Ранг матрицы решение: Онлайн калькулятор. Ранг матрицы

2.2.4. Примеры решения задач по теме «Ранг матрицы»

Задача 1.

Определить ранг матрицы

Указание

Единственным минором максимального (3-го) порядка для матрицы А является ее определитель. Если ΔА не равен нулю, R(A) = 3; если ΔА = 0, R(A) < 3.

Решение

Единственным минором максимального (3-го) порядка для матрицы А явля-ется ее определитель. Если ΔА не равен нулю, R(A) = 3; если ΔА = 0, R(A) < 3.

Найдем ΔА разложением по первой строке:

Следовательно, R(A) < 3. Поскольку матрица А содержит ненулевые элементы, R(A) > 0. Значит, R(A) = 1 или R(A) = 2. Если найдется минор 2-го порядка, не равный нулю, то R(A) = 2.

Вычислим минор из элементов, стоящих на пересечении двух первых строк и двух первых столбцов:

Ответ: R(A) = 2.

Если найден минор K-го порядка, не равный нулю, то можно утверждать, что R(A) ≥ K. Если же выбранный минор K-го порядка равен нулю, то из этого еще не следует, что R(A) < K, так как могут найтись миноры того же порядка, не равные нулю.

Задача 2.

Определить ранг матрицы

Указание

Используя элементарные преобразования, приведите матрицу А к треугольному виду.

Решение

У матрицы А существуют миноры до 4-го порядка включительно, поэтому

R(A) ≤ 4. Разумеется, непосредственное вычисление всех миноров 4-го, 3-го и т. д. порядка потребовало бы слишком много времени. Поэтому, используя элементарные преобразования, приведем матрицу А к треугольному виду. Поменяем местами 1-ю и 2-ю строки, чтобы элемент

А11 стал равным 1:

Прибавим к третьей строке первую, ко второй – удвоенную первую, к четвертой – первую, умноженную на 3. Тогда все элементы 1-го столбца, кроме А11, окажутся равными нулю:

Вычтем вторую строку полученной матрицы из третьей и четвертой строк:

И вычеркнем нулевые строки:

.

Итак, ранг матрицы А равен рангу полученной матрицы размера , т. е.

R(A) < 2. Минор

Следовательно, R(A) = 2.

Ответ: R(A) = 2.

Задача 3.

Определить ранг матрицы

Указание

Используя элементарные преобразования, приведите матрицу А к треугольному виду.

Решение

Отметим, что минор, составленный из элементов матрицы, стоящих на пересечении первых трех строк и первых трех столбцов, не равен нулю:

Поэтому ранг данной матрицы не меньше трех.

Приведем матрицу к треугольному виду:

Вычеркивание нулевых строк приводит к тому, что

Размер полученной матрицы , поэтому ее ранг не более трех. Поскольку минор 3-го порядка, не равный нулю, существует, ранг исходной матрицы равен 3.

Ответ: R(A) = 3.

Задача 4.

Найти значения L, при которых матрица

Имеет наименьший ранг.

Указание

Приведите матрицу А к треугольному виду и найдите значения L, при которых с помощью элементарных преобразований вторую строку можно сделать нулевой.

Решение

Переставим столбцы матрицы А:

И приведем ее к треугольному виду с помощью элементарных преобразований:

Теперь видно, что при L = 0 вторая строка матрицы становится нулевой, и после ее вычеркивания получаем:

Минор его порядок равен 2, следовательно, при L = 0 R(A) = 2.

Если L ≠ 0, то минор, составленный из последних трех столбцов, имеет вид:

Значит, при L ≠ 0 R(A) = 3.

Итак, наименьший ранг, равный 2, матрица А имеет при L= 0.

Ответ: L = 0.

< Предыдущая		Следующая >

Найти ранг матрицы — Онлайн калькулятор

• Справочник
• Онлайн-калькуляторы
• Тесты с ответами

Под рангом матрицы понимают ее наивысший порядок, который не равен нулю. Чтобы определить ранг матрицы онлайн, воспользуйтесь нашим сервисом. Расчеты производятся без внесения оплаты за услуги неограниченное число раз. Автоматические вычисления помогут избежать ошибок и быстро получить ответ.

Помощь в нахождении ранга матрицы онлайн понадобится студентам в процессе подготовки к занятиям, школьникам при освоении усложненной программы по алгебре, специалистам для оптимизации рабочих расчетов. Заложенная в калькулятор формула не только показывает ответ, но и подробное решение примера. Как найти ранг матрицы онлайн Чтобы произвести расчет ранга матрицы онлайн-калькулятором необходимо:

• настроить количество строк и столбцов;
• ввести значения матрицы в соответствующие поля;
• нажать кнопку «Рассчитать».

Нахождение ранга матрицы

Как найти ранг матрицы с помощью онлайн-калькулятора:

1. Задайте число строк и столбцов (до 7) в соответствующих полях:
   
   Для наглядности вычислим ранг матрицы 3х3:
   
2. Задайте значения матрицы:
   
   Для конкретного примера заданная матрица будет выглядеть следующим образом:
   
3. Нажмите «Рассчитать» и получите ответ с решением:
   
   

Материалы, которые помогут вам лучше разобраться в теме:

• Матрицы (раздел)
• Умножение матриц: примеры, алгоритм действий, свойства произведения
• Определитель матрицы: алгоритм и примеры вычисления определителя матрицы
• Равенство матриц: как доказать и проверить?
• Действия над матрицами. Сложение и вычитание
• Нахождение ранга матрицы

Ответ:

Решение

Ответ:

Похожие калькуляторы:

• Найти определитель матрицы
• Найти обратную матрицу
• Возведение матрицы в степень
• Умножение матрицы на число
• Умножение матриц
• Транспонирование матрицы
• Сложение и вычитание матриц

Вы можете самостоятельно вычислить результат и свериться с ответом. Таким образом сервис Zaochnik влияет на повышение уровня образования. Во время подготовки к занятиям студент усваивает знания, видя способ вычислений. Благодаря подробной расшифровке учащийся сможет не только найти ранг матрицы онлайн-калькулятором, но и определить ответ в подобных задачах.

Метод решения примера состоит в выполнении следующих действий:

1. Осуществляется запись матрицы.
2. Выбирается первый элемент из первого столбца. С помощью него элементы, находящиеся ниже данного, зануляются.
3. Выбирается второй элемент из второго столбца. Далее до конца осуществляются те же операции.
4. Число «ступеней» — количество линейно независимых уравнений соответствует рангу матрицы.

Если вычисления являются промежуточными и не ставят перед собой учебную задачу, вычислить ранг матрицы онлайн – оптимальный вариант. Так вы сэкономите время и получите проверенный результат. Этим пользуются преподаватели при проверке большого количества студенческих работ, работники инженерных специальностей для ускорения расчетов.

Если у вас остались вопросы или возникли проблемы при освоении темы, напишите консультанту в удобное для вас время. Оператор подберет квалифицированного исполнителя, который решит необходимые задачи. Опытный преподаватель сможет найти ранг расширенной матрицы онлайн и произвести другие расчеты по выгодной цене.

Понравился калькулятор? Поделись с друзьями!

Разделы калькуляторов

• Процент
• Решение матриц
• Точка, прямая, плоскость
• Конвертеры
• Объем фигур
• Калькуляторы площади фигур
• Решение уравнений
• Операции над векторами
• Периметр фигур

Поможем с любой работой

• Дипломные работы
• Курсовые работы
• Рефераты
• Контрольные работы
• Решение задач
• Отчеты по практике

Все наши услуги

Узнай бесплатно стоимость работы

Не получается написать работу самому?

Доверь это кандидату наук!

Ранг матрицы

Максимальное количество линейно независимых строк в матрице A называется рангом строки матрицы A , а максимальное количество линейно независимых столбцов в A называется столбцом ранг из A . Если A является матрицей m на n , то есть если A имеет m строк и n столбцов, то очевидно, что

 

Однако не столь очевидно, что для любой матрицы A ,

ранг строки A = ранг столбца A

Из-за этого факта нет необходимости различать ранг строки и ранг столбца; общее значение просто называется рангом матрицы. Следовательно, если A равно m x n , то из неравенств в (*) следует, что

   

, где min( m, n ) обозначает меньшее из двух чисел m и n (или их общее значение, если m = n ). Например, ранг матрицы 3 х 5 может быть не более 3, а ранг матрицы 4 х 2 может быть не более 2. Матрица 3 х 5,

Число

можно представить как состоящее из трех векторов по 5 (строки) или пяти векторов по 3 (столбцы). Хотя три 5-вектора могут быть линейно независимыми, невозможно иметь пять независимых 3-векторов. Любая коллекция из более чем трех 3-векторов автоматически зависима. Таким образом, ранг столбца и, следовательно, ранг такой матрицы не может быть больше 3. Итак, если — это матрица 3 x 5, этот аргумент показывает, что

в соответствии с (**).

Процесс определения ранга матрицы можно проиллюстрировать следующим примером. Предположим, что A — это матрица 4 x 4

.

 

Четыре вектора-строки,

   

не являются независимыми, так как, например,

Тот факт, что векторы r ₃ и r ₄ может быть записано как линейная комбинация двух других ( r ₁ и r ₂ , которые независимы) означает, что максимальное количество независимых строк равно 2. Таким образом, ранг строки — и поэтому ранг этой матрицы равен 2.

Уравнения в (***) можно переписать следующим образом: 

Первое уравнение здесь подразумевает, что если -2 раза добавить первую строку к третьей, а затем вторую строку добавить к (новой) третьей строке, третья строка станет равной 9. 0005 0 , ряд нулей. Второе уравнение выше говорит о том, что аналогичные операции, выполняемые над четвертой строкой, также могут привести к появлению строки нулей. Если после завершения этих операций -3 раза первая строка будет добавлена ​​ко второй строке (чтобы очистить все числа ниже записи a ₁₁ = 1 в первом столбце), эти элементарные операции со строками уменьшат исходную строку. матрица А к эшелонной форме

 

Тот факт, что в приведенной форме матрицы имеется ровно 2 ненулевых строки, указывает на то, что максимальное количество линейно независимых строк равно 2; следовательно, ранг A = 2, что согласуется с выводом выше. В общем случае, , чтобы вычислить ранг матрицы, выполнять элементарные операции со строками до тех пор, пока матрица не останется в форме эшелона; количество ненулевых строк, оставшихся в сокращенной матрице, равно рангу . [Примечание. С момента ранга столбца = ранжирование строк, только два из четырех колонн в A — C ₁ , C ₂ , C ₃ и C _4. — линейно независимы. Покажите, что это действительно так, проверив соотношения

   

(и проверка того, что c ₁ и c ₃ независимы). Сокращенная форма A делает эти отношения особенно легко видимыми.]

Пример 1 : Найти ранг матрицы

 

Во-первых, поскольку матрица 4 x 3, ее ранг не может быть больше 3. Следовательно, по крайней мере одна из четырех строк станет строкой нулей. Выполните следующие операции со строками:

 

Поскольку в этой эшелонированной форме B ,

осталось 3 ненулевых строки

Пример 2 : определить ранг матрицы шахматной доски 4 на 4

С R ₂ = R ₄ = -R ₁ и R ₃ = R ₁ , все Rows, но первые RANISH OT ROW -RED -RED.

Поскольку осталась только 1 ненулевая строка, ранг C = 1.

Ранг матрицы

Ранг — это количество строк, которые являются «уникальными»: не состоят из других строк. (То же самое для столбцов.)

Пример: Эта матрица

1

2

3

3

6

9

Вторая строка всего в 3 раза больше первой строки. Просто бесполезный подражатель. Не считается.

Таким образом, несмотря на наличие 2 строк, ранг всего 1.

 

Что насчет столбцов? Второй столбец всего в два раза больше первого столбца. И третий столбец в три раза больше первого (или в 1,5 раза больше второго), так что тоже не считается.

Таким образом, столбцы также показывают нам, что ранг равен только 1.

Пример: Эта матрица

1

2

3

2

2

1

4

5

. Второй ряд не сделан из первого ряда, поэтому ранг не по крайней мере 2.

ноти, но но и не а как же третий ряд? Это первое и второе, сложенные вместе, поэтому не считается.

Итак, несмотря на то, что есть 3 строки, ранг всего 2.

 

Что насчет столбцов? Второй столбец в порядке, но столбец 3 — это столбцы 1 и 2, сложенные вместе.

Итак, столбцы также показывают нам, что ранг всего 2.

Пример: Эта матрица

1

2

3

2

2

1

—2

–1

Второй ряд не выполнен из первого ряда, поэтому ранг не менее 2.

.

Третья строка выглядит нормально, но после тщательного изучения мы обнаруживаем, что это первая строка минус удвоенная вторая строка. Подлый! Таким образом, ранг всего 2.

И для столбцов: В этом случае столбец 3 представляет собой столбцы 1 и 2, сложенные вместе. Таким образом, столбцы также показывают нам, что ранг равен 2.

Пример: Матрица идентичности

Все ряды — сильные независимые личности, не полагающиеся на других в своем существовании! Таким образом, ранг равен 3.

И то же самое для столбцов, поэтому они также говорят нам, что ранг равен 3.

На самом деле строки и столбцы всегда совпадают по рангу (удивительно, но факт!).

Говоря здесь о строках, мы можем сказать то же самое и о столбцах.

Так что нам не нужно работать с обоими.

Зачем искать ранг?

Ранг многое говорит нам о матрице.

Полезно сообщать нам, есть ли у нас шанс решить систему линейных уравнений: когда ранг равен количеству переменных, мы можем найти единственное решение.

Пример: яблоки и бананы

Если мы знаем, что

• 2 яблока и 3 банана стоят 7 долларов
• 3 яблока и 3 банана стоят 9 долларов

Тогда мы можем вычислить, что дополнительное яблоко должно стоить 2 доллара, поэтому бананы стоят по 1 доллару за штуку.

(Имеется 2 переменных и ранг тоже 2.)

 

Но если мы только знаем, что

• 2 яблока и 3 банана стоят 7 долларов
• 4 яблока и 6 бананов стоят 14 долларов

Мы не можем двигаться дальше, потому что вторая строка данных всего в два раза больше первой и не дает нам новой информации. (Есть 2 переменные, а ранг только 1.)

Он также используется для связи, стабильности систем и многого другого.

Линейная зависимость

Вместо «не сделаны из» мы говорим, что они являются линейно независимыми , что является важной идеей.

Линейное число означает, что мы можем умножать на константу, но не на степени или другие функции. Константа может быть любым вещественным числом (0, 1, любое целое число, дробь, отрицание и т. д.).

Зависимость означает, что они зависят друг от друга, другими словами, мы можем добавить некоторые (после умножения на константу), чтобы получить еще одну.

Представьте, что это векторы (имеющие направление и длину). Можем ли мы объединить другие векторы (растянутые или сжатые по мере необходимости), чтобы получить тот же результат?

c = a + 2 b ,
so c is linearly dependent on a and b

Also notice that:

• a and b вместе линейно независимы : мы не можем использовать a сами по себе, чтобы добраться туда, где находится b , или наоборот.
• То же самое верно для b и c или a и с .
• Но a , b и c вместе линейно зависимы от .

Думая только о a и b : мы можем получить в любом месте на плоскости, используя эти два вектора:

Векторы a и b охватывают всю плоскость.

Когда векторы линейно независимы и охватывают все пространство, мы говорим, что они являются « базисом » этого пространства.

Итак, a и b являются основой 2D плоскости.

Примечание: пространство — это общий термин, охватывающий 1, 2, 3 или более высокие измерения, но мы часто называем двумерное пространство плоскостью.

Итак, a и b так же полезны, как и оси x,y. И то же самое можно сказать о любых двух линейно независимых векторах в двумерной плоскости.

Наиболее простой парой линейно независимых векторов являются (1,0) и (0,1), которые образуют единичную матрицу 2×2:

Они, по сути, делают знакомыми осями x,y:

И в 3D:

И в 4D:

Хорошо, это немного сложно проиллюстрировать, но цифры до любого размера!

Как найти ранг

Обычно лучше всего использовать программное обеспечение для определения ранга, существуют алгоритмы, которые играют со строками и столбцами для его вычисления. Но в некоторых случаях мы можем разобраться сами.

Для квадратной матрицы определитель может помочь: ненулевой определитель говорит нам, что все строки (или столбцы) линейно независимы , поэтому это «полный ранг», и его ранг равен количеству строк .

Пример: Являются ли эти 4d-векторы линейно независимыми?

1

2

3

4

2

2

1

3

1

4

Определитель (использует кальтриса MATRIX):

4

Определительница является (использует MATRIX.0027

1(2(3×4-0×0)-2(0×4-0×1)+0(0×0-3×1))-2(0(3×4-0×0) -2(1×4-0×0)+0(1×0-3×0))+3(0(0×4-0×1)-2(1×4-0×0)+0( 1×1-0×0))-4(0(0×0-3×1)-2(1×0-3×0)+2(1×1-0×0)) = 8

Определитель отличен от нуля , поэтому все они должны быть линейно независимыми .

И так это полный ранг, а ранг 4 .

Итак, мы знаем, что на самом деле это основа 4D-пространства: используя эти 4 вектора, мы можем охватить все 4D-пространство.