Понятие комплексного числа
Определение
Комплексным числом называется выражение вида
Например.
Действительная и мнимая часть комплексного числа
Определение
Действительное число называется действительной частью комплексного числа и обозначается (От французского слова reel — действительный).
Действительное число называется мнимой частью числа и обозначается (От французского слова imaginaire — мнимый).
Например. Для комплексного числа действительная часть , а мнимая — .
Если действительная часть комплексного числа равна нулю ( ), то комплексное число называется чисто мнимым.
Например.
Мнимая единица
Величина называется мнимой единицей и удовлетворяет соотношению:
Равные комплексные числа
Два комплексных числа и называются равными, если равны их действительные и мнимые части соответственно:
Пример
Задание.
Определить
при каких значениях и числа и будут
равными.
Решение. Согласно определению тогда и только тогда, когда
Ответ.
Число называется комплексно сопряженным числом к числу .
То есть комплексно сопряженные числа отличаются лишь знаком мнимой части.
Например. Для комплексного числа комплексно сопряженным есть число ; для комплексно сопряженное и для имеем, что .
Комплексное число называется противоположным к комплексному числу .
Например. Противоположным к числу есть число: .
Алгебраическая форма комплексного числа.
В алгебраической форме комплексное число записывают в виде , гдеаиb– вещественные числа. Два комплексных числаиравны тогда и только тогда, когда,. На основании этого определения решим несколько задач.
Задача 1.1.Найти.
Решение.Предположим, что.Тогдаили. Используя условие равенства двух комплексных чисел, получаем систему уравнений для определения:
Решая систему, находим
Откуда
Итак, .
Задача 1.2.Найтитак чтобы.
Имеем
По определению произведением комплексных чисел иназывается число
.
Заметим, что комплексные числа можно перемножать как два многочлена первой степени с учетом того, что
.
Оперируя с комплексными числами, мы нередко получаем дроби вида , которые желательно упростить. Для этого надо умножить числитель и знаменатель дроби на число, комплексно сопряженное к знаменателю, то есть
.
Квадратні рівняння.
Квадратное
уравнение —
уравнение вида ax2 +
bx + c = 0,
где a, b, c —
некоторые числа (a
≠ 0), x —
неизвестное.
Числа называются коэффициентами квадратного уравнения.
называется первым коэффициентом;
называется вторым коэффициентом;
— свободным членом.
Приведенное квадратное уравнение — уравнение вида , первый коэффициент которого равен единице ().
Если в квадратном уравнении коэффициенты ине равны нулю, то уравнение называетсяполным квадратным уравнением. Например, уравнение . Если один из коэффициентовилиравен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например, .
Значение неизвестного , при котором квадратное уравнение обращается в верное числовое равенство, называется корнем этого уравнения. Например, значениеявляетсякорнем квадратного уравнения , потому чтоили— это верное числовое равенство.
Решить квадратное уравнение — это значит найти множество его корней.
Тригонометрична форма комплексних чисел, їх геометрична інтерпретація.
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ ГЛАВА I.  ЧИСЛО. ПЕРЕМЕННАЯ. ФУНКЦИЯ§ 1. Действительные числа. § 2. Абсолютная величина действительного числа § 3. Переменные и постоянные величины § 4. Область изменения переменной величины § 5. Упорядоченная переменная величина. Возрастающая и убывающая переменные величины Ограниченная переменная величина § 6. Функция § 7. Способы задания функции § 8. Основные элементарные функции. Элементарные функции § 9. Алгебраические функции § 10. Полярная система координат Упражнения к главе I ГЛАВА II. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ § 1. Предел переменной величины. Бесконечно большая переменная величина § 2. Предел функции § 3. Функция, стремящаяся к бесконечности. Ограниченные функции § 4. Бесконечно малые и их основные свойства § 5. Основные теоремы о пределах § 6. Предел функции (sin x)/x при x->0 § 7. Число e § 8. Натуральные логарифмы § 9. Непрерывность функций § 10. Некоторые свойства непрерывных функций § 11.  n при n целом и положительном§ 6. Производные от функций y = sinx; y = cosx § 7. Производные постоянной, произведения постоянной на функцию, суммы, произведения, частного § 8. Производная логарифмической функции § 10. Производные функций y = tgx, y = ctgx, y = ln|x| § 11. Неявная функция и ее дифференцирование § 12. Производные степенной функции при любом действительном показателе, показательной функции, сложной показательной функции § 13. Обратная функция и ее дифференцирование § 14. Обратные тригонометрические функции и их дифференцирование § 15. Таблица основных формул дифференцирования § 16. Параметрическое задание функции § 17. Уравнения некоторых кривых в параметрической форме § 18. Производная функции, заданной параметрически § 19. Гиперболические функции § 20. Дифференциал § 21. Геометрическое значение дифференциала Рассмотрим функцию § 22. Производные различных порядков § 23.  x, sin x, cos xУпражнения к главе IV ГЛАВА V. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ § 2. Возрастание и убывание функции § 3. Максимум и минимум функций § 4. Схема исследования дифференцируемой функции на максимум и минимум с помощью первой производной § 5. Исследование функции на максимум и минимум с помощью второй производной § 6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке § 7. Применение теории максимума и минимума функций к решению задач § 8. Исследование функции на максимум и минимум с помощью формулы Тейлора § 9. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба § 10. Асимптоты § 11. Общий план исследования функций и построения графиков § 12. Исследование кривых, заданных параметрически Упражнения к главе V ГЛАВА VI. КРИВИЗНА КРИВОЙ § 1. Длина дуги и ее производная § 2. Кривизна § 3. Вычисление кривизны § 4. Вычисление кривизны линии, заданной параметрически § 5. Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах § 6.  § 7. Свойства эволюты § 8. Приближенное вычисление действительных корней уравнения Упражнения к главе VI ГЛАВА VII. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, МНОГОЧЛЕНЫ § 1. Комплексные числа. Исходные определения § 2. Основные действия над комплексными числами § 3. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного числа § 4. Показательная функция с комплексным показателем и ее свойства § 5. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа § 6. Разложение многочлена на множители § 7. О кратных корнях многочлена § 8. Разложение многочлена на множители в случае комплексных корней § 9. Интерполирование. Интерполяционная формула Лагранжа § 10. Интерполяционная формула Ньютона § 11. Численное дифференцирование § 12. О наилучшем приближении функций многочленами. Теория Чебышева Упражнения к главе VII ГЛАВА VIII. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. Определение функции нескольких переменных § 2.  Геометрическое изображение функции двух переменных§ 3. Частное и полное приращение функции § 4. Непрерывность функции нескольких переменных § 5. Частные производные функции нескольких переменных § 6. Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных § 7. Полное приращение и полный дифференциал § 8. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях § 9. Приложение дифференциала к оценке погрешности при вычислениях § 10. Производная сложной функции. Полная производная. Полный дифференциал сложной функции § 11. Производная от функции, заданной неявно § 12. Частные производные различных порядков § 13. Поверхности уровня § 14. Производная по направлению § 15. Градиент § 17. Максимум и минимум функции нескольких переменных § 18. Максимум и минимум функции нескольких переменных, связанных данными уравнениями (условные максимумы и минимумы) § 19.  Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов§ 20. Особые точки кривой Упражнения к главе VIII ГЛАВА IX. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ § 1. Уравнения кривой в пространстве § 2. Предел и производная векторной функции скалярного аргумента. Уравнение касательной к кривой. Уравнение нормальной плоскости § 3. Правила дифференцирования векторов (векторных функций) § 4. Первая и вторая производные вектора по длине дуги. Кривизна кривой. Главная нормаль. Скорость и ускорение точки в криволинейном движении § 5. Соприкасающаяся плоскость. Бинормаль. Кручение. § 6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности Упражнения к главе IX ГЛАВА X. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Первообразная и неопределенный интеграл § 2. Таблица интегралов § 3. Некоторые свойства неопределенного интеграла § 4. Интегрирование методом замены переменной или способом подстановки § 5. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен § 6.  Интегрирование по частям§ 7. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование § 8. Разложение рациональной дроби на простейшие § 9. Интегрирование рациональных дробей § 10. Интегралы от иррациональных функций § 11. Интегралы вида … § 12. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций § 13. Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок § 14. О функциях, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции Упражнения к главе X ГЛАВА XI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Постановка задачи. Нижняя и верхняя интегральные суммы § 2. Определенный интеграл. Теорема о существовании определенного интеграла § 3. Основные свойства определенного интеграла § 4. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона — Лейбница § 5. Замена переменной в определенном интеграле § 6. Интегрирование по частям § 7. Несобственные интегралы § 8. Приближенное вычисление определенных интегралов § 9.  Формула Чебышева§ 10. Интегралы, зависящие от параметра. Гамма-функция § 11. Интегрирование комплексной функции действительной переменной Упражнения кглаве XI ГЛАВА XII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА § 1. Вычисление площадей в прямоугольных координатах § 2. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах § 3. Длина дуги кривой § 4. Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений § 5. Объем тела вращения § 6. Площадь поверхности тела вращения § 7. Вычисление работы с помощью определенного интеграла § 8. Координаты центра масс § 9. Вычисление момента инерции линии, круга и цилиндра с помощью определенного интеграла Упражнения к главе XII |
Комплексные числа — Арифметика — Мнимые, действительные, равные и сопряженные
Комплексные числа можно рассматривать как расширение множества действительных чисел, включающее мнимые числа. Эти числа должны подчиняться уже действующим законам, таким как распределительный закон.
Это они делают с двумя исключениями: тем фактом, что «сумма» a + bi должна оставаться несложенной, и законом i 2 = —1, который идет вразрез с тем правилом, что произведение двух чисел одного знака положительный.
Арифметика с комплексными числами очень похожа на «арифметику» биномов, таких как 5x + 7, за одним важным исключением. Когда такой бином возведен в квадрат, появляется член 25x 2 , и он не исчезает. Когда a + bi возводится в квадрат, i 2 в члене b 2 i 2 исчезает. Он становится -b 2 . Вот правила:
- Равенство: Чтобы быть равными, два комплексных числа должны иметь равные действительные части и равные мнимые части. То есть a + bi = c + di тогда и только тогда, когда a = c и b = d.
- Сложение: чтобы сложить два комплексных числа, сложите действительную и мнимую части по отдельности. Сумма a + bi и c + di равна (a + c) + (b + d)i. Сумма (3 + 5i) + (8 — 7i) равна 11 — 2i.
- Вычитание : Чтобы вычесть комплексное число, вычтите действительную часть из действительной части и мнимую часть из мнимой части. Разность (а + bi) — (c + di) равна (a — c) + (b — d)i; (6 + 4i) — (3 — 2i) равно 3 + 6i.
- Ноль : Чтобы равняться нулю, комплексное число должно иметь как действительную, так и мнимую части, равные нулю: a + bi = 0 тогда и только тогда, когда a = 0 и b = 0,
- Противоположности: Чтобы составить противоположное комплексному числу, возьмите противоположное каждой части: -(a + bi) = -a + (-b)i. Противоположностью 6 — 2i является -6 + 2i.
- Умножение : Чтобы составить произведение двух комплексных чисел, умножьте каждую часть одного числа на каждую часть другого: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 , или (ac — bd) + (ad + bc)i. Произведение (5 — 2i)(4 — 3i) равно 14 — 23i.
- Сопряженные числа: Два числа, мнимые части которых являются противоположностями, называются «комплексно-сопряженными». Эти комплексные числа a + bi и a — bi сопряжены. Пары комплексно-сопряженных чисел имеют множество применений, потому что произведение двух комплексно-сопряженных чисел действительно: (6 — 12i)(6 + 12i) = 36 — 144i 2 или 180.
- Деление : Примером является деление комплексных чисел. За исключением деления на ноль, множество комплексных чисел замкнуто относительно деления: если a + bi не равно нулю, то (c + di)/(a + bi) — комплексное число. Делить Рисунок 1. Иллюстрация Hans & Cassidy. Предоставлено Гейл Групп. c + di на a + bi, умножьте их оба на сопряженное a — bi, что избавляет от необходимости делить на комплексное число. Например
Сумма a + bi и c + di равна (a + c) + (b + d)i. Сумма (3 + 5i) + (8 — 7i) равна 11 — 2i.
Хотя приведенных выше правил достаточно для обычной арифметики комплексных чисел, их часто нужно сочетать с изобретательностью для решения нестандартных задач.
Пример этого можно увидеть в задаче о вычислении квадратного корня из 3-4i.
Начнем с предположения, что квадратный корень представляет собой комплексное число a + bi. Тогда 3 — 4i является квадратом a + bi, или a 2 — b 2 + 2abi.
Чтобы два комплексных числа были равны, их действительная и мнимая части должны быть равны
Решение этих уравнений для a дает четыре корня, а именно 2, -2, i и -i. Отбросив мнимые корни и найдя b, мы получим 2 — i или -2 + i как квадратные корни из 3 — 4i. Эти корни кажутся странными, но на самом деле их квадраты равны 3 — 4i.
Все о равенстве комплексных чисел
ВВЕДЕНИЕ:
Для начала рассмотрим действительные и мнимые компоненты комплексных чисел. С вещественной составляющей z, Re(z) = a, и мнимой частью z, Im(z) = b, комплексное число z может быть выражено в форме z = a + bi.
Рассмотрим следующие два комплексных числа в стандартной форме: z1 = a + bi и z2 = x + yi.
Что нужно сделать, чтобы сделать эти два комплексных числа равными?
Два комплексных числа равны, если их действительные части одинаковы и их мнимые части одинаковы.
z1 = z2
Если Re(z1) = Re(z2) (a = x) и Im(z1) = Im(z2) (b = y), то
Формальное определение 2 комплексных чисел при равенстве:
Тогда и только тогда, когда a = x и c = y, два комплексных числа a + bi и x + yi эквивалентны, где a, b, x, y — действительные числа.
Это также можно использовать, чтобы определить, когда два комплексных числа не равны. Два комплексных числа не равны, если их действительные или мнимые компоненты расходятся.
Обратите внимание, что комплексные числа должны быть выражены в обычной форме a+bi, чтобы можно было выполнить проверку на равенство. Это упрощает обнаружение действительной и мнимой частей каждого числа, позволяя нам проводить необходимые сравнения.
5 – 2i + 7 и 1 + 4i + 11 – 6i
z1 = 12 – 2i и z2 = 12 – 2i
После этого посмотрите на истинные компоненты z1 и z2.
Re(z1) = 12
Re(z2) = 12
Посмотрим, совпадают ли реальная и воображаемая компоненты.
Im(z1) = -2
Im(z2) = -2
Поскольку мнимые компоненты также одинаковы, z1 и z2 одинаковы.
Равенство комплексных чисел – примеры
Пример 1. Найдите значения x и y, если z1 = 8 + 2yi и z2 = -x + 6i равны.
Решение: Мы можем сравнить действительную и мнимую составляющие, потому что оба числа имеют стандартную форму. Мы также знаем, что действительные и мнимые части чисел равны, так как два комплексных числа равны.
8 = -x
x = 8
Re(z1) = Re(z2)
2y = 6
y = 3
Im(z1) = Im(z2)
Пример 2: Если x + yi = 2y – (3x – 7), найти x и y.
I
Решение:
Оба числа имеют стандартную форму и также имеют одинаковое значение. Когда действительные и мнимые компоненты двух комплексных чисел равны, мы знаем, что они равны.
Поскольку действительные части одинаковы:
x = 2y … (1) Кроме того, поскольку мнимые части равны:
y = -(3x – 7) … (2)
Соединение (1) с ( 2):
y = -(3(2y) – 7)
y = -(6y – 7)
y = -6y + 7
7y = 7
y = 1
Положим y=1 вернемся к (1) теперь:
x = 2 (1)
x = 2
Пример 3. Что должно быть верно для a, b, c и d, если a + bi = c + di?
Решение: a = c, b = d
Пример 4: Если x + yi = 3y – 1, найдите x и y. (2x – 4) i
Решение: Это интригует: у нас есть только одно уравнение, но две переменные; кажется, недостаточно информации для решения проблемы.