Решебник кузнецова: Недопустимое название — PlusPi

Hil Meijer

Olof Widlund

Stanislas Scherrer

Marat Vedernikov

Cronin Vining

John Stockholm

Vladimir Kuznetsov

All Bindings

Unknown

Hardcover

Paperback

eBook

All Editions

1st Edition

2nd Edition

3rd Edition

Other

Reprint

All Years

2022 — 2022

2017 — 2022

2012 — 2017

2007 — 2012

2002 — 2007

1997 — 2002

1992 — 1997

1987 — 1992

1982 — 1987

Все регионы

Английский

Финляндия

Нидерланды

Немецкий

Русский

Неизвестно

| Приложение для iPhone | Продать книги | Обзор | Профессора | Веб-мастера

[ Канада | Великобритания | Германия | Индия ]

[ компакт-диски | DVD ]

Copyright © 2003-2022 GetTextbooks. com

Точные решения уравнения Захарова-Кузнецова с переменными коэффициентами методом пробных уравнений

Ключевые слова: Полная система различения для полиномиального метода; точное решение; метод пробных уравнений; Уравнение Захарова-Кузнецова

1 Введение

Известно, что иногда дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами более подходят для описания некоторых явлений в практических моделях, чем дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Решение точных решений таких дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами до сих пор остается важной задачей как в теории, так и в приложениях. Было предложено много методов для нахождения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений. Среди них полная система дискриминации для полиномиального метода [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9].], [10] и метод пробных уравнений [11], [12], [13], [14], [15], [16], предложенный Лю, являются двумя очень мощными и полезными инструментами. В работах Лю [1], [2], [3], [4], [5], [6] дано большое количество приложений. В частности, в [12] Лю обобщил свой метод пробных уравнений на дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами. Методы Лю были широко разработаны и применены ко многим дифференциальным уравнениям. Например, Liu [17], Du [18] и Gurefe et al. [19], [20], [21], [22], [23], [24] обобщили метод Лю и предложили некоторые новые методы пробных уравнений, такие как метод иррациональных пробных уравнений, метод расширенных пробных уравнений, модифицированный метод пробных уравнений и метод множественных расширенных пробных уравнений для решения нелинейных дифференциальных уравнений, возникающих из математической физики, а Ян [25] применил полную систему дискриминации для полиномиального метода, чтобы получить решения бегущей волны огибающей для (2 + 1)-мерного уравнения Дэви-Стюартсона.

В данной работе с помощью метода пробного уравнения и системы полной дискриминации для полиномиального метода решается трехмерное уравнение Захарова-Кузнецова (ЗК, для простоты) с переменными коэффициентами и даются его точные решения, включая решения для уединенной волны, рациональные решения, периодические решения и решения эллиптических функций.

Бумага организована следующим образом. В разделе 2 мы вводим основные этапы метода пробных уравнений для трехмерных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. В разделе 3 приведены точные решения уравнения ЗК с переменными коэффициентами. Заключительный раздел представляет собой краткий вывод.

2 Метод пробных уравнений

Согласно статье Лю [10], мы обобщаем метод пробных уравнений на трехмерное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами следующим образом:

1. Первый шаг: Рассмотрим следующее трехмерное действительное нелинейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами:

   (1)Q(t, x, y, u, ut, ux, uy, …)=0.

   Возьмем преобразование бегущей волны

   (2)u(x, y, t)=u(ξ), ξ=k1(t)x+k2(t)y+ω(t),

   где k ₁ ( t ), k ₂ ( t ) и ω ( t ) являются неизвестными функциями.

   Подстановка преобразования (2) в (1) дает обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ)

   (3)N(t, x, k1, k2, ω, k′1, k′2, ω′, u, u′ , u′′, …)=0.

2. Второй шаг : Возьмем следующее пробное уравнение

   (4)(u′)2=F(u)=∑i=0maiui,

   , где m и a _i — константы, которые необходимо определить для i =0, …, m . Подставив уравнение испытания (4) и другие производные члены, такие как u ″ или u ‴ и так далее, в (3), мы получим многочлен H ( u ) от u . По балансовому принципу определим значение м . Кроме того, если коэффициенты H ( u ) равны нулю, мы получаем систему ОДУ. Решаем систему ОДУ и определяем функции k ₁ ( t ), k ₂ ( t ), ω ( t ) and the values ​​of a ₀ , …,

   a _m .

3. Последний шаг: Перепишем (4) в интегральной форме

   (5)∫1F(u) du=±(ξ−ξ0).

По полной системе дискриминации для м ^{-го полинома} -го порядка [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], можно дать классификацию корней F ( u ), а кроме того, решить соответствующий интеграл (5) и получить точные решения бегущей волны для (1).

3 Точные решения уравнения Захарова-Кузнецова с переменными коэффициентами

Уравнение ЗК возникает из физики плазмы. Действительно, в пограничном слое плазменного слоя магнитосферы Земли и в радиационных поясах Ван Аллена существует плазма с пучками ионов высокой энергии. Поэтому интересной для изучения темой будет распространение ионно-звуковых волн в релятивистской плазме с текущими ионами. Важно рассмотреть случай конечной температуры ионов. В более ранних исследованиях рассматривался только одномерный поток электронов и ионов. Кадомцев и Петвиашивили сначала пытались смоделировать солитон в двумерной системе [26], а затем Захаров и Кузнецов смоделировали солитон в трехмерной системе [27]. Для нерелятивистской замагниченной плазмы с T _i =0, они получили трехмерное дифференциальное уравнение теперь именно как уравнение ЗК. Существует большое количество работ, посвященных уравнению ЗК (см., например, [21], [28], [29], [30], [31], [32], [33], [34], [35] ). Среди них в [32], [33] изучались симметрия и некоторые точные решения уравнения ЗК с переменными коэффициентами.

В этой статье мы используем предыдущий метод пробного уравнения для решения точных решений бегущей волны уравнения ЗК с переменными коэффициентами

(6)ut+f(x, y, t)uux+g(x, y, t)uxx+h(x, y, t)uxxy=0,

, где

(7)f(x , y, t)=f1(t)x+f2(t)y+f3(t).

Это уравнение широко используется в различных разделах физики, включая физику плазмы, физику жидкости и квантовую теорию поля [34], [35], [36].

Подставляя преобразование бегущей волны (2) и уравнение испытания (4) в (6), по принципу баланса получаем м =3. Соответствующая система ОДУ задается следующим образом:

(8)k′1(t)x+k′2(t)y+ω′(t)+2a2k12(t)(g(x, y, t) k1(t) + h(x, y, t)k2(t))=0,

(9)f(x, y, t)k1(t)+6a3(g(x, y, t)k13(t) + h(x, y, t)k12(t)k2(t)) =0.

Из формы (7) f ( x , y , t ) для соответствующей системы ОДУ существует семейство решений, если выполняется следующее алгебраическое соотношение и ОДУ,

( 10)a2=3a3,

и

(11)k′1(t)=f1(t)k1(t),

(12)k′2(t)=f2(t)k1(t) ,

(13)ω′(t)=f3(t)k1(t).

Решение приведенной выше системы ОДУ (11–13) дает

(14)k1(t)=A0exp(∫f1(t) dt),

(15)k2(t)=A0∫f2(t)exp(∫f1(t) dt)dt+B0,

(17)w=(a3)13u, d2=a2(a3)13, d1=a1(a3)− 13, d0=a0.

Тогда (5) принимает вид

(18)∫1w3+d2w2+d1w+d0 dw=±(a3)13(ξ−ξ0).

Обозначим

(19)F(w)=w3+d2w2+d1w+d0.

Затем

(20)Δ=−27(2d2327+d0−d1d23)2−4(d1−d223)3,

(21)D=d1−d223,

составляют полную систему дискриминации для Ф ( ш ). Согласно Лю [10], мы имеем следующие четыре случая:

Случай 1 : Δ=0, D <0. Тогда мы знаем, что f имеет действительный простой корень и действительный двойной корень, то есть F ( w )=( w — α ) ² ( W — β ), α ≠ β , когда W > β , мы получаем We Then Solutions , We Gate Solutions , We Gate Solutions , We Gate Solutions , We Gate Solutions 3, We Gate Solutions 3, We Gate Solutions 3, We Gate Solutions 3, We Gate Solutions , мы получаем. u1=α+β{1−tanh3(α−β2(a3)13(k1(t)x+k2(t)y+ω(t)−ξ0))}(a3)13,  α>β;

(23)u2=α+β{1−coth3(α−β2(a3)13(k1(t)x+k2(t)y+ω(t)−ξ0))}(a3)13,  α >β;

(24)u3=β+(α−β){1−sec2(β−α2(a3)13(k1(t)x+k2(t)y+ω(t)−ξ0))}(a3 )13. α<β.

Случай 2 : Δ=0, Д =0. Тогда F имеет действительный тройной корень, то есть F ( w )=( w – α ) ³ . Получаем рациональное решение

(25)u4=α+4(a3)23(k1(t)x+k2(t)y+ω(t)−ξ0)2.

Случай 3 : Δ>0, D <0. Тогда F имеет три различных действительных корня, то есть F ( w )=( w – α ) ( w – β ) ( 909 γ 9093 – 9093 ). Без ограничения общности полагаем, что α < β < γ . Когда α < w < β , мы имеем решения эллиптической функции Якоби

(26)u5=(β−α)sn2(γ−α2(a3)13(k1(t)x+k2( t)y+ω(t)−ξ0), m)+α(a3)13.

когда w > γ , мы имеем другое решение эллиптической функции Якоби

(27)u6=γ−βsn2(γ−α2(a3)13(k1(t)x+k2(t)y+ω (t)−ξ0), m)(a3)13cn2(γ−α2(a3)13(k1(t)x+k2(t)y+ω(t)−ξ0), m),

, где m2= β-αγ-α.

Случай 4 : Δ<0. Тогда F имеет действительный корень и пару комплексных корней, то есть F ( w )=( w – α )( w ² + pw ) и p ² –4 q <0. Имеем следующее решение эллиптической функции Якоби a3)13(k1(t)x+k2(t)y+ω(t)−ξ0),m)},

, где m2=12(1−α+p2α2+pα+q).

Согласно выражениям (22–28) мы получили соответствующие точные решения бегущей волны u _i ( i =1, …, 7) уравнения ЗК (6), где k ₁ ( t ), k ₂ ( t ) и ω ( t ) представлены (14–16). Мы можем видеть, что эти решения включают уединенные волновые решения, периодические решения в терминах тригонометрических функций, рациональные решения и двойные периодические решения в терминах эллиптических функций Якоби.

Замечание . Для общей функции f ( x , y , t ), которая является аналитической в ​​(0, 0, t ), мы можем разложить ее как ряд Тейлора в точка

(29)f(x, y, t)=f(0, 0, t)+∂f∂x(0, 0, t)x+∂f∂y(0, 0, t)y + o (х2+у2).

Если обозначить f1(t)=∂f∂x(0, 0, t), f2(t)=∂f∂y(0, 0, t), f3(t)=f(0, 0, t), то мы можем использовать описанный выше метод пробного уравнения для получения приближенных аналитических решений уравнения ЗК с общими переменными коэффициентами.

4 Выводы

Мы используем метод пробного уравнения и полную систему дискриминации для полиномиального метода для решения трехмерного уравнения ЗК с переменными коэффициентами и получения его точных решений бегущей волны, включая уединенные решения, рациональные решения, периодические решения и двойные периодические решения. решения. Из результата видно, что метод пробных уравнений является мощным инструментом для решения некоторых дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Благодарности

Спасибо рецензентам за их полезные комментарии.

Ссылки

[1] C.-s. Лю, общ. Теор. физ. 44 , 799 (2005).10.1088/6102/44/5/799Поиск в Google Scholar

[2] C.-s. Лю, общ. Теор. физ. 45 , 991 (2006).10.1088/0253-6102/45/6/006Поиск в Google Scholar

[3] C.-s. Лю, общ. Теор. физ. 43 , 787 (2005).10.1088/0253-6102/43/5/004Поиск в Google Scholar

[4] C.-s. Лю, общ.

[5] C.-s. Лю, Чин. физ. 14 , 1710 (2005).10.1088/1009-1963/14/9/005Поиск в Google Scholar

[6] C.-s. Лю, Чин. физ. 16 , 1832 (2007).10.1088/1009-1963/16/7/004Поиск в Google Scholar

[7] C.-s. Лю, Чин. физ. лат. 21 , 2369 (2004).10.1088/0256-307X/21/12/014Поиск в Google Scholar

[8] C.-s. Лю, общ. Теор. физ. 49 , 291 (2008).10.1088/0253-6102/49/2/07Поиск в Google Scholar

[9] C.-s. Лю, общ. Теор. физ. 49 , 153 (2008).10.1088/0253-6102/49/1/33Поиск в Google Scholar

[10] К.-с. Лю, вычисл. физ. коммун. 181 , 317 (2010).10.1016/j.cpc.2009.10.006Поиск в Google Scholar

[11] C.-s. Лю, Acta Phys. Sinica 54

[12] C.-s. Лю, Acta Phys. Синица 54 , 4506 (2005). 10.7498/aps.54.4506Поиск в Google Scholar

[13] C.-s. Лю, общ. Теор. физ. 45 , 219 (2006).10.1088/0253-6102/45/2/005Поиск в Google Scholar

[14] К.-с. Лю, общ. Теор. физ. 45 , 395 (2006).10.1088/0253-6102/45/3/003Поиск в Google Scholar

[15] К.-с. Найдено, физ. 41 , 793 (2011). Поиск в Google Scholar

[16] К.-с. Лю, Хаос, солитон и фракталы 40 , 708 (2009).10.1016/j.chaos.2007.08.018Поиск в Google Scholar

[17] Y. Liu, Appl. Мат. вычисл. 217 , 5866 (2011). Поиск в Google Scholar

[18] X. H. Du, Pramana 75 , 415 (2010). Gurefe, A. Sonmezoglu, and E. Misirli, Pramana 77 , 1023 (2011).10.1007/s12043-011-0201-5Search in Google Scholar

и М. Ekici, Appl. Мат. вычисл. 219 , 5253 (2013). Поиск в Google Scholar

[21] Ю. Пандир, Прамана 82 , 949 (2014).10.1007/s12043-014-0748-zПоиск в Google Scholar

[23] Y. Pandir and Y.A. Tandogan, AIP Conf. проц. 1558 , 1919 (2013)0982 25 , 75 (2015).10.1080/17455030.2014.966798Поиск в Google Scholar

[25] S. Yang, Mod. физ. лат. B 24 , 363 (2010).10.1142/S02179842433 Search in Google Scholar

[26] Б. Б. Кадомцев, В. И. Петвиашвили, Сов. физ. Докл. 15 , 539 (1970). Search in Google Scholar

[27] В. Е. Захаров, Е. А. Кузнецов, Журнал Эксп. Теорет. Физ. 66 , 594 (1974). Поиск в Google Scholar

[28] A. Mushtaq and H.A. Shah, Phys. Плазма 12 , 072306 (2005).10.1063/1.1946729 Поиск в Google Scholar

[29] B. Li, Y. Chen, and H. Zhang, Appl. Мат. вычисл. 146 , 653 (2003). Поиск в Google Scholar

[30] A. M. Wazwaz, Commun. Нелинейная наука. номер Симул. 10 , 597 (2003).