Разделить на множители: Онлайн калькулятор. Разложение числа на множители

Разложение чисел на простые множители: способы и примеры разложения

Данная статья дает ответы на вопрос о разложении числа на простыне множители. Рассмотрим общее представление о разложении с примерами. Разберем каноническую форму разложения и его алгоритм. Будут рассмотрены все альтернативные способы при помощи использования признаков делимости и таблицы умножения.

Что значит разложить число на простые множители?

Разберем понятие простые множители. Известно, что каждый простой множитель – это простое число. В произведении вида 2·7·7·23 имеем, что у нас 4 простых множителя в виде 2,7,7,23.

Разложение на множители предполагает его представление в виде произведений простых. Если нужно произвести разложение числа 30, тогда получим 2,3,5. Запись примет вид 30=2·3·5. Не исключено, что множители могут повторяться. Такое число как 144 имеет 144=2·2·2·2·3·3.

Не все числа предрасположены к разложению. Числа, которые больше 1 и являются целыми можно разложить на множители. Простые числа при разложении делятся только на 1 и на самого себя, поэтому невозможно представить эти числа в виде произведения.

При z, относящемуся к целым числам, представляется  в виде произведения а и b, где z делится на а и на b. Составные числа раскладывают на простые множители при помощи основной теоремы арифметики. Если число больше 1, то его разложение на множители p1, p2, …, pnпринимает вид a=p1, p2, …, pn_. Разложение предполагается в единственном варианте.

Каноническое разложение числа на простые множители

При разложении множители могут повторяться. Их запись выполняется компактно при помощи степени. Если при разложении числа а имеем множитель p1, который встречается s1 раз и так далее pn – sn раз. Таким образом разложение примет вид a=p₁^s₁·a=p1s1·p2s2·…·pnsn. Эта запись имеет название канонического разложения числа на простые множители.

При разложении числа 609840 получим, что 609 840=2·2·2·2·3·3·5·7·11·11,его канонический вид будет 609 840=24·32·5·7·112. При помощи канонического разложения можно найти все делители числа и их количество.

Алгоритм разложения числа на простые множители

Чтобы правильно разложить на множители необходимо иметь представление о простых и составных числах. Смысл заключается в том, чтобы получить последовательное количество делителей вида p1, p2, …,pnчисел a, a1, a2, …, an-1, это дает возможность получить a=p1·a1, где a1=a:p1, a=p1·a1=p1·p2·a2, где a2=a1:p2, …, a=p1·p2·…·pn·an, где an=an-1:pn. При получении an=1, то равенство a=p1·p2·…·pn  получим искомое разложение числа а на простые множители. Заметим, что p1≤p2≤p3≤…≤pn.

Для нахождения наименьших общих делителей необходимо использовать таблицу простых чисел. Это выполняется на примере нахождения наименьшего простого делителя числа z. При взятии простых чисел 2,3,5,11 и так далее, причем на них делим число z. Так как z не является простым числом, следует учитывать, что наименьшим простым делителем не будет больше z.

  Видно, что не существуют делителей z, тогда понятно, что z является простым числом.

Пример 1

Рассмотрим на примере числа 87.  При его делении на 2 имеем, что 87:2=43  с остатком равным 1. Отсюда следует, что 2 делителем не может являться, деление должно производиться нацело. При делении на 3 получим, что 87:3=29. Отсюда вывод – 3 является наименьшим простым делителем числа 87.

При разложении на простые множители необходимо пользоваться таблицей простых чисел, где a.  При разложении 95 следует использовать около 10 простых чисел, а при 846653 около 1000.

Рассмотрим алгоритм разложения на простые множители:

• нахождение наименьшего множителя при делителе p1 числа a по формуле a1=a:p1, когда a1=1, тогда а является простым числом и включено в разложение на множители, когда не равняется 1, тогда a=p1·a1и следуем к пункту, находящемуся ниже;
• нахождение простого делителя p2 числа a1при помощи последовательного перебора простых чисел, используя a2=a1:p2
  _, когда a2=1, тогда разложение примет вид a=p1·p2_, когда a2=1, тогда a=p1·p2·a2_, причем производим переход к следующему шагу;
• перебор простых чисел и нахождение простого делителя p3 числа a2по формуле a3=a2:p3, когда a3=1, тогда получим, что a=p1·p2·p3_, когда не равняется 1, тогда a=p1·p2·p3·a3и производим переход к следующему шагу;
• производится нахождение простого делителя pn числа an-1при помощи перебора простых чисел с pn-1, а также an=an-1:pn, где an=1, шаг является завершающим, в итоге получаем, что a=p1·p2·…·pn_.

Результат алгоритма записывается в виде таблицы с разложенными множителями с вертикальной чертой последовательно в столбик. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Полученный алгоритм можно применять при помощи разложения чисел на простые множители.

Примеры разложения на простые множители

Во время разложения на простые множители следует придерживаться основного алгоритма.

Пример 2

Произвести разложение числа 78 на простые множители.

Решение

Для того, чтобы найти наименьший простой делитель, необходимо перебрать все простые числа, имеющиеся в 78. То есть 78:2=39. Деление без остатка, значит это первый простой делитель, который обозначим как p1. Получаем, что a1=a:p1=78:2=39. Пришли к равенству вида a=p1·a1_, где 78=2·39. Тогда a1=39, то есть следует перейти к следующему шагу.

Остановимся на нахождении простого делителя p2 числа a1=39. Следует перебрать простые числа, то есть 39:2=19 (ост. 1). Так как деление с остатком, что 2 не является делителем. При выборе числа 3 получаем, что 39:3=13. Значит, что p2=3 является наименьшим простым делителем 39 по a2=a1:p2=39:3=13. Получим равенство вида

a=p1·p2·a2 в виде 78=2·3·13. Имеем, что a2=13 не равно 1, тогда следует переходит дальше.

Наименьший простой делитель числа a2=13 ищется при помощи перебора чисел, начиная с 3. Получим, что 13:3=4 (ост. 1). Отсюда видно, что 13 не делится на 5,7,11, потому как 13:5=2 (ост. 3), 13:7=1 (ост. 6) и 13:11=1 (ост. 2). Видно, что 13 является простым числом. По формуле выглядит так: a3=a2:p3=13:13=1. Получили, что a3=1, что означает завершение алгоритма. Теперь множители записываются в виде 78=2·3·13(a=p1·p2·p3).

Ответ: 78=2·3·13.

Пример 3

Разложить число 83 006 на простые множители.

Решение

Первый шаг предусматривает разложение на простые множители p1=2 и a1=a:p1=83 006:2=41 503, где 83 006=2·41 503.

Второй шаг предполагает, что 2, 3 и 5 не простые делители для числа a1=41 503, а 7 простой делитель, потому как 41 503:7=5 929. Получаем, что p2=7, a2=a1:p2=41 503:7=5 929. Очевидно, что 83 006=2·7·5 929.

Нахождение наименьшего простого делителя p4 к числу a3=847 равняется 7. Видно, что a4=a3:p4=847:7=121, поэтому 83 006=2·7·7·7·121.

Для нахождения простого делителя числа a4=121 используем число 11, то есть p5=11. Тогда получим выражение вида a5=a4:p5=121:11=11, и 83 006=2·7·7·7·11·11.

Для числа a5=11 число p6=11является наименьшим простым делителем. Отсюда a6=a5:p6=11:11=1. Тогда a6=1. Это указывает на завершение алгоритма. Множители запишутся в виде 83 006=2·7·7·7·11·11.

Каноническая запись ответа примет вид 83 006=2·73·112.

Ответ: 83 006=2·7·7·7·11·11=2·73·112.

Пример 4

Произвести разложение числа 897 924 289 на множители.

Решение

Для нахождения первого простого множителя произвести перебор простых чисел, начиная с 2. Конец перебора приходится на число 937. Тогда p1=937, a1=a:p1=897 924 289:937=958 297 и 897 924 289=937·958 297.

Второй шаг алгоритма заключается в переборе  меньших простых чисел. То есть начинаем с числа 937.  Число 967 можно считать простым, потому как оно является простым делителем числа a1=958 297. Отсюда получаем, что p2=967, то a2=a1:p1=958 297:967=991 и 897 924 289=937·967·991.

Третий шаг говорит о том, что 991 является простым числом, так как не имеет ни одного простого делителя, который не превосходит 991. Примерное значение подкоренного выражения имеет вид 991<402. Иначе запишем как 991<402. Отсюда видно, что p3=991 и a3=a2:p3=991:991=1. Получим, что разложение числа 897 924 289 на простые множители получается как  897 924 289=937·967·991.

Ответ: 897 924 289=937·967·991.

Использование признаков делимости для разложения на простые множители

Чтобы разложить число на простые множители, нужно придерживаться алгоритма. Когда имеются небольшие числа, то допускается использование таблицы умножения и признаков делимости. Это рассмотрим на примерах.

Пример 5

Если необходимо произвести разложение на множители 10, то по таблице видно: 2·5=10. Получившиеся числа 2 и 5 являются простыми, поэтому они являются простыми множителями для числа 10.

Пример 6

Если необходимо произвести разложение числа 48, то  по таблице видно: 48=6·8. Но 6 и 8 – это не простые множители, так как их можно еще разложить как 6=2·3 и 8=2·4. Тогда полное разложение отсюда получается как 48=6·8=2·3·2·4. Каноническая запись примет вид 48=24·3.

Пример 7

При разложении числа 3400 можно пользоваться признаками делимости. В данном случае актуальны признаки делимости на 10 и на 100. Отсюда получаем, что 3 400=34·100, где 100 можно разделить на 10, то есть записать в виде 100=10·10, а значит, что 3 400=34·10·10. Основываясь на признаке делимости получаем, что 3 400=34·10·10=2·17·2·5·2·5. Все множители простые. Каноническое разложение принимает вид

3 400=23·52·17. 2

Коэффициент деления — Изучайте и решайте вопросы

• Математика

• Фактор деления

Введение

• Дата последнего обновления: 20 апреля

010 Всего просмотров: 46.8k

•

Просмотров сегодня : 1.16k

Любое целое число, которое делит одно число на другое число поровну, считается множителем. Например, в задаче на деление \[10 \div 5 = 2\],10 имеет множители 1, 2, 5 и 10. Все эти множители можно разделить на равные группы, например две группы по пять, две группы из двух человек и одна группа из десяти человек, что соответствует двум группам из пяти человек, двум группам из двух человек, одной группе из десяти человек и одной группе из десяти человек соответственно.

Коэффициент деления

Числа, на которые можно точно разделить число, называются множителями. Следовательно, после деления не остается остатка. Числа, которые вы перемножаете, чтобы получить другое число, называются факторами. Таким образом, множитель является делителем другого числа.

Делитель и множитель

Любое число, на которое делится другое число, называется делителем. Однако множитель — это делитель, который полностью делит целое число и не оставляет остатка. Следовательно, любой делитель числа является также и его делителем. Но не все множители являются делителями; делителями числа являются все его делители. На предыдущем рисунке компоненты числа 20 — это 4 и 5. Однако деление 20 на 3 не дает точного деления числа.

Как разделить коэффициенты?

Какие множители числа 18 (метод деления)?

Шаги для нахождения множителей числа 18:

ШАГ 1: Используя законы деления, мы определяем наименьший точный простой делитель числа (множитель). Здесь число 18 четное. Его можно разделить на 2. Следовательно, 2 делит 18 без остатка. Таким образом, наименьший простой делитель числа 18 равен 2.

ШАГ 2: Нужно разделить полученное число (18) на его наименьший простой делитель, равный 9.

ШАГ 3: Затем мы определяем простые множители производного частного. Повторяйте шаги 1 и 2, пока частное не станет простым числом. Здесь частное равно 9, поэтому \[9 = 3 \times 3\].

Здесь мы останавливаем операцию, потому что 3 — это частное. Следовательно, \[18 = 2 \times 3 \times 3\]. Таким образом, множители числа 18 равны 1,2, 3, 6, 9,18.

Пары для множителей числа 18

Решенные примеры

Пример 1. Перечислите множители числа 18 и соответствующие им пары множителей в примере 1.

Ответ:

\[\begin{array}{l}1 \times 18 = 18\\2 \times 9 = 18\\3 \times 6 = 18\end{array}\]

Следовательно, множители числа 18 равны 1, 2, 3, 6, 9 и 18.

Пары множителей числа 18 равны (1,18), (2,9) и (3,6)

Пример 2: Найти общие делители чисел 25 и 24.

Ответ: Делители числа 25 следующие: 1, 5 и 25.

Делители числа 24 следующие: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 , и 24.

Таким образом, общий делитель 25 и 24 равен 1,

Пример 3: Найдите делители числа 72.

Ответ: 72 представлено как произведение следующих дополнительных чисел:

\[\begin{array}{l}1 \times 72 = 72\\2 \times 36 = 72\\3 \times 24 = 72\\4 \times 18 = 72\\6 \times 12 = 72\\8 \times 9 = 72\\9 \times 8 = 72\end{массив}\]

Поскольку умножение в данный момент повторяется, его необходимо остановить.

Заключение

Множители и множители с использованием фактов деления, например, используются при работе с деньгами, сортировке предметов по коробкам, поиске закономерностей в числах, решении отношений, расширении или сокращении дробей. В математике множитель — это целое число, которое делит другое число на себя без остатка. Мы часто сталкиваемся с множителями и множителями.

Недавно обновленные страницы

Числа на английском языке — произношение, чтение и примеры

Числа от 1 до 10 для печати — изучение с примерами для детей

Расширенная форма десятичных знаков и система разрядов — определение, примеры и использование Половинки? — Изучите определение и примеры

Nonagon: изучите определение, типы, свойства и формулы

Unit Cubes: изучите определение, факты и примеры

Числа на английском языке — произношение, чтение и примеры

Числа от 1 до 10, которые можно распечатать, — обучение на примерах для детей

Расширенная форма десятичных знаков и разрядная система — определение, примеры и использование

Что такое половинки? — Изучите определение и примеры

Nonagon: изучите определение, типы, свойства и формулы

Единицы измерения кубов: изучите определение, факты и примеры

Актуальные темы

Фактор – Элементарная математика

Фактор и множитель кратны иногда путают между собой. Факторы 15 включают 3 и 5; числа, кратные 15, включают 30, 45, 60 (и более). Подробнее см. ниже и в нескольких местах.

Значение

Factor может использоваться как глагол или существительное.

• Глагол: Разложить число на множители означает выразить его как произведение (других) целых чисел, называемых его множителями. Например, мы можем разложить 12 как 3 × 4, или как 2 × 6, или как 2 × 2 × 3. Таким образом, 2, 3, 4 и 6 — все это делители 12.
• Существительное: Множитель числа — назовем это число N — это число, которое можно умножить на что-то, чтобы получить N как произведение. Другими словами: делители числа — это его делители; то есть они могут разделить это число, не оставляя остатка.

Итак, например, 3 — это делитель 12, потому что 3 — счетное число, и его можно умножить на 4, чтобы получить 12. Опять же, 3 — это делитель 12, потому что 3 делит 12 без остатка. Делителями 12 являются 1, 2, 3, 4, 6 и 12, потому что каждый из них делит 12 без остатка (или, альтернативно, каждый из них является счетным числом, которое можно умножить на другое счетное число, чтобы получить 12).

Некоторые тонкости

• Факторы числа включают число, само себя и 1. Но это довольно тривиальные множители, и поэтому, когда мы говорим о разложении числа на множители, мы обычно не включаем факторизации, которые включают 1 или сам номер.
• В контексте чисел термины множитель (а также кратность и делимость) используются только в связи с целыми числами. Так, например, хотя 12 можно выразить в виде произведения с помощью дробей — например, 8 × 1 или 24 × — это не факторизация 12.
• Простые числа имеют два множителя, само себя и 1, но это тривиальные множители, которые есть у каждого числа. Поскольку они не могут быть факторизованы каким-либо другим способом, мы говорим, что они не могут быть факторизованы. Например, 7 «нельзя разложить на множители» (даже несмотря на то, что оно имеет два множителя 1 и 7 или может быть выражено как произведение нецелых чисел различными способами).
• Составные числа (подсчет чисел, которые не являются ни простыми, ни единицами) часто можно разложить на множители (выразить как произведение целых чисел) более чем одним способом. Например, 12 можно разложить как 3 × 4, или как 2 × 6, или как 2 × 2 × 3. Однако не все составные числа можно разложить более чем одним способом. Например, 25 можно разложить только как 5 × 5.
• Порядок, в котором числа перечислены в факторизации, не имеет значения: 3 × 4 и 4 × 3 — это одна и та же факторизация 12.

Дополнительные сведения о математике

Простой множитель числа — это просто множитель этого числа, который также является простым. Итак, число 12 имеет шесть делителей — 1, 2, 3, 4, 6 и 12, — но только два из них (2 и 3) простые, поэтому оно имеет только два простых делителя.

Разложение числа на простые множители — это факторизация — способ представления этого числа в виде произведения — состоящая только из простых чисел. Таким образом, число 12 может быть выражено в виде произведения многими способами — 1 × 2 × 2 × 3, или 3 × 4, 2 × 2 × 3 или 2 × 6, — но только один из них состоит исключительно из простых чисел: 2 × 2 × 3. (Число 1 не является простым.