Краткий курс высшей математики
Краткий курс высшей математики
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕГЛАВА I. МЕТОД КООРДИНАТ. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ § 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. КООРДИНАТЫ ТОЧКИ НА ПРЯМОЙ 2. Геометрическое изображение действительных чисел. Координаты точки на прямой 3. Абсолютная величина действительного числа § 2. КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ 2. Расстояние между двумя точками на плоскости 3. Деление отрезка в данном отношении 4. Координаты точки в пространстве 5. Расстояние между двумя точками в пространстве § 3. УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ОСЯМИ. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ 2. Полярные координаты 3. Зависимость между декартовыми и полярными координатами § 4. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ 2. Понятие функции 3. График функции 4. Способы задания функций 5. Основные элементарные функции и их графики 6. Сложные функции. Элементарные функции 7. Целые и дробно-рациональные функции 8. Функции четные и нечетные. Периодические функции § 5. УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ 2. Нахождение уравнения линии по ее геометрическим свойствам § 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ 2. Поворот осей координат ГЛАВА II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ § 1. ПРЯМАЯ 2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом 3. Уравнение прямой, параллельной оси ординат 4. Общее уравнение прямой и его частные случаи 5. Точка пересечения прямых. Построение прямой по ее уравнению 6. Вычисление угла между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых 7. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении 8. Пучок прямых 9. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки 10. Расстояние от точки до прямой § 2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2. Окружность 3. Эллипс 4. Гипербола 5. Парабола 6. Окружность, эллипс, гипербола и парабола как конические сечения 7. Упрощение уравнения кривой второго порядка. График квадратного трехчлена 8. Уравнение равносторонней гиперболы, асимптоты которой приняты за оси координат 9. График дробно-линейной функции 10. Преобразование уравнения кривой второго порядка, не содержащего члена с произведением координат § 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ 2. Определитель третьего порядка 3. Понятие об определителях высших порядков § 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ 2. Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными 3. Система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными 4. Однородная система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными § 3. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 2. Линейные операции над векторами 4. Проекция вектора на ось и составляются вектора по оси 5. Разложение вектора на составляющие по осям координат 6. Направляющие косинусы вектора 7. Условие коллинеарности двух векторов 8. Скалярное произведение 9. Выражение скалярного произведения через проекции перемножаемых векторов 10. Косинус угла между двумя векторами 11. Векторное произведение 12. Выражение векторного произведения через проекции перемножаемых векторов 13. Смешанное произведение трех векторов 14. Геометрический смысл смешанного произведения 15. Условие компланарности трех векторов § 4. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ 2. Равенство матриц. Действия над матрицами 3. Обратная матрица 4. Матричная запись и матричное решение системы уравнений первой степени § 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 2. Преобразование координат 3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду 4. Упрощение общего уравнения кривой второго порядка ГЛАВА IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ § 1. ПЛОСКОСТЬ 2. Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку 3. Общее уравнение плоскости и его частные случаи 4. Построение плоскости по ее уравнению 6. Точка пересечения трех плоскостей § 2. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 2. Общие уравнения прямой 3. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой 4. Канонические уравнения прямой 5. Уравнения прямой, проходящей через две точки 6. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых § 3. Прямая и плоскость в пространстве 2. Точка пересечения прямой с плоскостью 3. Расстояние от точки до плоскости 4. Пучок плоскостей § 4. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2. Цилиндрические поверхности 3. Конические поверхности 4. Поверхность вращения 6. Гиперболоиды 7. Параболоиды ГЛАВА V. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ § 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 2. Предел функции при х -> -оо 3. Предел функции при х->х0 4. Бесконечно малые функции. Ограниченные функции 5. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми функциями 6. Основные теоремы о пределах 7. Предел функции при x -> 0 8. Последовательность. Число e 9. Натуральные логарифмы 10. Сравнение бесконечно малых функций § 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 2. Операции над непрерывными функциями. Непрерывность элементарных функций 3. Свойства функций, непрерывных на сегменте 4. Понятие об обратной функции 5. Обратные тригонометрические функции 6. Показательная и логарифмическая функции 7. Понятие о гиперболических функциях ГЛАВА VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 1. Приращение аргумента и приращение функции 2. Определение непрерывности функции с помощью понятии приращения аргумента и приращения функции 3. Задачи, приводящие к понятию производной 5. Дифференцируемость функции 6. Геометрический смысл производной 7. Производные некоторых основных элементарных функций 8. Основные правила дифференцирования 9. Производная обратной функции 10. Производные обратных тригонометрических функций 11. Производная сложной функции § 12. Производные гиперболических функций 13. Производная степенной функции с любым показателем 14. Сводная таблица формул дифференцирования 15. Неявные функции и их дифференцирование 16. Уравнения касательной а нормали к кривой 17. Графическое дифференцирование § 2. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 1. Нахождение производных высших порядков 2. Механический смысл второй производной § 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ 2. Производная как отношение дифференциалов 3. Дифференциал суммы, произведения и частного функций 4. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала 5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям 6. Дифференциалы высших порядков § 4. ФУНКЦИИ, ЗАДАННЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ, И ИХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 2. Дифференцирование функций, заданных параметрически § 5. ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА 2. Векторная функция скалярного аргумента и ее производная 3. Уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к пространственной кривой 4. Механический смысл первой и второй производных векторной функции скалярного аргумента § 6. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ 2. Теорема Ролля 3. Теорема Лагранжа 4. Правило Лопиталя § 7. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ 2. Максимум и минимум функции 3. Достаточный признак существования экстремума, основанный на знаке второй производной 4. 5. Применение теории максимума и минимума к решению задач 6. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба 7. Асимптоты графика функции 8. Общая схема исследования функции и построение ее графика § 8. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 2. Уточнение найденных значений корней методом хорд и касательных § 9. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА ГЛАВА VII. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА 2. Геометрический смысл неопределенного интеграла 3. Таблица основных интегралов 4. Основные свойства неопределенного интеграла § 2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 2. Интегрирование методом замены переменной 3. Интегрирование по частям § 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 2. Рациональные дроби. Выделение правильной рациональной дроби 3. Интегрирование простейших рациональных дробей 4. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби 5. Метод неопределенных коэффициентов 6. Интегрирование рациональных дробей § 4. Интегрирование тригонометрических функций 2. Рациональные функции двух переменных 3. Интегралы вида § 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 2. Интеграл вида 3. Интегралы видов 4. Интегралы вида § 6. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДАХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. ИНТЕГРАЛЫ, НЕ БЕРУЩИЕСЯ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ 2. Понятие об интегралах, не берущихся в элементарных функциях ГЛАВА VIII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ОПРЕДЕЛЕННОМУ ИНТЕГРАЛУ 2. Задача о работе переменной силы § 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 2. Свойства определенного интеграла 3. Производная интеграла по переменной верхней границе 4. Формула Ньютона—Лейбница 6. Интегрирование по частям в определенном интеграле § 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 2. Вычисление площади в полярных координатах 3. Вычисление объема тела по известным поперечным сечениям 4. Объем тела вращения 5. Длина дуги кривой 6. Дифференциал дуги 7. Площадь поверхности вращения 8. Общие замечания о решении задач методом интегральных сумм § 4. КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ 2. Вычисление кривизны 3. Радиус кривизны. Круг кривизны. Центр кривизны 4. Эволюта и эвольвента § 5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2. Интегралы от разрывных функций 3. Признаки сходимости несобственных интегралов § 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 2. Метод трапеций 3. Метод параболических трапеций (метод Симпсона) ГЛАВА IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 2. График функции двух переменных 3. Функции трех и большего числа переменных § 2. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции. Точки разрыва 2. Непрерывность функции нескольких переменных 3. Понятие области 4. Точки разрыва 5. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области § 3. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 2. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных 3. Частные производные высших порядков § 4. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 2. Полный дифференциал функции 3. Приложение полного дифференциала к приближенным вычислениям § 5. Дифференцирование сложных и неявных функций 2. Инвариантность формы полного дифференциала 3. Дифференцирование неявных функций § 6. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ 2. Производная по направлению 3. Градиент 4. Касательная плоскость а нормаль к поверхности 5. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных § 7. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 2. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных ГЛАВА X. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ 2. Двойной интеграл. Теорема существования 3. Свойства двойного интеграла 4. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах 5. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах 6. Приложения двойного интеграла § 2. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ 2. Тройной интеграл и его свойства 3. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах 4. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах 5. Приложения тройного интеграла § 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 2. Задача о работе. Криволинейный интеграл 3. Вычисление криволинейного интеграла 4. Формула Остроградского — Грина 5. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования 6. Отыскание первообразной по полному дифференциалу 7. Криволинейный интеграл по длине дуги ГЛАВА XI. РЯДЫ § 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 2. Геометрическая прогрессия 3. Простейшие свойства числовых рядов 4. Необходимый признак сходимости ряда 5. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов 6. Знакопеременные ряды 7. Остаток ряда и его оценка § 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 2. Правильно сходящиеся функциональные ряды и их свойства § 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 2. Свойства степенных рядов 3. Ряды по степеням разности х-а 4. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора 5. Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена § 4. ПРИЛОЖЕНИЕ РЯДОВ К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ 2. Приближенное вычисление интегралов § 5. ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ 2. Числовые ряды с комплексными членами 3. Степенные ряды в комплексной области § 6. РЯДЫ ФУРЬЕ 2. Ряд Фурье 3. Сходимость ряда Фурье 4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций 5. Разложение в ряд Фурье функций с периодом 2l ГЛАВА XII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 2. Дифференциальные уравнения первого порядка 3. Уравнения с разделяющимися переменными 4. Однородные уравнения 5. Линейные уравнения 6. Уравнение в полных дифференциалах 7. Особые решения 8. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера § 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2. Простейшие уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка 3. Понятие о дифференциальных уравнениях высших порядков § 3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка 3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка 4. Метод вариации произвольных постоянных § 4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 3. Приложение линейных дифференциальных уравнений второго порядка к изучению механических и электрических колебаний § 5. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 2. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами § 6. 2 |
Расстояние между двумя точками? Определение, формула, примеры
Расстояние между двумя точками: введение
Имея любые две точки на координатной плоскости, мы можем найти расстояние между ними, если известны координаты обеих точек. Это фундаментальное понятие в геометрии. Давайте погрузимся прямо в это!
Родственные игры
Расстояние между двумя точками: определение
Мы можем определить расстояние между двумя точками как длину отрезка, соединяющего две заданные точки. Расстояние между двумя точками на декартовой плоскости можно рассчитать, найдя длину отрезка, соединяющего заданные координаты.
Связанные рабочие листы
Каково расстояние между двумя точками?
Только одна линия проходит через две точки. Итак, расстояние между двумя точками можно рассчитать, найдя длину отрезка, соединяющего две точки.
Например, если P и Q — две точки, а PQ $= 8$ футов, это означает, что расстояние между точками P и Q равно 8 футам.
Расстояние между двумя точками равно длине соединяющего их отрезка. Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, расстояние между двумя точками всегда положительное.
Расстояние от точки A до B равно расстоянию от B до A.
ПРИМЕЧАНИЕ. Кратчайшим расстоянием между двумя точками является соединяющая их прямая линия.
Что такое координаты точки?
В евклидовой геометрии положение точек определяется их координатами по оси X и оси Y. Следовательно, координаты точки — это упорядоченная пара, которая используется для определения местоположения этой точки на координатной плоскости.
На приведенном выше рисунке координаты точки A (x,y). Это означает, что точка A удалена на x единиц от оси y и на y единиц от оси x.
Координаты точки по оси x имеют форму (x, 0), где x — расстояние точки от начала координат.
Координаты точки по оси Y имеют вид (0, y), где y — расстояние точки от начала координат.
Как найти расстояние между двумя точками?
Чтобы найти расстояние между двумя точками, мы находим расстояние между двумя координатами, соответствующими этим точкам, используя формулу расстояния. Для любой точки двумерной декартовой плоскости мы применяем формулу двумерного расстояния или формулу евклидова расстояния. 9{2}}$
Вывод формулы расстояния
Предположим, у нас есть две точки A$(\text{x}_{1},\text{y}_{1})$ и B$(\text{x }_{2},\text{y}_{2})$ в координатной плоскости. Нам нужно найти расстояние между ними.
Что мы знаем?
AC и BD перпендикулярны оси x.
AB параллелен оси x.
Координаты: A$(\text{x}_{1},\text{y}_{1})$ и B$(\text{x}_{2},\text{y}_{2 })$, $C(\text{x}_{1},0)$ и D$(\text{x}_{2},0)$
9{2}}$
Расстояние между двумя точками: использование теоремы Пифагора
Рассмотрим следующий пример.
Мальчик вышел из точки А и прошел на запад 12 миль. Затем он повернул на север и прошел еще 5 миль. Нам нужно рассчитать кратчайшее расстояние между начальной и конечной позицией.
Графическое изображение приведенной выше ситуации:
Начальная позиция A и конечная позиция C. Расстояние между точками A и B составляет 12 миль, а между точками B и C составляет 5 миль. Здесь треугольник ABC прямоугольный. 9{2}} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ миль
Заключение
В этой статье мы узнали о расстоянии между двумя точками. Расстояние между двумя точками можно рассчитать, измерив длину отрезка. Чтобы прочитать больше таких информативных статей о других концепциях, посетите наш веб-сайт. Мы в SplashLearn стремимся сделать обучение интересным и интерактивным для всех учащихся.
Решенные примеры
1. Какое расстояние между 9{2} = 225 \Rightarrow a = 15$
2
Расстояние $(-$$5,8)$ от оси x:
$8$ единиц
$-8$ единиц
$- 5$ единиц
$5$ единиц
Правильный ответ: $8$ единиц
Расстояние $(-$$5,8)$ от оси X равно расстоянию между $(-$$5,8)$ и $( -$$5,0)$.
Расстояние $(-$$5,8)$ от оси X $= |8$$-$$0| = 8$ единиц.
3
Расстояние $(-$$2,-$$10)$ от оси Y составляет:
$10$ единиц
единицы $-10$
единицы $-2$
единицы $2$
Правильный ответ: единицы $2$
Расстояние $(-$$2,-$$10)$ от оси Y $= | -2|$ единиц $= 2$ единиц
4
Найдите половину длины отрезка, соединяющего точки $(2,3)$ и $(5,7)$.
$2$ единиц
$2.5$ единиц
$5$ единиц
$\sqrt{13}$ единиц
Правильный ответ: $2.5$ единиц
Расстояние между точками $(2,3)$ и $( 5,7)$ равно 9{2}}$
Каково кратчайшее расстояние между двумя точками?
Кратчайшее расстояние между двумя точками — это длина прямой линии, соединяющей обе точки. Мы используем формулу расстояния, чтобы найти это расстояние, используя координаты, заданные в двумерной плоскости.
Как найти вертикальное расстояние между двумя точками?
Расстояние по вертикали между двумя точками рассчитывается как разность координат y двух точек, т. е. расстояние по вертикали между двумя точками, $|(y_{2} − y_{1})|$.
Как найти горизонтальное расстояние между двумя точками?
Вертикальное расстояние между двумя точками рассчитывается как разность координат y двух точек, т. е. вертикальное расстояние между двумя точками, $(\text{y}_{2} − \text{y}_{ 1})$, где $(\text{x}_{1}, \text{y}_{1})$ и $(\text{x}_{2},\text{y}_{2} )$ — координаты точек. {2}}$.
Какое расстояние между двумя точками или местами?
Расстояние в пути обычно относится к расстоянию при поездке на автомобиле. Например, расстояние от Чикаго до Орландо (1179 миль).
- Координатная плоскость
- Точка
- Линейный сегмент
Видео-вопрос: нахождение неизвестной координаты с использованием формулы расстояния между двумя точками
Стенограмма видео
Расстояние между 𝑎, пять и один, один равен пяти. Каковы возможные значения 𝑎?
Итак, в этом вопросе нам дали информацию о расстоянии между парой координат. Итак, мы вспоминаем формулу расстояния, которая является версией теоремы Пифагора, которая говорит нам, что расстояние между двумя точками 𝑥 меньше единицы, 𝑦 меньше единицы и 𝑥 меньше двух, 𝑦 меньше двух равно 𝑑 квадратному корню из 𝑥 меньше двух. минус 𝑥 меньше единицы в квадрате плюс 𝑦 меньше двух минус 𝑦 меньше единицы в квадрате. И нет, не имеет значения, какую координату мы выбираем как 𝑥 ниже единицы, 𝑦 ниже единицы и какую мы выбираем как 𝑥 ниже двух, 𝑦 ниже двух. Мы получим тот же результат в любом случае. Мы просто собираемся пойти по порядку и пусть наша первая пара координат будет 𝑎, пять, а координата 𝑥 sub two, 𝑦 sub two будет один, один.
Тогда расстояние между ними равно квадратному корню из одного минус 𝑎 в квадрате плюс один минус пять в квадрате. Но помните, нам сказали, что расстояние равно пяти. Поэтому вместо этого мы можем сказать, что это выражение в правой части должно быть равно пяти. Итак, как нам решить это уравнение для 𝑎? Что ж, начнем с возведения в квадрат обеих сторон. Пять в квадрате равно 25. А справа у нас один минус 𝑎 в квадрате плюс один минус пять в квадрате. Но, конечно, один минус пять равен минус четырем, а затем минус четыре в квадрате — это просто 16. Таким образом, мы получаем 25 равно одному минус 𝑎 в квадрате плюс 16.
На данном этапе у нас есть два варианта. Мы могли бы составить и решить квадратное уравнение, вычитая 25 с обеих сторон, распределяя скобки и решая оттуда. В качестве альтернативы давайте посмотрим, что произойдет, если мы вычтем 16 из обеих частей. 25 минус 16 будет девять, поэтому мы получаем девять равно одному минус 𝑎 в квадрате. Затем мы хотим извлечь квадратный корень из обеих сторон, но помним, что когда мы это делаем, нам нужно взять как положительный, так и отрицательный квадратный корень из девяти. Итак, положительный и отрицательный квадратный корень из девяти может быть равен единице минус 𝑎. Что ж, квадратный корень из девяти равен трем, поэтому мы находим, что положительное или отрицательное число три равно единице минус 𝑎.
Теперь мы можем решить два отдельных уравнения для 𝑎. Первое уравнение состоит в том, что положительное число три равно единице минус 𝑎, а второе — отрицательное число три равно единице минус 𝑎. В обоих случаях добавим 𝑎 к обеим сторонам. В качестве альтернативы мы могли бы на этом этапе умножить на минус один. По сути, мы пытаемся сделать знак 𝑎 положительным, просто чтобы немного облегчить себе жизнь. Наше первое уравнение принимает вид 𝑎 плюс три равно единице, а наше второе уравнение 𝑎 минус три равно единице.