Разложить в ряд фурье по косинусам функцию: Такой страницы нет — Инженерный справочник DPVA.ru / Технический справочник ДПВА / Таблицы для инженеров (ex DPVA-info)

§/(х) z1pgahs/х=0

следующим образом. — l390 глава XXIV. ряд Фурье[405 Поэтому ряд Фурье четной Людмила Фирмаль

функции содержит только косинусы: /(h)-4-2a p S08pH.(15) p 1. В этом случае/(x) так как s o z n x также будет h E t n-й функцией, то, здесь мы применяем второе из вышеприведенных замечаний,мы разложим коэффициенты AP в виде te AP=..да что с тобой такое? (16) функция/

если(x)N E h e t n o y, то n E h e t n o y становится функцией / (x)pop pH, te a » =4g Y/(x) pop l x y x = 0(l-0,1,2,)…да что с тобой такое? — Их Мы приходим к выводу, что ряд Фурье нечетной функции содержит только синус: /(x)=2BP81P pH. (17)n=1 Итак, принимая во внимание четность произведения/(x) z t n x, N= — § / (x) n x y x (n=1, 2, 3,)…да что с

  • тобой такое? Заметим, что каждая функция/(x), заданная в интервале (18) [- TS, TS], может быть представлена как сумма четных и нечетных составляющих функции:/(x)= / 1 (x)+A (
    ) > Куда? Л (ч) =Ш+я-
    м\х)=^-^л Ясно, что ряд Фурье функции/(x)состоит из косинусного разложения функции(x) и синусоидального разложения функции/%(x). Кроме того, эта функция/(Х)З А Д А Н А Л И З В П О М Е Т К Е[0, ц]а. Я хочу разложить его в ряд Фурье (2) в этом интервале, но определение

функции для значения x в интервале[—TS, 0) произвольно, но оно сохраняет Дифференцируемость кусочно, и я хочу разложить функцию в n°403.405]§2 ряд Фурье 391. Произвольность, подчеркнутая выше в определении функции, позволяет получить таким образом различные тригонометрические ряды. Представим себе легема, использующего произвольность в определении функции интервала[—te,0), / (x)распада Т О Л К О В К О й н У С а м или Т А Л К О В К О й сам (19) В результате получается интервал H E t n a I [- te, te]. 75, а). в b функция его разложения, как мы видели,

будет содержать только Косинус. Коэффициент разложения может быть вычислен по Людмила Фирмаль

формуле (16), которая изначально содержит только значения заданной функции/(x). Аналогично, если вы добавляете условие к определению функции(0<^x=^te) Действительно., /(- х)=-/(х) (20)н е ч е т н о г (Рис. 75, б), в его разложении участвуют только члены с пазухами. Его коэффициент определяется по формуле (18). Таким образом, заданную интервальной функцией[0, te] при определенных условиях можно разложить как в ряд косинусов, так и в ряд синусов. Однако необходимы специальные исследования, где точки x-0 и x=te. Здесь оба разложения ведут себя по-разному. Предположим для упрощения, что данная функция / (x)непрерывна при x=0 и x=1,

Сначала рассмотрим косинусную факторизацию. Условие (19) сначала гарантирует, что все C o x R a n I e T X=0 в непрерывности, x = 15 в серии 0 сходится точно к/(0). Кроме того, поскольку, / ( _ 1 0) — 0) = / ( « ) , и под x=они поставили аналогичную ситуацию. Это не относится к синусоидальным разложениям. Без учета нарушения продолжения из-за условий(20)и т.д., вы заметите, что с точками x=0 и x=te сумма ряда (17), очевидно, будет равна нулю. Таким образом, вы можете дать значения/(0) и/(1) только в том случае, если эти значения равны

нулю.392 главы XXIV. ряды Фурье[408 Если функция/(x) задана в интервалеРешение задач по математическому анализу

Содержание

Разложение в ряд Фурье онлайн

Разложение некоторой функции f(x) в тригонометрический ряд Фурье на отрезке [-k, k] имеет вид:

a02∞n1ancosnπxkbnsinnπxk

где

an1kkkfxcosnπxkdx для (n = 0, 1, 2, 3,…)

bn1kkkfxsinnπxkdx для (n = 1, 2, 3,…)

В качестве примера, разложим в ряд Фурье функцию f(x)=x на отрезке [-1, 1]. В этом случае коэффициенты an и bn определяются по формулам:

an11xcosnπxdx0

bn11xsinnπxdx21nnπ

Таким образом, разложение функции f(x)=x в ряд Фурье на отрезке [-1, 1] имеет вид:

∞n121nnπsinnπx

На рисунке ниже приведено два графика: f(x)=x (красным цветом) и yx25n121nnπsinnπx , (синим цветом) для которого мы взяли порядок разложения функции в ряд Фурье равным 25.

Стоит отметить, что в приведенном выше примере, коэффициенты an равны нулю не случайно. Дело в том, что функция f(x)=x является нечетной на интервале [-1, 1]. Функция cosnπx — напротив является чётной. Произведение чётной функции на нечетную является нечётной функцией, поэтому согласно свойствам, интеграл от нечётной функции на симметричном интервале равен нулю.

В случае, если бы мы раскладывали в ряд Фурье на симметричном интервале какую-нибудь чётную функцию, например x2 , коэффициенты bn равнялись бы нулю, поскольку в этом случае, подинтегральное выражение x2sinnπx — являлось бы нечётной функцией.

Исходя из приведённых выше рассуждений можно сделать следующие выводы:

  • Разложение в ряд Фурье нечётной функции на симметричном интервале будет содержить только слагаемые с синусами.
  • Разложение в ряд Фурье чётной функции на симметричном интервале будет содержить только слагаемые с косинусами.
  • Если нам необходимо получить разложение в ряд Фурье некоторой произвольной функции на интервале [0, b] , то у нас есть две возможности. Мы можем продолжить эту функцию на интервал [-b, 0] нечётным образом и тогда в разложении получим только синусы. Или же мы можем продолжить её в указанный интервал чётным образом и тогда получим в разложении только косинусы.

Стоит также отметить, что используя приведённые выше формулы и соответствующую замену переменной, можно получить формулы для коэффициентов разложения функции в ряд Фурье на произвольном интервале [p, q]:

an1kqpfxcosnπxkdx

bn1kqpfxsinnπxkdx

здесь kqp2 .

Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha раскладывает произвольную функцию в ряд Фурье на интервале [-π π]. В принципе, это не накладывает существенных ограничений, поскольку, используя соответствующую замену переменной, мы можем получить разложение на произвольном интервале [p, q].

история и влияние математического механизма на развитие науки

Ряд Фурье четной периодической функции f (x) с периодом 2р содержит только члены с косинусами (т.е. не содержит членов с синусами) и может включать постоянный член. Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Ряд Фурье нечетной периодической функции f (x) с периодом 2р содержит только члены с синусами (т.е. не содержит членов с косинусами).

Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Если функция определена для диапазона, скажем от 0 до р, а не только от 0 до 2р, ее можно разложить в ряд только по синусам или тольо по косинусам. Полученный ряд Фурье называется рядом Фурье на полупериоде.

Если требуется получить разложение

Фурье на полупериоде по косинусам функции f (x) в диапазоне от 0 до р, то необходимо составить четную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f (x) =х, построенная на интервале от х=0 до х=р. Поскольку четная функция симметрична относительно оси f (x), проводим линию АВ, как показано на рис. ниже. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученная треугольная форма является периодической с периодом 2р, то итоговый график имеет вид, показ. на рис. ниже. Поскольку требуется получить разложение Фурье по косинусам, как и ранее, вычисляем коэффициенты Фурье a o и a n


Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по синусам функции f (x) в диапазоне от 0 до р, то необходимо составить нечетную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f (x) =x, построенная на интервале от от х=0 до х=р. Поскольку нечетная функция симметрична относительно начала координат, строим линию CD, как показано на рис.

Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученный пилообразный сигнал является периодическим с периодом 2р, то итоговый график имеет вид, показанный на рис. Поскольку требуется получить разложение Фурие на полупериоде по синусам, как и ранее, вычисляем коэффициент Фурье. b

Министерство общего и профессионального образования

Сочинский государственный университет туризма

и курортного дела

Педагогический институт

Математический факультет

Кафедра общей математики

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

Ряды Фурье и их приложения

В математической физике.

Выполнила: студентка 5-го курса

подпись дневной формы обучения

Специальность 010100

„Математика”

Касперовой Н.С.

Студенческий билет № 95471

Научный руководитель:доцент, канд.

подпись техн. наук

Позин П.А.

Сочи, 2000 г.

1. Введение.

2. Понятие ряда Фурье.

2.1. Определение коэффициентов ряда Фурье.

2.2. Интегралы от периодических функций.

3. Признаки сходимости рядов Фурье.

3.1. Примеры разложения функций в ряды Фурье.

4. Замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье

5. Ряды Фурье для четных и нечетных функций.

6. Ряды Фурье для функций с периодом 2 l .

7. Разложение в ряд Фурье непериодической функции.

Введение.

Жан Батист Жозеф Фурье — французский математик, член Парижской Академии Наук (1817).

Первые труды Фурье относятся к алгебре. Уже в лекциях 1796 он изложил теорему о числе действительных корней алгебраического уравнения, лежащих между данными границами (опубл. 1820), названную его именем; полное решение о числе действительных корней алгебраического уравнения было получено в 1829 Ж.Ш.Ф. Штурмом. В 1818 Фурье исследовал вопрос об условиях применимости разработанного Ньютоном метода численного решения уравнений, не зная об аналогичных результатах, полученных в 1768 французским математиком Ж.Р. Мурайлем. Итогом работ Фурье по численным методам решения уравнений является «Анализ определённых уравнений», изданный посмертно в 1831.

Основной областью занятий Фурье была математическая физика. В 1807 и 1811 он представил Парижской Академии Наук свои первые открытия по теории распространении тепла в твёрдом теле, а в 1822 опубликовал известную работу «Аналитическая теория теплоты», сыгравшую большую роль в последующей истории математики. Это – математическая теория теплопроводности. В силу общности метода эта книга стала источником всех современных методов математической физики. В этой работе Фурье вывел дифференциальное уравнение теплопроводности и развил идеи, в самых общих чертах намеченные ранее Д. Бернулли, разработал для решения уравнения теплопроводности при тех или иных заданных граничных условиях метод разделения переменных (метод Фурье), который он применял к ряду частных случаев (куб, цилиндр и др.). В основе этого метода лежит представление функций тригонометрическими рядами Фурье.

Ряды Фурье теперь стали хорошо разработанным средством в теории уравнений в частных производных при решении граничных задач.

1. Понятие ряда Фурье. (стр. 94, Уваренков)

Ряды Фурье играют большую роль в математической физике, теории упругости, электротехнике и особенно их частный случай – тригонометрические ряды Фурье.

Тригонометрическим рядом называют ряд вида

или, символической записи:

(1)

где ω, a 0 , a 1 , …, a n , …, b 0 , b 1 , …,b n , …- постоянные числа (ω>0) .

К изучению таких рядов исторически привели некоторые задачи физики, например задача о колебаниях струны (XVIII в.), задача о закономерностях в явлениях теплопроводности и др. В приложениях рассмотрение тригонометрических рядов, прежде всего связано с задачей представления данного движения, описанного уравнением у = ƒ(χ), в

виде суммы простейших гармонических колебаний, часто взятых в бесконечно большом числе, т. е. в качестве суммы ряда вида (1).

Таким образом, мы приходим к следующей задаче: выяснить существует ли для данной функции ƒ(x) на заданном промежутке такой ряд (1),который сходился бы на этом промежутке к данной функции. Если это возможно, то говорят, что на этом промежутке функция ƒ(x) разлагается в тригонометрический ряд.

Ряд (1) сходится в некоторой точке х 0 , в силу периодичности функций

(n=1,2,..), он окажется сходящимся и во всех точках вида (m- любое целое число), и тем самым его сумма S(x) будет (в области сходимости ряда) периодической функцией: если S n (x) – n-я частичная сумма этого ряда, то имеем

а потому и

, т. е. S(x 0 +T)=S(x 0). Поэтому, говоря о разложении некоторой функции ƒ(x) в ряд вида (1), будем предполагать ƒ(x) периодической функцией.

2. Определение коэффициентов ряда по формулам Фурье.

Пусть периодическая функция ƒ(х) с периодом 2π такая, что она представляется тригонометрическим рядом, сходящимся к данной функции в интервале (-π, π), т. е. является суммой этого ряда:

. (2)

Предположим, что интеграл от функции, стоящей в левой части этого равенства, равняется сумме интегралов от членов этого ряда. Это будет выполняться, если предположить, что числовой ряд, составленный из коэффициентов данного тригонометрического ряда, абсолютно сходится, т. е.. сходится положительный числовой ряд

(3)

Ряд (1) мажорируем и его можно почленно интегрировать в промежутке (-π, π). Проинтегрируем обе части равенства (2):

.

Вычислим отдельно каждый интеграл, встречающийся в правой части:

, , .

Таким образом,

, откуда . (4)

Оценка коэффициентов Фурье. (Бугров)

Теорема 1. Пусть функция ƒ(x) периода 2π имеет непрерывную производную ƒ ( s) (x) порядка s, удовлетворяющей на всей действительной оси неравенству:

│ ƒ (s) (x)│≤ M s ; (5)

тогда коэффициенты Фурье функции ƒ удовлетворяют неравенству

(6)

Доказательство. Интегрируя по частям и учитывая, что

ƒ(-π) = ƒ(π), имеем


Интегрируя правую часть (7) последовательно, учитывая, что производные ƒ ΄ , …, ƒ (s-1) непрерывны и принимают одинаковые значения в точках t = -π и t = π, а также оценку (5), получим первую оценку (6).

Вторая оценка (6) получается подобным образом.

Теорема 2. Для коэффициентов Фурье ƒ(x) имеет место неравенство

(8)

Доказательство. Имеем

Ряд Фурье периодических функций с периодом 2π.

Ряд Фурье позволяет изучать периодические функции, разлагая их на компоненты. Переменные токи и напряжения, смещения, скорость и ускорение кривошипно-шатунных механизмов и акустические волны — это типичные практические примеры применения периодических функций в инженерных расчетах.

Разложение в ряд Фурье основывается на предположении, что все имеющие практическое значение функции в интервале -π ≤x≤ π можно выразить в виде сходящихся тригонометрических рядов (ряд считается сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов):

Стандартная (=обычная) запись через сумму sinx и cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+…+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+…,

где a o , a 1 ,a 2 ,…,b 1 ,b 2 ,.. — действительные константы, т.е.

Где для диапазона от -π до π коэффициенты ряда Фурье рассчитываются по формулам:

Коэффициенты a o ,a n и b n называются коэффициентами Фурье , и если их можно найти, то ряд (1) называется рядом Фурье, соответствующим функции f(x). Для ряда (1) член (a 1 cosx+b 1 sinx) называется первой или основной гармоникой,

Другой способ записи ряда — использование соотношения acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+…+c n sin(nx+α n)

Где a o — константа, с 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2 , с n =(a n 2 +b n 2) 1/2 — амплитуды различных компонент, а равен a n =arctg a n /b n .

Для ряда (1) член (a 1 cosx+b 1 sinx) или c 1 sin(x+α 1) называется первой или основной гармоникой, (a 2 cos2x+b 2 sin2x) или c 2 sin(2x+α 2) называется второй гармоникой и так далее.

Для точного представления сложного сигнала обычно требуется бесконечное количество членов. Однако во многих практических задачах достаточно рассмотреть только несколько первых членов.

Ряд Фурье непериодических функций с периодом 2π.

Разложение непериодических функций.

Если функция f(x) непериодическая, значит, она не может быть разложена в ряд Фурье для всех значений х. Однако можно определить ряд Фурье, представляющий функцию в любом диапазоне шириной 2π.

Если задана непериодическая функция, можно составить новую функцию, выбирая значения f(x) в определенном диапазоне и повторяя их вне этого диапазона с интервалом 2π. Поскольку новая функция является периодической с периодом 2π, ее можно разложить в ряд Фурье для всех значений х. Например, функция f(x)=x не является периодической. Однако, если необходимо разложить ее в ряд Фурье на интервале от о до 2π, тогда вне этого интервала строится периодическая функция с периодом 2π (как показано на рис. ниже) .

Для непериодических функций, таких как f(x)=х, сумма ряда Фурье равна значению f(x) во всех точках заданного диапазона, но она не равна f(x) для точек вне диапазона. Для нахождения ряда Фурье непериодической функции в диапазоне 2π используется все таже формула коэффициентов Фурье.

Четные и нечетные функции.

Говорят, функция y=f(x) четная , если f(-x)=f(x) для всех значений х. Графики четных функций всегда симметричны относительно оси у (т.е. являются зеркально отраженными). Два примера четных функций: у=х 2 и у=cosx.

Говорят, что функция y=f(x) нечетная, если f(-x)=-f(x) для всех значений х. Графики нечетных функций всегда симметричны относительно начала координат.

Многие функции не являются ни четными, ни нечетными.

Разложение в ряд Фурье по косинусам.

Ряд Фурье четной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с косинусами (т.е. не содержит членов с синусами) и может включать постоянный член. Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Ряд Фурье нечетной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с синусами (т.е. не содержит членов с косинусами).

Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Ряд Фурье на полупериоде.

Если функция определена для диапазона, скажем от 0 до π, а не только от 0 до 2π, ее можно разложить в ряд только по синусам или тольо по косинусам. Полученный ряд Фурье называется рядом Фурье на полупериоде.

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по косинусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить четную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=х, построенная на интервале от х=0 до х=π. Поскольку четная функция симметрична относительно оси f(x), проводим линию АВ, как показано на рис. ниже. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученная треугольная форма является периодической с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показ. на рис. ниже. Поскольку требуется получить разложение Фурье по косинусам, как и ранее, вычисляем коэффициенты Фурье a o и a n

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по синусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить нечетную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=x, построенная на интервале от от х=0 до х=π. Поскольку нечетная функция симметрична относительно начала координат, строим линию CD, как показано на рис. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученный пилообразный сигнал является периодическим с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показанный на рис. Поскольку требуется получить разложение Фурие на полупериоде по синусам, как и ранее, вычисляем коэффициент Фурье. b

Ряд Фурье для произвольного интервала.

Разложение периодической функции с периодом L.

Периодическая функция f(x) повторяется при увеличении х на L, т.е. f(x+L)=f(x). Переход от рассмотренных ранее функций с периодом 2π к функциям с периодом L довольно прост, поскольку его можно осуществить с помощью замены переменной.

Чтобы найти ряд Фурье функции f(x) в диапазоне -L/2≤x≤L/2, введем новую переменную u таким образом, чтобы функция f(x) имела период 2π относительно u. Если u=2πх/L, то х=-L/2 при u=-π и х=L/2 при u=π. Также пусть f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ряд Фурье F(u) имеет вид

(Пределы интегрирования могут быть заменены на любой интервал длиной L, например, от 0 до L)

Ряд Фурье на полупериоде для функций, заданных в интервале L≠2π.

Для подстановки u=πх/L интервал от х=0 до х=L соответствует интервалу от u=0 до u=π. Следовательно, функцию можно разложить в ряд только по косинусам или только по синусам, т.е. в ряд Фурье на полупериоде .

Разложение по косинусам в диапазоне от 0 до L имеет вид

Которые уже порядком поднадоели. И я чувствую, что настал момент, когда из стратегических запасов теории пора извлечь новые консервы. Нельзя ли разложить функцию в ряд как-нибудь по-другому? Например, выразить отрезок прямой линии через синусы и косинусы? Кажется невероятным, но такие, казалось бы, далекие друг от друга функции поддаются
«воссоединению». Помимо примелькавшихся степеней в теории и практике существуют и другие подходы к разложению функции в ряд.

На данном уроке мы познакомимся с тригонометрическим рядом Фурье, коснёмся вопроса его сходимости и суммы и, конечно же, разберём многочисленные примеры на разложение функций в ряд Фурье. Искренне хотелось назвать статью «Ряды Фурье для чайников», но это было бы лукавством, поскольку для решения задач потребуются знания других разделов математического анализа и некоторый практический опыт. Поэтому преамбула будет напоминать подготовку космонавтов =)

Во-первых, к изучению материалов страницы следует подойти в отличной форме. Выспавшимися, отдохнувшими и трезвыми. Без сильных эмоций по поводу сломанной лапы хомячка и навязчивых мыслей о тяготах жизни аквариумных рыбок. Ряд Фурье не сложен с точки зрения понимания, однако практические задания требуют просто повышенной концентрации внимания – в идеале следует полностью отрешиться от внешних раздражителей. Ситуация усугубляется тем, что не существует лёгкого способа проверки решения и ответа. Таким образом, если ваше самочувствие ниже среднего, то лучше заняться чем-нибудь попроще. Правда.

Во-вторых, перед полётом в космос необходимо изучить приборную панель космического корабля. Начнём со значений функций, которые должны щёлкаться на автомате:

При любом натуральном значении :

1) . И в самом деле, синусоида «прошивает» ось абсцисс через каждое «пи»:
. В случае отрицательных значений аргумента результат, само собой, будет таким же: .

2) . А вот это знали не все. Косинус «пи эн» представляет собой эквивалент «мигалки»:

Отрицательный аргумент дела не меняет: .

Пожалуй, достаточно.

И, в-третьих, уважаемый отряд космонавтов, необходимо уметь… интегрировать .
В частности, уверенно подводить функцию под знак дифференциала , интегрировать по частям и быть в ладах с формулой Ньютона-Лейбница . Начнём важные предполётные упражнения. Категорически не рекомендую пропускать, чтобы потом не плющило в невесомости:

Пример 1

Вычислить определённые интегралы

где принимает натуральные значения.

Решение : интегрирование проводится по переменной «икс» и на данном этапе дискретная переменная «эн» считается константой. Во всех интегралах подводим функцию под знак дифференциала :

Короткая версия решения, к которой хорошо бы пристреляться, выглядит так:

Привыкаем:

Четыре оставшихся пункта самостоятельно. Постарайтесь добросовестно отнестись к заданию и оформить интегралы коротким способом. Образцы решений в конце урока.

После КАЧЕСТВЕННОГО выполнения упражнений надеваем скафандры
и готовимся к старту!

Разложение функции в ряд Фурье на промежутке

Рассмотрим некоторую функцию , которая определена по крайне мере на промежутке (а, возможно, и на бОльшем промежутке). Если данная функция интегрируема на отрезке , то её можно разложить в тригонометрический ряд Фурье :
, где – так называемые коэффициенты Фурье .

При этом число называют периодом разложения , а число – полупериодом разложения .

Очевидно, что в общем случае ряд Фурье состоит из синусов и косинусов:

Действительно, распишем его подробно:

Нулевой член ряда принято записывать в виде .

Коэффициенты Фурье рассчитываются по следующим формулам:

Прекрасно понимаю, что начинающим изучать тему пока малопонятны новые термины: период разложения , полупериод , коэффициенты Фурье и др. Без паники, это не сравнимо с волнением перед выходом в открытый космос. Во всём разберёмся в ближайшем примере, перед выполнением которого логично задаться насущными практическими вопросами:

Что нужно сделать в нижеследующих заданиях?

Разложить функцию в ряд Фурье. Дополнительно нередко требуется изобразить график функции , график суммы ряда , частичной суммы и в случае изощрённых профессорский фантазий – сделать что-нибудь ещё.

Как разложить функцию в ряд Фурье?

По существу, нужно найти коэффициенты Фурье , то есть, составить и вычислить три определённых интеграла .

Пожалуйста, перепишите общий вид ряда Фурье и три рабочие формулы к себе в тетрадь. Я очень рад, что у некоторых посетителей сайта прямо на моих глазах осуществляется детская мечта стать космонавтом =)

Пример 2

Разложить функцию в ряд Фурье на промежутке . Построить график , график суммы ряда и частичной суммы .

Решение : первая часть задания состоит в разложении функции в ряд Фурье.

Начало стандартное, обязательно записываем, что:

В данной задаче период разложения , полупериод .

Разложим функцию в ряд Фурье на промежутке :

Используя соответствующие формулы, найдём коэффициенты Фурье . Теперь нужно составить и вычислить три определённых интеграла . Для удобства я буду нумеровать пункты:

1) Первый интеграл самый простой, однако и он уже требует глаз да глаз:

2) Используем вторую формулу:

Данный интеграл хорошо знаком и берётся он по частям :

При нахождении использован метод подведения функции под знак дифференциала .

В рассматриваемом задании сподручнее сразу использовать формулу интегрирования по частям в определённом интеграле :

Пара технических замечаний. Во-первых, после применения формулы всё выражение нужно заключить в большие скобки , так как перед исходным интегралом находится константа . Не теряем её ! Скобки можно раскрыть на любом дальнейшем шаге, я это сделал в самую последнюю очередь. В первом «куске» проявляем крайнюю аккуратность в подстановке, как видите, константа не при делах, и пределы интегрирования подставляются в произведение . Данное действие выделено квадратными скобками. Ну а интеграл второго «куска» формулы вам хорошо знаком из тренировочного задания;-)

И самое главное – предельная концентрация внимания!

3) Ищем третий коэффициент Фурье:

Получен родственник предыдущего интеграла, который тоже интегрируется по частям :

Этот экземпляр чуть сложнее, закомментирую дальнейшие действия пошагово:

(1) Выражение полностью заключаем в большие скобки . Не хотел показаться занудой, слишком уж часто теряют константу .

(2) В данном случае я немедленно раскрыл эти большие скобки. Особое внимание уделяем первому «куску»: константа курит в сторонке и не участвует в подстановке пределов интегрирования ( и ) в произведение . Ввиду загромождённости записи это действие снова целесообразно выделить квадратными скобками. Со вторым «куском» всё проще: здесь дробь появилась после раскрытия больших скобок, а константа – в результате интегрирования знакомого интеграла;-)

(3) В квадратных скобках проводим преобразования , а в правом интеграле – подстановку пределов интегрирования.

(4) Выносим «мигалку» из квадратных скобок: , после чего раскрываем внутренние скобки: .

(5) Сокращаем 1 и –1 в скобках, проводим окончательные упрощения.

Наконец-то найдены все три коэффициента Фурье:

Подставим их в формулу :

При этом не забываем разделить пополам. На последнем шаге константа («минус два»), не зависящая от «эн», вынесена за пределы суммы.

Таким образом, мы получили разложение функции в ряд Фурье на промежутке :

Изучим вопрос сходимости ряда Фурье. Я объясню теорию, в частности теорему Дирихле , буквально «на пальцах», поэтому если вам необходимы строгие формулировки, пожалуйста, обратитесь к учебнику по математическому анализу (например, 2-й том Бохана; или 3-й том Фихтенгольца, но в нём труднее) .

Во второй части задачи требуется изобразить график , график суммы ряда и график частичной суммы .

График функции представляет собой обычную прямую на плоскости , которая проведена чёрным пунктиром:

Разбираемся с суммой ряда . Как вы знаете, функциональные ряды сходятся к функциям. В нашем случае построенный ряд Фурье при любом значении «икс» сойдётся к функции , которая изображена красным цветом. Данная функция терпит разрывы 1-го рода в точках , но определена и в них (красные точки на чертеже)

Таким образом: . Легко видеть, что заметно отличается от исходной функции , именно поэтому в записи ставится значок «тильда», а не знак равенства.

Изучим алгоритм, по которому удобно строить сумму ряда.

На центральном интервале ряд Фурье сходится к самой функции (центральный красный отрезок совпадает с чёрным пунктиром линейной функции).

Теперь немного порассуждаем о природе рассматриваемого тригонометрического разложения. В ряд Фурье входят только периодические функции (константа, синусы и косинусы), поэтому сумма ряда тоже представляет собой периодическую функцию .

Что это значит в нашем конкретном примере? А это обозначает то, что сумма ряда – непременно периодична и красный отрезок интервала обязан бесконечно повторяться слева и справа.

Думаю, сейчас окончательно прояснился смысл фразы «период разложения ». Упрощённо говоря, через каждые ситуация вновь и вновь повторяется.

На практике обычно достаточно изобразить три периода разложения, как это сделано на чертеже. Ну и ещё «обрубки» соседних периодов – чтобы было понятно, что график продолжается.

Особый интерес представляют точки разрыва 1-го рода . В таких точках ряд Фурье сходится к изолированным значениям, которые расположены ровнёхонько посередине «скачка» разрыва (красные точки на чертеже). Как узнать ординату этих точек? Сначала найдём ординату «верхнего этажа»: для этого вычислим значение функции в крайней правой точке центрального периода разложения: . Чтобы вычислить ординату «нижнего этажа» проще всего взять крайнее левое значение этого же периода: . Ордината среднего значения – это среднее арифметическое суммы «верха и низа»: . Приятным является тот факт, что при построении чертежа вы сразу увидите, правильно или неправильно вычислена середина.

Построим частичную сумму ряда и заодно повторим смысл термина «сходимость». Мотив известен ещё из урока о сумме числового ряда . Распишем наше богатство подробно:

Чтобы составить частичную сумму необходимо записать нулевой + ещё два члена ряда. То есть,

На чертеже график функции изображен зелёным цветом, и, как видите, он достаточно плотно «обвивает» полную сумму . Если рассмотреть частичную сумму из пяти членов ряда , то график этой функции будет ещё точнее приближать красные линии, если сто членов – то «зелёный змий» фактически полностью сольётся с красными отрезками и т.д. Таким образом, ряд Фурье сходится к своей сумме .

Интересно отметить, что любая частичная сумма – это непрерывная функция , однако полная сумма ряда всё же разрывна.

На практике не так уж редко требуется построить и график частичной суммы. Как это сделать? В нашем случае необходимо рассмотреть функцию на отрезке , вычислить её значения на концах отрезка и в промежуточных точках (чем больше точек рассмотрите – тем точнее будет график). Затем следует отметить данные точки на чертеже и аккуратно изобразить график на периоде , после чего «растиражировать» его на соседние промежутки. А как иначе? Ведь приближение – это тоже периодическая функция… …чем-то мне её график напоминает ровный ритм сердца на дисплее медицинского прибора.

Выполнять построение, конечно, не сильно удобно, так как и приходится проявлять сверхаккуратность, выдерживая точность не меньше, чем до половины миллиметра. Впрочем, читателей, которые не в ладах с черчением, обрадую – в «реальной» задаче выполнять чертёж нужно далеко не всегда, где-то в 50% случаев требуется разложить функцию в ряд Фурье и всё.

После выполнения чертежа завершаем задание:

Ответ :

Во многих задачах функция терпит разрыв 1-го рода прямо на периоде разложения:

Пример 3

Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на отрезке . Начертить график функции и полной суммы ряда.

Предложенная функция задана кусочным образом (причём, заметьте, только на отрезке ) и терпит разрыв 1-го рода в точке . Можно ли вычислить коэффициенты Фурье? Без проблем. И левая и правая части функции интегрируемы на своих промежутках, поэтому интегралы в каждой из трёх формул следует представить в виде суммы двух интегралов. Посмотрим, например, как это делается у нулевого коэффициента:

Второй интеграл оказался равным нулю, что убавило работы, но так бывает далеко не всегда.

Аналогично расписываются два других коэффициента Фурье.

Как изобразить сумму ряда? На левом интервале чертим отрезок прямой , а на интервале – отрезок прямой (жирно-жирно выделяем участок оси ). То есть, на промежутке разложения сумма ряда совпадает с функцией везде, кроме трёх «нехороших» точек. В точке разрыва функции ряд Фурье сойдётся к изолированному значению, которое располагается ровно посередине «скачка» разрыва. Его нетрудно увидеть и устно: левосторонний предел: , правосторонний предел: и, очевидно, что ордината средней точки равна 0,5.

В силу периодичности суммы , картинку необходимо «размножить» на соседние периоды, в частности изобразить то же самое на интервалах и . При этом, в точках ряд Фурье сойдётся к срединным значениям.

По сути-то ничего нового здесь нет.

Постарайтесь самостоятельно справиться с данной задачей. Примерный образец чистового оформления и чертёж в конце урока.

Разложение функции в ряд Фурье на произвольном периоде

Для произвольного периода разложения , где «эль» – любое положительное число, формулы ряда Фурье и коэффициентов Фурье отличаются немного усложнённым аргументом синуса и косинуса:

Если , то получаются формулы промежутка , с которых мы начинали.

Алгоритм и принципы решения задачи полностью сохраняются, но возрастает техническая сложность вычислений:

Пример 4

Разложить функцию в ряд Фурье и построить график суммы.

Решение : фактически аналог Примера №3 с разрывом 1-го рода в точке . В данной задаче период разложения , полупериод . Функция определена только на полуинтервале , но это не меняет дела – важно, что оба куска функции интегрируемы.

Разложим функцию в ряд Фурье:

Поскольку функция разрывна в начале координат, то каждый коэффициент Фурье очевидным образом следует записать в виде суммы двух интегралов:

1) Первый интеграл распишу максимально подробно:

2) Тщательным образом вглядываемся в поверхность Луны:

Второй интеграл берём по частям :

На что следует обратить пристальное внимание, после того, как мы звёздочкой открываем продолжение решения?

Во-первых, не теряем первый интеграл , где сразу же выполняем подведение под знак дифференциала . Во-вторых, не забываем злополучную константу перед большими скобками и не путаемся в знаках при использовании формулы . Большие скобки, всё-таки удобнее раскрывать сразу же на следующем шаге.

Остальное дело техники, затруднения может вызвать только недостаточный опыт решенияинтегралов.

Да, не зря именитые коллеги французского математика Фурье возмущались – как это тот посмел раскладывать функции в тригонометрические ряды?! =) К слову, наверное, всем интересен практический смысл рассматриваемого задания. Сам Фурье работал над математической моделью теплопроводности, а впоследствии ряд, названный его именем стал применяться для исследования многих периодических процессов, коих в окружающем мире видимо-невидимо. Сейчас, кстати, поймал себя на мысли, что не случайно сравнил график второго примера с периодическим ритмом сердца. Желающие могут ознакомиться с практическим применением преобразования Фурье в сторонних источниках. …Хотя лучше не надо – будет вспоминаться, как Первая Любовь =)

3) Учитывая неоднократно упоминавшиеся слабые звенья, разбираемся с третьим коэффициентом:

Интегрируем по частям:

Подставим найдённые коэффициенты Фурье в формулу , не забывая поделить нулевой коэффициент пополам:

Построим график суммы ряда. Кратко повторим порядок действий: на интервале строим прямую , а на интервале – прямую . При нулевом значении «икс» ставим точку посередине «скачка» разрыва и «тиражируем» график на соседние периоды:


На «стыках» периодов сумма также будет равна серединам «скачка» разрыва .

Готово. Напоминаю, что сама функция по условию определена только на полуинтервале и, очевидно, совпадает с суммой ряда на интервалах

Ответ :

Иногда кусочно-заданная функция бывает и непрерывна на периоде разложения. Простейший образец: . Решение (см. 2-й том Бохана) такое же, как и двух предыдущих примерах: несмотря на непрерывность функции в точке , каждый коэффициент Фурье выражается суммой двух интегралов.

На промежутке разложения точек разрыва 1-го рода и/или точек «стыка» графика может быть и больше (две, три и вообще любое конечное количество). Если функция интегрируема на каждой части, то она также разложима в ряд Фурье. Но из практического опыта такую жесть что-то не припоминаю. Тем не менее, встречаются более трудные задания, чем только что рассмотренное, и в конце статьи для всех желающих есть ссылки на ряды Фурье повышенной сложности.

А пока расслабимся, откинувшись в креслах и созерцая бескрайние звёздные просторы:

Пример 5

Разложить функцию в ряд Фурье на промежутке и построить график суммы ряда.

В данной задаче функция непрерывна на полуинтервале разложения, что упрощает решение. Всё очень похоже на Пример №2. С космического корабля никуда не деться – придётся решать =) Примерный образец оформления в конце урока, график прилагается.

Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций

С чётными и нечётными функциями процесс решения задачи заметно упрощается. И вот почему. Вернёмся к разложению функции в ряд Фурье на периоде «два пи» и произвольном периоде «два эль» .

Предположим, что наша функция чётна. Общий же член ряда, как вы видите, содержит чётные косинусы и нечётные синусы. А если мы раскладываем ЧЁТНУЮ функцию, то зачем нам нечётные синусы?! Давайте обнулим ненужный коэффициент: .

Таким образом, чётная функция раскладывается в ряд Фурье только по косинусам :

Поскольку интегралы от чётных функций по симметричному относительно нуля отрезку интегрирования можно удваивать, то упрощаются и остальные коэффициенты Фурье.

Для промежутка :

Для произвольного промежутка:

К хрестоматийным примерам, которые есть практически в любом учебнике по матанализу, относятся разложения чётных функций . Кроме того, они неоднократно встречались и в моей личной практике:

Пример 6

Дана функция . Требуется:

1) разложить функцию в ряд Фурье с периодом , где – произвольное положительное число;

2) записать разложение на промежутке , построить функцию и график полной суммы ряда .

Решение : в первом пункте предлагается решить задачу в общем виде, и это очень удобно! Появится надобность – просто подставьте своё значение.

1) В данной задаче период разложения , полупериод . В ходе дальнейших действий, в частности при интегрировании, «эль» считается константой

Функция является чётной, а значит, раскладывается в ряд Фурье только по косинусам: .

Коэффициенты Фурье ищем по формулам . Обратите внимание на их безусловные преимущества. Во-первых, интегрирование проводится по положительному отрезку разложения, а значит, мы благополучно избавляемся от модуля , рассматривая из двух кусков только «икс». И, во-вторых, заметно упрощается интегрирование.

Два:

Интегрируем по частям:

Таким образом:
, при этом константу , которая не зависит от «эн», выносим за пределы суммы.

Ответ :

2) Запишем разложение на промежутке , для этого в общую формулу подставляем нужное значение полупериода :

Которые уже порядком поднадоели. И я чувствую, что настал момент, когда из стратегических запасов теории пора извлечь новые консервы. Нельзя ли разложить функцию в ряд как-нибудь по-другому? Например, выразить отрезок прямой линии через синусы и косинусы? Кажется невероятным, но такие, казалось бы, далекие друг от друга функции поддаются
«воссоединению». Помимо примелькавшихся степеней в теории и практике существуют и другие подходы к разложению функции в ряд.

На данном уроке мы познакомимся с тригонометрическим рядом Фурье, коснёмся вопроса его сходимости и суммы и, конечно же, разберём многочисленные примеры на разложение функций в ряд Фурье. Искренне хотелось назвать статью «Ряды Фурье для чайников», но это было бы лукавством, поскольку для решения задач потребуются знания других разделов математического анализа и некоторый практический опыт. Поэтому преамбула будет напоминать подготовку космонавтов =)

Во-первых, к изучению материалов страницы следует подойти в отличной форме. Выспавшимися, отдохнувшими и трезвыми. Без сильных эмоций по поводу сломанной лапы хомячка и навязчивых мыслей о тяготах жизни аквариумных рыбок. Ряд Фурье не сложен с точки зрения понимания, однако практические задания требуют просто повышенной концентрации внимания – в идеале следует полностью отрешиться от внешних раздражителей. Ситуация усугубляется тем, что не существует лёгкого способа проверки решения и ответа. Таким образом, если ваше самочувствие ниже среднего, то лучше заняться чем-нибудь попроще. Правда.

Во-вторых, перед полётом в космос необходимо изучить приборную панель космического корабля. Начнём со значений функций, которые должны щёлкаться на автомате:

При любом натуральном значении :

1) . И в самом деле, синусоида «прошивает» ось абсцисс через каждое «пи»:
. В случае отрицательных значений аргумента результат, само собой, будет таким же: .

2) . А вот это знали не все. Косинус «пи эн» представляет собой эквивалент «мигалки»:

Отрицательный аргумент дела не меняет: .

Пожалуй, достаточно.

И, в-третьих, уважаемый отряд космонавтов, необходимо уметь… интегрировать .
В частности, уверенно подводить функцию под знак дифференциала , интегрировать по частям и быть в ладах с формулой Ньютона-Лейбница . Начнём важные предполётные упражнения. Категорически не рекомендую пропускать, чтобы потом не плющило в невесомости:

Пример 1

Вычислить определённые интегралы

где принимает натуральные значения.

Решение : интегрирование проводится по переменной «икс» и на данном этапе дискретная переменная «эн» считается константой. Во всех интегралах подводим функцию под знак дифференциала :

Короткая версия решения, к которой хорошо бы пристреляться, выглядит так:

Привыкаем:

Четыре оставшихся пункта самостоятельно. Постарайтесь добросовестно отнестись к заданию и оформить интегралы коротким способом. Образцы решений в конце урока.

После КАЧЕСТВЕННОГО выполнения упражнений надеваем скафандры
и готовимся к старту!

Разложение функции в ряд Фурье на промежутке

Рассмотрим некоторую функцию , которая определена по крайне мере на промежутке (а, возможно, и на бОльшем промежутке). Если данная функция интегрируема на отрезке , то её можно разложить в тригонометрический ряд Фурье :
, где – так называемые коэффициенты Фурье .

При этом число называют периодом разложения , а число – полупериодом разложения .

Очевидно, что в общем случае ряд Фурье состоит из синусов и косинусов:

Действительно, распишем его подробно:

Нулевой член ряда принято записывать в виде .

Коэффициенты Фурье рассчитываются по следующим формулам:

Прекрасно понимаю, что начинающим изучать тему пока малопонятны новые термины: период разложения , полупериод , коэффициенты Фурье и др. Без паники, это не сравнимо с волнением перед выходом в открытый космос. Во всём разберёмся в ближайшем примере, перед выполнением которого логично задаться насущными практическими вопросами:

Что нужно сделать в нижеследующих заданиях?

Разложить функцию в ряд Фурье. Дополнительно нередко требуется изобразить график функции , график суммы ряда , частичной суммы и в случае изощрённых профессорский фантазий – сделать что-нибудь ещё.

Как разложить функцию в ряд Фурье?

По существу, нужно найти коэффициенты Фурье , то есть, составить и вычислить три определённых интеграла .

Пожалуйста, перепишите общий вид ряда Фурье и три рабочие формулы к себе в тетрадь. Я очень рад, что у некоторых посетителей сайта прямо на моих глазах осуществляется детская мечта стать космонавтом =)

Пример 2

Разложить функцию в ряд Фурье на промежутке . Построить график , график суммы ряда и частичной суммы .

Решение : первая часть задания состоит в разложении функции в ряд Фурье.

Начало стандартное, обязательно записываем, что:

В данной задаче период разложения , полупериод .

Разложим функцию в ряд Фурье на промежутке :

Используя соответствующие формулы, найдём коэффициенты Фурье . Теперь нужно составить и вычислить три определённых интеграла . Для удобства я буду нумеровать пункты:

1) Первый интеграл самый простой, однако и он уже требует глаз да глаз:

2) Используем вторую формулу:

Данный интеграл хорошо знаком и берётся он по частям :

При нахождении использован метод подведения функции под знак дифференциала .

В рассматриваемом задании сподручнее сразу использовать формулу интегрирования по частям в определённом интеграле :

Пара технических замечаний. Во-первых, после применения формулы всё выражение нужно заключить в большие скобки , так как перед исходным интегралом находится константа . Не теряем её ! Скобки можно раскрыть на любом дальнейшем шаге, я это сделал в самую последнюю очередь. В первом «куске» проявляем крайнюю аккуратность в подстановке, как видите, константа не при делах, и пределы интегрирования подставляются в произведение . Данное действие выделено квадратными скобками. Ну а интеграл второго «куска» формулы вам хорошо знаком из тренировочного задания;-)

И самое главное – предельная концентрация внимания!

3) Ищем третий коэффициент Фурье:

Получен родственник предыдущего интеграла, который тоже интегрируется по частям :

Этот экземпляр чуть сложнее, закомментирую дальнейшие действия пошагово:

(1) Выражение полностью заключаем в большие скобки . Не хотел показаться занудой, слишком уж часто теряют константу .

(2) В данном случае я немедленно раскрыл эти большие скобки. Особое внимание уделяем первому «куску»: константа курит в сторонке и не участвует в подстановке пределов интегрирования ( и ) в произведение . Ввиду загромождённости записи это действие снова целесообразно выделить квадратными скобками. Со вторым «куском» всё проще: здесь дробь появилась после раскрытия больших скобок, а константа – в результате интегрирования знакомого интеграла;-)

(3) В квадратных скобках проводим преобразования , а в правом интеграле – подстановку пределов интегрирования.

(4) Выносим «мигалку» из квадратных скобок: , после чего раскрываем внутренние скобки: .

(5) Сокращаем 1 и –1 в скобках, проводим окончательные упрощения.

Наконец-то найдены все три коэффициента Фурье:

Подставим их в формулу :

При этом не забываем разделить пополам. На последнем шаге константа («минус два»), не зависящая от «эн», вынесена за пределы суммы.

Таким образом, мы получили разложение функции в ряд Фурье на промежутке :

Изучим вопрос сходимости ряда Фурье. Я объясню теорию, в частности теорему Дирихле , буквально «на пальцах», поэтому если вам необходимы строгие формулировки, пожалуйста, обратитесь к учебнику по математическому анализу (например, 2-й том Бохана; или 3-й том Фихтенгольца, но в нём труднее) .

Во второй части задачи требуется изобразить график , график суммы ряда и график частичной суммы .

График функции представляет собой обычную прямую на плоскости , которая проведена чёрным пунктиром:

Разбираемся с суммой ряда . Как вы знаете, функциональные ряды сходятся к функциям. В нашем случае построенный ряд Фурье при любом значении «икс» сойдётся к функции , которая изображена красным цветом. Данная функция терпит разрывы 1-го рода в точках , но определена и в них (красные точки на чертеже)

Таким образом: . Легко видеть, что заметно отличается от исходной функции , именно поэтому в записи ставится значок «тильда», а не знак равенства.

Изучим алгоритм, по которому удобно строить сумму ряда.

На центральном интервале ряд Фурье сходится к самой функции (центральный красный отрезок совпадает с чёрным пунктиром линейной функции).

Теперь немного порассуждаем о природе рассматриваемого тригонометрического разложения. В ряд Фурье входят только периодические функции (константа, синусы и косинусы), поэтому сумма ряда тоже представляет собой периодическую функцию .

Что это значит в нашем конкретном примере? А это обозначает то, что сумма ряда – непременно периодична и красный отрезок интервала обязан бесконечно повторяться слева и справа.

Думаю, сейчас окончательно прояснился смысл фразы «период разложения ». Упрощённо говоря, через каждые ситуация вновь и вновь повторяется.

На практике обычно достаточно изобразить три периода разложения, как это сделано на чертеже. Ну и ещё «обрубки» соседних периодов – чтобы было понятно, что график продолжается.

Особый интерес представляют точки разрыва 1-го рода . В таких точках ряд Фурье сходится к изолированным значениям, которые расположены ровнёхонько посередине «скачка» разрыва (красные точки на чертеже). Как узнать ординату этих точек? Сначала найдём ординату «верхнего этажа»: для этого вычислим значение функции в крайней правой точке центрального периода разложения: . Чтобы вычислить ординату «нижнего этажа» проще всего взять крайнее левое значение этого же периода: . Ордината среднего значения – это среднее арифметическое суммы «верха и низа»: . Приятным является тот факт, что при построении чертежа вы сразу увидите, правильно или неправильно вычислена середина.

Построим частичную сумму ряда и заодно повторим смысл термина «сходимость». Мотив известен ещё из урока о сумме числового ряда . Распишем наше богатство подробно:

Чтобы составить частичную сумму необходимо записать нулевой + ещё два члена ряда. То есть,

На чертеже график функции изображен зелёным цветом, и, как видите, он достаточно плотно «обвивает» полную сумму . Если рассмотреть частичную сумму из пяти членов ряда , то график этой функции будет ещё точнее приближать красные линии, если сто членов – то «зелёный змий» фактически полностью сольётся с красными отрезками и т.д. Таким образом, ряд Фурье сходится к своей сумме .

Интересно отметить, что любая частичная сумма – это непрерывная функция , однако полная сумма ряда всё же разрывна.

На практике не так уж редко требуется построить и график частичной суммы. Как это сделать? В нашем случае необходимо рассмотреть функцию на отрезке , вычислить её значения на концах отрезка и в промежуточных точках (чем больше точек рассмотрите – тем точнее будет график). Затем следует отметить данные точки на чертеже и аккуратно изобразить график на периоде , после чего «растиражировать» его на соседние промежутки. А как иначе? Ведь приближение – это тоже периодическая функция… …чем-то мне её график напоминает ровный ритм сердца на дисплее медицинского прибора.

Выполнять построение, конечно, не сильно удобно, так как и приходится проявлять сверхаккуратность, выдерживая точность не меньше, чем до половины миллиметра. Впрочем, читателей, которые не в ладах с черчением, обрадую – в «реальной» задаче выполнять чертёж нужно далеко не всегда, где-то в 50% случаев требуется разложить функцию в ряд Фурье и всё.

После выполнения чертежа завершаем задание:

Ответ :

Во многих задачах функция терпит разрыв 1-го рода прямо на периоде разложения:

Пример 3

Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на отрезке . Начертить график функции и полной суммы ряда.

Предложенная функция задана кусочным образом (причём, заметьте, только на отрезке ) и терпит разрыв 1-го рода в точке . Можно ли вычислить коэффициенты Фурье? Без проблем. И левая и правая части функции интегрируемы на своих промежутках, поэтому интегралы в каждой из трёх формул следует представить в виде суммы двух интегралов. Посмотрим, например, как это делается у нулевого коэффициента:

Второй интеграл оказался равным нулю, что убавило работы, но так бывает далеко не всегда.

Аналогично расписываются два других коэффициента Фурье.

Как изобразить сумму ряда? На левом интервале чертим отрезок прямой , а на интервале – отрезок прямой (жирно-жирно выделяем участок оси ). То есть, на промежутке разложения сумма ряда совпадает с функцией везде, кроме трёх «нехороших» точек. В точке разрыва функции ряд Фурье сойдётся к изолированному значению, которое располагается ровно посередине «скачка» разрыва. Его нетрудно увидеть и устно: левосторонний предел: , правосторонний предел: и, очевидно, что ордината средней точки равна 0,5.

В силу периодичности суммы , картинку необходимо «размножить» на соседние периоды, в частности изобразить то же самое на интервалах и . При этом, в точках ряд Фурье сойдётся к срединным значениям.

По сути-то ничего нового здесь нет.

Постарайтесь самостоятельно справиться с данной задачей. Примерный образец чистового оформления и чертёж в конце урока.

Разложение функции в ряд Фурье на произвольном периоде

Для произвольного периода разложения , где «эль» – любое положительное число, формулы ряда Фурье и коэффициентов Фурье отличаются немного усложнённым аргументом синуса и косинуса:

Если , то получаются формулы промежутка , с которых мы начинали.

Алгоритм и принципы решения задачи полностью сохраняются, но возрастает техническая сложность вычислений:

Пример 4

Разложить функцию в ряд Фурье и построить график суммы.

Решение : фактически аналог Примера №3 с разрывом 1-го рода в точке . В данной задаче период разложения , полупериод . Функция определена только на полуинтервале , но это не меняет дела – важно, что оба куска функции интегрируемы.

Разложим функцию в ряд Фурье:

Поскольку функция разрывна в начале координат, то каждый коэффициент Фурье очевидным образом следует записать в виде суммы двух интегралов:

1) Первый интеграл распишу максимально подробно:

2) Тщательным образом вглядываемся в поверхность Луны:

Второй интеграл берём по частям :

На что следует обратить пристальное внимание, после того, как мы звёздочкой открываем продолжение решения?

Во-первых, не теряем первый интеграл , где сразу же выполняем подведение под знак дифференциала . Во-вторых, не забываем злополучную константу перед большими скобками и не путаемся в знаках при использовании формулы . Большие скобки, всё-таки удобнее раскрывать сразу же на следующем шаге.

Остальное дело техники, затруднения может вызвать только недостаточный опыт решенияинтегралов.

Да, не зря именитые коллеги французского математика Фурье возмущались – как это тот посмел раскладывать функции в тригонометрические ряды?! =) К слову, наверное, всем интересен практический смысл рассматриваемого задания. Сам Фурье работал над математической моделью теплопроводности, а впоследствии ряд, названный его именем стал применяться для исследования многих периодических процессов, коих в окружающем мире видимо-невидимо. Сейчас, кстати, поймал себя на мысли, что не случайно сравнил график второго примера с периодическим ритмом сердца. Желающие могут ознакомиться с практическим применением преобразования Фурье в сторонних источниках. …Хотя лучше не надо – будет вспоминаться, как Первая Любовь =)

3) Учитывая неоднократно упоминавшиеся слабые звенья, разбираемся с третьим коэффициентом:

Интегрируем по частям:

Подставим найдённые коэффициенты Фурье в формулу , не забывая поделить нулевой коэффициент пополам:

Построим график суммы ряда. Кратко повторим порядок действий: на интервале строим прямую , а на интервале – прямую . При нулевом значении «икс» ставим точку посередине «скачка» разрыва и «тиражируем» график на соседние периоды:


На «стыках» периодов сумма также будет равна серединам «скачка» разрыва .

Готово. Напоминаю, что сама функция по условию определена только на полуинтервале и, очевидно, совпадает с суммой ряда на интервалах

Ответ :

Иногда кусочно-заданная функция бывает и непрерывна на периоде разложения. Простейший образец: . Решение (см. 2-й том Бохана) такое же, как и двух предыдущих примерах: несмотря на непрерывность функции в точке , каждый коэффициент Фурье выражается суммой двух интегралов.

На промежутке разложения точек разрыва 1-го рода и/или точек «стыка» графика может быть и больше (две, три и вообще любое конечное количество). Если функция интегрируема на каждой части, то она также разложима в ряд Фурье. Но из практического опыта такую жесть что-то не припоминаю. Тем не менее, встречаются более трудные задания, чем только что рассмотренное, и в конце статьи для всех желающих есть ссылки на ряды Фурье повышенной сложности.

А пока расслабимся, откинувшись в креслах и созерцая бескрайние звёздные просторы:

Пример 5

Разложить функцию в ряд Фурье на промежутке и построить график суммы ряда.

В данной задаче функция непрерывна на полуинтервале разложения, что упрощает решение. Всё очень похоже на Пример №2. С космического корабля никуда не деться – придётся решать =) Примерный образец оформления в конце урока, график прилагается.

Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций

С чётными и нечётными функциями процесс решения задачи заметно упрощается. И вот почему. Вернёмся к разложению функции в ряд Фурье на периоде «два пи» и произвольном периоде «два эль» .

Предположим, что наша функция чётна. Общий же член ряда, как вы видите, содержит чётные косинусы и нечётные синусы. А если мы раскладываем ЧЁТНУЮ функцию, то зачем нам нечётные синусы?! Давайте обнулим ненужный коэффициент: .

Таким образом, чётная функция раскладывается в ряд Фурье только по косинусам :

Поскольку интегралы от чётных функций по симметричному относительно нуля отрезку интегрирования можно удваивать, то упрощаются и остальные коэффициенты Фурье.

Для промежутка :

Для произвольного промежутка:

К хрестоматийным примерам, которые есть практически в любом учебнике по матанализу, относятся разложения чётных функций . Кроме того, они неоднократно встречались и в моей личной практике:

Пример 6

Дана функция . Требуется:

1) разложить функцию в ряд Фурье с периодом , где – произвольное положительное число;

2) записать разложение на промежутке , построить функцию и график полной суммы ряда .

Решение : в первом пункте предлагается решить задачу в общем виде, и это очень удобно! Появится надобность – просто подставьте своё значение.

1) В данной задаче период разложения , полупериод . В ходе дальнейших действий, в частности при интегрировании, «эль» считается константой

Функция является чётной, а значит, раскладывается в ряд Фурье только по косинусам: .

Коэффициенты Фурье ищем по формулам . Обратите внимание на их безусловные преимущества. Во-первых, интегрирование проводится по положительному отрезку разложения, а значит, мы благополучно избавляемся от модуля , рассматривая из двух кусков только «икс». И, во-вторых, заметно упрощается интегрирование.

Два:

Интегрируем по частям:

Таким образом:
, при этом константу , которая не зависит от «эн», выносим за пределы суммы.

Ответ :

2) Запишем разложение на промежутке , для этого в общую формулу подставляем нужное значение полупериода :

При разложении нечетной функции в ряд фурье. Разложение в ряд фурье по косинусам

Многие процессы, происходящие в природе и технике, обладают свойством повторяться через определенные промежутки времени. Такие процессы называются периодическими и математически описываются периодическими функциями. К таким функциям относятся sin (x ) , cos (x ) , sin (wx ), cos (wx ) . Сумма двух периодических функций, например, функция вида , вообще говоря, уже не является периодической. Но можно доказать, что если отношение w 1 / w 2 – число рациональное, то эта сумма есть периодическая функция.

Простейшие периодические процессы – гармонические колебания – описываются периодическими функциями sin (wx ) и cos (wx ). Более сложные периодические процессы описываются функциями, составными либо из конечного, либо из бесконечного числа слагаемых вида sin (wx ) и cos (wx ).

3.2. Тригонометрический ряд. Коэффициенты Фурье

Рассмотрим функциональный ряд вида:

Этот ряд называется тригонометрическим ; числа а 0 , b 0 , a 1 , b 1 2 , b 2 …, a n , b n ,… называются коэффициентами тригонометрического ряда. Ряд (1) часто записывается следующим образом:

. (2)

Так как члены тригонометрического ряда (2) имеют общий период
, то и сумма ряда, если он сходится, также является периодической функцией с периодом
.

Допустим, что функция f (x ) есть сумма этого ряда:

. (3)

В таком случае говорят, что функция f (x ) раскладывается в тригонометрический ряд. Предполагая, что этот ряд сходится равномерно на промежутке
, можно определить его коэффициенты по формулам:

,
,
. (4)

Коэффициенты ряда, определенные по этим формулам, называются коэффициентами Фурье.

Тригонометрический ряд (2), коэффициенты которого определяются по формулам Фурье (4), называются рядом Фурье , соответствующим функции f (x ).

Таким образом, если периодическая функция f (x ) является суммой сходящегося тригонометрического ряда, то этот ряд является ее рядом Фурье.

3.3. Сходимость ряда Фурье

Формулы (4) показывают, что коэффициенты Фурье могут быть вычислены для любой интегрируемой на промежутке

-периодической функции, т.е. для такой функции всегда можно составить ряд Фурье. Но будет ли этот ряд сходиться к функцииf (x ) и при каких условиях?

Напомним, что функция f (x ), определенная на отрезке [ a ; b ] , называется кусочно-гладкой, если она и ее производная имеют не более конечного числа точек разрыва первого рода.

Следующая теорема дает достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье.

Теорема Дирихле. Пусть
-периодическая функцияf (x ) является кусочно-гладкой на
. Тогда ее ряд Фурье сходится кf (x ) в каждой ее точке непрерывности и к значению 0,5(f (x +0)+ f (x -0)) в точке разрыва.

Пример1.

Разложить в ряд Фурье функцию f (x )= x , заданную на интервале
.

Решение. Эта функция удовлетворяет условиям Дирихле и, следовательно, может быть разложена в ряд Фурье. Применяя формулы (4) и метод интегрирования по частям
, найдем коэффициенты Фурье:

Таким образом, ряд Фурье для функции f (x ) имеет вид.

Ряд Фурье периодических функций с периодом 2π.

Ряд Фурье позволяет изучать периодические функции, разлагая их на компоненты. Переменные токи и напряжения, смещения, скорость и ускорение кривошипно-шатунных механизмов и акустические волны — это типичные практические примеры применения периодических функций в инженерных расчетах.

Разложение в ряд Фурье основывается на предположении, что все имеющие практическое значение функции в интервале -π ≤x≤ π можно выразить в виде сходящихся тригонометрических рядов (ряд считается сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов):

Стандартная (=обычная) запись через сумму sinx и cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+…+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+…,

где a o , a 1 ,a 2 ,…,b 1 ,b 2 ,.. — действительные константы, т.е.

Где для диапазона от -π до π коэффициенты ряда Фурье рассчитываются по формулам:

Коэффициенты a o ,a n и b n называются коэффициентами Фурье , и если их можно найти, то ряд (1) называется рядом Фурье, соответствующим функции f(x). Для ряда (1) член (a 1 cosx+b 1 sinx) называется первой или основной гармоникой,

Другой способ записи ряда — использование соотношения acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+…+c n sin(nx+α n)

Где a o — константа, с 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2 , с n =(a n 2 +b n 2) 1/2 — амплитуды различных компонент, а равен a n =arctg a n /b n .

Для ряда (1) член (a 1 cosx+b 1 sinx) или c 1 sin(x+α 1) называется первой или основной гармоникой, (a 2 cos2x+b 2 sin2x) или c 2 sin(2x+α 2) называется второй гармоникой и так далее.

Для точного представления сложного сигнала обычно требуется бесконечное количество членов. Однако во многих практических задачах достаточно рассмотреть только несколько первых членов.

Ряд Фурье непериодических функций с периодом 2π.

Разложение непериодических функций.

Если функция f(x) непериодическая, значит, она не может быть разложена в ряд Фурье для всех значений х. Однако можно определить ряд Фурье, представляющий функцию в любом диапазоне шириной 2π.

Если задана непериодическая функция, можно составить новую функцию, выбирая значения f(x) в определенном диапазоне и повторяя их вне этого диапазона с интервалом 2π. Поскольку новая функция является периодической с периодом 2π, ее можно разложить в ряд Фурье для всех значений х. Например, функция f(x)=x не является периодической. Однако, если необходимо разложить ее в ряд Фурье на интервале от о до 2π, тогда вне этого интервала строится периодическая функция с периодом 2π (как показано на рис. ниже) .

Для непериодических функций, таких как f(x)=х, сумма ряда Фурье равна значению f(x) во всех точках заданного диапазона, но она не равна f(x) для точек вне диапазона. Для нахождения ряда Фурье непериодической функции в диапазоне 2π используется все таже формула коэффициентов Фурье.

Четные и нечетные функции.

Говорят, функция y=f(x) четная , если f(-x)=f(x) для всех значений х. Графики четных функций всегда симметричны относительно оси у (т.е. являются зеркально отраженными). Два примера четных функций: у=х 2 и у=cosx.

Говорят, что функция y=f(x) нечетная, если f(-x)=-f(x) для всех значений х. Графики нечетных функций всегда симметричны относительно начала координат.

Многие функции не являются ни четными, ни нечетными.

Разложение в ряд Фурье по косинусам.

Ряд Фурье четной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с косинусами (т.е. не содержит членов с синусами) и может включать постоянный член. Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Ряд Фурье нечетной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с синусами (т.е. не содержит членов с косинусами).

Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Ряд Фурье на полупериоде.

Если функция определена для диапазона, скажем от 0 до π, а не только от 0 до 2π, ее можно разложить в ряд только по синусам или тольо по косинусам. Полученный ряд Фурье называется рядом Фурье на полупериоде.

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по косинусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить четную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=х, построенная на интервале от х=0 до х=π. Поскольку четная функция симметрична относительно оси f(x), проводим линию АВ, как показано на рис. ниже. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученная треугольная форма является периодической с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показ. на рис. ниже. Поскольку требуется получить разложение Фурье по косинусам, как и ранее, вычисляем коэффициенты Фурье a o и a n

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по синусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить нечетную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=x, построенная на интервале от от х=0 до х=π. Поскольку нечетная функция симметрична относительно начала координат, строим линию CD, как показано на рис. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученный пилообразный сигнал является периодическим с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показанный на рис. Поскольку требуется получить разложение Фурие на полупериоде по синусам, как и ранее, вычисляем коэффициент Фурье. b

Ряд Фурье для произвольного интервала.

Разложение периодической функции с периодом L.

Периодическая функция f(x) повторяется при увеличении х на L, т.е. f(x+L)=f(x). Переход от рассмотренных ранее функций с периодом 2π к функциям с периодом L довольно прост, поскольку его можно осуществить с помощью замены переменной.

Чтобы найти ряд Фурье функции f(x) в диапазоне -L/2≤x≤L/2, введем новую переменную u таким образом, чтобы функция f(x) имела период 2π относительно u. Если u=2πх/L, то х=-L/2 при u=-π и х=L/2 при u=π. Также пусть f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ряд Фурье F(u) имеет вид

(Пределы интегрирования могут быть заменены на любой интервал длиной L, например, от 0 до L)

Ряд Фурье на полупериоде для функций, заданных в интервале L≠2π.

Для подстановки u=πх/L интервал от х=0 до х=L соответствует интервалу от u=0 до u=π. Следовательно, функцию можно разложить в ряд только по косинусам или только по синусам, т.е. в ряд Фурье на полупериоде .

Разложение по косинусам в диапазоне от 0 до L имеет вид

Ряд Фурье периодических функций с периодом 2π.

Ряд Фурье позволяет изучать периодические функции, разлагая их на компоненты. Переменные токи и напряжения, смещения, скорость и ускорение кривошипно-шатунных механизмов и акустические волны — это типичные практические примеры применения периодических функций в инженерных расчетах.

Разложение в ряд Фурье основывается на предположении, что все имеющие практическое значение функции в интервале -π ≤x≤ π можно выразить в виде сходящихся тригонометрических рядов (ряд считается сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов):

Стандартная (=обычная) запись через сумму sinx и cosx

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+…+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+…,

где a o , a 1 ,a 2 ,…,b 1 ,b 2 ,.. — действительные константы, т.е.

Где для диапазона от -π до π коэффициенты ряда Фурье рассчитываются по формулам:

Коэффициенты a o ,a n и b n называются коэффициентами Фурье , и если их можно найти, то ряд (1) называется рядом Фурье, соответствующим функции f(x). Для ряда (1) член (a 1 cosx+b 1 sinx) называется первой или основной гармоникой,

Другой способ записи ряда — использование соотношения acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+…+c n sin(nx+α n)

Где a o — константа, с 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2 , с n =(a n 2 +b n 2) 1/2 — амплитуды различных компонент, а равен a n =arctg a n /b n .

Для ряда (1) член (a 1 cosx+b 1 sinx) или c 1 sin(x+α 1) называется первой или основной гармоникой, (a 2 cos2x+b 2 sin2x) или c 2 sin(2x+α 2) называется второй гармоникой и так далее.

Для точного представления сложного сигнала обычно требуется бесконечное количество членов. Однако во многих практических задачах достаточно рассмотреть только несколько первых членов.

Ряд Фурье непериодических функций с периодом 2π.

Разложение непериодических функций.

Если функция f(x) непериодическая, значит, она не может быть разложена в ряд Фурье для всех значений х. Однако можно определить ряд Фурье, представляющий функцию в любом диапазоне шириной 2π.

Если задана непериодическая функция, можно составить новую функцию, выбирая значения f(x) в определенном диапазоне и повторяя их вне этого диапазона с интервалом 2π. Поскольку новая функция является периодической с периодом 2π, ее можно разложить в ряд Фурье для всех значений х. Например, функция f(x)=x не является периодической. Однако, если необходимо разложить ее в ряд Фурье на интервале от о до 2π, тогда вне этого интервала строится периодическая функция с периодом 2π (как показано на рис. ниже) .

Для непериодических функций, таких как f(x)=х, сумма ряда Фурье равна значению f(x) во всех точках заданного диапазона, но она не равна f(x) для точек вне диапазона. Для нахождения ряда Фурье непериодической функции в диапазоне 2π используется все таже формула коэффициентов Фурье.

Четные и нечетные функции.

Говорят, функция y=f(x) четная , если f(-x)=f(x) для всех значений х. Графики четных функций всегда симметричны относительно оси у (т.е. являются зеркально отраженными). Два примера четных функций: у=х 2 и у=cosx.

Говорят, что функция y=f(x) нечетная, если f(-x)=-f(x) для всех значений х. Графики нечетных функций всегда симметричны относительно начала координат.

Многие функции не являются ни четными, ни нечетными.

Разложение в ряд Фурье по косинусам.

Ряд Фурье четной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с косинусами (т.е. не содержит членов с синусами) и может включать постоянный член. Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Ряд Фурье нечетной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с синусами (т.е. не содержит членов с косинусами).

Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Ряд Фурье на полупериоде.

Если функция определена для диапазона, скажем от 0 до π, а не только от 0 до 2π, ее можно разложить в ряд только по синусам или тольо по косинусам. Полученный ряд Фурье называется рядом Фурье на полупериоде.

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по косинусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить четную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=х, построенная на интервале от х=0 до х=π. Поскольку четная функция симметрична относительно оси f(x), проводим линию АВ, как показано на рис. ниже. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученная треугольная форма является периодической с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показ. на рис. ниже. Поскольку требуется получить разложение Фурье по косинусам, как и ранее, вычисляем коэффициенты Фурье a o и a n

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по синусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить нечетную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=x, построенная на интервале от от х=0 до х=π. Поскольку нечетная функция симметрична относительно начала координат, строим линию CD, как показано на рис. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученный пилообразный сигнал является периодическим с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показанный на рис. Поскольку требуется получить разложение Фурие на полупериоде по синусам, как и ранее, вычисляем коэффициент Фурье. b

Ряд Фурье для произвольного интервала.

Разложение периодической функции с периодом L.

Периодическая функция f(x) повторяется при увеличении х на L, т.е. f(x+L)=f(x). Переход от рассмотренных ранее функций с периодом 2π к функциям с периодом L довольно прост, поскольку его можно осуществить с помощью замены переменной.

Чтобы найти ряд Фурье функции f(x) в диапазоне -L/2≤x≤L/2, введем новую переменную u таким образом, чтобы функция f(x) имела период 2π относительно u. Если u=2πх/L, то х=-L/2 при u=-π и х=L/2 при u=π. Также пусть f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ряд Фурье F(u) имеет вид

(Пределы интегрирования могут быть заменены на любой интервал длиной L, например, от 0 до L)

Ряд Фурье на полупериоде для функций, заданных в интервале L≠2π.

Для подстановки u=πх/L интервал от х=0 до х=L соответствует интервалу от u=0 до u=π. Следовательно, функцию можно разложить в ряд только по косинусам или только по синусам, т.е. в ряд Фурье на полупериоде .

Разложение по косинусам в диапазоне от 0 до L имеет вид

Лекция №60

6.21. Ряды Фурье для чётных и нечётных функций.

Теорема: Для любой чётной функции её ряд Фурье состоит только из косинусов.

Для любой нечётной функции:
.

Доказательство : Из определения четной и нечетной функции следует, что если ψ(x) – четная функция, то

.

Действительно,

так как по определению четной функции ψ(- x) = ψ(x).

Аналогично можно доказать, что если ψ(x) – нечетная функция, то

Если в ряд Фурье разлагается нечетная функция ƒ(x), то произведение ƒ(x) ·coskxесть функция также нечетная, а ƒ(x) ·sinkx– четная; следовательно,

(21)

т. е. ряд Фурье нечетной функции содержит «только синусы».

Если в ряд Фурье разлагается четная функция, то произведение ƒ(x)·sinkxесть функция нечетная, а ƒ(x) ·coskx– четная, то:

(22)

т. е. ряд Фурье четной функции содержит «только косинусы».

Полученные формулы позволяют упрощать вычисления при разыскании коэффициентов Фурье в тех случаях, когда заданная функция является четной или нечетной, а также получать разложение в ряд Фурье функции, заданной на части промежутка .

Во многих задачах функция
задается в интервале
. Требуется представить данную функцию в виде бесконечной суммы синусов и косинусов углов, кратных числам натурального ряда, т.е. необходимо произвести разложение функции в ряд Фурье. Обычно в таких случаях поступают следующим образом.

Чтобы разложить заданную функцию по косинусам, функцию
доопределяют в интервале
четным образом, т.е. так, что в интервале

. Тогда для «продолженной» четной функции справедливы все рассуждения предыдущего параграфа, и, следовательно, коэффициенты ряда Фурье определяются по формулам

,

В этих формулах, как видим, фигурируют значения функции
, лишь заданные в интервале
. Чтобы разложить функцию
, заданную в интервале
, по синусам, необходимо доопределить эту функцию в интервале
нечетным образом, т.е. так, что в интервале

.

Тогда вычисление коэффициентов ряда Фурье нужно вести по формулам

.

Теорема 1. Функцию заданную на промежутке можно бесконечным числом способов разложить в тригонометрический ряд Фурье, в частности по cos или по sin.

Замечание. Функция
, заданная в интервале
может быть доопределена в интервале
любым образом, а не только так, как было сделано выше. Но при произвольном доопределении функции разложение в ряд Фурье будет более сложным, чем то, которое получается при разложении по синусам или косинусам.

Пример. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию
, заданную в интервале
(рис.2а).

Решение. Доопределим функцию
в интервале
четным образом (график симметричен относительно оси
)

,

Так как
, то

при

,

при


6.22. Ряд Фурье для функции, заданной на произвольном промежутке

До сих пор мы рассматривали функцию, заданную в интервале
, считая ее вне этого интервала периодической, с периодом
.

Рассмотрим теперь функцию
, период которой равен 2l , т.е.
на интервале
, и покажем, что в этом случае функция
может быть разложена в ряд Фурье.

Положим
, или
. Тогда при измененииот –l доl новая переменнаяизменяется от
дои, следовательно, функциюможно рассматривать как функцию, заданную в интервале от
дои периодическую вне этого промежутка, с периодом
.

Итак,
.

Разложив
в ряд Фурье, получим

,

.

Переходя к старым переменным, т.е. полагая

, получим
,
и
.

То есть ряд Фурье для функции
, заданной в интервале
, будет иметь вид:

,

,


.

Если функция
четная, то формулы для определения коэффициентов ряда Фурье упрощаются:

,

,


.

В случае, если функция
нечетная:

,

,


.

Если функция
задана в интервале
, то ее можно продолжить в интервале
либо четным, либо нечетным образом. В случае четного продолжения функции в интервале

,

.

В случае нечетного доопределения функции в интервале
коэффициенты ряда Фурье находятся по формулам

,


.

Пример . Разложить в ряд Фурье функцию

по синусам кратных дуг.

Решение . График заданной функции представлен на рис.3. Продолжим функцию нечетным образом (рис.4), т.е. будем вести разложение по синусам.

Все коэффициенты

,

Введем замену
. Тогда при
получим
, при
имеем
.

Таким образом

.

6.23. .Понятие о разложении в ряд Фурье непериодических функций

Функцию, заданную в основной области (-ℓ, ℓ), можно периодически продолжить за основную область с помощью функционального соотношения ƒ(x+2 ℓ) = ƒ(x).

Для непериодической функции ƒ(x) (-∞

φ(x)=
(2.18)

Формула (2.18) будет верна на всей оси -∞

ƒ(x)=
(2.19)

Формула (2.19) будет верна только на конечном промежутке (-ℓ, ℓ), так как на этом промежутке ƒ(x) и φ(x) совпадают.

Таким образом, непериодическую функцию можно разложить в ряд Фурье на конечном промежутке.

Разложение в ряд Фурье по косинусам.

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Ряд Фурье четной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с косинусами (т.е. не содержит членов с синусами) и может включать постоянный член. Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Разложение в ряд Фурье по синусам.

Ряд Фурье нечетной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с синусами (т.е. не содержит членов с косинусами).

Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

.

 

 

Ряд Фурье для произвольного интервала.

Разложение периодической функции с периодом L.

Периодическая функция f(x) повторяется при увеличении х на L, т.е. f(x+L)=f(x). Переход от рассмотренных ранее функций с периодом 2π к функциям с периодом L довольно прост, поскольку его можно осуществить с помощью замены переменной.

 

Чтобы найти ряд Фурье функции f(x) в диапазоне -L/2≤x≤L/2, введем новую переменную u таким образом, чтобы функция f(x) имела период 2π относительно u. Если u=2πх/L, то х=-L/2 при u=-π и х=L/2 при u=π. Также пусть f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ряд Фурье F(u) имеет вид

Где коэффициенты ряда Фурье,

Однако чаще приведенную выше формулу приводят к зависимости от х. Поскольку u=2πх/L, значит, du=(2π/L)dx, а пределы интегрирования — от -L/2 до L/2 вместо — π до π. Следовательно, ряд Фурье для зависимости от х имеет вид:

где в диапазоне от -L/2 до L/2 коэффициенты ряда Фурье,

(Пределы интегрирования могут быть заменены на любой интервал длиной L, например, от 0 до L).

 

 

Пример 1:

Разложить функцию в ряд Фурье по косинусам на отрезке

Решение:

Вычислим коэффициент :

Вычислим коэффициенты :

Таким образом, искомое разложение в ряд Фурье по косинусам функции

на отрезке на отрезке имеет вид:

Ниже представлен график функции и несколько частичных сумм найденного разложения ее в ряд Фурье по косинусам при

 

Пример 2:

Разложить функцию в интервале

Решение:

Ункция нечетная.

 

©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.

4.5. Разложение в ряд Фурье только по синусам или только по косинусам

Начнем с простого замечания: если заданная на отрезке интегрируемая функция является нечетной, то есть для всех выполняется равенство , то .

Для четной функции справедливо .

Напомним некоторые свойства четных и нечетных функций на :

    1. Произведение двух четных или двух нечетных функций есть функция четная;

    2. Произведение четной и нечетной функций есть нечетная функция.

Утверждение. Пусть определена и интегрируема на , а -ее коэффициенты Фурье. Тогда

      1. если -нечетная, то

, а ряд Фурье имеет вид .

      1. если — четная, то

, а ряд Фурье имеет вид .

Допустим, что функция задана на отрезке . Если мы хотим найти разложение на этом отрезке в ряд Фурье, то сначала продолжим на симметричный промежуток произвольным образом, а потом воспользуемся формулами для коэффициентов Фурье.

Если продолжить функцию четным образом, то получим разложение только по косинусам, а если продолжить нечетным образом, то – только по синусам. При этом в первом случае продолженная функция будет иметь вид

,

а во втором случае

4.6. Разложение в ряд Фурье функции, заданной на произвольном промежутке

Пусть задана на отрезке , и на этом отрезке она кусочно-гладкая. Рассмотрим периодическую кусочно-гладкую функцию с периодом

,

которая совпадает с на , а -произвольная кусочно-гладкая функция.

Таким образом, была продолжена на симметричный отрезок. Теперь для существует разложение в ряд Фурье. Сумма этого ряда совпадает с во всех точках непрерывности отрезка , то есть функция разложена в ряд Фурье на .

Алгоритм разложения функции в тригонометрический ряд Фурье:

  1. выяснить формально ряд Фурье по заданию функции;

  2. найти коэффициенты ряда Фурье;

  3. используя теорему о достаточном условии сходимости ряда Фурье, найти сумму ряда, построить график и . Выяснить, в каких точках совпадает с .

4.7. Контрольные вопросы и задания.

  1. Какая функция называется периодической? Является ли функция Дирихле периодической? Чему равен период? Имеет ли эта функция основной период?

  1. Что такое тригонометрический ряд?

  2. Какой тригонометрический ряд называется рядом Фурье?

  1. Являются ли тригонометрические ряды и рядами Фурье?

  1. Сформулировать достаточные условия поточечной сходимости ряда Фурье.

  2. Записать равенство Парсеваля и неравенство Бесселя для тригонометрического ряда Фурье.

  3. Какой вид имеет ряд Фурье для нечетной интегрируемой функции?

  4. Какой вид имеет ряд Фурье для -периодической функции?

4.8. Образцы решения типовых задач

При нахождении коэффициентов Фурье полезно помнить:

.

Пример 1. Разложить функцию в ряд Фурье на интервале . Построить график суммы ряда Фурье. Вычислить суммы получающихся рядов, полагая .

Построим график данной функции:

Продолжим данную функцию периодически с периодом на всю прямую.

Построим график суммы ряда Фурье

Найдём коэффициенты ряда Фурье. Так как нечётная на

Итак, .

Используя полученное разложение с учётом вида графика суммы ряда Фурье, из которого видно, к чему сходится ряд в точках разрыва, найдём суммы некоторых числовых рядов.

При получим .

При получим

.

При получим

.

Пример 2. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию (полупериод функции равен )

Изобразим график заданной функции

Продолжим функцию чётным образом на промежутке , тогда коэффициенты .

Продолжим полученную функцию с периодом на всю прямую. Так как продолжение будет непрерывной функцией, то для график суммы ряда Фурье совпадает с графиком продолженной функции

Вычислим коэффициенты ряда Фурье

при .

Пример 3. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию (полупериод функции равен )

Разложение функции в ряд по синусам — это ряд Фурье нечётного продолжения функции с промежутка на промежуток .

Изобразим график суммы ряда Фурье

Имеем .

Ряды Фурье для периодических и непериодических функций Пусть функция определена на ℝ. Определение

Ряды Фурье для периодических и непериодических функций

Пусть функция определена на ℝ.

Определение. Функция называется периодической на ℝ, если существует такое , что ℝ . Наименьшее из таких чисел Т называют периодом функции.

Основные свойства.


  1. Если Т – период , то числа − также являются периодами.

  2. Сумма, разность, произведение, частное функций периода Т суть также периодические функции.

  3. Если функция является периодической с периодом Т, и она интегрируема на некотором отрезке длиной Т, то интегрируема на любом отрезке длиной Т и

ℝ.

  1. Если функция является нечетной на отрезке с периодом , то .

  2. Если функция является четной на отрезке с периодом , то .

Заметим, что всякая периодическая функция полностью определяется своими значениями на любом промежутке , где T – ее период функции. Обычно в качестве промежутка для рассмотрения выбирается симметричный промежуток , , который носит название основного периода.

Пусть на задана произвольная функция gif» align=bottom>, причем значения на концах отрезка и могут не совпадать. Если продолжить ее периодически с периодом , то получим функцию:

, ℤ.

где С совпадает со значением на концах промежутка , если ; в противном случае оно выбирается произвольно. Отметим, что если даже непрерывна на , то ее продолжение может быть разрывной функцией, если .
Понятия тригонометрической системы, тригонометрического ряда
Определение 1. Основной тригонометрической системой функций называется следующая совокупность периодических функций:

.

Все эти функции имеют основной период , хотя функции и имеют меньший период .

Определение 2. Общей тригонометрической системой функций периода называется следующая система функций:

,

где . Основной период этой системы и все функции задаются на отрезке .

Определение 3. Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида:

,

где − коэффициенты тригонометрического ряда.

Частичная сумма этого ряда − линейная комбинация первых функций основной тригонометрической системы и называется тригонометрическим многочленом степени n, если хотя бы одно из . Этот ряд сходится, если , причем будет также периодической функцией с периодом .

Определение 4. Общим тригонометрическим рядом называется ряд вида:

.

Если он сходится, т.е. , то его сумма является периодической функцией с периодом .
Ортогональность тригонометрической системы
Определение. Система функций , называется ортогональной на отрезке , если , а если при этом , то такая система называется ортонормированной.

Теорема. Общая тригонометрическая система функций , , ортогональна на отрезке , причем

1) , , ;
2) ;
3) , ;
4) , ;
5) ,
Ряд Фурье для функции с периодом

Пусть дана периодическая функция с периодом T. Рассмотрим основной период , . Сопоставим этой функции тригонометрический ряд

~.

Теорема. Если функция периодична с периодом и непрерывна на , а тригонометрический ряд сходится для всех , и при этом его можно почленно интегрировать в области сходимости, то если сумма указанного ряда , т.е. , тогда коэффициенты этого ряда вычисляются по формулам
(1) ;
(2) ;
(3) .

Определение. Тригонометрический ряд называется рядом Фурье для функции на отрезке , а коэффициенты , вычисляемые по формулам (1), (2), (3), называются коэффициентами Фурье.

Следствие теоремы. Если , то коэффициенты Фурье функции на отрезке определяются по формулам
(1*) ;
(2*) ;
(3*) .
Достаточные условия сходимости ряда Фурье к исходной функции. Условия Дирихле.
Основная задача теории тригонометрических рядов. Пусть дана некоторая периодическая функция с периодом .


  1. При каких условиях функцию можно разложить в тригонометрический ряд и при каких условиях сумма полученного ряда будет совпадать с ?

  2. В случае возможности разложения в тригонометрический ряд, как найти коэффициенты этого разложения ?

Имеет место следующая основная теорема теории тригонометрических рядов (рядов Фурье).

Теорема Дирихле. Пусть функция , заданная на отрезке , удовлетворяет на нем следующим условиям, называемым условиями Дирихле: функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода, а именно отрезок можно разбить на конечное число интервалов, где непрерывна и монотонна (т.е. кусочно-монотонна). Тогда ряд Фурье этой функции

, (1.1)

коэффициенты которого вычисляются по формулам 1)-3),

сходится при всех , причем его сумма :
(1) во всех точках интервала , в которых непрерывна;
(2) в точках разрыва I рода функции ;
(3) на концах .

Замечание. Поскольку члены ряда (1.1) периодичны с , то в случае сходимости ряда внутри , можем утверждать, что он сходится при всех , и сумма периодически повторяет с периодом те значения, которые она принимала на .

О разложимости непериодической функции в ряд Фурье

Пусть функция определена на . Продолжим данную функцию периодически до − периодической функции: , ℤ (в качестве периода T выбираем число, равное длине исходного промежутка , т.е. ), причем .

Полученную функцию раскладываем в ряд Фурье способом, описанным ранее.

Заметим, что поскольку − периодическая функция, то она определяется своими значениями на любом отрезке длиной в период Т, в том числе и на отрезке , где . А значит .

Аналогично , .

Т.к. коэффициенты Фурье вычисляются по , то мы можем получаемый тригонометрический ряд назвать рядом Фурье для . При этом равенство суммы ряда Фурье и функции выполняется на отрезке .

Замечание. В качестве периода функции можно выбрать любое число, большее , в этом случае функцию необходимо доопределить произвольным образом так, чтобы она была задана на промежутке, имеющем длину, равную выбранному периоду.
Рассмотрим несколько примеров разложения.

Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию .

Решение. График функции изображен на рисунке 1:

Рис. 1

Как видим, данная функция кусочно-монотонная, причем точка — точка разрыва первого рода. Поэтому, согласно теореме о разложении, функция может быть представлена рядом Фурье. В качестве периода выбираем число . Рассмотрим вспомогательную 2π-периодическую функцию , удовлетворяющую условию , график которой изображен на рисунке 2:

Рис. 2

По формулам 1*-3* находим коэффициенты Фурье для функции :

;

Получаем тригонометрический ряд

,

который будет являться рядом Фурье для функции при .

Поскольку функция претерпевает разрыв в точке , то построенный ряд в этой точке имеет своей суммой число

.

В точках сумма данного ряда:

.

Ответ:

при .

Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию .

Решение. График функции изображен на рисунке 3:

Рис. 3

Как видим, данная функция кусочно-монотонная, причем точка − точка разрыва первого рода. Поэтому, согласно теореме о разложении, функция может быть представлена рядом Фурье. В качестве периода выбираем число . Рассмотрим вспомогательную 4-периодическую функцию , удовлетворяющую условию , график которой изображен на рисунке 4:

Рис. 4

По формулам 1*-3* находим коэффициенты Фурье для функции :

;

Следовательно, получаем тригонометрический ряд

. (*)

Указанный ряд сходится и имеет сумму , для которой верны следующие условия:

при ;

при ;

при .

То есть рядом Фурье функции при является ряд (*).

Ответ:

при .

Задачи для самостоятельного решения:

Дифференциальные уравнения — Серия косинусов Фурье

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы сможете прокручивать их, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 8-5: Серия косинусов Фурье

В этом разделе мы рассмотрим ряды косинусов Фурье. Мы начнем во многом так же, как и в предыдущем разделе, где рассматривали синусоидальный ряд Фурье.\ infty {{A_n} \ cos \ left ({\ frac {{n \, \ pi x}} {L}} \ right)} \]

Этот ряд называется серией косинусов Фурье и обратите внимание, что в этом случае (в отличие от синусоидальных рядов Фурье) мы можем начать представление ряда с \ (n = 0 \), поскольку этот член не будет равен нулю, поскольку он было с синусами. Кроме того, как и в случае с рядами синуса Фурье, аргумент \ (\ frac {{n \ pi x}} {L} \) в косинусах используется только потому, что это аргумент, с которым мы столкнемся в следующем глава. Единственное реальное требование здесь — чтобы данный набор функций, которые мы используем, был ортогонален на интервале, над которым мы работаем.{L} {{\ cos \ left ({\ frac {{n \ pi x}} {L}} \ right) \ cos \ left ({\ frac {{m \ pi x}} {L}} \ right ) \, dx}} = \ left \ {{\ begin {array} {* {20} {l}} {2L} & {{\ mbox {if}} n = m = 0} \\ L & {{\ mbox {if}} n = m \ ne 0} \\ 0 & {{\ mbox {if}} n \ ne m} \ end {array}} \ right. \]

Мы получим формулу для коэффициентов почти так же, как и в предыдущем разделе. Мы начнем с представленного выше и умножим обе части на \ (\ cos \ left ({\ frac {{m \ pi x}} {L}} \ right) \), где \ (m \) — фиксированное целое число в диапазоне \ (\ left \ {{0,1,2,3, \ ldots} \ right \} \).{{\, L}} {{\ cos \ left ({\ frac {{n \, \ pi x}} {L}} \ right) \ cos \ left ({\ frac {{m \, \ pi x }} {L}} \ right) \, dx}}} \ end {align *} \]

Теперь мы знаем, что все интегралы в правой части будут равны нулю, кроме случая \ (n = m \), потому что набор косинусов формирует ортогональный набор на интервале \ (- L \ le x \ le L \) . Однако нам нужно быть осторожными со значением \ (m \) (или \ (n \) в зависимости от буквы, которую вы хотите использовать). Итак, после вычисления всех интегралов мы приходим к следующему набору формул для коэффициентов.2}}} \ cos \ left ({\ frac {{n \, \ pi x}} {L}} \ right)} \]

Обратите внимание, что мы часто вычеркиваем \ (n = 0 \) из ряда, как мы это сделали здесь, потому что он почти всегда будет отличаться от других коэффициентов и позволяет нам фактически включать коэффициенты в ряд.

Теперь, как и в предыдущем разделе, давайте спросим, ​​что нам нужно сделать, чтобы найти ряд косинусов Фурье функции, которая не является четной. Как и в случае с рядами синусов Фурье, когда мы сделаем это изменение, нам нужно будет перейти на интервал \ (0 \ le x \ le L \) теперь вместо \ (- L \ le x \ le L \), и снова мы Предположим, что ряд сходится к \ (f \ left (x \ right) \) в этой точке, и оставим обсуждение сходимости этого ряда в следующем разделе.

Мы могли бы дважды проделать работу по нахождению коэффициентов здесь, как мы это делали с синусоидальными рядами Фурье, однако для этого нет реальной причины. Итак, хотя мы могли бы повторить всю вышеописанную работу, чтобы получить формулы для коэффициентов, давайте вместо этого сразу перейдем ко второму методу нахождения коэффициентов.

В этом случае, прежде чем мы фактически продолжим это, нам нужно будет определить четное расширение функции \ (f \ left (x \ right) \) на \ (- L \ le x \ le L \). Итак, для функции \ (f \ left (x \ right) \) мы определим четное расширение функции как,

\ [g \ left (x \ right) = \ left \ {{\ begin {array} {* {20} {l}} {f \ left (x \ right)} & {\, \, \, \, {\ mbox {if}} 0 \ le x \ le L} \\ {f \ left ({- x} \ right)} & {\, \, \, \, {\ mbox {if}} — L \ le x \ le 0} \ end {array}} \ right.\]

Показать, что это четная функция, достаточно просто.

\ [g \ left (-x \ right) = f \ left (- \ left (-x \ right) \ right) = f \ left (x \ right) = g \ left (x \ right) \ hspace {0,25 in} \ text {for} 0

, и мы видим, что \ (g \ left (x \ right) = f \ left (x \ right) \) на \ (0 \ le x \ le L \) и если \ (f \ left (x \ right) \) уже является четной функцией, мы получаем \ (g \ left (x \ right) = f \ left (x \ right) \) на \ (- L \ le x \ le L \).

Давайте взглянем на некоторые функции и нарисуем их равномерные расширения.3} \) на \ (0 \ le x \ le L \)

  • \ (f \ left (x \ right) = \ left \ {{\ begin {array} {* {20} {l}} {\ frac {L} {2}} & {\, \, \, \ , {\ mbox {if}} 0 \ le x \ le \ frac {L} {2}} \\ {x — \ frac {L} {2}} & {\, \, \, \, {\ mbox {if}} \ frac {L} {2} \ le x \ le L} \ end {array}} \ right. \)
  • Показать все решения Скрыть все решения a \ (f \ left (x \ right) = L — x \) на \ (0 \ le x \ le L \) Показать решение

    Вот четное расширение этой функции.

    \ [\ begin {align *} g \ left (x \ right) & = \ left \ {{\ begin {array} {* {20} {l}} {f \ left (x \ right)} & {\ , \, \, \, {\ mbox {if}} 0 \ le x \ le L} \\ {f \ left ({- x} \ right)} & {\, \, \, \, {\ mbox {if}} — L \ le x \ le 0} \ end {array}} \ right.\\ & = \ left \ {{\ begin {array} {* {20} {l}} {L — x} & {\, \, \, \, {\ mbox {if}} 0 \ le x \ le L} \\ {L + x} & {\, \, \, \, {\ mbox {if}} — L \ le x \ le 0} \ end {array}} \ right. 3} \) on \ (0 \ le x \ le L \) Показать решение

    Четное расширение этой функции —

    . \ [\ begin {align *} g \ left (x \ right) & = \ left \ {{\ begin {array} {* {20} {l}} {f \ left (x \ right)} & {\ , \, \, \, {\ mbox {if}} 0 \ le x \ le L} \\ {f \ left ({- x} \ right)} & {\, \, \, \, {\ mbox {if}} — L \ le x \ le 0} \ end {array}} \ right.3}} & {\, \, \, \, {\ mbox {if}} — L \ le x \ le 0} \ end {array}} \ right. \ End {align *} \]

    Эскиз функции и четного расширения:


    c \ (f \ left (x \ right) = \ left \ {{\ begin {array} {* {20} {l}} {\ frac {L} {2}} & {\, \, \, \, {\ mbox {if}} 0 \ le x \ le \ frac {L} {2}} \\ {x — \ frac {L} {2}} & {\, \, \, \, {\ mbox {if}} \ frac {L} {2} \ le x \ le L} \ end {array}} \ right. \) Показать решение

    Вот четное расширение этой функции,

    \ [\ begin {align *} g \ left (x \ right) & = \ left \ {{\ begin {array} {* {20} {l}} {f \ left (x \ right)} & {\ , \, \, \, {\ mbox {if}} 0 \ le x \ le L} \\ {f \ left ({- x} \ right)} & {\, \, \, \, {\ mbox {if}} — L \ le x \ le 0} \ end {array}} \ right.\\ & = \ left \ {{\ begin {array} {* {20} {l}} {x — \ frac {L} {2}} & {\, \, \, \, {\ mbox {если }} \ frac {L} {2} \ le x \ le L} \\ {\ frac {L} {2}} & {\, \, \, \, {\ mbox {if}} 0 \ le x \ le \ frac {L} {2}} \\ {\ frac {L} {2}} & {\, \, \, \, {\ mbox {if}} — \ frac {L} {2} \ le x \ le 0} \\ {- x — \ frac {L} {2}} & {\, \, \, \, {\ mbox {if}} — L \ le x \ le — \ frac {L } {2}} \ end {array}} \ right. \ End {align *} \]

    Эскиз функции и четного расширения:

    Хорошо, давайте теперь подумаем, как мы можем использовать четное расширение функции, чтобы найти ряд косинусов Фурье любой функции \ (f \ left (x \ right) \) на \ (0 \ le x \ le L \) .{{\, L}} {{f \ left (x \ right) \ cos \ left ({\ frac {{n \, \ pi x}} {L}} \ right) \, dx}}} & { \, \, \, \, \, n \ ne 0} \ end {array}} \ right. \]

    и обратите внимание, что мы будем использовать вторую форму интегралов для вычисления констант.

    Теперь, поскольку мы знаем, что на \ (0 \ le x \ le L \) мы имеем \ (f \ left (x \ right) = g \ left (x \ right) \), и поэтому ряд косинусов Фурье \ (f \ left (x \ right) \) на \ (0 \ le x \ le L \) также определяется выражением,

    \ [f \ left (x \ right) = \ sum \ limits_ {n = 0} ^ \ infty {{A_n} \ cos \ left ({\ frac {{n \, \ pi x}} {L}} \ справа)} \ hspace {0. 3} \) на \ (0 \ le x \ le L \).n}} \ right) \ cos \ left ({\ frac {{n \, \ pi x}} {L}} \ right)} \]

    Наконец, давайте кратко рассмотрим кусочную функцию.

    Пример 5 Найдите ряд косинусов Фурье для \ (f \ left (x \ right) = \ left \ {{\ begin {array} {* {20} {l}} {\ frac {L} {2}} & { \, \, \, \, {\ mbox {if}} 0 \ le x \ le \ frac {L} {2}} \\ {x — \ frac {L} {2}} & {\, \, \, \, {\ mbox {if}} \ frac {L} {2} \ le x \ le L} \ end {array}} \ right. \) на \ (0 \ le x \ le L \). Показать решение

    Здесь нам нужно разделить интегралы для каждого из коэффициентов.n} — \ cos \ left ({\ frac {{n \, \ pi}} {2}} \ right) + \ frac {{n \ pi}} {2} \ sin \ left ({\ frac {{ n \, \ pi}} {2}} \ right)} \ right] \ cos \ left ({\ frac {{n \, \ pi x}} {L}} \ right)} \]

    Обратите внимание, что, как мы уже видели с синусоидальными рядами Фурье, многие коэффициенты будут довольно беспорядочными.

    % PDF-1.6 % 179 0 объектов> эндобдж xref 179 101 0000000016 00000 н. 0000003852 00000 н. 0000003917 00000 н. 0000004536 00000 н. 0000005414 00000 н. 0000005822 00000 н. 0000006311 00000 н. 0000009158 00000 н. 0000009534 00000 п. 0000009880 00000 н. 0000010210 00000 п. 0000010646 00000 п. 0000011399 00000 п. 0000012546 00000 п. 0000012844 00000 п. 0000013727 00000 п. 0000014375 00000 п. 0000015025 00000 п. 0000015904 00000 п. 0000016513 00000 п. 0000016939 00000 п. 0000017425 00000 п. 0000028477 00000 п. 0000028966 00000 п. 0000035473 00000 п. 0000035919 00000 п. 0000036284 00000 п. 0000036848 00000 н. 0000037289 00000 п. 0000037965 00000 п. 0000047832 00000 п. 0000057779 00000 п. 0000058241 00000 п. 0000058655 00000 п. 0000058972 00000 н. 0000065296 00000 п. 0000065633 00000 п. 0000066055 00000 п. 0000066277 00000 п. 0000074648 00000 п. 0000074725 00000 п. 0000075642 00000 п. 0000076523 00000 п. 0000084824 00000 п. 0000085269 00000 п. 0000085669 00000 п. 0000085998 00000 п. 0000086631 00000 н. 0000091542 00000 п. 0000091935 00000 п. 0000092362 00000 п. 0000092660 00000 п. 0000099740 00000 п. 0000100292 00000 н. 0000100693 00000 п. 0000101116 00000 н. 0000101991 00000 н. 0000102737 00000 н. 0000103658 00000 п. 0000103992 00000 н. 0000104768 00000 н. 0000105124 00000 п. 0000105325 00000 н. 0000105969 00000 н. 0000106345 00000 п. 0000106959 00000 п. 0000107337 00000 н. 0000111882 00000 н. 0000113322 00000 н. 0000121297 00000 н. 0000121624 00000 н. 0000122067 00000 н. 0000122328 00000 н. 0000122895 00000 н. 0000123524 00000 н. 0000124168 00000 н. 0000124817 00000 н. 0000129665 00000 н. 0000130055 00000 н. 0000130243 00000 н. 0000130645 00000 н. 0000130900 00000 н. 0000135250 00000 н. 0000135573 00000 н. 0000135946 00000 н. 0000136737 00000 н. 0000137325 00000 н. 0000137438 00000 н. 0000138320 00000 н. 0000138568 00000 н. 0000138999 00000 н. 0000139360 00000 н. 0000145999 00000 н. 0000146119 00000 н. 0000146921 00000 н. 0000147050 00000 п. 0000147698 00000 н. 0000150964 00000 н. 0000151258 00000 н. 0000151578 00000 н. 0000002316 00000 н. трейлер ] >> startxref 0 %% EOF 279 0 obj> поток x ڴ VkL [eNiwsJ٠lr + [k c2h] t]; c`: P7qKe͹˙o & [? Ęh: 4 $> @ QLV «\ $ Y.() u

    Серия синусов Фурье — обзор

    12,1

    Используйте ряд синусов Фурье f (x) = (π-x) / 2,0

    π4- x2 = ∑n = 1∞sin2nx2n, 0 и

    π4 = ∑n = 1∞sin (2n-1) x2n-1,0 Что они производят при x = π / 6, x = π / 3 и x = π / 2?

    12,2

    Докажите, что для 0≤x≤π

    ∑n = 1∞cos (2n-1) x (2n-1) 2 = (π-2x) π8.

    Подставляем x = 0 и получаем другое доказательство для суммы ряда

    ∑n = 1∞1 (2n-1) 2

    из примера 12.15.

    Подсказка: Создайте ряд косинусов Фурье из f (x) = π-x, 0

    12,3

    Создайте ряд косинусов Фурье sinx, 0≤x≤π, и докажите, что

    sinx = 2π-4π∑n = 1∞cos2nx4n2-1,0≤x≤π.

    Что такое ряд синусов Фурье sinx?
    12,4

    Докажите, что

    ∑n = 1∞14n2-1 = 12and∑n = 1∞ (-1) n4n2-1 = 12-π4.

    Подсказка: Используйте ряд косинусов Фурье f (x) = sinx из упражнения 12.3.
    12,5

    Докажите, что

    ∣x∣ = π2-4π∑n = 1∞cos (2n-1) x (2n-1) 2, -π≤x≤π.

    12,6

    Докажите, что для 0≤x≤π,

    x4 = π45 + 8∑n = 1∞ (-1) n (πn) 2-6π4cosnx.

    Подставляем x = π и получаем значение дзета-функции Римана при 4:

    ζ (4) = ∑n = 1∞1n4 = π490.

    Подсказка: Создайте ряд косинусов Фурье f (x) = x4,0≤x≤π и используйте ζ (2) = π2 / 6, что доказано в примере 12.15.
    12,7

    Создайте ряд синусов Фурье из f (x) = x (π-x), 0≤x≤π, и выведите

    ζ (6) = ∑n = 1∞1n6 = π6945.

    12,8

    Докажите теорему 12.5.

    12.9

    Докажите неравенство Коши – Буняковского – Шварца в пространстве внутреннего произведения.

    Подсказка: Следуйте доказательству теоремы 4.7.

    12,10

    Докажите неравенство треугольника во внутреннем пространстве продукта.

    12.11

    Докажите, что норма нормированного пространства E может быть определена через скалярное произведение, если оно удовлетворяет равенству параллелограмма

    ∥p + q∥2 + ∥pq∥2 = 2 (∥p∥ 2 + ∥q∥2).

    Подсказка: Определите внутреннее произведение как 〈p, q〉 = 14 (∥p + q∥2-∥p-q∥2).
    12.12

    ( Обобщенная теорема Пифагора ) Докажите, что если p⊥q во внутреннем пространстве произведения, то ∥p + q∥2 = ∥p∥2 + ∥q∥2.

    12,13

    Докажите, что каждая ортогональная система {pi} во внутреннем пространстве продукта линейно независима.

    Подсказка: Вычислите левую часть ∑i = 1naipi2 = 0 и используйте ∥pi∥> 0 для всех i = 1,…, n.

    12.14

    Докажите, что в банаховом пространстве каждый абсолютно сходящийся ряд сходится. Приведите контрпример, демонстрирующий, что этот факт не выполняется в нормированных пространствах.

    12,15

    Убедитесь, что теорема 12.50 может быть получена из теоремы 6.25.

    Подсказка: Определите f∈C (-π, π), удовлетворяющую f (-π) = f (π), с функцией на единичной окружности S и используйте компактность S.

    12,16

    Докажите, что если коэффициенты Фурье an и bn функции удовлетворяют условию an≤1 / n2 и bn≤1 / n2, то ряд Фурье этой функции сходится равномерно.

    12,17

    Примените тождество Парсеваля к f (x) = x2, -π≤x≤π и выведите

    ζ (4) = ∑n = 1∞1n4 = π490.

    12,18

    Пусть {an} будет последовательностью положительных членов. Определите

    pn = a1a2 ⋯ ann.

    Докажите, что если limn → ∞an = a, то limn → ∞pn = a. Приведите пример, когда {an} расходится, а {pn} сходится.

    Подсказка: Используйте суммируемость Cesàro.

    12,19

    ( синус-интеграл Фурье ) Пусть f абсолютно интегрируемо на [0, ∞) и кусочно гладко на каждом ограниченном интервале [0, ∞).Докажите, что

    2π∫0∞∫0∞f (y) sinzysinzxdydz = f (x -) + f (x +) 2, x> 0.

    12.20

    ( Интеграл Фурье по косинусу ) Пусть f абсолютно интегрируемо на [0, ∞) и кусочно гладко на каждом ограниченном интервале [0, ∞). Докажите, что

    2π∫0∞∫0∞f (y) coszycoszxdydz = f (x -) + f (x +) 2, x> 0.

    12,21

    Пусть

    f (x) = 0, x <0,1 / 2, x = 0, e-x, x> 0.

    Докажите, что

    f (x) = 1π∫0∞cosyx + ysinyx1 + y2dy, x∈R.

    12.22

    Докажите, что

    e-∣x∣ = 2π∫0∞cosyx1 + y2dy, x∈R.

    Ряды косинусов — обзор

    §4 Переход к интегралу Фурье

    Интервал представления −π < x <π может быть изменен многими способами. Мало того, что он может быть перемещен, как отмечено на стр. 14, но также его длина может быть изменена, например, на - a < z <+ a для произвольных a . Это делается заменой

    (1) x = πza,

    , которая преобразует (1.7) в

    (2) AkBk} = 1a∫ − a + af (z) sincosπkzadz, A0 = 12a∫ − a + af (z) dz.

    В более удобном сложном способе записи (1.12) тогда имеем

    (3) f (z) = ∑ − ∞ + ∞Ckeiπakz, Ck = 12a∫ − a + af (ζ) e − iπakζdζ.

    Мы, очевидно, можем рассмотреть также более общий интервал b < z < c , подставив

    (4) x = αz + β, α = 2πc − b, β = −πc + bc − b

    Формулы (2) тогда принимают вид

    (5) AkBk} = 2c − b∫bcf (z) sincosk (αz + β) dz, A0 = 1c − b∫bcf (z) dz.

    В этой связи упомянем некоторые «чистые синусоидальные и косинусные ряды», которые встречаются в работе Фурье. Рассматривается функция f ( x ), которая задается только в интервале 0 < x <π, скажем, и которая должна продолжаться в отрицательную сторону нечетным или четным образом. Например, для нечетного продолжения получается

    f (x) = ∑k = 1∞Bksinkx, Bk = 2π∫0xf (x )inkxdx,

    См. Также упражнение I.3.

    Начиная с (3) мы берем , чтобы было очень большим.Последовательность значений

    ωk = πak

    тогда становится плотной, по этой причине мы будем писать ω вместо ω k с этого момента. Для разности двух последовательных ω k запишем соответственно

    dω = πa, 1a = dωπ.

    Если в (3) заменить символы z , ζ на предыдущие x , ζ, то получим

    (6) Ck = dω2π∫ − a + af (ξ) e − iωξdξ.

    На данный момент мы избегаем называть пределы этого интеграла — ∞ и + ∞

    Вводя (6) в бесконечный ряд (3) для f ( x ), заменяя суммирование интегрированием и обозначая пределы интегрирования пока на ± Ω, получаем:

    (7) f (x) = LimΩ → ∞Lima → ∞12π∫ − Ω + Ωe − iωxdω∫ − a + af (ξ) e − iωξdξ.

    Указанный здесь порядок перехода к пределу, очевидно, необходим: если бы сначала был осуществлен предельный переход Ω → ∞, мы получили бы совершенно бессмысленный интеграл

    ∫ − ∞ + ∞eiω (x − ξ) dω

    С другой стороны, f (ξ) должно обращаться в нуль при ξ → ± ∞, чтобы первый предел для a → ∞ имел смысл. Нам не нужно исследовать, насколько быстро f → 0, чтобы был возможен другой предельный переход, поскольку для всех правильно сформулированных физических задач эта сходимость к 0 будет «достаточно быстрой».”

    После этого предварительного обсуждения мы будем сокращать более точную форму (7), записывая:

    (8) f (x) = 12π∫ − ∞ + ∞dω∫ − ∞ + ∞f (ξ) eiω ( x − ξ) dξ.

    Отсюда мы переходим к действительной форме интеграла Фурье (8), как это обычно приводится в литературе. Положим

    eiω (x − ξ) = cosω (x − ξ) + isinω (x − ξ).

    Здесь синус является нечетной функцией ω и, следовательно, обращается в нуль при интегрировании от — ∞ до + ∞; косинус, будучи четным по ω, дает удвоенный интеграл от 0 до ∞.Следовательно, мы имеем

    (9) f (x) = 1π∫0 + ∞dω∫ − ∞ + ∞f (ξ) cosω (x − ξ) dξ,

    , из чего мы не хотим подразумевать, что действительная форма лучше или проще нашей сложной формы (8). Вместо (9) можно написать:

    (10) f (x) = ∫0∞a (ω) cosωxdω + ∫0∞b (ω) sinωxdω

    где

    (10a) a (ω) = 1π ∫ − ∞ + ∞f (ξ) cosωξdξ, b (ω) = 1π∫ − ∞ + ∞f (ξ) sinωξdξ.

    В частности, b (ω) должно исчезнуть, если f ( x ) четно, a (ω), если f ( x ) нечетно.Тогда мы имеем соответствующий вышеупомянутому «чистому ряду косинусов или синусов» «чистый косинус или синусоидальный интеграл». Одно или другое может быть получено всякий раз, когда f ( x ) задается только для x > 0, продолжая f ( x ) как четную или нечетную функцию в отрицательную сторону. Затем запишем явно:

    для четного продолжения

    (11a) f (x) = ∫0∞a (ω) cosωxdω, a (ω) = 2π∫0∞f (ξ) cosωξdξ,

    для нечетное продолжение

    (11b) f (x) = ∫0∞b (ω) sinωxdω, b (ω) = 2π∫0∞f (ξ) sinωξdξ.

    Полезность этой процедуры станет очевидной для нас при рассмотрении некоторых конкретных проблем теплопроводности ниже.

    Мы сознательно обозначили переменную интегрирования через ω. В общем случае через ω обозначим частоту в колебательных процессах. Поэтому давайте пока будем думать о x как о временной координате ; тогда в уравнении (10) мы имеем разложение произвольного процесса во времени, f ( x ), на его гармонические составляющие .В интеграле Фурье рассматривается непрерывный спектр , который колеблется по всем частотам от ω = 0 до ω = ∞ в ряду Фурье с дискретным спектром , состоящим из основного тона и гармонических обертонов. . При этом необходимо иметь в виду следующий факт: когда физик определяет спектр процесса с помощью подходящей спектральной аппаратуры, он находит только амплитуду , принадлежащую частоте ω, а фаза парциальных колебаний остается ему неизвестной.В наших обозначениях амплитуда соответствует величине

    c (ω) = a2 (ω) + b2 (ω),

    фаза γ (ω) задается отношением b / a . Соотношение между этими различными величинами лучше всего представить как

    (12) c (ω) eiγ (ω) = a (ω) + ib (ω).

    Интеграл Фурье, который полностью описывает процесс, использует обе величины a и b , то есть и амплитуды и фазы. Таким образом, наблюдаемый спектр дает, так сказать, только половину информации, содержащейся в интеграле Фурье.

    Это заметно отмечено в «Фурье-анализе кристаллов», который так успешно проводится в настоящее время. Здесь можно наблюдать только интенсивностей кристаллических рефлексов, т. Е. Квадраты амплитуд ; для полного знания кристаллической структуры необходимо также знать фаз . Этот дефект можно устранить только частично из соображений симметрии.

    В упражнении I.4 мы будем рассматривать спектры различных колебательных процессов как примеры для теории интеграла Фурье и одновременно как завершение спектральной теории.

    Еще раз вернемся к комплексной форме интеграла Фурье и разделим его на две части

    (13) f (x) = 12π∫ − ∞ + ∞φ (ω) eiωxdω, φ (ω) = 12π∫− ∞ + ∞f (x) e − ixωdx.

    , которые вместе эквивалентны (8). Без учета разбиения знаменателя 2π на 2π⋅2π, которое было сделано в основном из соображений симметрии, и без учета обозначения переменной интегрирования во втором уравнении, имеем φ (ω), идентичную величине a (ω ) — ib (ω) определено в (10a); поэтому он содержит информацию, касающуюся как амплитуды, так и фазы колебательного процесса f ( x ).

    Более того (10) показывает, что две функции f, и φ имеют взаимное отношение : одна определяется другой, независимо от того, считаем ли мы f известным, а φ — неизвестным или наоборот, и определение в каждой из них. случай — «интегральными уравнениями» точно такого же характера. Одна говорит, что одна функция — это преобразование Фурье другой. В (13) представлена ​​особенно элегантная формулировка интегральной теоремы Фурье.

    До сих пор мы говорили только о функциях f ( x ) от одной переменной .Очевидно, что функция нескольких переменных может быть преобразована в ряд Фурье или интеграл по любой из переменных. Развивая по x, y, z , например, мы получаем трехкратно бесконечный ряд Фурье и шестикратные интегралы Фурье. Мы не хотим писать здесь довольно длинные формулы, так как у нас будет достаточно возможностей объяснить их в их приложениях.

    Расширение серии

    (2): серия Фурье Расширение серии

    (2): серия Фурье

    5.10-я серия (2): серия Фурье

    5.10.1 Ряды Тейлора и Фурье

    Частные суммы ряда Тейлора, приближающие функцию f (x) в окрестности точка вычисления x0 через частичные суммы степенного ряда. Если кто-то хочет аппроксимировать функцию по при большем интервале потребуются члены очень высокого порядка. Полином, полученный усечение ряда Тейлора должно иметь как минимум столько же поворотных точек, сколько функция.Для периодических функций это было бы очень утомительно для интервалов больших чем период.

    Периодические функции имеют большое практическое значение в телекоммуникациях. и электротехника. Для таких функций приближение через суперпозиция периодических стандартных функций (синус и косинус 0 гораздо лучше подходит. On расширяет функцию в серию, которая состоит из основного тона и обертонов, т. е. из функций sinnx и cosnx с целым числом значения n.

    Сразу очевидна аналогия с анализом колеблющейся струны: sinx описывает вибрацию основного тона, sin2x октавы, sin3x пятый выше октавы и так далее. Для струны, закрепленной на обоих концах; переменная х теперь произведение ωt угловая частота ω и время t.

    x = ωt = 2πνt = 2πtT; ν частота колебаний; T длительность одного периода

    Фурье

    В зависимости от формы f (t) один накладывает большее или меньшее количество этих синусоидальных / косинусоидальных колебаний с определенным сила и выражается числом, определяющим амплитуду.Набор амплитуды обертонов, т.е. коэффициенты разложения в ряд представляют собой спектр периодических колебаний. Спектр и форма колебаний соответствующие представления об одном и том же явлении. Это представление в терминах наложенных функций синуса и косинуса называется рядом Фурье f (t).

    Хотя частичные суммы ряда Тейлора аппроксимируют функцию в близости точки, частные суммы ряда Фурье являются приближениями для весь интервал основного периода и, следовательно, также — из-за периодичность рассматриваемых функций — для неограниченной области переменной Икс.В Ряд Фурье не обязательно должен совпадать с функцией в какой-либо точке, при этом случай для серии Тейлора в точке расчета.

    Зависит от свойств f (t), сколько обертонов необходимо наложить, чтобы аппроксимировать функцию почти все точки. Если трактовать понятие сходимости не строго, то ряды Фурье сходятся для всех функций, даже для не непрерывных. Конвергенция тогда не обязательно монотонный, т.е. может быть лучше для некоторых значений т и хуже для некоторых другие значения t и даже потерпеть неудачу по некоторым значениям! На разрывах наблюдаются перерегулирования даже при высшие порядки серии.В телекоммуникациях это называется звонком.

    Поскольку рассматриваемые здесь периодические явления в основном представляют собой колебания во времени, переменная обычно x = ωt. Чтобы также смоделировать фазы отдельных обертонов, мы используем сумму членов с sinnx и cosnx. Затем сумма представляет собой сдвинутую по фазе синусоидальную или косинусную функцию. Таким образом, общий Фурье серия читает

    f (t) = a02 + ∑n = 1∞an cos (nωt) + bn sin (nωt).

    Для заданного спектра a0, ai, bi, i = 1,2, ⋯ можно вычислить f (t). Для заданной функции f (t) все коэффициенты могут быть определены, и, таким образом, спектр известен.

    5.10.2 Определение коэффициентов Фурье

    Как теперь получить коэффициенты и млрд?

    Для ряда Тейлора мы использовали тот факт, что после дифференцирования все термины, которые все еще содержат расстояние x до точки вычисления, становятся равными нулю, так что коэффициент соответствующий постоянный член дает с точностью до множителя соответствующую производную a точка вычисления.

    Для ряда Фурье мы вместо этого начинаем с интегрирования произведения функции и обертонов. cos (mωt) или.sin (mωt); m = 1,2,3 … за один период Т фундаментального частота (m = 1)

    ∫ 0Tcos (mωt) f (t) dt = ∫ 0Tcos (mωt) (a02 + ∑n = 1∞an cos (nωt) + bn sin (nωt)) dt∫ 0Tsin (mωt) f (t) dt = ∫ 0Tsin (mωt) (a02 + ∑n = 1∞an cos (nωt) + bn sin (nωt)) dt

    Сначала это выглядит немного сложно; однако оказывается, что интеграл над константой, т.е. первый член перед символом суммы почти всегда обращается в нуль, поскольку интеграл по периоду косинуса или синуса равен нулю. Только для m = 0 получаем вклад, поскольку cos0 = 1 = const. Следовательно, применимо следующее:

    a02 = 1T∫ 0Tf (t) dt.

    Дополнительно интеграл по произведению обертона м и секунда обертон n ноль, если m и n не равный. То же самое применимо и при умножении функций косинуса и синуса, потому что синус-функций нечетны, а косинус-функции четны по отношению к х = 0.Поэтому мы остались только с интегралами cos2nx или sin2nx, который оба T ∕ 2. Таким образом, коэффициенты можно легко записать, но это требует определения интегралов, что требует численных расчетов.

    an = 2T∫ cos (nωt) f (t) dt; bn = 2T∫ sin (nωt) f (t) dt

    Моделирование на рис. 5.15 визуализирует эти обстоятельства, которые упрощают расчет коэффициентов Фурье.Из поля выбора продукт интересующих нас периодических функций общего вида есть выбрано: cos (mx) (acos (nx) + bsin (nx)). Красная кривая представляет собой произведение в cosmx и регулируемый обертон acosnx + bsinnx, на рисунке m = 10 и n = 8. В синей кривой показан интеграл, конечное значение которого (определенный интеграл за один период f (t)) обращается в нуль для m ≠ n. Для m = n получаем, когда интегрируя через acosmxcosmx результат aπ, а интеграл над смешанным термином bcosmxsinmx исчезает.Интеграция запускается выбором соответствующей опции. коробка.

    С слайдами параметры a и б и целые числа m и я могу быть выбранным. Функция отображается красным цветом. После активации поля Integral синяя интегральная функция вычисляется по периоду основного колебания от 0 до 2π. Конечное значение — это определенный интеграл, который нас интересует.

    В качестве первого шага убеждаемся, что интегралы по синусу и косинус обращается в нуль, и что добавление функций синуса и косинуса приводит к функция синуса или косинуса со сдвигом фазы, интеграл которой также обращается в нуль.В вычисление интеграла для произведения функции, определенной выше, с обертон изначально неизвестного порядка показывает, что действительно все вклады исчезают, за исключением того, в котором обертоны идентичны, а функция тип (синус или косинус) такой же. Понятно, что симметрия различные функции относительно середины периода на ось абсцисс является причиной этого конкретного результата. Итак, у нас есть.

    ∫ 0Tcos (mωt) dt = 0; ∫ 0Tcos (mωt) sin (nωt) dt = 0;

    ∫ 0Tcos (mωt) cos (nωt) dt = 0 для m ≠ nT ∕ 2form = n

    Это свойство функций синус и косинус означает, что они являются примером ортогональная система функций.Две функции называются ортогональными, если применяется следующее:

    ∫ 0Tf1 (t) f2 (t) dt = 0 для f1 (t) ≠ f2 (t)


    Рисунок 5.15: Моделирование визуализирует ортогональность тригонометрического функции.


    На страницах описания моделирования более подробные инструкции и подсказки для Предусмотрены эксперименты. После открытия симуляции вы выбираете тип функции и нажмите клавишу ввода.Процесс интеграции анимирован, чтобы вы чтобы легче было увидеть разницу между интегралами при изменении функции.

    5.10.3 Визуализация вычисления коэффициентов и спектра

    Моделирование на рис. 5.16 визуализирует расчет коэффициентов Фурье для основной тон и первые девять обертонов для следующего типичного периодического издания функции: пила, прямоугольная волна, прямоугольный импульс и гауссов импульс. С этой целью произведение функций под знаком интеграла определено и нарисовано красным а определенный интеграл показан синим цветом.Конечное значение интеграла, за исключением множитель π который был подавлен, чтобы получить более легко читаемые значения, равные коэффициенту выбранный заказ. Функции имеют до трех параметров. группа c, что контролировать амплитуду, точку симметрии и ширину импульса. Из при моделировании спектры показанных функций могут быть получены в численном и экспериментальным способом.


    Рисунок 5.16: Вычисление коэффициентов Фурье для выбора функций F (t) для колебание зуба пилы.


    Интерактивный рисунок моделирования показывает ситуацию для синусоиды. коэффициенты десятого порядка симметричной пилы. Моделирование запускается выбрав функцию и нажав кнопку ввода. Страницы описания и инструкции по экспериментам содержат дополнительные подробности.

    5.10.4 Примеры разложений Фурье

    В следующих интерактивных примерах (рис.5.17 — Рис. 5.19) расчет коэффициенты происходит в фоновом режиме. В окне функция отображается красным цветом, а частичная сумма желаемого порядка отображается синим цветом. Окно функций является интерактивным, так что можно введены, и некоторые из них предлагаются в описании. В текстовом окне порядок анализа можно регулировать; ползунком порядок приближения п быть используется для частичной суммы. Моделирование позволяет использовать очень высокие заказы.

    Расчет разложения Фурье n-й порядок следует сразу после входа в функцию.Схема выходит за рамки интеграции область 2π чтобы увидеть периодическое продолжение в обоих направлениях.

    На рис. 5.17 разложение Фурье порядка 43 — это показано как приближение для симметричного и периодического прямоугольного импульса. Для прямоугольная волна очень четко распознает типичный выход за пределы сплошностей, который не исчезает даже для очень высоких заказов.


    Рисунок 5.17: Периодический квадратный импульс (красный) и его приближение Фурье (синий) 43-го порядка. Расчетный заказ п можно выбрать.


    На рис. 5.18 с использованием того же моделирования показано приближение 17-го порядка. для колебания зуба пилы, которое было модулировано нелинейным образом с помощью синусоидальная функция высокой частоты.


    Рисунок 5.18: Периодическая пила, модулированная с середины периода с помощью высокочастотной синусоидальной функции (красный) и приближения Фурье 17-го заказ (синий).Частоту модуляции можно выбрать с помощью ползунка. Аналогичный сложные формы волны используются в синтезаторах для получения интересных звуков.


    Во втором окне моделирования (рис. 5.19) показан спектр. Это можно изменить между синусом (ан) -, косинус (млрд) и спектр мощности (sn2 + bn2). На этом рисунке показан спектр модулированной пилообразной формы, богатый обертонами. и имеет ярко выраженный формант на шестом и седьмом обертонах. В акустике форманты определяются как ограниченные области обертонов с большой амплитудой; Они существенно определяют качество тона.

    .



    Рисунок 5.19: частотный спектр для разложения Фурье модулированная пила на рис. 5.18. По оси абсцисс показан порядок п обертона (основной тон n = 1), по ординате можно выбрать отображение отдельных коэффициентов или общая мощность в заданном порядке.

    Описание моделирования содержит дальнейшие инструкции.

    5.10.5 Комплексный ряд Фурье

    В пространстве комплексных чисел ряд Фурье можно сформулировать очень элегантный способ:

    f (t) = ∑n = -∞∞cneinωtcn = 1T ∫ 0Tf (t) einωtdt.

    Связь с реальным представлением достигается переупорядочиванием суммы и объединением, начиная с n = 1 условия с -n и н. Принимая учитывать cos (-x) = cos (x); sin (-x) = — sin (x) мы получили

    f (t) = ∑p = -∞∞cneinωt = ∑p = -∞∞cn (cosnωt + isinnωt) = c0 + (c1 + c-1) cosωt + i (c1-c-1) sinωt +…f (t) = c0 + ∑p = 1∞ (cn + c-n) (cosnωt + i (cn-c-n) sinnωt)

    В качестве связи между действительными и комплексными коэффициентами получаем

    a0 = 2c0; an = cn + c-n; bn = i (cn-c-n).

    Сложный состав особенно используется в электротехнике. Он имеет преимущество, что вычисления с экспонентами в целом проще и более прозрачны, чем те, которые имеют тригонометрическую функцию.

    Для быстрого численного вычисления компонент ряда Фурье a был разработан специальный алгоритм, известный как БПФ (Fast Fourier Преобразование).БПФ

    5.10.6 Численное решение уравнений и итерационные методы

    В математике и физике часто требуется определить значения переменная, для которой функция, зависящая от этой переменной, имеет определенное значение Может идентичная проблема

    Итерация в том, что касается вычислений, заключается в нахождении значения переменная, у которой две функции одной переменной имеют одинаковое значение.Один решает эти проблемы с поиском нулей функции.

    f мы определяем y1 = f (x); y2 = g (x), для которого x равно y1 = C? Ответ: f (x) -C = 0, для которого x равно y1 = y2? Ответ: h (x) ≡ f (x) -g (x) = 0

    Аналитическое решение для поиска нулей функции может быть найдено только для очень простые функции, поэтому это исключение. Поэтому нужен числовой метод решения, который предпочтительно работает для всех функций и всех параметров значения.

    Это достигается с помощью итерационных методов, которые позволяют изменить вопрос.Сначала берется значение переменной, которое, вероятно, меньше, чем оценивает первый ноль в интересующем интервале и вычисляет как абсолютное значение значения функции и ее знака. Затем увеличивают переменную на заданный интервал (можно, конечно, также начать справа и уменьшить шаг переменной на шаг). Новое абсолютное значение для одного и того же знака переходит к следующему? точка. Если знак изменится, значит, очевидно, что ноль перешагнул. Теперь направление движения инвертируется, а ширина шага умножается на коэффициент <1.Таким образом можно найти коробки уменьшающегося размера, содержащие ноль до отклонения значение функции от нуля становится меньше заданного допуска. Затем продолжить процесс в исходном направлении, пока все нули не будут найден или до определенного порога для значения переменной или сама функция была превышена, и, таким образом, человек находится за пределами области интерес.

    Для этой итерации доступны готовые алгоритмы в стандартном исполнении. числовые компьютерные коды, которые включают дальнейшие уточнения.Таким образом, для Например, измените ширину интервалов итерации так, чтобы символ функция учитывается. Например, в методе Ньютона используется его наклоните первую производную, чтобы настроить эти интервалы. Учитывая сегодняшнюю скорость Компьютерам эти доработки не играют роли для простых задач. Следующие интерактивный пример на рис. 5.17 определяет нули функции, которая может быть введен по желанию. Эта функция предустановлена ​​как полином четвертой степени с иррациональные корни.

    Последовательность показывает развитие очень простого итерационного алгоритма. В скорость можно регулировать. Начальную точку итерации (пурпурный) можно перетащить с помощью мыши. Итерация продолжается с постоянной шириной шага до большего x-значения пока не изменится знак функции. Начальное значение сбрасывается до последнего значение до смены знака и ширина шага уменьшается в раз 10 и прогресс к большим x-значениям возобновляется.Это повторяется до тех пор, пока не произойдет отклонение y-значение с нуля опускается ниже заданного допуска. При моделировании можно выбрать, останавливается после достижения определенной точности, или все нули в переменном интервале определяются последовательно. При однократном вычислении пурпурная точка перескакивает на расчетное значение. в то время как синяя точка показывает значение первой итерации при определении несколько нулей.

    Чтобы иметь возможность следить за последовательной итерацией уже с высокой точностью При успешном выполнении часть окна подробно показана в увеличительном стекле, и шкала настраивается на возрастающую точность.

    Из окна увеличения на рис. 5.20 видно, что кривая всегда почти линейный замкнуть корень кривой. Regula Falsi использует значение следующей итерации для х пересечение секущей, образованной двумя предыдущими точками итерации, с ось абсцисс. Таким образом, это быстро приводит к окончательному решению. Однако мы выбрали постоянную ширину шага, чтобы было легче наблюдать за процессом.


    Рисунок 5.20: Анимированное итеративное вычисление нулей функции, многочлен четвертой степени на рисунке.В левом окне отображается весь расчетный интервал, правый участок, масштаб которого соответствует достигнутому разрешению. Отображается последняя точка итерации. синим цветом в обоих окнах, а три предшественника показаны в красный в «зеркале». на картинке для возвращения после разделив интервал на 10. Пурпурная точка — это начальная точка итерация. Его можно нарисовать мышкой. Желаемая точность дельта , количество шагов по времени в секунду (скорость) и диапазон абсцисс xmax можно выбрать.В числовых полях координаты текущей точки итерации. х, у и начальная точка х0, у0 итерации. В окне формул можно вводить любые функции нули которого необходимо вычислить.


    Дальнейшие подробности и подсказки для экспериментов можно найти на страницах описания моделирование.

    Серия Фурье

    Синусоидальные и косинусоидальные волны могут выполнять другие функции!

    Здесь две разные синусоидальные волны складываются вместе, чтобы образовать новую волну:


    Попробуйте «sin (x) + sin (2x)» в графическом редакторе функций.

    (Вы также можете услышать его в Sound Beats.)

    Квадратная волна

    Можем ли мы использовать синусоидальные волны для создания прямоугольной волны ?

    Наша цель — прямоугольная волна:

    Начать с sin (x) :

    Тогда возьмите sin (3x) / 3 :

    И сложите его, чтобы получилось sin (x) + sin (3x) / 3 :

    Вы видите, как он начинает немного походить на прямоугольную волну?

    Теперь возьмем sin (5x) / 5 :

    Добавьте это также, чтобы получилось sin (x) + sin (3x) / 3 + sin (5x) / 5 :

    Становится лучше! Давайте добавим намного больше синусоид.

    Используя 20 синусоидальных волн, мы получаем sin (x) + sin (3x) / 3 + sin (5x) / 5 + … + sin (39x) / 39 :

    Используя 100 синусоид, мы получаем sin (x) + sin (3x) / 3 + sin (5x) / 5 + … + sin (199x) / 199 :

    И если бы мы могли добавить бесконечные синусоидальные волны в этот паттерн, мы получили бы прямоугольную волну!

    Итак, мы можем сказать, что:

    прямоугольная волна = sin (x) + sin (3x) / 3 + sin (5x) / 5 + … (бесконечно)

    Это идея ряда Фурье.

    Добавляя бесконечные синусоидальные (или косинусные) волны, мы можем создавать другие функции, даже если они немного странные.

    Вы можете немного поиграть с:

    Графер ряда Фурье

    Также интересно использовать Spiral Artist и наблюдать, как круги создают волны.

    Они созданы для экспериментов, так что поиграйте и почувствуйте предмет.

    Нахождение коэффициентов

    Как мы узнали, что использовать sin (3x) / 3, sin (5x) / 5 и т. Д.?

    Есть формулы!

    Сначала давайте запишем полную серию синусов и косинусов с именем для всех коэффициентов:

    f (x) = a 0 + a n cos (nx π L ) + b n sin (nx π L )

    Где:

    • f (x) — это желаемая функция (например, прямоугольная волна)
    • L — это половина периода функции
    • a 0 , a n и b n — это коэффициенты , которые нам нужно вычислить!

    Что значит a n cos (nx π L ) среднее значение?

    Используется сигма-нотация для обозначения суммы , , ряда значений, начиная с n = 1:

    .
    • a 1 cos (1x π / L)
    • a 2 cos (2x π / L)
    • и т. Д.

    Нам (пока) неизвестны значения a 1 , a 2 и т. Д.

    Чтобы найти коэффициенты a 0 , a n и b n , мы используем следующие формулы:

    a n = 1 L f (x) cos (nx π L ) dx b n = 1 L f (x) sin (nx π L ) dx
    Что значит f (x) sin (nx π L ) dx среднее?

    Это целое, но на практике это просто означает найти чистую площадь из

    f (x) sin (nx π L )

    между −L и L

    Мы часто можем найти эту область, просто сделав набросок и используя базовые вычисления, но в других случаях нам может потребоваться использование правил интеграции.

    Итак, что мы делаем:

    • Возьмите нашу целевую функцию , умножьте ее на синус (или косинус) и интегрируйте (найдите площадь)
    • Сделайте это для n = 0, n = 1 и т. Д., Чтобы вычислить каждый коэффициент
    • И после того, как мы вычислили все коэффициенты, мы поместили их в формулу ряда выше.

    Давайте посмотрим, как выполнить каждый шаг, а затем соберем результат в конце!

    Пример: эта прямоугольная волна:

    • L = π (Период 2π)
    • Прямоугольная волна от −h до + h

    Теперь наша задача — вычислить a 0 , a n и b n

    a 0 — это чистая площадь между −L и L, затем деленная на 2L.Это в основном среднее значение f (x) в этом диапазоне.

    Глядя на этот эскиз:


    Чистая площадь прямоугольной волны от −L до L составляет ноль .

    Итак, мы знаем, что:

    а 0 = 0

    Для a 1 мы знаем, что n = 1 и L = π, поэтому:

    а 1 = 1 π f (x) cos (1x π π ) dx

    Что упрощается до:

    Теперь, поскольку прямоугольная волна резко меняется при x = 0, нам нужно разбить вычисление на −π до 0 и 0 до π ,

    От −π до 0 мы знаем, что f (x) просто равно −h :

    Константу −h можно вынести за пределы интеграла:

    Сделаем набросок cos (x) :


    Чистая площадь cos (x) от -π до 0 составляет ноль .

    Таким образом, чистая площадь должна быть 0:

    Та же самая идея применима от 0 к π ,


    Чистая площадь cos (x) от 0 до π составляет ноль .

    и поэтому мы можем сделать вывод, что:

    а 1 = 0

    Теперь давайте посмотрим на 2

    Аааи … происходит то же самое!


    Чистая площадь cos (2x) от -π до 0 равна нулю .

    А:


    Чистая площадь cos (2x) от 0 до π также равна нулю .

    Итак, мы знаем, что:

    а 2 = 0

    Фактически мы можем распространить эту идею на все значения от до и заключить, что:

    a n = 0

    Пока в больших расчетах не было необходимости! Достаточно нескольких набросков и небольшой мысли.

    А теперь перейдем к функции sine !

    Для b 1 мы знаем, что n = 1 и L = π, поэтому:

    Что упрощается до:

    и, как и раньше, из-за резкого изменения при x = 0 нам нужно разбить вычисление на −π до 0 и 0 до π ,

    Итак, просто глядя на интеграл от −π до 0 , мы знаем, что f (x) = −h:

    Константу −h можно вынести за пределы интеграла:

    И sin (x) выглядит так:

    Как мы узнаем, что площадь равна −2?

    Сначала мы используем правила интегрирования, чтобы найти интеграл от sin (x) равен cos (x) :

    Затем мы вычисляем определенный интеграл между −π и 0, вычисляя значение −cos (x) для 0 и для −π , а затем вычитая:

    [−cos (0)] — [−cos (−π)] = −1 — 1 = −2

    Итак, между −π и 0 получаем

    −h π (−2)

    Теперь посмотрим на интеграл от 0 до π :

    И его интеграл:

    [−cos (π)] — [−cos (0)] = 1 — [−1] = 2

    Теперь, объединив обе стороны, получим:

    b 1 = 1 π [(−h) × (−2) + (h) × (2)] = 4h π

    Для b 2 у нас есть этот интеграл:

    От −π до 0 это выглядит так:


    Чистая площадь sin (2x) от −π до 0 равна нулю .

    И мы уже видели подобное раньше, поэтому заключаем, что:

    б 2 = 0

    Для b 3 у нас есть этот интеграл:

    От −π до 0 получаем интересную ситуацию:


    Две области отменяются, но важна третья!

    Это похоже на интеграл b 1 , но только с одной третью площади.

    Для 0 до π имеем:


    Снова две области отменяются, но не третья

    И мы можем сделать вывод:

    b 3 = b 1 3 = 4h

    Шаблон продолжается:


    Когда n равно, области отменяются при нулевом результате.


    Когда n нечетное, все области, кроме одной, отменяются с результатом 1 / n.

    Итак, мы можем сказать

    b n = 4h , если n нечетное, но 0 в противном случае

    И мы подошли к нашему последнему шагу: подставляем коэффициенты в основную формулу:

    f (x) = a 0 + a n cos (nx π L ) + b n sin (nx π L )

    И мы знаем, что:

    • a 0 = 0
    • a n = 0 (все!),
    • b n = 0 , когда n четное
    • b n = 4h , если n нечетное

    Итак:

    f (x) = 4h π [sin (x) + sin (3x) 3 + sin (5x) 5 +…]

    В заключении:

    • Подумайте о каждом коэффициенте, нарисуйте функции и посмотрите, сможете ли вы найти образец,
    • сложил все вместе в формулу ряда в конце

    И когда вы закончите, переходите к:

    Графер ряда Фурье

    и посмотрите, правильно ли вы поняли!

    Почему бы не попробовать это с «sin ((2n-1) * x) / (2n-1)», 2n − 1 аккуратно дает нечетные значения, и посмотрите, получите ли вы прямоугольную волну.

    Другие функции

    Конечно, мы можем использовать это для многих других функций!

    Но мы должны уметь вычислить все коэффициенты, что на практике означает, что мы вычисляем область из:

    • функция
    • функция, умноженная на синус
    • функция, умноженная на косинус

    Но, как мы видели выше, мы можем использовать такие приемы, как разбиение функции на части, используя здравый смысл, геометрию и вычисления, чтобы помочь нам.

    Вот несколько хорошо известных:

    Волна серии График серии Фурье
    Квадратная волна грех (х) + грех (3х) / 3 + грех (5х) / 5 + … грех ((2n − 1) * x) / (2n − 1)
    Пила грех (х) + грех (2х) / 2 + грех (3х) / 3 + … грех (н * х) / п
    Импульсный грех (x) + грех (2x) + грех (3x) +.2

    Сноска. Различные варианты формулы!

    На этой странице мы использовали общую формулу:

    f (x) = a 0 + a n cos (nx π L ) + b n sin (nx π L )

    Но когда функция f (x) имеет период от -π до π, мы можем использовать упрощенную версию:

    f (x) = a 0 + a n cos (nx) + b n sin (nx)

    Или вот такой, где 0 превращается в первую сумму (теперь n = 0 от до ∞):

    f (x) = a n cos (nx) + b n sin (nx)

    Но я предпочитаю тот, который мы используем здесь, так как он более практичен, учитывая разные периоды.{2 \ pi i z} $. Таким образом, аналитическая функция $ f $ фактически становится мероморфной функцией $ q $ около нуля, а $ z = i \ infty $ соответствует $ q = 0 $. Тогда разложение Фурье $ f (z) $ есть не что иное, как разложение Лорана $ f (q) $ при $ q = 0 $.

    Таким образом, мы использовали очень естественную функцию в комплексном анализе, экспоненциальную функцию, чтобы увидеть периодическую функцию в другой области. И в этой области разложение Фурье есть не что иное, как разложение Лорана, что наиболее естественно рассматривать в комплексном анализе.p $ -пространства и т. д., любая другая база будет работать так же хорошо, как и комплексные экспоненты. Комплексные экспоненты являются особенными по сложным аналитическим причинам.

    $ 2 $. Физическая причина.

    Есть и исторические причины. Например, в электротехнике или теории волн очень полезно разложить функцию на ее частотные составляющие, и это является причиной большого значения анализа Фурье в электротехнике или в теории электрических коммуникаций.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.