Моделирование в электроэнергетике — Цифровая обработка результатов измерений. Разложение функции в ряд Тейлора
› Формула Тейлора для функции одной переменной
Ряд Тейлора (в англоязычной литературе Taylor series) – это способ представления сложной функции (периодической или непериодической) с помощью бесконечной суммы простейших степенных функций.
где — степенной ряд, полученный разложением функции в окрестности точке в ряд Тейлора;
– точка, в окрестности которой производится разложение функции ;
– производная n-степени функции в окрестности точке
n – число членов ряда разложения.
Следует отметить, что в случае, если , то ряд Тейлора преобразуется в ряд Маклорена (в англоязычной литературе Maclaurin series).
Ряды Тейлора применяются при аппроксимации функции многочленами. В частности, линеаризация уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.
Так же формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении.
› Формула Тейлора для функции двух переменных
В случае если функция является функцией от двух переменных и имеет производные вплоть до n-го порядка включительно в некоторой окрестности точки , тогда разложение функции в ряд Тейлора будет иметь следующий вид:
где — степенной ряд, полученный разложением функции в окрестности точке в ряд Тейлора;
n – число членов ряда разложения.
Представленная формула распространяется на функции от любого числа переменных.
В качестве первого примера, рассмотрим разложение тригонометрической функции в ряд Тейлора в окрестности точки .
Рассматриваемая функция дифференцируема и имеет производные вплоть до n-го порядка, которые вычисляются следующим образом: . Таким образом, функция раскладывается в следующий ряд Тейлора:
В итоге получаем следующий степенной ряд:
Рис.
1. Зависимость изменения функция и ее представление в виде ряда Тейлора
В качестве второго примера, рассмотрим разложение тригонометрической функции в ряд Тейлора в окрестности точки .
Рассматриваемая функция дифференцируема и имеет производные вплоть до n-го порядка, которые вычисляются следующим образом: . Таким образом, функция раскладывается в следующий ряд Тейлора:
В итоге получаем следующий степенной ряд:
Рис.2. Зависимость изменения функция и ее представление в виде ряда Тейлора
В качестве третьего примера, рассмотрим разложение тригонометрической функции в ряд Тейлора в окрестности точки .
Рассматриваемая функция дифференцируема и имеет производные вплоть до n-го порядка, которые вычисляются следующим образом: . Таким образом, функция раскладывается в следующий ряд Тейлора:
В итоге получаем следующий степенной ряд:
Рис.3. Зависимость изменения функция и ее представление в виде ряда Тейлора
Теория рядов
Теория рядов
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮЧасть I ГЛАВА 1. ПРОГРЕССИИ § 2. Геометрические прогрессии § 3. Бесконечные прогрессии; их сходимость и расходимость § 4. Элементарные преобразования прогрессий § 5. Функциональные прогрессии: область сходимости; равномерная сходимость § 6.  Почленное интегрирование прогрессий§ 7. Почленное дифференцирование прогрессий § 8. Прогрессии с комплексными членами ГЛАВА 2. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О СХОДИМОСТИ § 2. Определение числового ряда и его сходимости § 3. Остаток ряда § 4. Принцип сходимости Коши § 5. Критерий Коши сходимости рядов § 6. Необходимый признак сходимости ряда § 7. Желательность систематической теории § 8. Свойства сходящихся рядов, подобные свойствам сумм § 9. Дальнейшие свойства рядов ГЛАВА 3. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ § 1. Признаки сходимости рядов § 2. Признаки сравнения § 3. Интегральный признак сходимости Маклорена — Коши § 4. Применения интегрального признака сходимости § 5. Сравнительная оценка различных признаков сходимости § 6. Признак сходимости Даламбера § 7. Признак сходимости Коши § 8. Чувствительность признаков сходимости Даламбера и Коши ГЛАВА 4. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ § 2. Абсолютная сходимость и расходимость § 3.  Возможность переставлять члены в абсолютно сходящихся рядах§ 4. Условно сходящиеся знакопеременные ряды § 5. Умножение абсолютно сходящихся рядов § 6. Признак сходимости Лейбница § 7. Существенность условий признака сходимости Лейбница ГЛАВА 5. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ § 2. Область сходимости функционального ряда § 3. Сходимость последовательности функций. Основные определения § 5. Переход к пределу под знаком интеграла § 6. Переход к пределу под знаком производной § 7. Определение равномерной сходимости функционального ряда и признак Вейерштрасса § 8. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда с непрерывными членами § 9. Почленное интегрирование функциональных рядов § 10. Почленное дифференцирование функциональных рядов ГЛАВА 6. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ § 2. Теорема Абеля § 3. Круг сходимости ряда § 4. Вещественный степенной ряд и его интервал сходимости § 5.  Равномерная сходимость ряда в круге его сходимости§ 6. Вещественные ряды § 7. Комплексные ряды § 8. Разложение функций в степенные ряды § 9. Формула Тейлора § 10. Ряды Тейлора и Маклорена ГЛАВА 7. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. ПРИМЕРЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ § 2. Разложения в ряды Маклорена гиперболических функций ch x и sh x § 3. Разложения в ряды Маклорена тригонометрических функций cos x и sin x § 4. Показательная функция с комплексным значением показателя § 5. Формулы Эйлера § 6. Тригонометрические функции от комплексного значения аргумента § 7. Гиперболические функции от комплексного значения аргумента § 8. Вычисление значений функций при помощи ряда Маклорена § 9. Биномиальный ряд § 10. Приложения биномиального ряда § 11. Разложение в ряд Маклорена логарифмической функции § 12. Приближенное вычисление определенных интегралов при помощи степенных рядов § 13. Приближенное интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов ГЛАВА 8.  ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И ОРТОНОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ§ 2. Векторы и функции § 3. Нормированные и ортогональные функции § 4. Нормированные и ортогональные системы функций § 6. Разложение по системам функций ГЛАВА 9. РЯДЫ ФУРЬЕ § 1. Ряды и коэффициенты Фурье § 2. Условия Дирихле и теорема о разложении функции в ряд Фурье § 3. Разложение периодических функций в ряд Фурье § 4. Физическое истолкование разложения функции в тригонометрический ряд Фурье § 5. Разложение функции f(x) = x § 6. Сдвиг сегмента разложения § 7. Изменение длины сегмента разложения § 8. Четные и нечетные функции § 9. Разложение четной функции в ряд Фурье § 10. Разложение нечетной функции в ряд Фурье § 11. Разложение ряд Фурье функций на сегменте от 0 до пи § 12. Комплексная форма записи ряда Фурье § 13. Разложение в комплексный ряд Фурье § 14. Характер сходимости рядов Фурье ГЛАВА 10. УРАВНЕНИЕ СВОБОДНЫХ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ С ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КОНЦАМИ § 2.  Начальные и граничные условия§ 3. Метод разделения переменных § 4. Использование граничных условий. Собственные функции и собственные значения § 5. Использование начальных условий ГЛАВА 11. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ § 1. Представление функций интегралом Фурье § 2. Простейшие достаточные условия представимости функции интегралом Фурье § 3. Интеграл Фурье для четных функций § 4. Интеграл Фурье для нечетных функций § 5. Комплексная форма интеграла Фурье § 6. Понятие о преобразовании Фурье § 7. Косинус-преобразование Фурье § 8. Синус-преобразование Фурье § 9. Спектральная функция Часть II § 1. Признак сходимости Куммера § 2. Признак сходимости Раабе § 3. Признак сходимости Бертрана § 4. Признак сходимости Гаусса § 5. Сходимость знакопеременных рядов § 6. Признак сходимости Дирихле ГЛАВА 13. ДВОЙНЫЕ РЯДЫ § 1. Определение двойного ряда § 2. Сходимость двойных рядов § 3. Критерии сходимости двойных рядов. Теорема Маркова  Свойства двойных рядов и признаки сходимости§ 5. Абсолютная сходимость двойных рядов § 6. Двойные функциональные ряды § 7. Двойные степенные ряды § 8. Разложение функций двух переменных в двойные ряды Тейлора и Маклорена § 9. Ортогональные и ортонормальные системы функций от двух переменных § 10. Двойные ряды Фурье ГЛАВА 14. СУММИРОВАНИЕ СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ § 2. Линейные преобразования рядов § 3. Теорема Абеля и почленное дифференцирование и интегрирование рядов § 4. Последовательности разностей § 5. Преобразование рядов по Эйлеру § 6. Преобразование рядов по Куммеру ГЛАВА 15. СУММИРОВАНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ § 1. Расходящиеся геометрические прогрессии § 2. Суммирующие функции § 3. Суммирование по Пуассону — Абелю § 4. Линейность и регулярность суммирования по Пуассону — Абелю § 5. Суммируемость рядов по Пуассону — Абелю и их абсолютная сходимость § 6. Теорема Таубера § 7. Суммирование по Чезаро § 8. Соотношение между сходимостью по Чезаро и по Пуассону — Абелю § 9.  Суммирование по ЭйлеруГЛАВА 16. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ § 2. Исследование двух интегралов § 3. Исследование одного класса интегралов § 4. Доказательство теоремы Дирихле § 5. Теорема Фурье § 6. Коэффициенты Фурье разрывных функций § 7. Скорость сходимости рядов Фурье § 8. Улучшение сходимости рядов Фурье по методу выделения особенностей § 9. О равномерной сходимости рядов Фурье § 10. Неравномерная сходимость последовательностей непрерывных функций § 11. Поведение рядов Фурье функций в точках их разрыва. Явление Гиббса § 12. Экстремальное свойство сумм Фурье § 13. Суммирование рядов Фурье по Чезаро. Теорема Фейера § 15. Теорема Вейерштрасса ГЛАВА 17. ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ В ТЕОРИИ ИЗГИБА БАЛОК § 2. Изгиб балки § 3. Свободно опертая балка § 4. Первая возможность ограничиться двукратным дифференцированием § 5. Случай сосредоточенной нагрузки § 6. Прогиб балки от распределенной нагрузки § 7.  Прогиб от сосредоточенного момента§ 8. Статически неопределимая балка § 9. Сложный изгиб балки § 10. Балка на упругом основании § 11. Вторая возможность ограничиться двукратным дифференцированием. Потенциальная энергия изгиба балки § 12. Потенциальная энергия изгиба балки в случае нескольких нагрузок § 13. Функции прогиба с ортогональными вторыми производными § 14. Свободно опертая нагруженная балка § 15. Работа продольных сил при сложном изгибе балки § 16. Общий случай изгиба балки § 17. Общий случай изгиба свободно опертой балки § 18. Изгиб симметрично нагруженной балки, жестко заделанной по концам § 19. Функция прогиба симметрично загруженной балки с жестко заделанными концами |
Воробьев Н. Н. 4 изд., перераб. и доп., Наука, Главная редакция физико-математической литературы, М., 1979, — 408 с.
Простой способ запомнить расширение серии Taylor | Эндрю Чемберлен, доктор философии.
Разложение Тейлора — одна из самых красивых идей в математике. Интуиция проста: большинство функций гладкие в интересующих нас диапазонах.
И полиномы тоже гладкие. Таким образом, для каждой гладкой функции мы должны иметь возможность написать полином, который довольно хорошо ее аппроксимирует.
И на самом деле, если наш полином содержит достаточное количество членов, он будет в точности равен исходной функции. Поскольку с полиномами работать легче, чем почти с любыми другими функциями, это обычно превращает сложные задачи в простые.
Формула Тейлора — ключ. Это дает нам уравнение для полиномиального разложения для каждых гладких функций f. Однако, хотя интуиция, стоящая за этим, проста, фактическая формула — нет. Это может быть довольно сложно для новичков, и даже экспертам трудно вспомнить, если они не видели его какое-то время.
В этом посте я объясню быстрый и простой прием, который я использую, чтобы повторно вывести формулу Тейлора с нуля всякий раз, когда мне трудно ее вспомнить.
Начиная с нуля
Идея расширения Тейлора состоит в том, что мы можем переписать любую гладкую функцию как бесконечную сумму полиномиальных членов.
Поэтому первым шагом является запись общего полинома n-й степени. Вот оно:
Где a0, a1, … — коэффициенты при каждом члене полинома, а c — константа, представляющая, где по оси X мы хотим начать нашу аппроксимацию (если нам все равно, где мы начнем, просто пусть c = 0, что технически известно как Маклорен, а не Тейлор). Этот ряд — известный как «степенной ряд» — может быть записан в закрытой форме следующим образом:
Цель состоит в том, чтобы найти умный способ найти коэффициенты a0, a1, … в этом уравнении, учитывая некоторую функцию f и начальное значение c. Вот логика для этого. Многочлены гладкие, что гарантирует их дифференцируемость. То есть мы можем вычислить первую, вторую, третью и так далее производные от них.
Итак, начнем с нашего полинома выше, давайте возьмем несколько первых производных от него, например:
Очевидно, мы уже видим закономерность. Мы воспользуемся этим через минуту. Теперь, когда у нас есть n производных от f, давайте оценим их для некоторого числа, которое приведет к тому, что большинство их членов отпадет.
Это ключевой шаг. Если мы сообразительны, то заметим, что если мы оценим их при x = c, то большинство их членов будут равны нулю. Это оставит после себя только коэффициенты a1, a2, …, умноженные на некоторую константу. Итак, вот этот шаг:
Теперь у нас есть набор простых уравнений, которые мы можем решить для a1, a2, … Просто разделите обе части на n!. Это дает нам следующее:
Узор здесь красивый. N-й коэффициент — это просто n-я производная исходной функции, оцененная в c, деленная на n-факториал. Теперь у нас есть n коэффициентов. Следующий шаг — подставить их обратно в исходное выражение для общего полинома n-й степени, например:
Это уравнение — то, что нам нужно. Он дает полиномиальное разложение для каждой гладкой функции f. Нам просто нужно вычислить первые n производных от f, вычислить их по c, разделить каждую на n! и просуммировать эти члены. Результат будет хорошим приближением к нашей исходной функции. Чем больше членов мы добавим, тем точнее будет полиномиальная аппроксимация.
Результат: формула Тейлора
Последний шаг — записать этот бесконечный ряд в замкнутой форме. Это последний шаг в уловке для запоминания формулы. Записав вышесказанное в виде суммирования, мы получим окончательный результат:
Урок здесь прост: не тратьте время на изучение формул. Изучите методы. Если вы помните основную логику того, откуда берется разложение Тейлора, вы можете быстро и легко заново вывести формулу с нуля.
92\) действительно одно и то же! Мы просто должны быть осторожны, отслеживая термины вплоть до порядка в \( x \), с которым мы хотим работать.(Боас с большим энтузиазмом относится к этому трюку, так что вы можете посмотреть ее главу 1.13 для получения дополнительных примеров. Будет ли это полезно, зависит от задачи и от вашего собственного вкуса — лично мне никогда не нравилось полиномиальное деление в длину, поэтому я бы не использовал это для деления двух функций!)
Расширение вокруг точки и некоторые общие ряды Тейлора
Обычной ситуацией для нас при применении этого к задачам физики будет то, что мы знаем полное решение для некоторой системы в упрощенном случае, а затем мы хотим включить небольшой новый параметр и посмотреть, что произойдет.
2 + …
\end{выровнено}
\] 9n\) — но мы не будем вдаваться в это.
В основном я позволял вам изучать Mathematica, заставляя вас использовать ее в домашних заданиях, но поиск расширений рядов настолько полезен, что я быстро расскажу, как вы можете попросить Mathematica сделать это. Функция Mathematica Series[] будет вычислять разложение ряда Тейлора в любом нужном вам порядке. Вот пример:
Пройдемся по синтаксису: первый аргумент — это функция, которую вы хотите расширить. Второй аргумент состоит из трех вещей, собранных в список из {} : имя переменной, точка расширения и максимальный порядок, который вы хотите.
Упражнение: другой полезный ряд Тейлора
Найдите разложение \(\ln(1+x)\) в ряд Тейлора до третьего порядка относительно \( x=0 \).
Попробуйте сами, прежде чем продолжить чтение! Это ключевой элемент, который нам понадобится, чтобы вернуться и закончить наши снаряды с расчетом сопротивления воздуха.
Следуя \( \эпсилон \) версии приведенной выше формулы, мы можем сразу записать это как ряд Тейлора по \( x \), если мы расширим около \( 1 \). Если мы определим \( f(u) = \ln(u) \) (заменив переменные, чтобы избежать путаницы), то расширение относительно \( u_0 = 1 \) даст 93}{3} + … \справа) \end{выровнено} \]
Назад к линейному сопротивлению воздуха
На этом мы заканчиваем наш важный и длинный математический обход: давайте, наконец, вернемся и закончим обсуждение движения снаряда с линейным сопротивлением воздуха. Нашей точкой остановки была формула траектории
\[ \begin{выровнено} y(x) = v_{\rm ter} \tau \ln \left( 1 — \frac{x}{\tau v_{x,0}} \right) + \frac{v_{y,0} + v_ {\rm тер}}{v_{x,0}} х \end{выровнено} \]
где \( v_{\rm ter} = mg/b \) и \( \tau = m/b \). Мы хотели бы понять, что происходит, когда \( b \) становится очень маленьким, где мы должны видеть этот подход обычным «вакуумным» результатом параболического движения. Одним из вариантов было бы вставить явную \( b \)-зависимость обратно и расширить ряд, но это будет беспорядочно по двум причинам: \( b \) есть в нескольких местах, и \( b \) ) это размерная величина (единицы силы/скорости = \( N \cdot s / m \), помните.
3} + … \right] + \frac{v_{y,0} + v_{\ rm тер}}{v_{x,0}} x
\end{выровнено}
\] 93} + … \вправо]
\end{выровнено}
\]
Поскольку \( b \rightarrow 0 \), мы знаем, что \( v_{\rm ter} \) становится очень большим. Это может заставить вас беспокоиться о том, что \( v_{\rm ter} \tau \) появляется вне квадратных скобок, но помните, что \( \tau \) тоже становится большим, и у нас есть некоторые \(\tau \) множители в знаменателе. Фактически, мы можем вернуться к определениям и заметить, что
\[ \begin{выровнено} \ frac {v _ {\ rm ter}} {\ tau} = \ frac {mg / b} {m / b} = g \end{выровнено} \]
, который мы можем использовать для дальнейшего упрощения: 92}. \end{выровнено} \]
На самом деле это именно та формула, которую вы найдете в своем учебнике по физике для первокурсников для расчета движения снаряда без сопротивления воздуха. Лимит успешно проверен!
Более того, теперь у нас есть хорошая приблизительная формула, которую мы можем использовать в случаях, когда сопротивление воздуха относительно невелико.