавление положительного числа к y перемещает круг вниз. )
Вот схема доказательства.
- Найдите уравнение окружности. Все, что вам нужно для уравнения круга, это его центр (вы его знаете) и радиус. Радиус круга — это просто расстояние от его центра до любой точки круга. Поскольку точка касания задана, ее и следует использовать. А именно —
Теперь вы закончите, подставив координаты центра и радиус в общее уравнение окружности:
- Найдите точки пересечения окружности x и y . Чтобы найти точки пересечения x для любого уравнения, вы просто подставляете 0 вместо y и решаете для x :
Вы не можете что-то возвести в квадрат и получить отрицательное число, поэтому это уравнение не имеет решения; следовательно, круг не имеет x -пересечений. (Конечно, вы можете просто посмотреть на рисунок и увидеть, что окружность не пересекает x -ось, но полезно знать, как это подтверждается математикой.
)
Чтобы найти точки пересечения y , подставьте 0 вместо x и найдите y :.
- Найдите уравнение касательной. Для уравнения линии вам нужна точка (она у вас есть) и наклон линии. Касательная линия перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания. Так что просто вычислите наклон радиуса, а затем обратное ему значение будет наклоном касательной:
Теперь вы подставляете этот наклон и координаты точки касания в форму точка-наклон для уравнения линии:
Теперь немного очистите это:
Снова и снова.
Эта статья из книги:
- Геометрия для чайников,
Об авторе книги:
Марк Райан — основатель и владелец Математического центра в районе Чикаго, где он занимается репетиторством по всем математическим предметам а также подготовка к тесту. Марк является автором Вычисление для чайников, Рабочая тетрадь по математическому анализу для чайников и Рабочая тетрадь по геометрии для чайников .
Эта статья можно найти в категории:
- Геометрия,
Уравнение калькулятора круга
Исследование Математика Geometry . уравнения окружности, параметрическое уравнение формы окружности и общее уравнение формы окружности с учетом центра и радиуса окружности. Формулы находятся под калькулятором.
Уравнение круга, указанное в центре, и радиус
Центр
Радиус
Стандартное уравнение формы круга
Общая форма уравнения круга
Уравнение параметрической формы круга
9000
145
Уравнение окружности
Уравнение окружности — это алгебраический способ определения всех точек, лежащих на окружности окружности. То есть, если точка удовлетворяет уравнению окружности, она лежит на окружности окружности. Существуют разные формы уравнения окружности:
- общая форма
- стандартная форма
- параметрическая форма
- полярная форма.
Общая форма Уравнение окружности
Общее уравнение окружности с центром и радиусом:
,
где
При общей форме трудно рассуждать о свойствах окружности, а именно о центре и радиусе. Но его можно легко преобразовать в стандартную форму, в которой гораздо легче разобраться.
Стандартная форма Уравнение окружности
Стандартное уравнение окружности с центром и радиусом:
Вы можете преобразовать общую форму в стандартную, используя технику, известную как Завершение квадрата. Из этого уравнения окружности вы можете легко определить координаты центра и радиус окружности.
Параметрическое уравнение формы окружности
Параметрическое уравнение окружности с центром в точке и радиусом
Это уравнение называется параметрическим, потому что угол тета называется «параметром».