Ранг матрицы формула: Ранг матрицы, формула и примеры

Содержание

Ранг матрицы

Каталин Дэвид

Рангом матрицы из m строк и n столбцов называется число r, обладающее следующими свойствами:

r меньше или равно наименьшему из чисел m и n.
r равно наивысшему из порядков ненулевых миноров этой матрицы.

Выбираем ненулевой элемент матрицы.
Перебираем миноры второго порядка, содержащие этот элемент, пока не найдем минор, отличный от нуля.
Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг матрицы равен 1.
Если существует хотя бы один ненулевой минор второго порядка, перебираем «содержащие» его миноры третьего порядка (окаймляющие миноры), пока не будет найден хотя бы один ненулевой минор.
Если все миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы равен 2.
Если существует хотя бы один ненулевой минор третьего порядка, перебираем окаймляющие его миноры четвертого порядка, пока не будет найден хотя бы один ненулевой минор.
Продолжаем этот процесс, пока порядок миноров не достигнет наименьшего из чисел m и n.

Пример 42
$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\ 3 & 6 & 5 \end{pmatrix}$

Матрица имеет 2 строки и 3 столбца, следовательно, ее наибольший возможный ранг равен 2. Выбираем ненулевой элемент матрицы.

$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & 2 & 4\\ 3 & 6 & 5 \end{pmatrix}$

Составляем минор второго порядка, содержащий 1.
$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{2} & 4\\ \color{red}{3} & \color{red}{6} & 5 \end{pmatrix}$

Вычисляем этот минор.
$\begin{vmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{2}\\ \color{red}{3} & \color{red}{6} \end{vmatrix}=6 — 6 = 0$

Составляем другой минор второго порядка, содержащий 1. $A=\begin{pmatrix} \color{blue}{1} & 2 & \color{blue}{4}\\ \color{blue}{3} & 6 & \color{blue}{5} \end{pmatrix}$

Вычисляем этот минор.
$\begin{vmatrix} \color{blue}{1} & \color{blue}{4}\\ \color{blue}{3} & \color{blue}{5} \end{vmatrix}= 5 — 12 = -7 \neq 0.

Ранг равен 2.

Пример 43
$B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ \end{pmatrix}$

Выбираем ненулевой элемент матрицы.
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & \color{red}{1} & 1 \end{pmatrix}$

Вычисляем миноры второго порядка, содержащие этот элемент. $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ \color{red}{1} & \color{red}{1} & 1\\ \color{red}{1} & \color{red}{1} & 1 \end{pmatrix}$

$\begin{vmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{1} \\ \color{red}{1} & \color{red}{1} \end{vmatrix}=0 $ (поскольку он имеет две одинаковых строки)

Все остальные миноры второго порядка равны нулю, так как они все идентичны. В данном случае ранг матрицы равен 1.

Пример 44
$B=\begin{pmatrix} 3 & 8 & 2\\ 2 & 1 & 1\\ 5 & 3 & 4\\ 7 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

Матрица имеет 4 строки и 3 столбца, следовательно, ее наибольший возможный ранг равен 3.

Выбираем ненулевой элемент матрицы.
$\begin{pmatrix} 3 & 8 & 2\\ 2 & 1 & 1\\ 5 & 3 & \color{red}{4}\\ 7 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

Вычисляем минор второго порядка, содержащий 4.
$ \begin{pmatrix} 3 & 8 & 2\\ 2 & \color{red}{1} & \color{red}{1}\\ 5 & \color{red}{3} & \color{red}{4}\\ 7 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

$\begin{vmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{1}\\ \color{red}{3} & \color{red}{4}\\ \end{vmatrix} = 4 — 3 = 1$

Составляем минор третьего порядка, окаймляющий предыдущий минор. $\begin{pmatrix} 3 & 8 & 2\\ \color{red}{2} & \color{red}{1} & \color{red}{1}\\ \color{red}{5} & \color{red}{3} & \color{red}{4}\\ \color{red}{7} & \color{red}{4} & \color{red}{5} \end{pmatrix}$

Вычисляем этот минор.
$\begin{pmatrix} \color{red}{2} & \color{red}{1} & \color{red}{1}\\ \color{red}{5} & \color{red}{3} & \color{red}{4}\\ \color{red}{7} & \color{red}{4} & \color{red}{5} \end{pmatrix}=0 $ because $ R_{1}+R_{2}=R_{3}$

Вычисляем другой минор третьего порядка, окаймляющий предыдущий минор.
$\begin{pmatrix} \color{blue}{3} & \color{blue}{8} & \color{blue}{2}\\ \color{blue}{2} & \color{blue}{1} & \color{blue}{1}\\ \color{blue}{5} & \color{blue}{3} & \color{blue}{4}\\ 7 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

$\begin{vmatrix} \color{blue}{3} & \color{blue}{8} & \color{blue}{2}\\ \color{blue}{2} & \color{blue}{1} & \color{blue}{1}\\ \color{blue}{5} & \color{blue}{3} & \color{blue}{4} \end{vmatrix} =$ $12 + 12 +40 -10 -9 -64 =-19 \neq 0 $

Ранг матрицы равен 3.

Пример 45
$D=\begin{pmatrix} 1 & 5 & 1 & 6\\ 2 & 3 & 2 & 5\\ 6 & 1 & 6 & 7 \end{pmatrix}$

D — матрица из 3 строк и 4 столбцов, так что ее наибольший возможный ранг равен 3.

Выбираем ненулевой элемент матрицы.
$\begin{pmatrix} 1 & \color{red}{5} & 1 & 6\\ 2 & 3 & 2 & 5\\ 6 & 1 & 6 & 7 \end{pmatrix}$

Составляем минор второго порядка, содержащий 5.
$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{5} & 1 & 6\\ \color{red}{2} & \color{red}{3} & 2 & 5\\ 6 & 1 & 6 & 7 \end{pmatrix}$

$\begin{vmatrix} 1 & 5\\ 2 & 3 \end{vmatrix}= 3 — 10 = -7 \neq 0$

Составляем минор третьего порядка, окаймляющий предыдущий минор.

$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{5} & \color{red}{1} & 6\\ \color{red}{2} & \color{red}{3} & \color{red}{2} & 5\\ \color{red}{6} & \color{red}{1} & \color{red}{6} & 7 \end{pmatrix}$

$\begin{vmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{5} & \color{red}{1}\\ \color{red}{2} & \color{red}{3} & \color{red}{2}\\ \color{red}{6} & \color{red}{1} & \color{red}{6} \end{vmatrix} = 0 $ (поскольку два столбца равны)

Тогда составляем другой минор третьего порядка, окаймляющий ненулевой минор второго порядка.
$\begin{pmatrix} \color{blue}{1} & \color{blue}{5} & 1 & \color{blue}{6}\\ \color{blue}{2} & \color{blue}{3} & 2 & \color{blue}{5}\\ \color{blue}{6} & \color{blue}{1} & 6 & \color{blue}{7} \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} \color{blue}{1} & \color{blue}{5} & \color{blue}{6}\\ \color{blue}{2} & \color{blue}{3} & \color{blue}{5}\\ \color{blue}{6} & \color{blue}{1} & \color{blue}{7} \end{pmatrix} = 0, $ потому что $ C_{1} + C_{2}=C_{3}$

Поскольку все миноры третьего порядка равны нулю, ранг матрицы D равен 2.

Матрицы Умножение матриц Определитель Обратные матрицы Матричные уравнения Системы уравнений Калькуляторы для матриц

Определение ранга матрицы. Вычисление ранга матрицы по определению.

Высшая математика » Матрицы и определители » Ранг матрицы » Определение ранга матрицы. Вычисление ранга матрицы по определению.

Для работы с понятием ранга матрицы нам понадобятся сведения из темы «Алгебраические дополнения и миноры. Виды миноров и алгебраических дополнений». В первую очередь это касается термина «минор матрицы», так как ранг матрицы станем определять именно через миноры.

Рангом матрицы называют максимальный порядок её миноров, среди которых есть хотя бы один, не равный нулю.

Эквивалентные матрицы – матрицы, ранги которых равны между собой.

Поясним подробнее. Допустим, среди миноров второго порядка есть хотя бы один, отличный от нуля. А все миноры, порядок которых выше двух, равны нулю. Вывод: ранг матрицы равен 2. Или, к примеру, среди миноров десятого порядка есть хоть один, не равный нулю. А все миноры, порядок которых выше 10, равны нулю. Вывод: ранг матрицы равен 10.

Обозначается ранг матрицы $A$ так: $\rang A$ или $r(A)$. Ранг нулевой матрицы $O$ полагают равным нулю, $\rang O=0$. Напомню, что для образования минора матрицы требуется вычёркивать строки и столбцы, – однако вычеркнуть строк и столбцов более, чем содержит сама матрица, невозможно. Например, если матрица $F$ имеет размер $5\times 4$ (т.е. содержит 5 строк и 4 столбца), то максимальный порядок её миноров равен четырём. Миноры пятого порядка образовать уже не удастся, так как для них потребуется 5 столбцов (а у нас всего 4). Это означает, что ранг матрицы $F$ не может быть больше четырёх, т.е. $\rang F≤4$.

В более общей форме вышеизложенное означает, что если матрица содержит $m$ строк и $n$ столбцов, то её ранг не может превышать наименьшего из чисел $m$ и $n$, т.е. $\rang A≤\min(m,n)$.

В принципе, из самого определения ранга следует метод его нахождения. Процесс нахождения ранга матрицы по определению можно схематически представить так:

Поясню эту схему более подробно. Начнём рассуждать с самого начала, т.е. с миноров первого порядка некоторой матрицы $A$.

Если все миноры первого порядка (т.е. элементы матрицы $A$) равны нулю, то $\rang A=0$. Если среди миноров первого порядка есть хотя бы один, не равный нулю, то $\rang A≥ 1$. Переходим к проверке миноров второго порядка.

Если все миноры второго порядка равны нулю, то $\rang A=1$. Если среди миноров второго порядка есть хотя бы один, не равный нулю, то $\rang A≥ 2$. Переходим к проверке миноров третьего порядка.
Если все миноры третьего порядка равны нулю, то $\rang A=2$. Если среди миноров третьего порядка есть хотя бы один, не равный нулю, то $\rang A≥ 3$. Переходим к проверке миноров четвёртого порядка.
Если все миноры четвёртого порядка равны нулю, то $\rang A=3$. Если среди миноров четвёртого порядка есть хотя бы один, не равный нулю, то $\rang A≥ 4$. Переходим к проверке миноров пятого порядка и так далее.

Что ждёт нас в конце этой процедуры? Возможно, что среди миноров k-го порядка найдётся хоть один, отличный от нуля, а все миноры (k+1)-го порядка будут равны нулю. Это значит, что k – максимальный порядок миноров, среди которых есть хотя бы один, не равный нулю, т.е. ранг будет равен k. Может быть иная ситуация: среди миноров k-го порядка будет хоть один не равный нулю, а миноры (k+1)-го порядка образовать уже не удастся. В этом случае ранг матрицы также равен k. Короче говоря,

порядок последнего составленного ненулевого минора и будет равен рангу матрицы.

Перейдём к примерам, в которых процесс нахождения ранга матрицы по определению будет проиллюстрирован наглядно. Ещё раз подчеркну, что в примерах данной темы мы станем находить ранг матриц, используя лишь определение ранга. Иные методы (вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров, вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований) рассмотрены в следующих темах.

Кстати, вовсе не обязательно начинать процедуру нахождения ранга с миноров самого малого порядка, как это сделано в примерах №1 и №2. Можно сразу перейти к минорам более высоких порядков (см. пример №3).

Пример №1

Найти ранг матрицы $A=\left(\begin{array}{ccccc} 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right)$.

Решение

Данная матрица имеет размер $3\times 5$, т.е. содержит три строки и пять столбцов. Из чисел 3 и 5 минимальным является 3, посему ранг матрицы $A$ не больше 3, т.е. $\rang A≤ 3$. И это неравенство очевидно, так как миноры четвёртого порядка образовать мы уже не сможем, – для них нужно 4 строки, а у нас всего 3. Перейдём непосредственно к процессу нахождения ранга заданной матрицы.

Среди миноров первого порядка (т.е среди элементов матрицы $A$) есть ненулевые. Например, 5, -3, 2, 7. Вообще, нас не интересует общее количество ненулевых элементов. Есть хотя бы один не равный нулю элемент – и этого достаточно. Так как среди миноров первого порядка есть хотя бы один, отличный от нуля, то делаем вывод, что $\rang A≥ 1$ и переходим к проверке миноров второго порядка.

Начнём исследовать миноры второго порядка. Например, на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1, №4 расположены элементы такого минора: $\left|\begin{array}{cc} 5 & 0 \\ 7 & 0 \end{array} \right|$. У этого определителя все элементы второго столбца равны нулю, поэтому и сам определитель равен нулю, т.е. $\left|\begin{array}{cc} 5 & 0 \\ 7 & 0 \end{array} \right|=0$ (см. свойство №3 в теме свойства определителей). Или же можно банально вычислить сей определитель, используя формулу №1 из раздела по вычислению определителей второго и третьего порядков:

$$ \left|\begin{array}{cc} 5 & 0 \\ 7 & 0 \end{array} \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

Первый проверенный нами минор второго порядка оказался равен нулю. О чём это говорит? О том, что нужно дальше проверять миноры второго порядка. Либо они все окажутся нулевыми (и тогда ранг будет равен 1), либо среди них найдётся хотя бы один минор, отличный от нуля. Попробуем осуществить более удачный выбор, записав минор второго порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1 и №5: $\left|\begin{array}{cc} 5 & 2 \\ 7 & 3 \end{array} \right|$. Найдём значение этого минора второго порядка:

$$ \left|\begin{array}{cc} 5 & 2 \\ 7 & 3 \end{array} \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Данный минор не равен нулю. Вывод: среди миноров второго порядка есть хотя бы один, отличный от нуля. Следовательно $\rang A≥ 2$. Нужно переходить к исследованию миноров третьего порядка.

Если для формирования миноров третьего порядка мы станем выбирать столбец №2 или столбец №4, то такие миноры будут равными нулю (ибо они будут содержать нулевой столбец). Остаётся проверить лишь один минор третьего порядка, элементы которого расположены на пересечении столбцов №1, №3, №5 и строк №1, №2, №3. Запишем этот минор и найдём его значение:

$$ \left|\begin{array}{ccc} 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{array} \right|=-20-18-14+16+21+15=0. $$

Итак, все миноры третьего порядка равны нулю. Последний составленный нами ненулевой минор был второго порядка. Вывод: максимальный порядок миноров, среди которых есть хотя бы один, отличный от нуля, равен 2. Следовательно, $\rang A=2$.

Ответ: $\rang A=2$.

Пример №2

Найти ранг матрицы $A=\left( \begin{array} {cccc} -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end{array} \right)$.

Решение

Имеем квадратную матрицу четвёртого порядка. Сразу отметим, что ранг данной матрицы не превышает 4, т.е. $\rang A≤ 4$. Приступим к нахождению ранга матрицы.

Среди миноров первого порядка (т.е среди элементов матрицы $A$) есть хотя бы один, не равный нулю, поэтому $\rang A≥ 1$. Переходим к проверке миноров второго порядка. Например, на пересечении строк №2, №3 и столбцов №1 и №2 получим такой минор второго порядка: $\left| \begin{array} {cc} 4 & -2 \\ -5 & 0 \end{array} \right|$. Вычислим его:

$$ \left| \begin{array} {cc} 4 & -2 \\ -5 & 0 \end{array} \right|=0-10=-10. $$

Среди миноров второго порядка есть хотя бы один, не равный нулю, поэтому $\rang A≥ 2$.

Перейдём к минорам третьего порядка. Найдём, к примеру, минор, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №3, №4 и столбцов №1, №2, №4:

$$ \left | \begin{array} {cccc} -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end{array} \right|=105-105=0. $$

Так как данный минор третьего порядка оказался равным нулю, то нужно исследовать иной минор третьего порядка. Либо все они окажутся равными нулю (тогда ранг будет равен 2), либо среди них найдётся хоть один, не равный нулю (тогда станем исследовать миноры четвёртого порядка). Рассмотрим минор третьего порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №2, №3, №4 и столбцов №2, №3, №4:

$$ \left| \begin{array} {ccc} -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end{array} \right|=-28. $$

Среди миноров третьего порядка есть хотя бы один, отличный от нуля, поэтому $\rang A≥ 3$. Переходим к проверке миноров четвёртого порядка.

Любой минор четвёртого порядка располагается на пересечении четырёх строк и четырёх столбцов матрицы $A$. Иными словами, минор четвёртого порядка – это определитель матрицы $A$, так как данная матрица как раз и содержит 4 строки и 4 столбца. Определитель этой матрицы был вычислен в примере №2 темы «Понижение порядка определителя. Разложение определителя по строке (столбцу)», поэтому просто возьмём готовый результат:

$$ \left| \begin{array} {cccc} -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end{array} \right|=86. $$

Итак, минор четвертого порядка не равен нулю. Миноров пятого порядка образовать мы уже не можем. Вывод: наивысший порядок миноров, среди которых есть хотя бы один отличный от нуля, равен 4. Итог: $\rang A=4$.

Ответ: $\rang A=4$.

Пример №3

Найти ранг матрицы $A=\left( \begin{array} {cccc} -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end{array} \right)$.

Решение

Сразу отметим, что данная матрица содержит 3 строки и 4 столбца, поэтому $\rang A≤ 3$. В предыдущих примерах мы начинали процесс нахождения ранга с рассмотрения миноров наименьшего (первого) порядка. Здесь же попробуем сразу проверить миноры максимально возможного порядка. Для матрицы $A$ такими являются миноры третьего порядка. Рассмотрим минор третьего порядка, элементы которого лежат на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов №2, №3, №4:

$$ \left| \begin{array} {ccc} 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end{array} \right|=-8-60-20=-88. $$

Итак, наивысший порядок миноров, среди которых есть хоть один, не равный нулю, равен 3. Поэтому ранг матрицы равен 3, т.е. $\rang A=3$.

Ответ: $\rang A=3$.

Вообще, нахождение ранга матрицы по определению – в общем случае задача довольно-таки трудоёмкая. Например у матрицы сравнительно небольшого размера $5\times 4$ имеется 60 миноров второго порядка. И если даже 59 из них будут равны нулю, то 60й минор может оказаться ненулевым. Тогда придётся исследовать миноры третьего порядка, которых у данной матрицы 40 штук. Обычно стараются использовать менее громоздкие способы, такие как метод окаймляющих миноров или метод эквивалентных преобразований.

Вернуться к списку тем

Задать вопрос на форуме

Записаться на занятия

Онлайн-занятия по высшей математике

Примеры нахождения ранга матрицы

Выполняем элементарные преобразования над матрицей, чтобы узнать количество линейно-независимых строк.

Вычитаем из второй строки, умноженной на четверку, первую строку, умноженную на пятерку:

Вычитаем из третьей строки, умноженной на четыре, первую строку, умноженную на девять:

Вычитаем из третьей строки вторую строку:

Замечаем, что последняя строка матрицы нулевая, значит её можно вычеркнуть:

После элементарных преобразований количество строк уменьшилось и стало $ m=2 $, а количество столбцов $ n = 3 $. По формуле ранга матрицы берем минимальные число из $ m $ и $ n $, то есть $ m=2 $. Получили, что $ rang A = 2 $

Понятие ранга матрицы

Определение. Рангом матрицы называется максимальное число линейно независимых строк, рассматриваемых как векторы.

Теорема 1 о ранге матрицы. Рангом матрицы называется максимальный порядок отличного от нуля минора матрицы.

Понятие минора мы уже разбирали на уроке по определителям, а сейчас обобщим его. Возьмём в матрице сколько-то строк и сколько-то столбцов, причём это «сколько-то» должно быть меньше числа строк и стобцов матрицы, а для строк и столбцов это «сколько-то» должно быть одним и тем же числом. Тогда на пересечении скольки-то строк и скольки-то столбцов окажется матрица меньшего порядка, чем наша исходная матрица. Определитель это матрицы и будет минором k-го порядка, если упомянутое «сколько-то» (число строк и столбцов) обозначим через k.

Определение. Минор (r+1)-го порядка, внутри которого лежит выбранный минор r-го порядка, называется называется окаймляющим для данного минора.

Наиболее часто используются два способа отыскания ранга матрицы. Это способ окаймляющих миноров и способ элементарных преобразований (методом Гаусса).

При способе окаймляющих миноров используется следующая теорема.

Теорема 2 о ранге матрицы. Если из элементов матрицы можно составить минор r-го порядка, не равный нулю, то ранг матрицы равен r.

При способе элементарных преобразований используется следующее свойство:

— если путём элементарных преобразований получена трапециевидная матрица, эквивалентная исходной, то рангом этой матрицы является число строк в ней кроме строк, полностью состоящих из нулей.

Отыскание ранга матрицы способом окаймляющих миноров

Окаймляющим минором называется минор большего порядка по отношению к данному, если этот минорм большего порядка содержит в себе данный минор.

Например, дана матрица

окаймляющими будут такие миноры:

Алгоритм нахождения ранга матрицы следующий.

1. Находим не равные нулю миноры второго порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг матрицы будет равен единице ( r =1 ).

2. Если существует хотя бы один минор второго порядка, не равный нулю, то составляем окаймляющие миноры третьего порядка. Если все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы равен двум ( r =2 ).

3. Если хотя бы один из окаймляющих миноров третьего порядка не равен нулю, то составляем окаймляющие его миноры. Если все окаймляющие миноры четвёртого порядка равны нулю, то ранг матрицы равен трём ( r =2 ).

4. Продолжаем так, пока позволяет размер матрицы.

Пример 1. Найти ранг матрицы

Решение. Минор второго порядка .

Окаймляем его. Окаймляющих миноров будет четыре:

Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, следовательно, ранг данной матрицы равен двум ( r =2 ).

Пример 2. Найти ранг матрицы

Решение. Ранг данной матрицы равен 1, так как все миноры второго порядка этой матрицы равны нулю (в этом, как и в случаях окаймляющих миноров в двух следующих примерах, дорогим студентам предлагается убедиться самостоятельно, возможно, используя правила вычисления определителей), а среди миноров первого порядка, то есть среди элементов матрицы, есть не равные нулю.

Пример 3. Найти ранг матрицы

Решение. Минор второго порядка этой матрицы , в все миноры третьего порядка этой матрицы равны нулю. Следовательно, ранг данной матрицы равен двум.

Пример 4. Найти ранг матрицы

Решение. Ранг данной матрицы равен 3, так как единственный минор третьего порядка этой матрицы равен 3.

Отыскание ранга матрицы способом элементарных преобразований (методом Гаусса)

Уже на примере 1 видно, что задача определения ранга матрицы способом окаймляющих миноров требует вычисления большого числа определителей. Существует, однако, способ, позволяющий свести объём вычислений к минимуму. Этот способ основан на использовании элементарных преобразований матриц и ещё называется также методом Гаусса.

Под элементарными преобразованиями матрицы понимаются следующие операции:

1) умножение какой-либо строки или какого либо столбца матрицы на число, отличное от нуля;

2) прибавление к элементам какой-либо строки или какого-либо столбца матрицы соответствующих элементов другой строки или столбца, умноженных на одно и то же число;

3) перемена местами двух строк или столбцов матрицы;

4) удаление «нулевых» строк, то есть таких, все элементы которых равны нулю;

5) удаление всех пропорциональных строк, кроме одной.

Теорема. При элементарном преобразовании ранг матрицы не меняется. Другими словами, если мы элементарными преобразованиями от матрицы A перешли к матрице B , то .

Используя эту теорему, отправляясь от любой матрицы A всегда можно прийти к такой матрице B , вычисление ранга которой не представляет затруднений. Для этого следует добиться, чтобы матрица B была трапециевидной.

Тогда ранг полученной матрицы будет равен числу строк в ней кроме строк, полностью состоящих из нулей.

Пример 5. Найти ранг матрицы

Решение. Подвергнем эту матрицу следующим преобразованиям. Ко второй строке прибавим третью, умноженную на — 2, а затем к третьей строке прибывам первую, умноженную на 2, и, наконец, из четвёртой вычтем первую. После этих трёх последовательно выполненных преобразований получим матрицу

Вычитая из четвёртой строки третью, а затем переставив местами вторую и третью строки, получаем матрицу

Получили трапециевидную матрицу. Ранг полученной матрицы равен трём (r=3), так как после вычёркивания последней строки, полностью состоящей из нулей, в ней останется три строки.

Желающие могут проверить это решение способом окаймляющих миноров (минор третьего порядка, находящийся в левом верхнем углу, не равен нулю, а все миноры четвёртого порядка равны нулю).

Найти ранг матрицы самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Найти ранг матрицы

Пример 7. Найти ранг матрицы

В данной статье пойдет речь о таком понятии, как ранг матрицы и необходимых дополнительных понятиях. Мы приведем примеры и доказательства нахождения ранга матрицы, а также расскажем, что такое минор матрицы, и почему он так важен.

Минор матрицы

Чтобы понять, что такое ранг матрицы, необходимо разобраться с таким понятием, как минор матрицы.

Минор k-ого порядка матрицы — определитель квадратной матрицы порядка k×k, которая составлена из элементов матрицы А, находящихся в заранее выбранных k-строках и k-столбцах, при этом сохраняется положение элементов матрицы А.

Проще говоря, если в матрице А вычеркнуть (p-k) строк и (n-k) столбцов, а из тех элементов, которые остались, составить матрицу, сохраняя расположение элементов матрицы А, то определитель полученной матрицы и есть минор порядка k матрицы А.

Из примера следует, что миноры первого порядка матрицы А и есть сами элементы матрицы.

Можно привести несколько примеров миноров 2-ого порядка. Выберем две строки и два столбца. Например, 1-ая и 2 –ая строка, 3-ий и 4-ый столбец.

При таком выборе элементов минором второго порядка будет — 1 3 0 2 = ( — 1 ) × 2 — 3 × 0 = — 2

Другим минором 2-го порядка матрицы А является 0 0 1 1 = 0

Предоставим иллюстрации построения миноров второго порядка матрицы А:

Минор 3-го порядка получается, если вычеркнуть третий столбец матрицы А:

0 0 3 1 1 2 — 1 — 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × ( — 1 ) + 3 × 1 × ( — 4 ) — 3 × 1 × ( — 1 ) — 0 × 1 × 0 — 0 × 2 × ( — 4 ) = — 9

Иллюстрация, как получается минор 3-го порядка матрицы А:

Для данной матрицы миноров выше 3-го порядка не существует, потому что

k ≤ m i n ( p , n ) = m i n ( 3 , 4 ) = 3

Сколько существует миноров k-ого порядка для матрицы А порядка p×n?

Число миноров вычисляют по следующей формуле:

C p k × C n k , г д е С p k = p ! k ! ( p — k ) ! и C n k = n ! k ! ( n — k ) ! — число сочетаний из p по k, из n по k соответственно.

После того, как мы определились, что такое миноры матрицы А, можно переходить к определению ранга матрицы А.

Ранг матрицы: методы нахождения

Ранг матрицы — наивысший порядок матрицы, отличный от нуля.

Из определения ранга матрицы и минора матрицы становиться понятно, что ранг нулевой матрицы равен нулю, а ранг ненулевой матрицы отличен от нуля.

Нахождение ранга матрицы по определению

Метод перебора миноров — метод, основанный на определении ранга матрицы.

Алгоритм действий способом перебора миноров:

Необходимо найти ранг матрицы А порядка p×n. При наличии хотя бы одного элемента, отличного от нуля, то ранг матрицы как минимум равен единице (т.к. есть минор 1-го порядка, который не равен нулю).

Далее следует перебор миноров 2-го порядка. Если все миноры 2-го порядка равны нулю, то ранг равен единице. При существовании хотя бы одного не равного нулю минора 2-го порядка, необходимо перейти к перебору миноров 3-го порядка, а ранг матрицы, в таком случае, будет равен минимум двум.

Аналогичным образом поступим с рангом 3-го порядка: если все миноры матрицы равняются нулю, то ранг будет равен двум. При наличии хотя бы одного ненулевого минора 3-го порядка, то ранг матрицы равен минимум трем. И так далее, по аналогии.

Найти ранг матрицы:

А = — 1 1 — 1 — 2 0 2 2 6 0 — 4 4 3 11 1 — 7

Поскольку матрица ненулевая, то ее ранг минимум равен единице.

Минор 2-го порядка — 1 1 2 2 = ( — 1 ) × 2 — 1 × 2 = 4 отличен от нуля. Отсюда следует, что ранг матрицы А не меньше двух.

Перебираем миноры 3-го порядка: С 3 3 × С 5 3 = 1 5 ! 3 ! ( 5 — 3 ) ! = 10 штук.

— 1 1 — 1 2 2 6 4 3 11 = ( — 1 ) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + ( — 1 ) × 2 × 3 — ( — 1 ) × 2 × 4 — 1 × 2 × 11 — ( — 1 ) × 6 × 3 = 0

— 1 1 — 2 2 2 0 4 3 1 = ( — 1 ) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + ( — 2 ) × 2 × 3 — ( — 2 ) × 2 × 4 — 1 × 2 × 1 — ( — 1 ) × 0 × 3 = 0

— 1 — 1 — 2 2 6 0 4 11 1 = ( — 1 ) × 6 × 1 + ( — 1 ) × 0 × 4 + ( — 2 ) × 2 × 11 — ( — 2 ) × 6 × 4 — ( — 1 ) × 2 × 1 — ( — 1 ) × 0 × 11 = 0

— 1 1 — 2 2 2 0 4 3 1 = ( — 1 ) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + ( — 2 ) × 2 × 3 — ( — 2 ) × 2 × 4 — 1 × 2 × 1 — ( — 1 ) × 0 × 3 = 0

— 1 — 1 0 2 6 — 4 4 11 — 7 = ( — 1 ) × 6 × ( — 7 ) + ( — 1 ) × ( — 4 ) × 4 + 0 × 2 × 11 — 0 × 6 × 4 — ( — 1 ) × 2 × ( — 7 ) — ( — 1 ) × ( — 4 ) × 11 = 0

1 — 1 0 2 6 — 4 3 11 — 7 = 1 × 6 × ( — 7 ) + ( — 1 ) × ( — 4 ) × 3 + 0 × 2 × 11 — 0 × 6 × 3 — ( — 1 ) × 2 × ( — 7 ) — 1 × ( — 4 ) × 11 = 0

1 — 2 0 2 0 — 4 3 1 — 7 = 1 × 0 × ( — 7 ) + ( — 2 ) × ( — 4 ) × 3 + 0 × 2 × 1 — 0 × 0 × 3 — ( — 2 ) × 2 × ( — 7 ) — 1 × ( — 4 ) × 1 = 0

— 1 — 2 0 6 0 — 4 11 1 — 7 = ( — 1 ) × 0 × ( — 7 ) + ( — 2 ) × ( — 4 ) × 11 + 0 × 6 × 1 — 0 × 0 × 11 — ( — 2 ) × 6 × ( — 7 ) — ( — 1 ) × ( — 4 ) × 1 = 0

Миноры 3-го порядка равны нулю, поэтому ранг матрицы равен двум.

Нахождение ранга матрицы методом окаймляющих миноров

Метод окаймляющих миноров — метод, который позволяет получить результат при меньшей вычислительной работе.

Окаймляющий минор — минор M o k ( k + 1 ) -го порядка матрицы А, который окаймляет минор M порядка k матрицы А, если матрица, которая соответствует минору M o k , «содержит» матрицу, которая соответствует минору М.

Проще говоря, матрица, которая соответствует окаймляемому минору М, получается из матрицы, соответствующей окаймляющему минору M o k , вычеркиванием элементов одной строки и одного столбца.

Найти ранг матрицы:

А = 1 2 0 — 1 3 — 2 0 3 7 1 3 4 — 2 1 1 0 0 3 6 5

Для нахождения ранга берем минор 2-го порядка М = 2 — 1 4 1

Записываем все окаймляющие миноры:

1 2 — 1 — 2 0 7 3 4 1 , 2 0 — 1 0 3 7 4 — 2 1 , 2 — 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 — 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 — 1 4 — 2 1 0 3 6 , 2 — 1 3 4 1 1 0 6 5 .

Чтобы обосновать метод окаймляющих миноров, приведем теорему, формулировка которой не требует доказательной базы.

Если все миноры, окаймляющие минор k-ого порядка матрицы А порядка p на n, равны нулю, то все миноры порядка (k+1) матрицы А равна нулю.

Чтобы найти ранг матрицы, необязательно перебирать все миноры, достаточно посмотреть на окаймляющие.

Если окаймляющие миноры равняются нулю, то ранг матрицы нулевой. Если существует хотя бы один минор, который не равен нулю, то рассматриваем окаймляющие миноры.

Если все они равны нулю, то Rank(A) равняется двум. При наличии хотя бы одного ненулевого окаймляющего минора, то приступаем к рассматриванию его окаймляющих миноров. И так далее, аналогичным образом.

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров

А = 2 1 0 — 1 3 4 2 1 0 — 1 2 1 1 1 — 4 0 0 2 4 — 14

Поскольку элемент а 11 матрицы А не равен нулю, то возьмем минор 1-го порядка. Начнем искать окаймляющий минор, отличный от нуля:

2 1 4 2 = 2 × 2 — 1 × 4 = 0 2 0 4 1 = 2 × 1 — 0 × 4 = 2

Мы нашли окаймляющий минор 2-го порядка не равный нулю 2 0 4 1 .

Осуществим перебор окаймляющих миноров — (их ( 4 — 2 ) × ( 5 — 2 ) =6 штук).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 — 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 — 1 2 1 — 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 — 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 — 1 0 2 — 14 = 0

Нахождение ранга матрицы методом Гаусса (с помощью элементарных преобразований)

Вспомним, что представляют собой элементарные преобразования.

путем перестановки строк (столбцов) матрицы;
путем умножение всех элементов любой строки (столбца) матрицы на произвольное ненулевое число k;

путем прибавления к элементам какой-либо строки (столбца) элементов, которые соответствуют другой стоки (столбца) матрицы, которые умножены на произвольное число k.

Нахождение ранга матрицы методом Гаусса — метод, который основывается на теории эквивалентности матриц: если матрица В получена из матрицы А при помощи конечного числа элементарных преобразований, то Rank(A) = Rank(B).

Справедливость данного утверждения следует из определения матрицы:

в случае перестановки строк или столбцов матрицы ее определитель меняет знак. Если он равен нулю, то и при перестановке строк или столбцов остается равным нулю;
в случае умножения всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на произвольное число k, которое не равняется нулю, определитель полученной матрицы равен определителю исходной матрицы, которая умножена на k;

в случае прибавления к элементам некоторой строки или столбца матрицы соответствующих элементов другой строки или столбца, которые умножены на число k, не изменяет ее определителя.

Суть метода элементарных преобразований: привести матрицу ,чей ранг необходимо найти, к трапециевидной при помощи элементарных преобразований.

Ранг матриц такого вида достаточно просто найти. Он равен количеству строк, в которых есть хотя бы один ненулевой элемент. А поскольку ранг при проведении элементарных преобразований не изменяется, то это и будет ранг матрицы.

Проиллюстрируем этот процесс:

для прямоугольных матриц А порядка p на n, число строк которых больше числа столбцов:

1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n — 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n — 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n — 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 , R a n k ( A ) = n

1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b k k + 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k ( A ) = k

для прямоугольных матриц А порядка p на n, число строк которых меньше числа столбцов:

1 b 12 b 13 ⋯ b 1 p b 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 p b 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b p p + 1 ⋯ b p n , R a n k ( A ) = p

1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b k k + 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

для квадратных матриц А порядка n на n:

1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n — 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n — 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n — 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 , R a n k ( A ) = n

1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b k k + 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k ( A ) = k , k n

Найти ранг матрицы А при помощи элементарных преобразований:

А = 2 1 — 2 6 3 0 0 — 1 1 — 1 2 — 7 5 — 2 4 — 15 7 2 — 4 11

Поскольку элемент а 11 отличен от нуля, то необходимо умножить элементы первой строки матрицы А на 1 а 11 = 1 2 :

А = 2 1 — 2 6 3 0 0 — 1 1 — 1 2 — 7 5 — 2 4 — 15 7 2 — 4 11

Прибавляем к элементам 2-ой строки соответствующие элементы 1-ой строки, которые умножены на (-3). К элементам 3-ей строки прибавляем элементы 1-ой строки, которые умножены на (-1):

А ( 1 ) = 1 1 2 — 1 3 3 0 0 — 1 1 — 1 2 — 7 5 — 2 4 — 15 7 2 — 4 11

А ( 2 ) = = 1 1 2 — 1 3 3 + 1 ( — 3 ) 0 + 1 2 ( — 3 ) 0 + ( — 1 ) ( — 3 ) — 1 + 3 ( — 3 ) 1 + 1 ( — 3 ) — 1 + 1 2 ( — 3 ) 2 + ( — 1 ) ( — 1 ) — 7 + 3 ( — 1 ) 5 + 1 ( — 5 ) — 2 + 1 2 ( — 5 ) 4 + ( — 1 ) ( — 5 ) — 15 + 3 ( — 5 ) 7 + 1 ( — 7 ) 2 + 1 2 ( — 7 ) — 4 + ( — 1 ) ( — 7 ) 11 + 3 ( — 7 ) =

= 1 1 2 — 1 3 0 — 3 2 3 — 10 0 — 3 2 3 — 10 0 — 9 2 9 — 30 0 — 3 2 3 — 10

Элемент а 22 ( 2 ) отличен от нуля, поэтому мы умножаем элементы 2-ой строки матрицы А на А ( 2 ) н а 1 а 22 ( 2 ) = — 2 3 :

А ( 3 ) = 1 1 2 — 1 3 0 1 — 2 20 3 0 — 3 2 3 — 10 0 — 9 2 9 — 30 0 — 3 2 3 — 10

А ( 4 ) = 1 1 2 — 1 3 0 1 — 2 20 3 0 — 3 2 + 1 3 2 3 + ( — 2 ) 3 2 — 10 + 20 3 × 3 2 0 — 9 2 + 1 9 2 9 + ( — 2 ) 9 2 — 30 + 20 3 × 9 2 0 — 3 2 + 1 3 2 3 + ( — 2 ) 3 2 — 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 — 1 3 0 1 — 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

К элементам 3-ей строки полученной матрицы прибавляем соответствующие элементы 2-ой строки ,которые умножены на 3 2 ;
к элементам 4-ой строки — элементы 2-ой строки, которые умножены на 9 2 ;
к элементам 5-ой строки — элементы 2-ой строки, которые умножены на 3 2 .

Все элементы строк равны нулю. Таким образом, при помощи элементарных преобразований ,мы привели матрицу к трапецеидальному виду, откуда видно, что R a n k ( A ( 4 ) ) = 2 . Отсюда следует, что ранг исходной матрицы также равен двум.

Если проводить элементарные преобразования, то не допускаются приближенные значения!

Ранг матрицы — Введение, определение, свойства и часто задаваемые вопросы

Чтобы определить ранг матрицы, мы должны иметь предварительные знания о подматрицах и минорах матрицы. Пусть A — заданная матрица. Матрица, полученная удалением некоторых строк и некоторых столбцов матрицы А, называется подматрицей матрицы А. Матрица (множественное число — матрицы) представляет собой прямоугольный массив чисел, символов или выражений, которые расположены в виде строк и столбцы. Минор матрицы — это определитель квадратной матрицы, который получается удалением одной строки и одного столбца из некоторой большей квадратной матрицы.

Для учащихся 12-го класса, изучающих такие предметы, как математика, матрица является важной концепцией, поскольку она формирует основу для более подробных концепций позже, эта тема является одной из наиболее важных с точки зрения основного экзамена JEE, и, таким образом, она необходимо для студентов, чтобы мудро узнать то же самое.

Ранг матрицы Определение

Ранг матрицы относится к числу линейно независимых строк или столбцов в матрице. ρ(A) используется для обозначения ранга матрицы A. Говорят, что матрица имеет нулевой ранг, когда все ее элементы обращаются в нуль. Ранг матрицы — это размерность векторного пространства, полученного по ее столбцам. Ранг матрицы не может превышать число ее строк или столбцов. Ранг нулевой матрицы равен нулю.

Недействительность матрицы

Недействительность матрицы определяется как количество векторов, присутствующих в пустом пространстве данной матрицы. Другими словами, его можно определить как размерность нулевого пространства матрицы A, называемую недействительностью матрицы A. Ранг + недействительность — это количество всех столбцов в матрице A.

Свойства ранга матрицы:

Ранговая линейная алгебра относится к нахождению ранга столбца или ранга строки, вместе известного как ранг матрицы.
Нулевые матрицы не имеют ненулевых строк. Следовательно, он имеет независимую строку (или столбец). Итак, ранг нулевой матрицы равен нулю.
Когда ранг равен наименьшему измерению, это называется матрицей полного ранга.

Как найти ранг матрицы?

Пусть A = (a _ij )\[_{m\times n}\], — матрица. Говорят, что натуральное число r является рангом матрицы A, если

. Пусть A = (a _ij )\[_{m\times n}\] — матрица, а B — ее подматрица порядка r, тогда ∣β∣ определитель называется r-строчным минором A.

Для вычисления ранга матрицы существует два метода:

. хотя бы один ненулевой элемент, то ρ (A) ≥ 1
(ii) Ранг единичной матрицы I _n равен n.
(iii) Если ранг матрицы A равен r, то существует по крайней мере один минор порядка r, который не равен нулю. Каждый минор матрицы A порядка (r + 1) и более высокого порядка (если есть) равен нулю.
(iv) Если A — матрица размера m × n , то
ρ(A) ≤ min {m, n}
(v) Квадратная матрица A порядка n должна быть обращенной тогда и только тогда, когда ρ( А) = н.
Шаги для нахождения ранга матрицы по эшелонированной форме:
(i) Первый элемент каждой ненулевой строки должен быть равен 1.
(ii) Строка, в которой каждый элемент равен нулю, тогда эта строка должна находиться ниже ненулевых строк.
(iii) Общее количество нулей в следующей ненулевой строке должно быть больше, чем количество нулей в предыдущей ненулевой строке.
Элементарными операциями легко привести заданную матрицу к ступенчатому виду.
Примечание. Ранг матрицы не изменится, если к матрице применить следующие элементарные операции со строками: ) Строка умножается на ненулевую константу, (Ri ↔ kR _i ), где k ≠ 0
(c) К данной строке добавляется константа, кратная другой строке (Rᵢ ⟶ Rᵢ + kRⱼ), где я ≠ Дж.
Решенные задачи:
Вопросы: Найдите ранг матрицы с помощью эшелонированной формы.
\[\begin{bmatrix}1 &2 &3 \\ 2 & 3 & 4\\ 3 & 5 & 7\end{bmatrix}\]
Сол: Сначала мы преобразуем данную матрицу в форму Эшелона, а затем найдем количество ненулевых строк.
Порядок A равен 3 × 3. Следовательно, ρ(A) ≤ 3
A = \[\begin{bmatrix}1 &2 &3 \\ 2 & 3 & 4\\ 3 & 5 & 7\end{bmatrix }\]
Преобразовать R₂ ⟶ R ₂ — 2R ₁ и R ₃ ⟶ R ₃ — 3R ₁
~ \[\begin{bmatrix}1 &2 &3 \\ 0 & -1 & -2\\ 0 1 & -2\end{bmatrix}\]
Снова R ₃ ⟶ R ₃ — R ₂
~ \[\begin{bmatrix}1 &2 &3 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\]
Теперь приведенная выше матрица имеет эшелонированную форму. В этом числе ненулевых строк 2. Следовательно, ранг матрицы 2.
Почему Веданту?
Vedantu — это ведущая онлайн-платформа Индии, которая бесплатно предоставляет студентам все необходимые учебные материалы. Ресурсы, доступные в Vedantu, на 100% надежны и точны, что помогает студентам учиться и практиковаться, оставаясь при этом довольными со стороны пользователя. Веб-сайт Vedantu очень полезен, так как дает студентам ответы на все их академические вопросы. Студенты могут легко получить доступ к этому веб-сайту, когда они хотят подготовиться к любым речам или эссе, экзаменам, конкурсным доскам, конкурсам, викторинам и многому другому практически по всем темам. Веб-сайт предоставляет контент для таких советов, как CBSE, ICSE и других советов штатов, чтобы помочь студентам хорошо подготовиться. Учебные материалы, доступные в Веданту, разработаны экспертами в предметной области таким образом, чтобы они были понятными, понятными и легкими для изучения. Таким образом, Vedantu — лучший сайт для студентов, готовящихся к любому экзамену.
Вывод:
Из приведенного выше обсуждения мы можем сделать вывод, что если нам нужно найти ранг матрицы путем поиска ненулевого минора высшего порядка, это довольно утомительно, когда порядок матрицы довольно велик. Есть еще один простой способ найти ранг матрицы, даже если порядок матрицы довольно высок. Этот метод используется для нахождения ранга эквивалентной строчно-ступенчатой формы матрицы. Если матрица имеет форму эшелона строк, то все элементы ниже ведущей диагонали (это линия, соединяющая положения диагональных элементов, таких как a₁₁, a₂₂, a₃₃ матрицы) являются нулями. Итак, проверить, является минор нулевым или нет, достаточно просто.
Ранг матрицы
Ранг — это количество строк, которые являются «уникальными»: не состоят из других строк. (То же самое для столбцов.)
Пример: Эта матрица
1
2
3
3
6
9
Вторая строка всего в 3 раза больше первой строки. Просто бесполезный подражатель. Не считается.
Таким образом, несмотря на то, что есть 2 строки, ранг равен только 1.

Что насчет столбцов? Второй столбец всего в два раза больше первого столбца. И третий столбец в три раза больше первого (или в 1,5 раза больше второго), так что тоже не считается.
Таким образом, столбцы также показывают нам, что ранг равен только 1.
Пример: Эта матрица
1
2
3
2
2
1
4
5
. Второй ряд не сделан из первого ряда, так что Руко а как же третий ряд? Это первое и второе, сложенные вместе, поэтому не считается.
Итак, несмотря на то, что есть 3 строки, ранг всего 2.

Что насчет столбцов? Второй столбец в порядке, но столбец 3 — это столбцы 1 и 2, сложенные вместе.
Итак, столбцы также показывают нам, что ранг всего 2.
Пример: Эта матрица
1
2
3
2
2
1
-2
-1
. Второй ряд не изготовлен из первого ряда, так что на рейтинге, по крайней мере, 2.
. Второй ряд не изготовлен из первого ряда, так что на рейтинге, по крайней мере, 2.
3
3. Второй ряд не изготовлен из первого ряда, так что на рейтинге.
Третья строка выглядит нормально, но после тщательного изучения мы обнаруживаем, что это первая строка минус удвоенная вторая строка. Подлый! Таким образом, ранг всего 2.
И для столбцов: В этом случае столбец 3 — это столбцы 1 и 2, сложенные вместе. Таким образом, столбцы также показывают нам, что ранг равен 2.
Пример: Матрица идентичности
Все ряды — сильные независимые личности, не полагающиеся на других в своем существовании! Таким образом, ранг равен 3.
И то же самое для столбцов, поэтому они также говорят нам, что ранг равен 3.
На самом деле строки и столбцы всегда совпадают по рангу (удивительно, но факт!).
Говоря здесь о строках, мы можем сказать то же самое и о столбцах.
Так что нам не нужно работать с обоими.
Зачем искать ранг?
Ранг многое говорит нам о матрице.
Полезно сообщать нам, есть ли у нас шанс решить систему линейных уравнений: когда ранг равен количеству переменных, мы можем найти единственное решение.
Пример: яблоки и бананы
Если мы знаем, что
- 2 яблока и 3 банана стоят 7 долларов
- 3 яблока и 3 банана стоят 9 долларов
Тогда мы можем вычислить, что дополнительное яблоко должно стоить 2 доллара, поэтому бананы стоят 1 доллар каждый.
(Имеется 2 переменных и ранг тоже 2.)

Но если мы только знаем, что
- 2 яблока и 3 банана стоят 7 долларов
- 4 яблока и 6 бананов стоят 14 долларов
Мы не можем идти дальше, потому что вторая строка данных всего в два раза больше первой и не дает нам новой информации. (Есть 2 переменные, а ранг только 1.)
Он также используется для связи, стабильности систем и многого другого.
Линейная зависимость
Вместо «не сделаны из» мы говорим, что они являются линейно независимыми , что является важной идеей.
Линейное число означает, что мы можем умножать на константу, но не на степени или другие функции. Константа может быть любым вещественным числом (0, 1, любое целое число, дробь, отрицание и т. д.).
Зависимость означает, что они зависят друг от друга, другими словами, мы можем добавить некоторые (после умножения на константу), чтобы получить еще одну.
Представьте, что это векторы (имеющие направление и длину). Можем ли мы объединить другие векторы (растянутые или сжатые по мере необходимости), чтобы получить тот же результат?

c = a + 2 b ,
so c is linearly dependent on a and b
Also notice that:
- a and b вместе линейно независимы : мы не можем использовать a сами по себе, чтобы добраться туда, где находится b , или наоборот.
- То же самое верно для b и c или a и с .
- Но a , b и c вместе линейно зависят от .
Думая только о a и b : мы действительно можем достичь в любом месте на плоскости, используя эти два вектора:

Векторы a и b охватывают всю плоскость.
Когда векторы линейно независимы и охватывают все пространство, мы говорим, что они являются « базисом » этого пространства.
Итак, a и b являются основой 2D-плоскости.
Примечание: пространство — это общий термин, охватывающий 1, 2, 3 или более высокие измерения, но мы часто называем двумерное пространство плоскостью.
Итак, a и b так же полезны, как и оси x,y. И то же самое можно сказать о любых двух линейно независимых векторах в двумерной плоскости.
Самая основная пара линейно независимых векторов — это (1,0) и (0,1), которые образуют единичную матрицу 2×2:
Они по сути делают знакомыми осями x,y:
И в 3D:

И в 4D:
Хорошо, это немного сложно для иллюстрации, но цифры до любого размера!
Как найти ранг
Обычно лучше всего использовать программное обеспечение для определения ранга, существуют алгоритмы, которые играют со строками и столбцами для его вычисления. Но в некоторых случаях мы можем разобраться сами.
Для квадратной матрицы определитель может помочь: ненулевой определитель говорит нам, что все строк (или столбцов) линейно независимы , поэтому это «полный ранг», и его ранг равен количеству строк .
Пример: Являются ли эти 4d-векторы линейно независимыми?
1
2
3
4
2
2
1
3
1
4
. Определяющий определение (с помощью SACLATER SACKUTUTOR IS SACINIX IS с CARDANT IS с помощью использующего использования.0003
1(2(3×4-0×0)-2(0×4-0×1)+0(0×0-3×1))-2(0(3×4-0×0) -2(1×4-0×0)+0(1×0-3×0))+3(0(0×4-0×1)-2(1×4-0×0)+0( 1×1-0×0))-4(0(0×0-3×1)-2(1×0-3×0)+2(1×1-0×0)) = 8
Определитель отличен от нуля , поэтому все они должны быть линейно независимыми .
И так это полный ранг, а ранг 4 .
Итак, мы знаем, что на самом деле это основа 4D-пространства: используя эти 4 вектора, мы можем охватить все 4D-пространство.
Отличный пример, когда математика может сказать нам то, что мы не можем легко себе представить.
Другие свойства
Ранг не может быть больше наименьшего измерения матрицы.
Пример: для матрицы 2×4 ранг не может быть больше 2
Когда ранг равен наименьшему измерению, это называется «полным рангом», меньший ранг называется «недостаточным рангом».
Ранг не меньше 1, за исключением нулевой матрицы (матрицы, состоящей из всех нулей), ранг которой равен 0.

Урок Объяснение: Ранг матрицы: определители
В этом объяснении мы узнаем, как найти ранг матрицы с помощью определителей и как использовать это для определения количества решений системы линейных уравнений.
Определение: Ранг матрицы
«Ранг» матрицы 𝐴, RK(𝐴) — количество строк или столбцов, 𝑛 наибольшей квадратной подматрицы 𝑛×𝑛 𝐴, определитель которого отличен от нуля.
Наибольшая возможная квадратная подматрица общего матрица 𝑚×𝑛 будет любой из 𝑚 или 𝑛 меньше. Например, для 4×2 матрица ⎛⎜⎜⎝37081−179⎞⎟⎟⎠, самая большая возможная квадратная подматрица 2×2. И аналогично для матрицы 3×5 832759424809158, самая большая возможная квадратная подматрица 3×3.
Таким образом, верхняя граница ранга матрицы является минимальной (т. е. в зависимости от того, что наименьшее) из числа строк или столбцов.
Нижняя граница ранга матрицы равна 0, но это может быть только в том случае, если мы не можем найти матрицу 1 × 1 с ненулевым определителем, то есть, если матрица не имеет ненулевых элементов.
Теорема: верхняя и нижняя границы ранга матрицы
Ранг матрицы 𝑚×𝑛 𝐴, РК(𝐴), имеет нижний и верхний границы, заданные 0≤(𝐴)≤(𝑚,𝑛).RKmin
Теорема: Ранг нулевой матрицы
RK(𝐴)=0 тогда и только тогда, когда 𝐴 — нулевая матрица, 0.
Это означает, что можно найти ранг матрицы 2×2 просто вычислив его определитель.
Следствие: ранг матрицы 2 × 2
Матрица 2 × 2 𝐴, где 𝐴≠0×, имеет ранг RK(𝐴)=1 тогда и только тогда, когда имеет определитель det(𝐴)=0.
Мы можем доказать это следствие следующим образом.
Единственная подматрица 2×2 матрицы 𝐴 — это она сама. Если det(𝐴)=0, то максимально возможный квадрат подматрица с ненулевым определителем является матрицей 1×1. Поскольку 𝐴≠0×, существует хотя бы один Подматрица 1 × 1 матрицы 𝐴 с ненулевым определитель; следовательно, RK(𝐴)=1.
И наоборот, если RK(𝐴)=1, любые 2×2 подматрица 𝐴 должна иметь определитель 0. Единственный Подматрица 2 × 2 матрицы 𝐴 сама по себе; следовательно, Дет(𝐴)=0.
Таким образом, ранг матрицы 2×2 можно найти с помощью следующий процесс:
Давайте рассмотрим пример того, как найти ранг 2×2 матрица с определителями.
Пример 1. Нахождение ранга матрицы
Нахождение ранга матрицы 224448.
Ответ
Напомним, что ранг матрицы 𝐴 равен количеству строк/столбцов наибольшей квадратной подматрицы 𝐴, имеющей ненулевой определитель.
Поскольку матрица представляет собой квадратную матрицу 2×2, наибольшая возможная квадратная подматрица является исходной матрицей. Поэтому его ранг должен быть от 0 до 2 включительно. Сразу видно, что матрица не является нулевой матрицей, а значит, ее ранг не может быть равен нулю. Взяв определитель матрицы, дет224448=2⋅48−24⋅4=96−96=0.
Поскольку определитель матрицы равен нулю, ее ранг не может быть равен количеству строк/столбцов, 2.
Единственная оставшаяся возможность состоит в том, что ранг матрицы равен 1, что нам не нужно проверять по принимая любые другие определители.
Следовательно, ранг матрицы равен 1.
Теперь мы рассмотрим, как этот подход использования определителя для нахождения ранг распространяется на более крупные матрицы.
Пример 2. Нахождение ранга матрицы
Найдите ранг следующей матрицы с помощью определителей: 768−838.
Ответ
Напомним, что ранг матрицы 𝐴 равен числу строк/столбцов наибольшей квадратной подматрицы 𝐴 имеет ненулевой определитель.
Поскольку это матрица 2×3, самый большой квадрат подматрица, которую мы можем взять, равна 2 × 2, и, следовательно, ее ранг должно быть между 0 и 2. Матрица не является нулевой матрицей; следовательно, его ранг не может быть 0,
Рассмотрим подматрицу 2×2, полученную «удаление» правого столбца: 76−83.
Взяв определитель этой подматрицы, ||76−83||=7×3−6×(−8)=69.
Мы нашли подматрицу 2×2 с ненулевым определитель; следовательно, ранг исходной матрицы должен быть равен 2.
Методы, показанные до сих пор, можно свести к трехэтапному методу.
Как найти ранг матрицы 𝐴
1. Рассмотрим наибольшую возможную квадратную подматрицу 𝐴. Вычислите определитель этой подматрицы. Если определитель отличен от нуля, ранг исходной матрицы определяется количеством строк подматрицы.
2. Если определитель подматрицы равен нулю, повторить шаг 1 для других возможных квадратные подматрицы одинакового размера.
3. Если подматрица с ненулевым определителем не найдена, повторить шаги 1 и 2 для подматриц на 1 строку и столбец меньше до подматрицы с ненулевым определитель найден. Ранг исходной матрицы равен количеству строки/столбцы этой подматрицы с ненулевым определителем.
Матрицы 3×3 являются одними из самых распространенных матриц, особенно из-за их появления в задачах в трехмерном пространстве.
Таким образом, быстро найти ранг матрицы 3×3 очень полезный инструмент.
Рассмотрим матрицу 3×3 𝐴=4−37−1632913.
Сначала нам нужно рассмотреть максимально возможную квадратную подматрицу 𝐴. Поскольку 𝐴 уже является квадратной матрицей, максимально возможный квадрат подматрица 𝐴 — это просто сама 𝐴.
После того, как мы выбрали подматрицу, мы можем взять определитель матрицы. Если определитель отличен от нуля, то ранг исходной матрицы равен количество строк/столбцов подматрицы.
Если мы возьмем определитель приведенной выше матрицы 𝐴 как разложив по верхнему ряду, находим, что det(𝐴)=4||63913||−(−3)||−13213||+7||−1629||=4(6⋅13−3⋅9)+3((−1)⋅13 −3⋅2)+7((−1)⋅9−6⋅2)=204−57−147=0.
Мы нашли, что определитель этого 3×3 подматрица (в данном случае сама 𝐴) равна нулю. Нет другие подматрицы 3 × 3 матрицы 𝐴; следовательно, по определению ранга RK(𝐴) не может быть 3.
Следующим шагом является рассмотрение меньших квадратных подматриц, в данном случае 2×2 подматрицы. Если мы возьмем Подматрица 2×2, полученная «удалением» нижний ряд и правый столбец 𝐴, назовем это подматрица 𝐵, мы видим 𝐵=4−3−16.
Взяв определитель 𝐵, det(𝐵)=4⋅6−(−3)(−1)=20≠0.
Итак, мы нашли подматрицу 2×2 𝐴, у которого определитель отличен от нуля; следовательно, РК(𝐴)=2.
Давайте рассмотрим на простом примере, как узнать ранг другого Матрица 3×3.
Пример 3. Нахождение ранга заданной матрицы
Нахождение ранга матрицы −16−11−141719−243−6−24.
Ответ
Напомним, что ранг матрицы 𝐴 равен числу строк/столбцов наибольшей квадратной подматрицы 𝐴 имеет ненулевой определитель.
Поскольку это матрица 3×3, ее ранг должен быть между 0 и 3. Кроме того, поскольку это ненулевая матрица, ее ранг не может быть равен 0.
Наибольшая возможная квадратная подматрица этой матрицы 3×3 матрица сама по себе, так что давайте расширим определитель этого матрица в верхней строке: det−16−11−141719−243−6−24=−16(19×(−24)−(−24)×(−6))−(−11)(17×(−24)−( −24)×3)−14(17×(−6)−19×3)=−16(−456−144)+11(−408+72)−14(−102−57)=−16×( −600)+11×(−336)−14×(−159)=9600−3696+2226=8130≠0.
Определитель матрицы 3×3 отличен от нуля; следовательно, ее ранг должен быть равен 3.
Иногда нам нужно проявлять осторожность при выборе подматрицы исходной матрицы. Можно найти одну подматрицу 𝑛×𝑛 с определитель =0, но другой с определителем ≠0. Рассмотрим, например, матрицу 𝐴=123246579.
Получение определителя самого 𝐴 путем расширения сверху строка, detdet(𝐴)=||4679||−2||2659||+3||2457||=4⋅9−6⋅7−2(2⋅9−6⋅5)+3(2⋅7− 4⋅5)=36−42−2(18−30)+3(14−20)=−6+24−18(𝐴)=0.
Следовательно, RK(𝐴)≠3. Если мы продолжим, взяв подматрица 2 × 2 𝐵, полученная «удаление» нижней строки и правого столбца 𝐴, мы находим, что 𝐵=1224.
Взяв определитель 𝐵, det(𝐵)=1⋅4−2⋅2=0.
Итак, мы можем заключить, что RK(𝐴)≠2 тоже. Однако, если бы вместо этого мы выбрали подматрицу 2×2 𝐶 получается путем «удаления» верхнего ряда и правого столбец 𝐴, мы бы нашли 𝐶=2457.
Взятие определителя этой матрицы дает det(𝐶)=2⋅7−4⋅5=−6≠0.
Итак, мы нашли подматрицу 2×2 𝐴, у которого определитель отличен от нуля; следовательно, РК(𝐴)=2.
Это свойство может означать, что нам может потребоваться проверить несколько разных подматриц того же размера до заключения ранга матрицы. К счастью, мы не необходимо сделать это, так как мы можем пропустить этот процесс, заметив что-то о исходная матрица: 𝐴=123246579.
Обратите внимание, что вторая строка 𝐴 представляет собой скалярное число , кратное 9. 0280 г. первый. В частности, каждый элемент во второй строке в 2 раза больше элемент над ним.
Лемма. Определитель матрицы 2 × 2 со скалярным кратным Строки/столбцы
Матрица 2×2 𝐴 имеет определитель det(𝐴)=0 тогда и только тогда, когда строки/столбцы 𝐴 скалярно кратны друг другу.
Следствие: избыточность строк/столбцов и определители
Квадратная матрица 𝐴, содержащая строку/столбец, являющуюся скаляром кратное другой строке/столбцу будет иметь определитель, равный нулю, и любой 2 × 2 подматрица 𝐴, взятая из тех две строки/столбца также будут иметь определитель, равный нулю.
Давайте рассмотрим пример того, как использовать методы, рассмотренные до сих пор, чтобы найти ранг матрицы 3×3.
Пример 4. Ранг матрицы 3 × 3
Найдите ранг следующей матрицы: 1247−1−2248.
Ответ
Напомним, что ранг матрицы 𝐴 равен числу строк/столбцов наибольшей квадратной подматрицы 𝐴 имеет ненулевой определитель.
Поскольку это матрица 3×3, ее ранг должен быть между 0 и 3. Кроме того, поскольку это ненулевая матрица, ее ранг не может быть равен 0,9.0003
Самая большая возможная подматрица — это исходная матрица. Принимая определитель исходной матрицы, разложив по верхней строке, получим ||||1247−1−2248||||=1||−1−248||−2||7−228||+4||7−124||=1(−8−(−8 ))−2(56−(−4))+4(28−(−2))=0−120+120=0.
Это единственная возможная подматрица 3×3, и ее определитель равен нулю; следовательно, ранг исходной матрицы не может быть 3.
Изучив исходную матрицу, мы видим, что нижняя строка представляет собой точное ненулевое скалярное число, кратное (2 ×) верхний ряд. Это означает, что определитель любого Подматрица 2×2, выбранная из этих двух строк, будет имеют нулевой определитель. Мы можем проверить это напрямую: ||1224||=1×4−2×2=0,||1428||=1×8−4×2=0, ||2448||=2×8−4×4=0.
Однако это не означает, что нет 2×2 подматрица исходной матрицы с ненулевым определителем. средний ряд исходной матрицы не является скалярным кратным другой два, поэтому любой определитель подматрицы 2 × 2, включая средняя строка будет иметь ненулевой определитель.
Взяв матрицу 2×2, полученную «удаление» нижней строки и правого столбца, 𝐵=127−1.
Взяв определитель этой подматрицы 2×2, det(𝐵)=||127−1||=1×(−1)−2×7=−15.
Мы нашли подматрицу 2×2 исходной матрица с ненулевым определителем; следовательно, ранг оригинала матрица равна 2.
В предыдущем примере мы видели, что нам нужно быть более избирательными при выборе подматрицы при поиске матрицы, содержащей строки/столбцы, которые являются ненулевыми скалярными кратны друг другу.
На самом деле, однако, для матрицы 3×3 или меньше, если мы заметим что хотя бы одна строка/столбец кратна другой, нам не нужно выбрать подматрицу вообще. Вместо этого мы можем сразу заключить ранг матрица из числа строк/столбцов, которые скалярно кратны каждому Другой.
Теорема: Ранг матрицы 3 × 3 с двумя скалярными кратными Строки/столбцы
Если матрица 3×3 𝐴 не содержит нулей строки/столбцы, содержит две строки/столбца, которые являются скалярными кратными друг другу и третья строка/столбец, которая не является скалярным кратным двух других, тогда RK(𝐴)=2.
В некоторых случаях может случиться так, что все три строки матрицы являются скалярными кратны друг другу.
Теорема: Ранг матрицы 3 × 3 с тремя скалярными кратными Строки/столбцы
Матрица 3×3 𝐴, где 𝐴≠0×, имеет ранг RK(𝐴)=1 тогда и только тогда, когда он содержит три строки/столбца, которые скалярно кратны друг другу.
Следствие. Ранг матрицы 3 × 3 без скалярного кратного Строки/столбцы
Если матрица 3×3 𝐴 содержит нет строк/столбцов, которые являются скалярными кратными друг другу и det(𝐴)=0, то РК(𝐴)=2.
С учетом этих свойств ранг любого 3×3 матрица может быть найдена намного быстрее с помощью следующего процесса:
Рассмотрим пример использования этого метода для быстрого нахождения ранги кратных матриц 3×3.
Рассмотрим матрицы 𝐴=2−576−1521−4−1014,𝐵=356−18−27414,𝐶=538846387,𝐷=11−2−12−1−422.
Ни одна из матриц 3×3 не является нулевой матрицей, поэтому они все должны иметь ранг от 1 до 3.
Начиная с 𝐴, все три строки (или столбца) являются скалярными кратны друг другу; следовательно, RK(𝐴)=1.
Далее, 𝐵 не имеет строк, которые являются скалярными кратными друг друга, но столбцы 1 и 3 являются скалярными кратными каждого другое, а столбца 2 нет; следовательно, RK(𝐵)=2.
Далее, 𝐶 не имеет строк или столбцов, которые являются скалярными кратны друг другу. Взяв определитель 𝐶 путем расширения по верхнему ряду получаем det(𝐶)=5(4×7−6×8)−3(8×7−6×3)+8(8×8−4×3)=5(28−48)−3(56−18) )+8(64−12)=5×(−20)−3×(38)+8×(52)=−100−114+416=202.
𝐶 имеет ненулевой определитель; поэтому его ранг равен 3.
И, наконец, 𝐷 также не имеет скалярных строк/столбцов. кратны друг другу. Взяв определитель 𝐷 путем расширения по верхнему ряду получаем det(𝐷)=(2×2−(−1)×2)−((−1)×2−(−1)×(−4))−2((−1)×2−2×(− 4))=4+2-(-2-4)-2(-2+8)=6+6-12=0.
𝐷 имеет нулевой определитель; следовательно, его ранг должен be 2.
В следующем примере мы увидим, как мы можем расширить эту общую технику для от нахождения ранга матрицы к решению алгебраических задач.
Пример 5: Ранг матрицы
Какое значение не может принимать 𝑘, если ранг матрицы 𝐴=74−1522𝑘−24−915−21 это 3?
Ответ
Ранг матрицы 𝑛×𝑛 может быть равен только 𝑛, если определитель матрицы отличен от нуля. Следовательно, если ранг матрицы 3 × 3 выше равен 3 (ранг (𝐴)=3), то det(𝐴)≠0. В этом случае, найдя определитель матрицы выше и приравнивая его к нулю, решая для 𝑘 даст нам значение, которое 𝑘 не может брать.
Получение определителя матрицы путем разложения по среднему столбцу, мы нашли det(𝐴)=−4(22×(−21)−(−24)×(−9))+𝑘(7×(−21)−(−15)×(−9))−15(7× (−24)−(−15)×22)=−4(−462−216)+𝑘(−147−135)−15(−168+330)=−4×(−678)+𝑘×(− 282)−15×(162)=−282𝑘+282.
Если теперь мы установим det(𝐴)=0, мы получим −282𝑘+282=0.
Решение этого уравнения для 𝑘 дает 𝑘=1.
Итак, если ранг матрицы 𝐴 равен 3, значение 𝑘 не может быть 1.
Одним из наиболее важных следствий ранга матрицы является количество решения системы линейных уравнений, которую она представляет.
Теорема: Теорема Руше–Капелли
Система линейных уравнений с 𝑛 переменными имеет решение(я) тогда и только тогда, когда ранг его матрицы коэффициентов, 𝐴, равно рангу его расширенной матрицы, 𝐴𝑏.
Если РКРК(𝐴)≠𝐴𝑏, то система уравнений не имеет решений.
Если RK(𝐴)=𝑛, в системе есть один уникальный решение.
Если RKRK(𝐴)=𝐴𝑏≠𝑛, то в системе бесконечно много решения.
Рассмотрим следующую систему линейных уравнений: 𝑥−2𝑦+3𝑧=5,−𝑥+4𝑦+2𝑧=3,2𝑥+𝑦−𝑧=4.
Эта система уравнений может быть представлена матричным уравнением 1−23−14221−1𝑥𝑦𝑧=534.
Таким образом, матрица коэффициентов имеет вид 𝐴=1−23−14221−1, а расширенная матрица имеет вид 𝐴𝑏=⎛⎜⎜⎝1−235−142321−14⎞⎟⎟⎠.
Взяв определитель 𝐴, расширив верхнюю строку, det(𝐴)=||421−1||−(−2)||−122−1||+3||−1421||=(−4−2)+2(1−4)+3( −1−8)=−6−6−27=−39.
Следовательно, 𝐴 содержит 3×3 подматрица (в данном случае сама) с ненулевым определителем; следовательно, его ранг равно 3. Поскольку 𝐴𝑏 содержит подматрицу 𝐴, ее ранг также должен быть равен 3.
Следовательно, RKRK(𝐴)=𝐴𝑏, поэтому система уравнений имеет решение(я). С также RK(𝐴)=𝑛, количество переменных в system, система имеет одно уникальное решение .
Здесь стоит отметить, что мы можем сэкономить время на поиск ранга расширенную матрицу, если мы можем показать, что она не более чем равна рангу матрица коэффициентов.
Теорема: ранг расширенной матрицы
Ранг расширенной матрицы 𝐴𝑏 системы линейных уравнений равен или больше, чем ранг матрицы коэффициентов, 𝐴. То есть, РКРК𝐴𝑏≥(𝐴).
Это легко показать. Поскольку матрица коэффициентов 𝐴, сама является подматрицей расширенной матрицы 𝐴𝑏, любая подматрица 𝐴 также является подматрица 𝐴𝑏; следовательно, любая квадратная подматрица 𝐴 с ненулевым определителем также должна быть подматрицей 𝐴𝑏. Следовательно, RK𝐴𝑏 по крайней мере равно РК(𝐴).
Давайте рассмотрим пример того, как найти количество решений системы линейных уравнений путем нахождения определителей коэффициента и дополненной матриц, и как эта стратегия нахождения их рангов с использованием определителей значительно ускоряет процесс нахождения числа решений системы линейных уравнения.
Пример 6. Нахождение количества решений системы линейных уравнений
Найдите количество решений следующей системы линейных уравнений: −5−1−11−214−1014−312𝑥𝑦𝑧=−10−4−7.
Ответ
Напомним, что теорема Руше–Капелли утверждает, что система линейное уравнение имеет решение (решения) тогда и только тогда, когда ранг его коэффициента матрица равна рангу своей расширенной матрицы.
В нашем случае матрица коэффициентов 𝐴 — это матрица на слева от уравнения: 𝐴=−5−1−11−214−1014−312.
Расширенная матрица 𝐴𝑏 формируется путем «добавления» матрица решений к правой части матрицы коэффициентов: 𝐴𝑏=⎛⎜⎜⎝−5−1−11−10−214−10−414−312−7⎞⎟⎟⎠.
Напомним, что ранг матрицы 𝐴 равен числу строк/столбцов наибольшей квадратной подматрицы 𝐴 имеет ненулевой определитель.
Единственная подматрица 3×3 матрицы коэффициентов 𝐴 — это само 𝐴. Взяв определитель из 𝐴, расширяя верхний ряд, det(𝐴)=−5||14−10−312||−(−1)||−2−101412||−11||−21414−3||=−5(14×12−(−10 )×(−3))−(−1)(−2×12−(−10)×14)−11(−2×(−3)−14×14)=−5(168−30)+( −24+140)−11(6−196)=−5×138+116−11×(−190)=-690+116+2090=1516.
Мы нашли подматрицу 3×3 коэффициента матрица, 𝐴 (в данном случае сама 𝐴) с ненулевым определителем. Следовательно, РК(𝐴)=3.
Поскольку расширенная матрица 𝐴𝑏 представляет собой матрицу 3×4, ее ранг не больше 3, а поскольку расширенная матрица имеет ранг не меньше матрицы коэффициентов 𝐴, ее ранг также не меньше 3. Следовательно, РК𝐴𝑏=3.
Отсюда имеем RKRK(𝐴)=𝐴𝑏=𝑛, число переменных в система уравнений. Следовательно, система уравнений имеет одну, единственную решение.
В следующем примере мы рассмотрим систему уравнений, для которой ранг матрица коэффициентов не равна рангу расширенной матрицы.
Пример 7. Нахождение количества решений системы линейных уравнений
Найдите количество решений следующей системы линейных уравнений уравнения: 20−19−1717419−16915𝑥𝑦𝑧=−13−20−7.
Ответ
Напомним, что теорема Руше–Капелли утверждает, что система линейные уравнения имеют решение (решения) тогда и только тогда, когда ранг его матрицы коэффициентов равен рангу его дополненной матрица.
В нашем случае матрица коэффициентов 𝐴 — это матрица на слева от уравнения: 𝐴=20−19−17174−19−16915.
Расширенная матрица 𝐴𝑏 формируется путем «добавления» матрица решений в правой части коэффициента матрица: 𝐴𝑏=⎛⎜⎜⎝20−19−17−13174−19−20−16915−7⎞⎟⎟⎠.
Напомним, что ранг матрицы 𝐴 равен числу строк/столбцов наибольшей квадратной подматрицы 𝐴 с ненулевым определителем.
Единственная подматрица 3×3 матрицы коэффициентов, 𝐴, это само 𝐴. Взяв определитель из 𝐴, расширяя верхний ряд, det(𝐴)=20||4−19915||−(−19)||17−19−1615||−17||174−169||=20(4×15−(−19)×9) +19(17×15−(−19)×(−16))−17(17×9−4×(−16))=20(60+171)+19(255−304)−17(153+ 64)=20×231+19×(−49)−17×217=0.
Это единственная возможная подматрица 3×3 𝐴, определитель которого равен 0; следовательно, его ранг не может быть 3. 𝐴 также не имеет строк или столбцов, которые являются скалярными кратны друг другу; следовательно, его ранг должен быть равен 2,9.0003
Далее нам нужно найти ранг расширенной матрицы, 𝐴𝑏. Так как это матрица 3×4, его ранг может быть не более чем минимальным (т. е. наименьшим) из 3 и 4; следовательно, RK𝐴𝑏≤3.
Таким образом, мы ищем подматрицу 3×3 𝐴𝑏 с ненулевым определителем. Одна подматрица 𝐴𝑏, конечно, матрица коэффициентов, 𝐴, но мы уже показали, что у него есть определитель ноль, поэтому мы должны искать другую подматрицу.
Рассмотрим подматрицу, которую мы будем называть 𝐵, сформированный из «удаления» левого столбца 𝐴𝑏: 𝐵=−19−17−134−19−20915−7.
Получение определителя 𝐵 путем расширения сверху ряд, мы получаем det(𝐵)=−19||−19−2015−7||−(−17)||4−209−7||−13||4−19915||=−19((−19)×( −7)−(−20)×15)+17(4×(−7)−(−20)×9)−13(4×15−(−19)×9)=−19(133+300) +17(-28+180)-13(60+171)=-19×433+17×152-13×231=-8646.
Мы нашли подматрицу 3×3 𝐴𝑏 с ненулевым определителем; следовательно, РК𝐴𝑏=3.
Отсюда RKRK(𝐴)≠𝐴𝑏 и по теореме Руше–Капелли система уравнения не имеет решений.
В предыдущем примере ранг расширенной матрицы был выше ранга ранг матрицы коэффициентов, и нам нужно было вычислить только один Определитель расширенной матрицы размером 3×3 для подтверждения ее ранг был равен 3.
Однако может случиться так, что ранг расширенной матрицы не может быть проверяется вычислением одного определителя. Для 3×4 расширенная матрица, как и в предыдущем примере, в худшем случае мы можем нужно взять три определителя 3×3, в дополнение к определитель матрицы коэффициентов 3×3.
Чтобы избежать этого трудоемкого процесса, мы можем использовать еще одну теорему.
Теорема: ранг матрицы с линейно зависимыми строками/столбцами
Если матрица 𝑚×𝑛 𝐴 содержит строку/столбец которое может быть сформировано из линейной комбинации любых других строк/столбцов, то ранг 𝐴 строго меньше минимального 𝑚 и 𝑛. То есть, RKmin(𝐴)(𝑚,𝑛).
Давайте посмотрим на последний пример того, как найти количество решений для систему линейных уравнений с помощью этой теоремы экономии времени.
Пример 8. Нахождение количества решений системы линейных уравнений
Найдите количество решений следующей системы линейных уравнений: 126201208−1114−12𝑥𝑦𝑧=51611.
Ответ
Напомним, что теорема Руше–Капелли утверждает, что система линейные уравнения имеют решение (решения) тогда и только тогда, когда ранг его матрицы коэффициентов равен рангу его дополненной матрица.
В нашем случае матрица коэффициентов 𝐴 — это матрица на слева от уравнения: 𝐴=126201208−1114−12.
Расширенная матрица 𝐴𝑏 формируется путем «присоединения» матрица решений в правой части коэффициента матрица: 𝐴𝑏=⎛⎜⎜⎝126205120816−1114−1211⎞⎟⎟⎠.
Напомним, что ранг матрицы равен количеству строк/столбцов матрицы наибольшая из ее квадратных подматриц, имеющая ненулевой определитель.
Заметьте также, что наша матрица 𝐴 имеет одну строку, которая может быть формируется из линейной комбинации двух других. В частности, строка 2 равно сумме строки 1 и строки 3: (12620)+(-1114-12)=(1208).
Поскольку одна строка является линейной комбинацией двух других, ранг 𝐴 должно быть меньше 3. Это можно проверить напрямую. Единственная подматрица 3×3 коэффициента матрица 𝐴 есть сама 𝐴. Принимая определителя 𝐴, разложив по верхней строке, получим det(𝐴)=12||20814−12||−6||18−11−12||+20||120−1114||=12(20×(−12)−8×14)−6( 1×(−12)−8+×(−11))+20(1×14−20×(−11))=12(−240−112)−6(−12+88)+20(14+ 220)=12×(−352)−6×76+20×234=−4224−456+4680=0.
Это единственная возможная подматрица 3×3 𝐴, определитель которого равен 0; следовательно, ранг 𝐴 не может быть 3. 𝐴 также не имеет строк или столбцы, которые скалярно кратны друг другу; следовательно, его ранг должен быть 2.
Далее нам нужно найти ранг расширенной матрицы, 𝐴𝑏. Так как это 3х4 матрицы, ее ранг может быть не более чем минимальным (т. е. наименьшим) из 3 и 4; следовательно, RK𝐴𝑏≤3.
Мы обнаружили, что для матрицы коэффициентов 𝐴 строка 2 была равно сумме строки 1 и строки 3. Если то же самое еще применяется к расширенной матрице 𝐴𝑏, ее ранг также должен быть меньше 3.
Глядя на сумму строк 1 и 3 в 𝐴𝑏, мы видим, что это действительно так: (126205)+(−1114−1211)=(120816).
Следовательно, ранг расширенной матрицы 𝐴𝑏 не может быть равен 3. Хотя это и не нужно, и требует много времени, это можно проверить непосредственно, найдя определитель любая другая подматрица 3 × 3 𝐴𝑏 и показывая, что все они равны 0. Действительно, мы находим ||||62052081614−1211||||=0,||||122051816−11−1211||||=0, ||||126512016−111411||||=0.
Так как ранг расширенной матрицы должен быть больше или равен ранг матрицы коэффициентов, мы должны иметь, что РК𝐴𝑏=2.
Следовательно, ранг матрицы коэффициентов равен рангу матрицы расширенная матрица; следовательно, система линейных уравнений имеет решение(я). Поскольку ранг матрицы коэффициентов RK(𝐴)=2, меньше числа переменных в системе, 𝑛=3, система бесконечно много решений.
Мы завершаем это пояснение некоторыми ключевыми моментами, связанными с определитель матрицы и ее ранг.
Ключевые точки
- Для матрицы 𝑚×𝑛 𝐴, его ранг, RK(𝐴), определяется количеством строки/столбцы наибольшей квадратной подматрицы 𝐴 (который может быть самим 𝐴), который имеет отличный от нуля определитель.
- 0≤(𝐴)≤(𝑚,𝑛)RKмин.
- RK(𝐴)=0 тогда и только тогда, когда 𝐴 является нулевой матрицей, 0.
- Матрица 2×2 𝐴, где 𝐴≠0×, имеет ранг RK(𝐴)=1 тогда и только тогда, когда det(𝐴)=0.
- Ранг любой матрицы 𝐴 можно найти по следующей формуле process:
  Рассмотрим максимально возможную квадратную подматрицу 𝐴. Вычислите определитель этой подматрицы. Если определитель отличен от нуля, ранг исходной матрицы определяется количеством строк подматрица.
  Если определитель подматрицы равен нулю, повторить шаг 1 для других возможные квадратные подматрицы одинакового размера.
  No related posts.