11. Интегралы от основных элементарных функций.
Интегрирование — это одна из двух основных операций в математическом анализе, но в отличие от операции дифференцирования она выводит из множества элементарных функций.
Интегралы элементарных функций
Рациональные функции
Логарифмы
Иррациональные функции
Тригонометрические функции
12.
Методы интегрирования: замена переменной, интегрирование по частям.Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов: а)х= фита(t) где фита(t) – монотонная, дифференцируемая функция; б) ,где – новая переменная.
В первом случае формула замены переменной имеет вид:
(6.1)
Во втором случае:
(6.2)
В обоих случаях после интегрирования следует возвращаться к старой переменной обратной подстановкой.
Интегрирование по частям: Интегрирование по частям. Если функции u ( x ) и v ( x ) имеют непрерывные первые производные и существует интеграл v ( x ) du ( x ), то существует и интеграл u ( x ) dv ( x ) и имеет место равенство: (значок интеграла) u dv = u v – (значок интеграла) v du
13.
Определенный интеграл: определение, свойства, геометрический смысл.Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).определение интеграла при всей его кажущейся общности в итоге приводит к привычному пониманию определённого интеграла, как площади подграфика функции на отрезке. Определённый интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми х=а и х=в и графиком функции f(x).
Свойства интеграла:
1.Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. , где х, t – любые буквы.
2.Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю.
3.
При
перестановке пределов интегрирования
определенный интеграл меняет свой знак
на обратный.
4. Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутке [a,b], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам.
5. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.
6. Определенной интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций.
14. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Вычисление определенного интеграла: формула Ньютона-Лейбница.
Рассмотрим функцию y = f(x), интегрируемую на отрезке [а, b]. Если х на промежутке [a, b], то функция f(x) интегрируема также на любом отрезке [а, х]. Предположим, что х меняется на отрезке [а, b], тогда на этом отрезке определена функция. (Переменную интегрирования обозначили буквой t, переменный верхний предел — буквой х).
Теорема
1.
Если функция у = f(x) интегрируема на
отрезке [а, b], то функция Ф(х) непрерывна
на этом отрезке.
Теорема 2. Если подынтегральная функция непрерывна, то производная определенного интеграла с переменным верхним пределом существует и равна значению подынтегральной функции для этого предела. т.е.
Следствие 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то при любом х
Следствие 2. Определенный интеграл с переменным верхним пределом является одной из первообразных для непрерывной подынтегральной функции.
Другими словами, для любой непрерывной функции существует первообразная.
Эти функции не являются элементарными; первообразные указанных подынтегральных функций не выражаются через элементарные функции.
Все приведенные функции хорошо изучены, для них составлены таблицы значений, эти функции находят широкое применение.
Связь
между определенными и неопределенными
интегралами выражает следующая теорема
Ньютона — Лейбница, называемая основной
теоремой интегрального исчисления.
Теорема 3. Определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой ее первообразной для верхнего и нижнего предела интегрирования:
Эта формула называется формулой Ньютона — Лейбница; ее можно переписать в виде , левая часть второй формулы читается так: «двойная подстановка от а до b для функции F(x).
17. Несобственные интегралы.
Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;
Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка [a, b].
18.Предмет теории вероятности
Предмет-изучение вероятных закономерностей массовых,однородных случайных событий.
Вероятность-мера возможности появления событий.
Несовместные
события-если при появлении одного из
событий, появление других исключено в
одном и том же испытании.
Полная группа событий-события, когда в результате испытания происходит одно из них.
19.Классификация событий
Достоверное-происходит всегда при определенных условиях.(вода замерзает при -1)
Невозможное-никогда не происходит,при определенных условиях.(на кубике выпадет 7)
Случайное-могут при определенных условиях произойти или не произойти
Теория вероятностей имеет дело только со случайными событиями
20. Определение вероятности
Вероятность-мера возможности появления событий.
P(A)= ,где м-количество результатов вариантов испытания, благоприятствующих появлению А, н-общее число вариантов для событий
Недостатки: 1)число элементарных исходов испытания конечно,но на практике это число определить невозможно ; 2)трудно показать основания позволяющие считать события равновозможными, обычно она связана с симметрией
Статистическое—
относительная частота появления события
в серии испытания.
Геометрическое— вероятность попадания точки в область.
Интегралы и ряды (Элементарные функции)
Добавить к сравнению
Книга содержит неопределенные и определенные (в том числе кратные) интегралы, конечныесуммы, ряды и произведения с элементарными функциями. Она является наиболее полным справочным руководством, включает результаты, изложенные в аналогичных изданиях, а также в научной литературе.
Книга предназначена для широкого круга специалистов в различных областях знаний, атакже для студентов вузов.
Первое издание — 1981 г.
| Автор | Прудников Анатолий Платонович, Брычков Юрий Александрович, Маричев Олег Игоревич |
| Издательство | ООО «Физматлит» |
| Дата издания | 2003 |
| Кол-во страниц | 632 |
| Кол-во томов | 3 |
| Номер тома | 1 |
| Название тома | Элементарные функции |
| ISBN | 978-5-9221-0323-7 |
| Тематика | Справочник |
| № в каталоге | 323 |
Категории: Справочная литература
Элементарные интегральные задачи — Math Insight
Задача 1
Ниже приведен график функции $h(p)$.
2}\\
ч(0) &= 3
\конец{выравнивание*}
с помощью прямого алгоритма Эйлера. Используйте временной шаг $\Delta t = 0,5$ для оценки $h(2)$. 92} дт
\конец{выравнивание*}
используя левую сумму Римана. Используйте ширину интервала $\Delta t = 0,5$.
После того, как вы поработаете над несколькими проблемами, вы сможете сравнить свои решения с теми, которые мы придумали.
интеграция — Список функций, не интегрируемых в элементарных терминах
Этот ответ представляет собой попытку собрать все известные неэлементарные интегралы в сообщение вики сообщества, чтобы его можно было динамически дополнять и чтобы также можно было включить ссылки на доказательства. Я включу некоторые другие интегралы, упомянутые в других ответах. Это также служит для обеспечения резервной копии на случай, если соответствующие списки исчезнут. 9х)$. (1)
$T_1(T_2(x))$, где $T_1(x), T_2(x)=\sin x, \cos x,\tan x$. Сюда входят $\sin(\sin x)$, $\cos(\tan x)$ и т. д. (1)
Пусть $S(x)=\sin x, \cos x$, т.