Разложить кубическое уравнение на множители: Разложение на множители онлайн

alexxlab / / Разное

Содержание

Как разложить уравнение 3 степени?


Как разложить уравнение 3 степени?

Разложение на множители любого многочлена третьей степени можно представить следующим образом a(x) = (x-x0)*(a3x2 + bx + c). Раскрывая скобки, получим a(x) = a3x3 + x2(b — a3x0) + x*(c — bx0) — cx0.

Сколько решений имеет кубическое уравнение?

В ранних работах, посвящённых кубическим уравнениям, он обнаружил, что кубическое уравнение может иметь два решения (случай трёх корней остался им незамеченным), и утверждал, что уравнение не может быть решено с помощью циркуля и линейки.

Сколько корней может иметь кубическое уравнение?

Любое кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень, два других либо также действительные, либо являются комплексно сопряженной парой.

Сколько корней имеет уравнение четвертой степени?

Решение двучленного уравнения четвертой степени. 2-4ac $, если:

  1. $D > 0$, уравнения имеет два корня;
  2. $D = 0$, уравнение имеет один корень;
  3. $D уравнение не имеет корней (в поле вещественных чисел).

Как решать Би квадратное уравнение?

Биквадратным называется уравнение вида ax 4 + bx 2 + c =0 , где a 0 . Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив x 2 = y , прийдем к квадратному уравнению ay 2 + by + c =0 . Пример: Решить уравнение x 4 +4 x 2 -21=0 .

Где используются квадратные уравнения в жизни?

Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, иррациональных уравнений и неравенств. Решение многих задач математики, физики и практики сводится к решению алгебраических уравнений.

Для чего нужны квадратные уравнения?

При разбеге прыгуна в высоту для максимально четкого попадания на планку отталкивания и высокого полета, используют расчеты связанные с парабалой. … Дальность полета объекта зависит от квадратного уравнения. Квадратные уравнения получили большое значение и значительное применение в жизни.

Какие бывают квадратные уравнения?

Квадратным уравнением называют уравнение вида a x 2 + bx + c = 0 , где коэффициенты a, b, c — любые действительные числа, причём a ≠ 0 .

Как определить квадратное уравнение?

Определение квадратного уравнения Квадратное уравнение – уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a, b, c – некоторые числа (a ≠ 0), x – неизвестное.

В каком случае у квадратного уравнения нет корней?

Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. … Если D корней нет; Если D = 0, есть ровно один корень; Если D > 0, корней будет два.

Задание №21 ОГЭ по математике с решением

Ответ: -5; 1.

Первый вариант задания

Решите уравнение

Алгоритм решения:
  1. Определить тип уравнения.
  2. Найти делители свободного члена уравнения.
  3. Определить среди делителей один из корней.
  4. Выполнить деление кубического многочлена на выражение х-а, где а – найденный корень.
  5. Записать получившийся в результате деления квадратный трехчлен и составим уравнение.
  6. Решить уравнение.
  7. Записать ответ.
Решение:

1. Перед нами уравнение третьей степени общего типа.

2. Найдем делители свободного члена данного уравнения. Это числа: 1; -1; 2; -2; 3; -3; 4; -4; 6; -6; 12; -12;.18; -18; 36; -36.

3. Рассмотрим числа 1; -1; 2; -2; 3; -3. Это наименьшие среди найденных делителей. Подставим их по очереди в уравнение вместо х:

  • для x=1:   — не подходит;
  • для x=-1:   — не подходит;
  • для х=2: 23+4∙22-9∙2=8=16-18-36=-38≠0 — не подходит;
  • для х=-2: (-2)
    3    +4∙(-2)2-9∙(-2)-36=-8+16+18-36=-10≠0 – не подходит;
  • для x=3:   — подходит.

Мы нашли один корень.

4. Теперь выполним деление кубического многочлена на x-3, воспользовавшись схемой Горнера, имеем:

14-9-36
317120

Искать квадратный трехчлен можно другим способом, выполнив деление многочлена столбиком:

x2 +7x+12.

Составим квадратное уравнение для вычисления оставшихся двух корней:

x2 +7x+12=0

6. Решим его с помощью формул корней и дискриминанта

7. Получили три корня 3; -3; -4.

Ответ: 3;-3;-4.

Второй вариант задания

Решите уравнение

Алгоритм решения:
  1. Определить тип уравнения.
  2. Найти делители свободного члена уравнения.
  3. Определить среди делителей один из корней.
  4. Выполнить деление кубического многочлена на выражение х-а, где а – найденный корень.
  5. Записать получившийся в результате деления квадратный трехчлен и составим уравнение.
  6. Решить уравнение.
  7. Записать ответ.

1. Перед нами кубическое уравнение общего вида.

2. Найдем делители свободного члена уравнения. Это числа: 1; -1 и 2; -2.

3. Определим один из корней кубического уравнения среди делителей свободного члена .Для этого подставим каждый из этих делителей вместо x и проверим, какой их них является корнем:

— для x=1:   — подходит это и есть один из корней.

4. Теперь выполним деление кубического многочлена на x-1, воспользовавшись схемой Горнера, имеем:

12-1-2
11320

Искать квадратный трехчлен можно другим способом, выполнив деление многочлена столбиком:

5. Получаем квадратный трехчлен

x2 +3x+2.

6. Составим и решим квадратное уравнение для вычисления оставшихся двух корней. Для этого воспользуемся формулами корней квадратного уравнения и дискриминантом.

7. Получили три корня -2; -1; 1.

Ответ: -2; -1; 1.

Третий вариант задания

Решите уравнение

(х–2)4+3(х–2)2–10=0.

Алгоритм решения:
  1. Выполняем замену выражения с х на альтернативную переменную. Это позволит упростить уравнение и привести его к форме обычного квадратного.
  2. Решаем полученное квадратное уравнения.
  3. Переходим обратно к выражению с х, для которого была выполнена замена.
  4. Находим искомые корни уравнения.
Решение:

(х–2)4+3(х–2)2–10=0

Выполняем замену: (

х–2)2=а.

Получаем:

а2+3а–10=0

Это уравнение можно решить с помощью т.Виета.  Согласно теореме, имеем:

а1+а2=–b, a1·a2=c.

Здесь а1, а2 – корни этого уравнения, b=3, c=–10.

Отсюда получаем: а1=2, а2=–5.

Возвращаемся к переменной х. Поскольку (х–2)2=а, то получим:

1) (х–2)2=2

2) (х–2)2=–5

это уравнение корней не имеет, т.к. нельзя извлечь корень из отрицат.числа

Ответ: 

Четвертый вариант задания

Решите неравенство

(3х–7)2≥(7х–3)2.

Алгоритм решения:
  1. Используя ф-лу сокращенного умножения для квадрата разности, раскрываем скобки в левой и правой части нер-ва.
  2. Группируем элементы (слагаемые) неравенства: слагаемые с «х» должны оказаться в левой части, свободные члены – в правой. Приводим подобные.
  3. Решаем полученное нер-во.
Решение:

9х2–42х+49≥49х2–42х+9

9х2–42х–49х2+42х≥9–49

–40х2≥–40

х2≤1

х≤|1|    →    –1≤x≤1    →    xϵ[–1; 1]

Ответ: [–1; 1]

Пятый вариант задания

Решите систему уравнений

Алгоритм решения:
  1. Из 2-го уравнения выражаем у через х.
  2. Подставляем полученное выражение для у в 1-е уравнение.
  3. В полученном ур-нии с одной переменной (х) выполняем тождественные преобразования. Приводим его к квадратичному виду.
  4. Выполняем замену х2 на а. Решаем полученное квадратное ур-ние.
  5. Возвращаемся от а к х. Находим все значения (корни) для х.
  6. Определяем соответствующие им значения для у.
  7. Фиксируем в ответе пары соответствующих корней.
Решение:

Из (2) выражаем у через х:

Полученное выражение для у подставляем в (1):

Выполним преобразования:

Выполним замену: х2= , а≠0 .

Получим:

а2–37а+36=0

По т.Виета а1=1, а2=36

Отсюда имеем:

х2=1    →    х=±1    →    х1=–1, х2=1

х2=36    →    х=±6    →    х3=–6, х4=6

Теперь возвращаемся к уравнению, в котором у выражено через х. И вычисляем соответствующие значения для у:

Ответ: (–1; –6), (1; 6), (–6; –1), (6; 1)

Факторизация кубических многочленов (+вопросы) – Новичок в математике

Факторизация многочленов необходима для решения многих типов математических задач. Иногда это становится сложной задачей, когда мы сталкиваемся с кубическим полиномом. Один из способов — найти корни, применяя кубическую формулу, но это слишком сложно для запоминания и использования. Однако существуют альтернативные методы факторизации этих многочленов.

Три метода, которые мы используем для разложения кубического полинома на множители, — это расщепление слагаемых с использованием метода объявления, нахождение множителя с применением теоремы о рациональном корне и кубические формулы для суммы, разности и т. д.

Перейти к вопросам ➤

Неприводимые многочлены

Многочлены типа 2x + 1 или 3x 2 − x + 1 нельзя разложить на множители. Это неприводимые многочлены. Факторизация направлена ​​на представление многочлена в виде произведения двух (или более) многочленов более низкой степени. Факторизация завершена, когда результирующие факторы неприводимы.

Стандартная форма кубического многочлена

Поскольку мы сосредоточены на кубическом многочлене, нам нужна его стандартная форма для нашего обсуждения.

✩ Стандартная форма кубического полинома

p(x) = ax 3 + bx 2 + cx + da ≠ 0

A. Метод «ad» для линейных коэффициентов

Этот метод называется5 ” ad “

, потому что коэффициенты a и d играют центральную роль в процессе факторизации. В этом методе мы разделяем коэффициенты b и c стандартного кубического многочлена следующим образом:0045 2 + X 3 )x 2 + (Y 1 + Y 2 + Y 3 )x + d

Мы используем следующие шаги для достижения этого результата.

Шаг 1. Разделите коэффициент B

. Сначала мы находим x 1 , x 2 , x 3 Используя следующие условия:

  1. каждый из x 1 , x 2 , x . 3 является коэффициентом ad
  2. X 1 .X 2 .X 3 = a 2 d
  3. X 1 + X 2 + X 3 = b

Step 2. Split the Coefficient c

Now calculate Y 1 , Y 2 , Y 3 используя формулы:

  • Y1​=X1​ad​
  • Y2​=X2​ad​
  • Y3​=X3​ad​

Наконец, мы убеждаемся, что: 2 .Y 3 = объявление 2

  • Y 1 + Y 2 + Y 3 = c

    • Если проверка не удалась, возвращаемся к шагу 1 и находим еще одну тройку X 1 , X 2 , X 3 .

    Когда у нас есть X 1 , X 2 , X 3 и Y 1 , Y 2 , Y 3 , остальная часть факторизации представляет собой простую алгебру.

    Если шаги кажутся сложными, не беспокойтесь, так как на практике они довольно просты. Нам нужно найти только X 1 , X 2 , X 3 остальное становится на место автоматически!

    Все следующие условия должны быть удовлетворены для успешной факторизации кубического полинома:

    1. x 1 + x 2 + x 3 = B
    2. x 1 .x 2 . X
    3. x 1 .x 2 . X
    4. x 1 .x 2 . X
    5. . 3 = A 2 D
    6. Y 1 + Y 2 + Y 3 = C
    7. Y 1 .Y 2 .Y 3 = AD 2 2 .Y 3 = AD 2 2 .Y 3 = AD 2 . из Х I и Y I является фактором нашей эры
    8. x 1 .y 1 = x 2 .y 2 = x 3 .y 3 = AD
      9. 999999 . на практике условия 1, 2 и 5 используются для нахождения X 1 , X 2 , X 3 . Вычисление Y 1 , Y 2 , Y 3 выполняется непосредственно с использованием уравнений в условии 6.0013 2 + 8y − 33

      Шаг 1. Разделить коэффициент b

      Сравнивая этот многочлен со стандартной формой, мы получаем коэффициенты как:

      a = 2, b = 23, c = 8 и d = − 33

      Мы разделяем термин b как сумму трех чисел.

      B = x 1 + x 2 + x 3

      Для этого мы сначала рассчитываем:

      • A 2 D = 2 2 ( — 33) = — 132
      • 3333. = 2( − 33) = − 66

      Теперь мы находим коэффициенты x 1 , x 2 и x 3 AD = — 66 Таков:

      1. x 1 .x 2 .x 3 = A 2 6. = − 132
      2. Их сумма равна коэффициенту b = 23

      . как произведение трех чисел:
      = 22 × 3 × ( − 2)

      Это дает нам: X 1 = 22, X 2 = 3, X 3 = − 2

      Сумма 22, 3 и −2 равна 23 = b. Также каждое число является коэффициентом -66.

      Шаг 2. Разделить коэффициент c

      Так же, как и коэффициент b, мы должны разделить коэффициент c как сумму трех чисел (Y 1 , Y 2 , Y 3 ).

      Рассчитываем Y 1 , Y 2 , Y 3 по формулам: 3−66​=−22

    9. Y3​=X3​ad​=−2−66​=33

      10. Проверим, дают ли они в сумме коэффициент c: 3 − 22 + 33 = − 25 + 33
      = 8 = c

      Также их произведение должно быть равно ad 2 = 2( − 33) 2 = 2178
      Y 1 .Y 2 9. Y 3 = ( − 3)( − 22)(33) = 2178

      Оба условия выполнены!

      Остальная часть факторизации представляет собой простую алгебраическую группировку и удаление общих множителей.

      Шаг 3. Группировка

      Теперь мы разделим коэффициенты b и c кубического многочлена, используя результаты предыдущих шагов.

      2г 3 + 23г 2 + 8г — 33

      = 2г 3 + (22 + 3 — 2)у 2 + ( — 203 — 0 22 + 390)у 3 + 22 года 2 + 3 года 2 — 2 года 2 — 3 года — 22 года + 33 года — 33

      Группировка членов:

      = (2 года 3 90014 − 2y 2 ) + (3y 2 − 3y) + (22y 2 − 22y) + (33y − 33)

      Вынесение общих множителей:

      = 2y − 2 ) + 3y(y − 1) + 22y(y − 1) + 33(y − 1)

      Вычитая (y − 1) как общий множитель:

      = (y − 1)[2y 2 + 3y + 22y + 33]

      Снова группируем термины и выносим общие множители во второй скобке:

      = (y − 1)[2y(y + 11) + 3(y + 11)]

      Выносим ( у + 11) как общий множитель:

      = (y − 1)(y + 11)(2y + 3)

      Решено!

      Всегда ли работает этот метод?

      • Метод и работает, если для кубического полинома
      • существуют три линейных множителя. step
      • В большинстве вопросов относительно легко увидеть, что X 1 , X 2 , X 3 не существуют
      • Если X 1 , X 2 и X 3 не существуют, один из множителей является квадратичным или факторизация невозможна

      Доказательство и подробности этого метода находятся в статье, опубликованной на сайте Университета Северного Мичигана.

      Теперь давайте посмотрим на пример полинома, где этот метод не работает.

      Пример 2

      Факторизация p(x) = 3x 3 + 5x 2 − x + 2

      Шаг 1. Разделение коэффициента b

      Коэффициенты p(x): a = 3, b = 5, c = − 1, d = 2

      Вычислим a 2 d = 3 2 (2) = 18 и ad = 3(2) = 6

      Нужно найти X 1 , X 2 и X 3 такие, что: Их произведение равно 2 d = 3 2 (2) = 18

    Так как каждый из X 1 , X 2 , X 3 также является делителем 6, возможна только тройка 6, 3, 1. Возможные комбинации этой тройки:

    • 6, 3, 1
    • 6, − 3, − 1 − 3, 1
    • −6, 3, − 1

    Произведение всех вышеперечисленных троек дает 18, однако ни одна из них не дает в сумме 5. Так что в данном случае этот метод не работает.

    Что мы можем сделать сейчас? Мы факторизуем этот многочлен в следующем разделе.

    B. Использование теоремы о рациональном корне

    Согласно теореме о рациональных корнях, корни многочлена находятся среди следующих чисел:

    ± множители первого коэффициента множители последнего коэффициента

    В нашем случае это означает, что корни многочлена принадлежат множеству:

    Корень Set = ± коэффициенты коэффициентов d

    Как следует из названия, эта теорема работает, если корни многочлена рациональны.

    Из теоремы о факторах мы знаем, что если число «r» является корнем многочлена p(x), то одним из его множителей является ( x – r ).

    Давайте теперь попробуем этот метод на многочлене, который мы не смогли учесть в предыдущем примере.

    Пример 3

    Факторизация p(x) = 3x 3 + 5x 2 − x + 2

    2

    Согласно теореме о рациональном корне, корни лежат среди:

    ± множители 3 множители 2

    = ± 1,31,2 ]

    =±[1,2,31​,32​]

    Оценим их:

    1. Начнем с числа 1:
      • p(1) = 3,1 3 + 5,1 2 − 1 + 2 = 9
      • p(1) ≠ 0
      • Итак, 1 не является корнем.
    2. Попробуем -1:
      • p( − 1) = 3( − 1) 3 + 5( − 1) 2 − ( − 1) + 2 = 5
      • p( − 1) ) ≠ 0
      • Итак, -1 не является корнем
    3. Поскольку 5x 2 положительно для всех значений x, нам нужен отрицательный член из 3x 3 . Для этого нам нужно попробовать отрицательные числа. Поэтому попробуем -2 вместо 2:
      • p( − 2) = 3( − 2) 3 + 5( − 2) 2 − ( − 2) + 2 = − 24 + 20 + 2 + 2 = 0– p( − 2) = 0
      • Так что -2 это корень!

    Следовательно, (x − (− 2)) = (x + 2) является фактором p(x).

    Мы можем либо разделить p(x) на (x + 2), либо ловко разделить его члены, чтобы получить (x + 2) как общий множитель. Мы используем второй подход.

    p(x) = 3x 3 + 5x 2 − x + 2

    = 3x 3 + 6x 2 − x 2 − 2x + x + 2

    Если предыдущий шаг вызывает недоумение, просто разделите многочлен и разложите частное.

    Вычитая общие делители, получаем:

    = 3x 2 (x + 2) − x(x + 2) + (x + 2)

    Вынося (x + 2) как общие:

    = (x + 2)(3x 2 − x + 1)

    Мы не можем факторизовать квадратичный многочлен во второй скобке, так как его дискриминант отрицательный.

    Дискриминант = B 2 − 4AC = ( − 1) 2 − 4(3)(1) = 1 − 12 = − 11

    Таким образом, коэффициенты p(x) равны (x + 2)(3x 2 − x + 1)

    Факторная теорема

    Факторная теорема говорит нам, что для любого полинома p(x) , если p(a) = 0, (x − a) является множителем p(x).

    Итак, если мы найдем корень многочлена p(x), у нас будет множитель для p(x).

    Пример: p(x) = x 3 − 3x 2 + x + 1

    Подставляя в выражении x = 1, получаем:

    p(1) = 1 3 − 3(1) 2 + 1 + 1

    = 1 − 3 + 2 = 3 − 3 = 0

    Согласно теореме о факторах (x − 1) является фактором многочлена p(x ).

    Вы можете проверить, что p(x) = (x − 1)(x 2 − 2x − 1)

    Существует формула для нахождения корней кубического многочлена, хотя она очень сложна. Прочтите следующие статьи, если это вас интересует:

    1. Краткая статья о кубической формуле
    2. Кубическая формула в деталях

    C. Использование кубических формул

    Для многих многочленов использование формул упрощает факторизацию. Запоминание формул необходимо для распознавания образов, напоминающих их в многочлене. Мы не хотим упустить возможность их применения.

    В некоторых многочленах может присутствовать только несколько членов формулы. В таком случае мы преобразуем многочлен, делая его пригодным для применения формулы.

    ✩ Важные формулы

    1. Сумма и разность кубов
      • а 3 + б 3 = (а + б)(а 2 — аб + б 2 )
      • а 3 — б3 2 + ab + b 2 )
    2. Perfect Cubes
      • (a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3a 2 b + 3ab 2
      • (a − b) 3 = a 3 − b 3 − 3a 2 b + 3ab 2
    3. Разность квадратов ✩
      • a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)
      • Это одна из самых важных формул. Он широко используется для факторизации многочленов.
    4. Perfect Squares
      • (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
      • (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

    Пример 4

    Факторизация: p(w) = w 3 + 9w 2 + 27w + 19

    Формула разложения совершенного куба:

    (a + b) 3 = a 3 + b 3 903 140 B + 3AB 2

    Обратите внимание, что:

    • 9W 2 = 3 (W 2 × 3) = 3A 2 BA = W, B = 3
    • 27W = 3 (W × 3 2 ) = 3ab 2 a = w, b = 3

    Это прямые члены из разложения (w + 3) 3 :

    (W + 3) 3 = (W 3 + 9W 2 + 27W + 3 3 )

    нам нужно только 3 3 = 27 в полиноме. формула.

    Итак, мы разделим 19 как 27 − 8. Теперь мы получим идеальный куб:

    p(w) = (w 3 + 9w 2 + 27w + 27) − 8

    = (w 3 + 3(w 2 × 3) + 3(w × 3 2 ) + 3 3 ) − 8

    = (w + 3) 3 − 8

    Поскольку 8 = 2 3 , мы можем напрямую использовать формулу:

    a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ).

    p(w) = (w + 3) 3 − 2 3

    = [(w + 3) − 2][(w + 3) 2 + (w + 3) × 2 + 2 2 ]

    = (w + 1)(w 2 + 6w + 9 + 2w + 6 + 4)

    = (w + 1)(w 2 + 8w + 19)

    вторая скобка имеет квадратичный многочлен с коэффициентами:

    A = 1, B = 8, C = 19

    Его дискриминант D = B 2 − 4AC = 64 − 76 = − 12

    Этот квадратичный полином нельзя разложить на множители. Его дискриминант отрицателен.

    Итак, наши коэффициенты:
    (w + 1)(w 2 + 8w + 19)

    Практические вопросы

    1 Вопрос

    Факторизация p(x) = x 3 9014 + 1014 + 16x 9 + 6

    Ответ

    Можете ли вы использовать теорему о рациональных корнях, чтобы найти корень/множитель p(x)?

    2 Вопрос

    Факторизация p(x) = x 6 − 1

    Ответ

    Можете ли вы применить формулу для a 3 − b 3 ?

    3 Вопрос

    Разложить на множители p(x) = x 3 − 7x 2 + 7x + 15

    Ответ

    Можно ли разделить коэффициент при x 2 , используя тройной метод?

    4 Вопрос

    Факторизация: p(x) = x 3 + 5x 2 + 3x − 9

    Ответ

    Каково значение выражения для x = 1? Можете ли вы угадать фактор сейчас?

    5 Вопрос

    Факторизация p(x) = 2x 3 + 3x 2 + 2x + 1

    Ответ

    Каково значение выражения для x = − 1? Можете ли вы угадать фактор?

    Ответы

    1 Ответ

    Коэффициенты этого многочлена:

    a = 1, b = 6, c = 11, d = 6 номера:

    ±факторы факторов d​

    ±[11,2,3,6​]=±[1,2,3,6]

    p(x) всегда оценивается как значение больше 0 для любого положительный х.

    Поэтому мы пробуем только отрицательные числа. Попробуем начать с -1:

    p( − 1) = ( − 1) 3 + 6( − 1) 2 + 11( − 1) + 6 = − 1 + 6 − 11 + 6 = 0

    У нас есть наш фактор как: (x — ( — 1)) = (x + 1).

    p(x) = x 3 + 6x 2 + 11x + 6

    Мы могли бы разделить p(x) на (x + 1), но члены этого многочлена легко разбиваются. При разделении терминов помните, что наша цель — получить (x + 1) как общий множитель.

    = х 3 + х 2 + 5х 2 + 5х + 6х + 6

    Вычитание общих членов:

    = х 2 (хх + 1) + 5) + 6(x + 1)

    Вынесение (x + 1) как общего:

    = (x + 1)[x 2 + 5x + 6]

    Квадратичный многочлен во второй скобке разлагается на множители средний член методом «ac».

    = (x + 1)[x 2 + 2x + 3x + 6]

    Вычитание общих членов:

    = (x + 1)[x(x + 2) + 3(x + 2)]

    Вынесение (x + 2) как общего:

    = (x + 1)(x + 2)(x + 3)

    Вот и все!

    2 Ответ

    Очевидно, что этот вопрос подходит для применения формулы разности кубов как x 6 − 1 = (x 2 ) 3 − 1 3 .

    p(x) = x 6 − 1

    = (x 2 ) 3 − 1 3

    Применяя формулу: a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )

    = (x 2 − 1)(x 4 + x 4 2 900)

    Первую скобку можно записать как разность квадратов:

    = (x 2 − 1 2 )(x 4 + x 2 + 1)

    Применим формулу: a 23 4 − b 2 = (a − b)(a + b)

    = (x − 1)(x + 1)(x 4 + x 2 + 1)

    сложение и вычитание x 2 в члены последней скобки:

    = (x − 1)(x + 1)(x 4 + 2x 2 + 1 2 − x 2 )

    = (x

    = (x

    ) − 1)(x + 1)((x 2 ) 2 + 2(x 2 )(1) + 1 2 − x 2 )

    = (x − 1)(x + 1)((x 2 + 1) 2 − x 2 )

    Применение разности квадратов ( a 2 − b 2 = (a + b)(a − b) ) формула к условиям последней скобки:

    = (х — 1)(х + 1)(х 2 + 1 — х)(х 2 + 1 + х)

    = (х — 1)(х + 1)(х 2 — х + 1)(х 2 + х + 1)

    Вот и все!

    3 Ответ

    Стандартная форма кубического полинома: ах

    Вычисляем ad = 15, a 2 d = 15

    Для ad-метода наша тройка X 1 , X 2 , X 3 должно быть таким, что:

    1. Каждое X i является коэффициентом ad = 15

    2. X 1 .X 2 .X 3 04

    = 1 5 4

    1 = a 2

    3. X 1 + X 2 + X 3 = b = − 7

    Простые множители числа 2 d = 15 = 3 × 5

    1 4 90 15 = 1 × ( − 3) × ( − 5), получаем: X 1 = 1, X 2 = − 3, X 3 = − 5.

    X 1 + X 2 + X 3 = 1 − 3 − 5 = − 7

    Триплет удовлетворяет трем указанным выше условиям.

    Мы можем вычислить тройку Y 1 , Y 2 , Y 3 по формуле: ​=X2​ad​=−315​=−5

    Y3​=X3​ad​=−515​=−3

    Проверим условия пригодности Y 1 , Y 2 , Y 3 :

    1. Д 1 .Д 2 .Y 3 = 15( − 5)( − 3) = 225 = ad 2

    2. Y 1 + Y 2 + Y 3

    − 5 =

    7 = c

    Оба условия выполнены. Итак, теперь у нас есть допустимая тройка, разделяющая коэффициент c.

    Мы разделяем коэффициенты, используя триплеты x 1 , x 2 , x 3 и Y 1 , Y 2 , Y 3 :

    P (x) = x 3 :

    P (x) = x 3 :

    P (x) = x 3 :

    p (x) = x 3 :

    p (x) = x 3 :

    p (x) = x 3 :

    p (x) = x 3 − 7x 2 + 7x + 15

    = х 3 + (1 — 3 — 5)х 2 + (15 — 5 — 3)х + 15 2 + 15x — 5x — 3x + 15

    Перестановка членов и их группировка:

    = (x 3 + x 2 ) + ( — 3x 2 — 3x ) + ( — 10 3x 9 0 − 5x) + (15x + 15)

    Вычитание общих множителей:

    = x 2 (x + 1) − 3x(x + 1) − 5x(x + 1) + 15(x + 1)

    Вычитание (x + 1) как общего множителя:

    = (x + 1)[x 2 − 3x − 5x + 15]

    = (x + 1)[x(x − 3) − 5 (x − 3)]

    = (x + 1)(x − 3)(x − 5)

    4 Ответ

    Коэффициенты p(x): a = 1, b = 5, c = 3 , d = − 9

    Обратите внимание на сумму коэффициентов a + b + c + d = 0. Многочлен равен нулю, если мы заменим x на 1 (p(1) = 0). Следовательно, (x − 1) является множителем p(x).

    Теорема о рациональном корне также дает корень, но для этого многочлена было легче угадать.

    В качестве следующего шага мы можем разделить p(x) на (x − 1) и разложить полученное частное на множители, но мы решили разделить члены.

    Мы форсируем наш способ получить (x − 1) как множитель для каждой пары уменьшающих показателей x.

    Если мы соединим −x 2 с x 3 , мы получим (x − 1) как множитель. Таким образом, мы прибавляем ( − x 2 + x 2 ) к p(x):

    p(x) = x 3 − x 2 + x 2 + 5x − 2 + 9

    = х 2 (x − 1) + 6x 2 + 3x − 9

    Если мы соединим −6x с 6x 2 , мы получим (x − 1) как множитель. Таким образом, мы добавляем (-6x + 6x) к p(x):

    = x 2 (x — 1) + 6x 2 — 6x + 6x + 3x — 9

    = x 2 (x — 1) + 6x(x — 1) + 9x — 9

    = x 2 (x — 1) + 6x(x — 1) + 9(x — 1)

    Вынесение (x — 1) в виде общий делитель:

    = (x − 1)(x 2 + 6x + 9)

    Отлично получилось! Это не могло пойти не так, как надо, поскольку (x − 1) — известный множитель.

    Перепишем члены во второй скобке:

    = (x − 1)(x 2 + 2(x)(3) + 3 2 )

    Члены во второй скобке представляют собой развернутую форму полный квадрат:

    (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 a = x, b = 3.

    Следовательно, p(x) = (x − 1)(x + 3) ) 2

    5 Ответ

    Коэффициенты p(x): a = 2, b = 3, c = 2, d = 1.

    Из теоремы о рациональном корне корни p(x) находятся среди следующих :

    ±множители афакторов d​

    ±множители 2факторов 1​

    ±[1,21​]

    ±[1,21​]=[−1,1,−21​,21​]

    Поскольку все коэффициенты положительны, p(x) > 0 для любого положительного x. Следовательно, корень p(x) — отрицательное число.

    Попробуем x = − 1:

    p( − 1) = 2( − 1) 3 + 3( − 1) 2 + 2( − 1) + 1

    = − 2 + 3 − 2 + 1 = 0

    x = − 1 является корнем многочлена p(x).

    Из теоремы о множителях мы знаем, что x + 1 является множителем p(x).

    Если мы соединим 2x 2 и 2x 3 , мы получим (x + 1) как множитель. Поэтому мы пишем 3x 2 = 2x 2 + x 2

    P (x) = 2x 3 + 3x 2 + 2x + 1

    = 2x 3 + 2x 2

    + 2x 3 + 2x 2

    + 2x 3 + 2x 2

    = 2x 3 + 2x 2

    . x 2 + 2x + 1

    = 2x 2 (x + 1) + x 2 + 2x + 1

    ).

    = 2х 2 (х + 1) + (х + 1) 2

    Вычитание общего множителя (x + 1):

    = (x + 1)(2x 2 + x + 1)

    Во второй скобке у нас есть квадратичный полином, но он неприводимый. Вы можете доказать это?

    Связанный

    Факторинг полиномов (методы с примерами) ➤

    Факторические листы полиномов с ответами ➤

    Факторов квадратичных экспрессии в 4 легких шагах ➤

    . Факторов квадратичных экспрессии в 4 легких шагах ➤

    .2 + 2x -2 ) = 0.$$

    Как он это сделал?

    • факторинг
    • куб

    $\endgroup$

    6

    $\begingroup$

    Существует хитрый трюк, называемый теоремой о рациональных корнях. Все, что нам нужно сделать, это разложить первое и последнее числа на множители, положить их на дробь и взять $\pm$. Это дает нам следующие возможные рациональные корни:

    $$x\stackrel?=\pm1,\pm2,\pm4$$ 92+6)\,\color{#c00}{n = -4},\,$ следовательно, $\,\color{#c00}{n\ \ {\rm делит}\ \ 4}.\,$ Проверка всех делителей $4$ показывает, что $2$ является корнем, $ $, следовательно, $\,x-2\,$ является множителем $f$ по теореме о факторах. Кофактор $\,f/(x-2)\,$ вычисляется алгоритмом полиномиального (длинного) деления (или даже с помощью неопределенных коэффициентов).

    Замечание $\ $ Это очень частный случай общих отношений между факторизацией полиномов и факторизацией их значений. Например, можно вывести отношения между простотой и составностью полиномов на основе одних и тех же свойств их значений. Например, поскольку $\94+8\,$ по признаку неприводимости Кона. Посмотрите этот ответ и ссылки на некоторые из этих прекрасных идей Бернулли, Кронекера и Шуберта.

    $\endgroup$

    1

    $\begingroup$

    Примечание: Я понимаю, что на этот вопрос уже есть принятый ответ, поэтому этот ответ может быть бесполезным, но, тем не менее, я все равно публикую это для распространения знаний! 92$$$$x=7$$

    $\endgroup$

    $\begingroup$

    Теорема о рациональном корне дает список всех возможных рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами, которые имеют заданный старший коэффициент и заданный постоянный коэффициент. В этом случае старший коэффициент равен $1$, а постоянный коэффициент равен $4.$ Теорема говорит нам, что все рациональные корни лежат в множестве $\left\{ \pm\dfrac 1 1, \pm\dfrac 2 1, \ pm \dfrac 4 1 \right\},$ при этом числитель является единственным делителем старшего коэффициента $1$, а знаменатели являются делителями постоянного коэффициента $4$. Это не означает, что есть рациональные корни; это только означает, что нет ничего, что не принадлежит этому набору. В этом наборе всего шесть элементов, поэтому легко подключить их всех и посмотреть, получите ли вы 0 долларов. Когда вы подставляете $2$, вы получаете $0$, так что вот ваша факторизация.

    $\endgroup$

    4

    $\begingroup$

    Если $P$ — многочлен с действительными коэффициентами и если $a\in\mathbb{R}$ — корень, а это означает, что $P(a)=0$, то существует вещественный многочлен $Q$ такой что $\forall x\in\mathbb{R},\quad P(x)=(x-a)\,Q(x)$.

    No related posts.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *