Разложить функцию в ряд фурье заданную графически в: Ряд Фурье онлайн

Разложить функцию, заданную графиком, в ряд Фурье : Чулан (М)

fenix0093	Разложить функцию, заданную графиком, в ряд Фурье 23.01.2013, 11:48
13/06/12 9	Помогите разобраться, не понимаю с чего начать

Someone	Re: Разложить функцию, заданную графиком, в ряд Фурье 23. 01.2013, 12:23
Заслуженный участник 23/07/05 17973 Москва	Взять один период (например, отрезок ) и записать на нём функцию формулами (для Вашей функции трёх формул хватит). А потом вычислять коэффициенты ряда Фурье.

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию

Страница 1 из 1

[ Сообщений: 2 ]

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

4.

7. Разложение в ряд Фурье непериодических функций, заданных на конечном промежутке

Пусть непериодическая функция f(x) задана на некотором отрезке [a,b] и пусть она на этом отрезке непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, и отрезок [a,b] можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция f(x) монотонна. Покажем, что данную функцию в точках непрерывности можно представить в виде суммы ряда Фурье.

Рассмотрим функцию f*(x) с периодом Т = 2l≥b-а, удовлетворяющую условиям Дирихле на отрезке [—l,l] и совпадающую с данной функцией на отрезке [a,b] (рисунок 8).

Рисунок 8

Найдем разложение функции f^* (х) в ряд Фурье.

Сумма этого ряда во всех точках непрерывности совпадает с функцией f^* (х). Так как на отрезке [a,b] функция f(x) совпадает с функцией f^* (х), то сумма ряда во всех точках отрезка [a,b], кроме точек разрыва, совпадает с заданной функцией, таким образом, мы разложили в ряд Фурье функцию f(x) на отрезке [a,b]

Если функция f(x) задана на отрезке [0,l] и непрерывна или кусочно-непрерывна на этом отрезке, то можно найти разложение функции в ряд косинусов или синусов. Для этого достаточно доопределить функцию на отрезке [—l,0] так, чтобы ее значения в точках отрезка [—l

,0] находились из условия f(-x) = f(x) или f(-x)=-f(x). В этом случае говорят, что функцию доопределяем четным или нечетным образом. При этом коэффициенты ряда Фурье находятся по упрощенным формулам для четных или нечетных функций.

Пример 33

Разложить в ряд Фурье функцию напряжения на сетке лампы: .

Решение.

Построим график данной функции на отрезке [0,π]. Рассмотрим, вспомогательную функцию, которая на отрезке [0,π] совпадает с данной. Для этого, продолжив заданную функцию четным образом на отрезке [-π,0], будем рассматривать периодическую функцию U^* (ω

t) с периодом Т = 2π (рисунок 9),

Рисунок 9

Функция U^* (ωt) является четной, значит, b_п=0. Полагая ωt=х, найдем a_O, а_n:

,

Заметим, что при интегрировании использовали формулу интегрирования по частям:

Возвращаясь к исходной переменной , запишем ряд Фурье

.

Полученный ряд сходится на всей числовой оси к функции U^* (ωt), так как функция непрерывна на всей числовой оси. А поскольку данная функция

U(ωt) совпадает с U^* (ωt) при ωt [0, π], то справедливо разложение

.

Замечание. В индивидуальном задании требуется найти разложение в ряд Фурье функции, заданной графически. Чтобы вычислить коэффициенты Фурье, нужно перейти от графического способа задания функции к аналитическому.

Рисунок 10

Например, если функция f(x) задана графически (рисунок 10), то на отрезке [-1,1] график состоит из части горизонтальной прямой у =1 при х[-1,0) и части наклонной прямой, проходящей через точки (0,1) и (1,2). Из аналитической геометрии известно, что если прямая проходит через точки (

х₁, у₁) и (х₂, у₂), то ее уравнение имеет вид

.

Уравнение наклонной прямой, проходящей через точки (0,1) и (1,2):

.

Итак, на отрезке [-1,1] аналитическое задание функции

Заметим, что данная функция f(x) является периодической с периодом Т=2, т.е. функция удовлетворяет условию f(x + 2)= f(x).

67

Подробнее о рядах Фурье

Подраздел 5.3.1 \(2L\)-периодические функции

Мы вычислили ряд Фурье для \(2\pi\)-периодической функции, но как насчет функций разных периодов. Что ж, не бойтесь, вычисление — это простой случай замены переменных. Мы просто масштабируем независимую ось.

Предположим, у нас есть \(2L\)-периодическая функция \(f(t)\text{.}\). Тогда \(L\) называется полупериодом . Пусть \(s = \frac{\pi}{L} t\text{.}\) Тогда функция 9л f(t) \, \sin \left( \frac{n \pi}{L} t \right) \, dt . \end{выровнено} ~~} \end{уравнение*}

В примерах чаще всего встречаются два полупериода: \(\pi\) и 1 из-за простоты формул. Мы должны подчеркнуть, что мы не сделали никакой новой математики, мы только изменили переменные. Если вы понимаете ряд Фурье для \(2\pi\)-периодических функций, вы понимаете его для \(2L\)-периодических функций. Вы можете думать об этом просто как об использовании разных единиц измерения времени. Все, что мы делаем, — это перемещаем некоторые константы, но вся математика остается той же. 9{\text{th}}\) гармоника (правый график).

Подраздел 5.3.2 Конвергенция

Примечание. Конвергенция была рассмотрена ранее в серии видеороликов в разделе Видео 5.2.2

Нам понадобятся односторонние пределы функций. Мы будем использовать следующее обозначение

\begin{уравнение*} f(c-) = \lim_{t \uparrow c} f(t), \qquad \text{и} \qquad f(c+) = \lim_{t \downarrow c} f(t). \end{уравнение*}

Если вы не знакомы с этим обозначением, \(\lim_{t \uparrow c} f(t)\) означает, что мы берем предел \(f(t)\) по мере того, как \(t\) приближается к \(c \) снизу (т.е. \(t с\)). Например, для прямоугольной волновой функции

\begin{уравнение} ф (т) = \begin{случаи} 0 & \текст{если} \; {-\pi} < t \leq 0 , \\ \пи & \текст{если} \; \фантом{-}0 < t \leq \pi , \end{cases}\label{gfs_sqwaveeq}\tag{5.8} \end{уравнение}

имеем \(f(0-) = 0\) и \(f(0+) = \pi\text{.}\)

Пусть \(f(t)\) — функция, определенная на интервале \([a,b]\text{.}\) Предположим, что мы нашли конечное число точек \(a=t_0\text{,}\) \(t_1\text{,}\) \(t_2\text{,}\) …, \(t_k=b\) в интервале, такое, что \(f(t)\) непрерывна на интервалах \((t_0,t_1)\text{,}\) \((t_1,t_2)\text{,}\) .

.., \((t_{k-1},t_k)\text{.}\ ) Также предположим, что существуют все односторонние пределы, то есть все \(f(t_0+)\text{,}\) \(f(t_1-)\text{,}\) \(f(t_1+)\ text{,}\) \(f(t_2-)\text{,}\) \(f(t_2+)\text{,}\) …, \(f(t_k-)\) существуют и конечны . Тогда мы говорим, что \(f(t)\) равно кусочно-непрерывный .

Если, кроме того, \(f(t)\) дифференцируема во всех точках, кроме конечного числа, и \(f'(t)\) кусочно-непрерывна, то \(f(t)\) называется кусочно гладкий .

Пример 5.3.2.

Прямоугольная волновая функция (5.8) является кусочно-гладкой на \([-\pi,\pi]\) или любом другом интервале. В таком случае мы просто говорим, что функция кусочно-гладкая.

Пример 5.3.3.

Функция \(f(t) = \lvert t \lvert\) кусочно-гладкая.

Пример 5.3.4.

Функция \(f(t) = \frac{1}{t}\) не является кусочно-гладкой на \([-1,1]\) (или любом другом интервале, содержащем нуль). На самом деле оно даже не является кусочно-непрерывным.

Пример 5.

3.5.

Функция \(f(t) = \sqrt[3]{t}\) не является кусочно-гладкой на \([-1,1]\) (или любом другом интервале, содержащем нуль). \(f(t)\) непрерывна, но производная \(f(t)\) неограничена вблизи нуля и, следовательно, не является кусочно-непрерывной.

Кусочно-гладкие функции имеют простой ответ на сходимость ряда Фурье. 9\infty a_n \cos \left( \frac{n \pi}{L} t \верно) + b_n \sin \left( \frac{n \pi}{L} t \right) . \end{equation*}

Если мы имеем, что \(f(t) = \frac{f(t-)+f(t+)}{2}\) на всех разрывах, ряд Фурье сходится к \(f(t)\) везде. Мы всегда можем просто переопределить \(f(t)\), соответствующим образом изменив значение на каждом разрыве. Тогда мы можем без проблем поставить знак равенства между \(f(t)\) и рядом. Мы кратко упомянули об этом факте в конце предыдущего раздела.

Теорема не говорит, как быстро сходится ряд. Вспомните обсуждение феномена Гиббса в предыдущем разделе. Чем ближе вы подходите к разрыву, тем больше членов вам нужно взять, чтобы получить точное приближение к функции.

Подраздел 5.3.3 Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье

Ряды Фурье не только хорошо сходятся, но и их легко дифференцировать и интегрировать. Мы можем сделать это, просто дифференцируя или интегрируя термин за термином. 9\infty \frac{-a_n n \pi}{L} \sin \left( \frac{n \pi}{L} t \right) + \frac{b_n n \pi}{L} \cos \left( \frac{n \pi}{L} t \right) . \end{equation*}

Важно, чтобы функция была непрерывной. У него могут быть углы, но нет прыжков. В противном случае дифференцированный ряд не будет сходиться. В качестве упражнения возьмите серию, полученную для прямоугольной волны, и попытайтесь дифференцировать серию. Точно так же мы можем проинтегрировать ряд Фурье.

Теорема 5.3.3.

Допустим 9\infty \frac{a_n L}{n \pi} \sin \left( \frac{n \pi}{L} t \right) + \frac{-b_n L}{n \pi} \cos \left( \frac{n \pi}{L} t \right) , \end{уравнение*}

, где \(F'(t) = f(t)\) и \(C\) — произвольная константа.

Обратите внимание, что ряд для \(F(t)\) больше не является рядом Фурье, поскольку он содержит член \(\frac{a_0 t}{2}\). Первообразная периодической функции больше не обязательно должна быть периодической, и поэтому мы не должны ожидать ряда Фурье.

Подраздел 5.3.4 Скорости сходимости и гладкости

Приведем пример периодической функции с одной производной везде.

Пример 5.3.6.

Возьмите функцию

\begin{уравнение*} ф (т) = \begin{случаи} (t+1)\,t & \text{if} \; {-1} < т \leq 0 , \\ (1-t)\,t & \text{if} \; \фантом{-}0 < t \leq 1 , \end{случаи} \end{уравнение*}

и расширить до 2-периодической функции. График приведен на рисунке 5.21.

Рисунок 5.21. Гладкая 2-периодическая функция.

Эта функция везде имеет одну производную, но не имеет второй производной, если \(t\) является целым числом. 9{n+1}2\лямбда}{n\pi} \sin\bigl(\frac{n\pi}{\lambda} t\bigr)\)     b) \(\frac{2\lambda}{\pi} \sin\bigl(\frac{\pi}{\lambda} t\bigr) — \ гидроразрыва {\ лямбда} {\ пи} \sin\bigl(\frac{2\pi}{\lambda} t\bigr) + \фракция{2\лямбда}{3\пи} \sin\bigl(\frac{3\pi}{\lambda} t\bigr) — \cdots\)

Рисунок 5. 23. Периодическое расширение \(f(t)=t\) на \((-\lambda,\lambda]\)

Упражнение 5.3.3.

Пусть

\begin{уравнение*} ф (т) = \begin{случаи} 0 & \текст{если} \; {-1} < т \leq 0 , \\ т & \текст{если} \; \фантом{-}0 < t \leq 1 , \end{случаи} \end{уравнение*} 9{3}}\sin(n\pi t)\)     b) Расширьте приведенный выше ряд для \(n=1\) до \(n=3\text{.}\)

Рисунок 5.25. Периодическое расширение \(f(t)\) на \((-1,1]\)

Упражнение 5.3.5.

Пусть

\begin{уравнение*} ф (т) = \begin{случаи} \frac{-t}{10} & \text{if } \; {-10} < т \leq 0 , \\ \frac{t}{10} & \text{if } \; \фантом{-1}0 < t \leq 10 , \end{случаи} \end{уравнение*}

периодически продлевается (период 20).

1. Вычислить ряд Фурье для \(f(t)\text{.}\) 9{2}}\cos(\frac{n\pi}{10} t)\)     b) Разверните приведенный выше ряд для \(n=1\) до \(n=3\text{.}\)

   Рисунок 5.26. Периодическое расширение \(f(t)=t\) на \((-10,10]\)

   Упражнение 5.3.6.

   Пусть

   \begin{уравнение*} ф (т) = \begin{случаи} 0 & \текст{если} \; {-2} < т \leq 0, \\ т & \текст{если} \; \фантом{-}0 < t \leq 1, \\ -t+2 & \текст{если} \; \фантом{-}1 < t \leq 2, \end{случаи} \end{уравнение*}

   периодически продлевается.

   1. Вычислить ряд Фурье для \(f(t)\text{.}\) 9{t}\) на \((-1,1]\)

      Упражнение 5.3.8.

      Пусть

      \begin{уравнение*} ф (т) = \begin{случаи} 0 & \текст{если} \; {-2} < т \leq 0, \\ 2 & \текст{если} \; \фантом{-}0 < t \leq 2, \end{случаи} \end{уравнение*}

      периодически продлевается. Предположим, что \(F(t)\) — это функция, заданная рядом Фурье \(f\text{.}\). Без вычисления ряда Фурье оцените

      1. \(\displaystyle F(0)\)

      2. \(\displaystyle F(-1)\)

      3. \(\displaystyle F(1)\)

      4. \(\displaystyle F(-2)\)

      5. \(\displaystyle F(4)\)

      6. \(\displaystyle F(-9)\)

      Ответ.

      а) \(F(0) = 1\text{,}\) b) \(F(-1) = 0\text{,}\) c) \(F(1) = 2\text{ ,}\) d) \(F(-2) = 1\text{,}\) e) \(F(4) = 1\text{,}\) f) \(F(-9) = 0 \)

      Упражнение 5.3.9.

      Пусть

      \begin{уравнение*} f(t) = \nicefrac{t}{2} \qquad \text{for} \; {-\пи} < т < \пи \end{уравнение*} 9{2}\) на \((-1,1]\)

      Упражнение 5.

      3.11.

      Пусть

      \begin{уравнение*} ф (т) = \begin{случаи} 0 & \текст{если} \; {-3} < т \leq 0, \\ т & \текст{если} \; \фантом{-}0 < t \leq 3, \end{случаи} \end{уравнение*}

      периодически продлевается. Предположим, что \(F(t)\) — это функция, заданная рядом Фурье \(f\text{.}\). Без вычисления ряда Фурье оцените

      1. \(\displaystyle F(2)\)

      2. \(\displaystyle F(-2)\)

      3. \(\displaystyle F(4)\)

      4. \(\displaystyle F(-4)\)

      5. \(\displaystyle F(3)\)

      6. \(\displaystyle F(-9)\)

      Ответ.

      а) \(F(2) = 2\text{,}\) b) \(F(-2) = 0\text{,}\) c) \(F(4) = 0\text{ ,}\) d) \(F(-4) = 2\text{,}\) e) \(F(3) = 3/2\text{,}\) f) \(F(-9) = 3/2\)

      Рисунок 5.31. Периодическое расширение \(f(t)=\) на \((-\pi,\pi]\)

      Упражнение 5.3.12.

      9n}{n} \sin (n t)\text{.}\) Является ли \(f(t)\) дифференцируемым всюду? Найдите производную (если она существует везде) или докажите, почему \(f(t)\) не везде дифференцируема.

      4.3: Подробнее о рядах Фурье

      1. Последнее обновление

      2. Сохранить как PDF

   2. Идентификатор страницы

      343

   • Йиржи Лебл
   • Университет штата Оклахома

   Прежде чем читать лекцию, было бы неплохо сначала попробовать проект IV (серия Фурье) с веб-сайта МООД: https://conf.math.illinois.edu/iode/fsgui.html. После прочтения лекции может быть хорошо продолжить проект V (снова ряд Фурье).

   2L-периодические функции

   Мы вычислили ряд Фурье для \(2 \pi\)-периодической функции, но как насчет функций разных периодов. Что ж, не бойтесь, вычисление — это простой случай замены переменных. Мы можем просто масштабировать независимую ось. Предположим, что у нас есть \(2L\)-периодическая функция \(f(t)\) (\(L\) называется 9{L}f(t) \sin\left( \dfrac{n \pi}{L}t \right)dt. \end{aligned} \nonumber \]

   Из-за простоты в примерах чаще всего встречаются два полупериода: \(\pi\) и \(1\). Мы должны подчеркнуть, что мы не сделали никакой новой математики, мы только изменили переменные. Если вы понимаете ряд Фурье для \(2\pi\)-периодических функций, вы понимаете его для \(2L\)-периодических функций. Все, что мы делаем, — это перемещаем некоторые константы, но вся математика остается той же.

   9{\text{th}}\) гармоника (правый график).

   Конвергенция

   Нам понадобятся односторонние пределы функций. Мы будем использовать следующие обозначения

   \[f(c-) = \lim_{t \uparrow c} f(t), \qquad \text{and} \qquad f(c+) = \lim_{t \downarrow c } f(t). \nonumber \]

   Если вы не знакомы с этим обозначением, \( \lim_{t \uparrow c} f(t) \) означает, что мы берем предел \( f(t)\) как \(t\ ) приближается к \(c\) снизу (т. е. \(tc\)). Например, для прямоугольной волновой функции

   \[\label{eq:12} f(t)= \left\{ \begin{array}{ccc} 0 & \rm{if}& — \pi < t \leq 0, \\ \pi & \rm{if} & 0 < t \leq \pi , \end{массив} \right. \]

   имеем \( f(0-)=0\) и \( f(0+)= \pi\).

   Пусть \( f(t)\) функция, определенная на интервале \([a,b]\). Предположим, что мы нашли конечное число точек \( a=t_0, t_1, t_2, \ldots , t_k=b\) в интервале, таких что \( f(t)\) непрерывна на интервалах \( (t_0,t_1 ), (t_1,t_2), \ldots , (t_{k-1},t_k)\). Также предположим, что все односторонние пределы существуют, то есть все \( f(t_0+), f(t_1-), f(t_1+), f(t_2-), f(t_2+), \ldots , f(t_k -)\) существуют и конечны. Тогда мы говорим, что \(f(t)\) равно кусочно-непрерывный .

   Если, кроме того, \( f(t)\) дифференцируема во всех точках, кроме конечного числа, и \( f'(t)\) кусочно-непрерывна, то \( f(t)\) называется кусочно-гладкая .

   Пример \(\PageIndex{2}\)

   Прямоугольная волновая функция \(\eqref{eq:12}\) является кусочно-гладкой на \([- \pi, \pi]\) или любом другом интервале. В таком случае мы просто говорим, что функция кусочно-гладкая .

   Пример \(\PageIndex{3}\)

   Функция \(f(t)=|t|\) кусочно-гладкая.

   Пример \(\PageIndex{4}\)

   Функция \(f(t)= \dfrac{1}{t}\) не является кусочно-гладкой на \([-1, 1]\) (или любой другой интервал, содержащий ноль). На самом деле оно даже не является кусочно-непрерывным.

   Пример \(\PageIndex{5}\)

   Функция \(f(t)=\sqrt[3]{t}\) не является кусочно-гладкой на \( [- 1, 1]\) (или любой другой интервал, содержащий ноль). \( f(t)\) непрерывна, но производная \( f(t)\) неограничена вблизи нуля и, следовательно, не является кусочно-непрерывной. 9{\infty}_{n=1} a_n \cos\left(\dfrac{n\pi}{L}t\right)+b_n\sin\left(\dfrac{n\pi}{L}t\right ). \nonumber \]

   Если мы имеем, что \( f(t)= \dfrac{f(t-)+f(t+)}{2}\) на всех разрывах, то ряд Фурье сходится к \( f(t)\) всюду. Мы всегда можем просто переопределить \(f(t)\), соответствующим образом изменив значение на каждом разрыве. Тогда мы можем без проблем поставить знак равенства между \(f(t)\) и рядом. Мы кратко упомянули об этом факте в конце предыдущего раздела.

   Обратите внимание, что в теореме не говорится, как быстро сходится ряд. Вспомните обсуждение феномена Гиббса в предыдущем разделе. Чем ближе вы подходите к разрыву, тем больше членов вам нужно взять, чтобы получить точное приближение к функции.

   Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье

   Ряды Фурье не только хорошо сходятся, но и легко дифференцируются и интегрируются. Мы можем сделать это, просто дифференцируя или интегрируя термин за термином. 9{\infty}_{n=1} \dfrac{-a_n n \pi}{L} \sin \left( \dfrac{n \pi}{L}t \right)+\dfrac{b_n n \pi} {L} \cos \left( \dfrac{n \pi}{L}t \right). \nonumber \]

   Важно, чтобы функция была непрерывной. У него могут быть углы, но нет прыжков. В противном случае дифференцированный ряд не будет сходиться. В качестве упражнения возьмите серию, полученную для прямоугольной волны, и попытайтесь дифференцировать серию. Точно так же мы можем проинтегрировать ряд Фурье.

   Теорема \(\PageIndex{3}\)

   9{\infty}_{n=1} \dfrac{a_n L}{n \pi} \sin\left( \dfrac{n \pi}{L}t \right)+\dfrac{-b_n L}{n \pi} \cos \left( \dfrac{n \pi}{L}t \right), \nonumber \]

   , где \(F'(t)=f(t)\) и \(C\) произвольная константа.

   Обратите внимание, что ряд для \( F(t)\) больше не является рядом Фурье, поскольку он содержит член \( \dfrac{a_0 t}{2}\). Первообразная периодической функции больше не обязательно должна быть периодической, и поэтому мы не должны ожидать ряда Фурье.

   Скорости сходимости и гладкости

   Приведем пример периодической функции с одной производной везде.

   Пример \(\PageIndex{6}\)

   Возьмем функцию

   \[ f(t)= \left\{ \begin{array}{ccc} (t+1)t & \rm{if} & -1 < t \leq 0, \\ (1-t)t & \rm{if} & 0 < t \leq 1 , \end{array} \right. \nonumber \]

   и расширить до 2-периодической функции.

   No related posts.