Решебник примеров по алгебре: Онлайн-калькулятор. Примеры решений задач по математике

Математика — цифровая наука

Цифры, состоящие из одного символа, имеют всего 10 видов написания. Несколько таких символов, написанные подряд без каких-либо посторонних знаков, называются числами. С цифрами и числами математика позволяет производить множество различных действий. К примеру, взаимодействие между числами может сопровождаться четырьмя действиями: сложение – прибавить один набор символов с другим, разность – вычесть, произведение – сложить определенное количество раз один и тот же набор символов и частное – определить, сколько в итоговом числе находится определенный набор символов. Еще между числами проводят сравнения, эти условия в дальнейшем приводят к целесообразному умозаключению, например у этого ученика больше двоек, а у этого пятерок – следовательно, первый у нас бездарь. Математика ввела в процесс вычисления много других действий, которые применяются исключительно к каждому из чисел. Возведение в указанную степень одного и нескольких наборов символов означает произведение этого числа само на себя данное количество раз. Извлечь корень – обратное тому действие. На самом деле подобных действий над одним числом много и в жизни оно все применяется редко и лишь в отдельных отраслях.

Математика, которую мы знали в школе, становится более суровой и теперь мы будем использовать и сдавать не только числовые находки, но и словесный понос из математических лекций. Да, появляются лекции. Теперь алгебра и геометрия воссоединяются, и снова перед нами наша наука, но на очень высоком уровне. Примеры становятся сложнее, правила тяжелы для понимания, а решения будут занимать не одну страницу. Как я недавно сказал – метода подстановки в пример определения и свойств будет достаточно для решения. Здесь же этих свойств и следствий будет в разы больше. И тем не менее, этого снова будет достаточно. Остается только запомнить 50-100листов А4 лекций к концу курса.

Школьная математика

Арифметика

• Законы арифметических действий
• Правила знаков
• Рациональные числа
• Признаки делимости
• Пропорции
• Средние величины
• Правило золотого сечения
• Числовые ряды

Алгебра

• Свойства степени
• Арифметический квадратный корень
• Система уравнений
• Решение неравенств
• Прогрессии
• Логарифм
• Сравнение логарифмов
• Факториал. Теория соединений. Бином Ньютона.
• Треугольник Паскаля
• Начала анализа

Геометрия

• Треугольник
• Четырехугольник
• Правильные n-угольники
• Окружность и круг
• Многогранники
• Правильные многогранники
• Тела вращения
• Вектор

Тригонометрия

• Градусная мера углов
• Тригонометрические функции, тригонометрия
• Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике
• Тригонометрические тождества
• Формулы сложения тригонометрических функций
• Формулы приведения тригонометрических функций
• Формулы кратных углов
• Тригонометрические функции половинного угла
• Сумма тригонометрических функций
• Понижение степени тригонометрических функций
• Произведение тригонометрических функций
• Формула дополнительного угла
• Соотношения между обратными тригонометрическими функциями

Я не стану описывать первые три класса, они всем Вам известны, если Вы были в состоянии дойти до этой странички. Либо Вы просто гений и Ваше будущее просто ослепительно. Школьная математика представляет собой минимум слов и больше чисел. Мы не будем брать в расчет аксиомы и теоремы геометрии, которые настолько примитивны, что их можно понять с первого (второго) раза и решение будет сводиться к двум-трем действиям. Алгебра – это та же математика, только звучит круче. В ней мы узнаем, что такое уравнения, неравенства, логарифмы, производные, интегралы, дифференциалы и множество графических элементов, таких как гиперболы и параболы, используя начала анализа и другие приключения математики. Алгебру понять не трудно, если Вы способны запомнить определения и свойства тех элементов, которые идут по вашей рабочей программе. Например, логарифмы используют всего одно определение, четыре свойства и восемь-десять следствий. Запомнив их и подставляя под Ваши примеры каждый из них, Вы будете видеть выход из ситуации, и вся эта мозаика в итоге очень красиво сложится. Поверьте, это очень приятно, когда сложные примеры у Вас на глазах приобретают Божеский вид. Либо я просто сумасшедший.

Высшая математика

Алгебра

• Матрица
• Определители
• Элементы векторной алгебры

Аналитическая геометрия

• Координаты точки на плоскости
• Площадь треугольника
• Уравнение прямой
• Уравнение окружности
• Гипербола
• Эллипс
• Парабола
• Координаты точки в пространстве
• Уравнение плоскости
• Уравнение прямой в пространстве
• Прямая и плоскость
• Уравнение сферы
• Поверхности второго порядка
• Комплексные числа

Дифференциальное исчисление

• Свойства пределов функции
• Производная и дифференциал
• Дифференциальное исчисление функций двух переменных
• Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Дифференциальные уравнения

• Дифференциальные уравнения первого порядка
• Дифференциальные уравнения второго порядка
• Уравнения математической физики
• Теория вероятностей

Интегральное исчисление

• Неопределенный интеграл
• Таблица неопределенных интегралов
• Определенный интеграл
• Кратный интеграл
• Криволинейные интегралы

Ряды

• Числовые ряды
• Степенные ряды
• Ряды Фурье

Чем может похвастаться Высшая математика? С каждым годом мы учимся решать примеры различного характера, будь то неравенства, логарифмы, пределы и здесь не будет исключений. Определители, матрицы, дифференциальные уравнения, теория вероятности – всё это снесет мозг обычному математику, это интересно, трудно и вообще другой уровень. Всё это мало где используется, но тоже приобретает свой смысл в некоторых вещах.

Во время учебного процесса Высшая математика является таким же обязательным предметом, как и Философия или Информатика даже для тех, кого они никогда не коснутся. Этот пунктик многих задевает, поскольку без хороших оценок не будет ни стипендии, ни будущего. А вот математика в школе – другое дело. Она подразделяется на алгебру и геометрию, поскольку в один предмет засунуть все теории и примеры нашим древним предкам видимо не удалось. Алгебра продолжает лучшие традиции математики, и в ней мы не увидим теории, а лишь голые примеры, где мы должны найти ответ или сократить огромную запись донельзя. Геометрия – более продвинутая математика. Здесь мы начинаем с обычных треугольников и заканчиваем псевдо разрезанием неправильных многоугольников. Геометрия пестрит теориями, аксиомами и прочими словесными выражениями, она больше напоминает литературу, где надо просто заучить правило, но при этом еще знать, почему оно так происходит, выводя новые гипотезы из ранее изученных доказательств. На том и строится вся наша научная жизнь, мы собираем новые теоремы и строим с их помощью более сложные и навороченные версии.

Математика позволяет нашей прекрасной половине человечества стать экономистами, бухгалтерами и овладеть другими вычислительными профессиями, поскольку других должностей для девушек практически нет. Мужчины в свою очередь еще могут изучить некоторые азы физики и на стыке этих двух наук получить дочернюю, например кибернетику.

Математика – наука вывода данных, но все эти данные поддаются правилам, а это значит, что можно вывести закономерность для любого типа примеров. Это довольно просто, ведь подсознательно, мы во время учебы берем пример, подбираем необходимое решение из всего, что у нас содержится в голове, и получаем ответ. Этот же способ можно вывести в электронном виде. Вся наша компьютерная математика может построиться на языке, который подразумевает условия, ввод и вывод данных и способен производить математические действия с переменными. Серверный язык для этого вполне походит, во-первых, из-за безопасности. Весь код, который вы составите, будете иметь в виду только вы, и никто другой не может просмотреть ваши заросли. Во-вторых, в широкий спектр возможностей серверного языка входят математические функции, тригонометрия и элементы сравнения. В-третьих, возможность запоминания данных различными методами передачи, вроде занесения их в базу данных или в адресную строку.

Как строится подобный код. Для настоящего математика не составит труда вывести пример на бумаге без использования настоящих чисел, т.е будет много переменных в итоге, но подстановка различных чисел будет всегда выдавать правильный ответ. В школах и учебных заведениях требуют приведение всех выводов и подстановок, что показывает таким образом Ваш ход мысли при решении задачи. Это мы без проблем можем отразить в коде, но при этом возникает вопрос условий при решении задачи. Что это значит: имеется квадратное уравнение, решается как обычно. Находим дискриминант и вот наши первые три условия. Необходимо расписывать все условия, а система подберет по дискриминанту необходимое следствие, и подсчет продолжится до победного конца. Таким образом, стандартная математика позволяет создать умный калькулятор, который не просто дает ответ, но и подробно описывает решение задачи.

При всем желании многие люди неспособны просто понять математику и её сильные стороны. Как правило, эти личности хорошо разбираются в гуманитарных науках и математическое мышление им пригодится лишь при оплате проезда в метро. Другие будут жить вычислениями и исследовать все новые и новые загадки вселенной. Также математика предоставляет теорию вероятности, которая измеряется в процентах и зависит от случая. Эта наука далеко не точная, по сравнению со всеми остальными в этой области, но она ярко отображает все наши возможности в тот или иной отрезок времени. Зная теорию вероятности, многие умники создали лотереи, которые реально могут озолотить чьи-то руки, при этом тысячи других разорятся, а хозяин получает стабильный доход и веру отдельных граждан в халтурное счастливое будущее. Математика напрямую связана с графиками, что позволяет ставить точные данные на чертежах и прочих графических проектах. На компьютере с недавних времен смогли устанавливать трехмерные графические элементы, используя математические наборы символов в трех проекциях. Кино и мультфильмы также используют математику в своих целях, оснащая ленты трехмерными спецэффектами, которые добавляют зрелищ при просмотре. Цифровая наука имеет свои сильные стороны и в наностроительстве. При проектировании компьютерных элементов необходима точность, иначе собранное устройство просто не заработает. С каждым годом подобные строения все меньше и меньше, а их начинка неуклонно растет.

Упрощенная математика

Как известно — решебник, калькулятор и прочая вычислительная техника способствуют деградации логики и внутренних моторных навыков, которые помогают вычислять в умах людей и, в частности, детей. Однако огромные примеры у обычных людей редко будут становиться на пути в жизни и поэтому для них придумывают различные способы упростить те или иные выражения. Для того, чтобы создать такой модуль, который будет вычислять все, что взбредет в голову, необходимо внести тысячи условий, которые будут определять, что за пример перед ними, и в каждый пример добавить еще по несколько условий, которые будут определять как с этим примером поступить в том или ином случае.

Сравнение – этот фактор будет сопровождать всю программу. Сравнение значения с теми, которые мы можем решить так или по-другому. Например, если у нас на выходе получается число под корнем четной степени, мы определяем само значение числа. Если оно положительное или равно нулю – мы можем решить данный пример, а в противном случае выдаем сообщение, что решение не имеет ответа. Всё опирается на сравнения и последующие условия. Далее мы определяем форму вывода решения. Это может быть как мгновенное решение примера, что для нас будет очень просто сделать, либо вывести все решение целиком, опираясь на множественные условия, которые придется учитывать. На это потребуется немало времени, но в результате мы на каждый случай будем иметь расписанное решение, которое надо будет только списать. Ни один учитель в мире не примет у Вас ответ без решения, поэтому это стоит учитывать. В итоге мы получаем очень сложную программу, способную думать и принимать верные решения на все случаи жизни: она анализирует пример, приводит пошаговое решение с подробным описанием каждого действия и пишет ответ.

Заключение

Математика будет доступной, если мы будем заучивать определения и свойства того или иного объекта и применять их в примерах. Правил не много, подставлять поочередно каждое из правил рано или поздно даст нам нужное решение. Это относится ко всей программе 5-11 классов и первых двух курсов Высшей математики. Больше её в моей жизни не было.

Решение задач и уравнений (продолжение) 10 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

 

 

Тема: Преобразование тригонометрических выражений

 

Урок: Решение задач и уравнений (продолжение)

 

1. Введение.

Определение и пример однородного тригонометрического уравнения второй степени

 

 

На уроке рассматривается методика решения однородных тригонометрических  уравнений второй и первой степени, решаются задачи и уравнения с применением данной методики.

 

Определение: уравнение вида

называется однородным тригонометрическим уравнением второй степени относительно функций синус и косинус.

Пример:      ,

 

2. Методика решения однородных тригонометрических уравнений второй степени

 

 

· Разделить обе части уравнения на старшую степень одной из функций, например, , рассмотрев оба случая, т.е. когда  и когда

 

· Решить полученное квадратное уравнение относительно тригонометрической функции.

 

3. Решение однородного тригонометрического уравнения второй степени

 

 

Решить уравнение:

 

Решение:

1-й случай.

, т. к.

2-й случай.

Ответ:

 

4. Решение уравнения, приводимого к однородному тригонометрическому уравнению

 

 

Решить уравнение:

 

Решение: данное уравнение равносильно

Применяя методику решения для полученного однородного уравнения, имеем:

Первая система не имеет решений, вторая дает совокупность двух уравнений

Ответ:

 

5. Определение и пример однородного тригонометрического уравнения первой степени

 

 

Определение: уравнение вида

 

называется однородным тригонометрическим уравнением первой          степени относительно функций синус и косинус.

Пример:    

 

6. Решение примера

 

 

Решение примера однородного тригонометрического уравнения первой степени выполняется по аналогичной методике.

 

1)    

Решение системы     проиллюстрировано на рисунке 1.

Рис. 1.

2)    

Ответ:

 

7. Однородное тригонометрическое уравнение второй степени в общем виде при a≠0

 

 

 

 

8. Решение частных случаев однородного тригонометрического уравнения второй степени

 

 

1) Решить уравнение:

 

Решение:

Ответ:

2) Решить уравнение:

Решение:

Ответ:

3) Решить уравнение:

Решение:

1-й способ.

Объединяя решения (см. рис. 2), получим:

Рис. 2.

Ответ:

2-й способ.

Используя формулы понижения степени, получаем:

Ответ:

 

9. Итог урока

 

 

На уроке рассматривались решения однородных уравнений.

 

На следующем уроке продолжается решение задач и уравнений.

 

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

 

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник). 

2. Портал Естественных Наук (Источник). 

3. Интернет-портал exponenta.ru (Источник).  

 

Сделай дома

№№ 23.14(а, б), 23.15(a), 23.17(a) (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)

 

Алгебра 1 Практические вопросы

1. В этом году продавец продает ножи для стейков на общую сумму 60 000 долларов, ходя по домам. Это на 20% больше, чем годом ранее. Какова была стоимость его продаж в прошлом году?

A. 45 000 долл. США
B. 48 000 долл. США
C. 50 000 долл. США
D. 52 500 долл. США
E. 56 000 долл. США

2. Решите уравнение для x.
x/3 = (2x + 3)/7

A. –3
B. 2
C. 3
D. 3/7
E. 9

3. Решите уравнение для y.
3(2y + 4) = 8y

A. –8
B. –6
C. –2
D. 2
E. 6

4. Решите уравнение для x.
|х + 5| = 3

A. -8
B. -3
C. -2
D. -8 и -3
E. -8 и -2

5. Если 3x + 8x + 4x = 6x + 63 , то что такое 5х+23?

A. 28
B. 35
C. 38
D. 58
E. 62

6. Чему равно -3?

А. –3
B. -1/3
C. 1/3
D. 3
E. undefined

7. Если положительный квадратный корень из x находится между 3 и 11, то какое неравенство представляет все возможные значения x?

A. 3 < x < 11
B. 9 < x < 11
C. 9 < x < 121
D. x < 3 или x < 11
E. x < 9 или x < 121

8 Кэрол в три раза старше Эндрю. Брэд на два года старше Эндрю. Через шесть лет сумма возрастов Эндрю и Брэда будет равна возрасту Кэрол. Сколько лет Кэрол?

A. 24 года
B. 27 лет
C. 30 лет
D. 36 лет
E. 42 года

9. Поездка на такси стоит 3,25 доллара за первые полмили и 0,70 доллара за каждую милю после первой полумили. Как далеко можно проехать за 12 долларов?

A. 9 миль
B. 13 миль
C. 14 миль
D. 26 миль
E. 27 миль

10. Решите уравнение для x.
13 – 2(2x + 1) = 1

А.
Б.
В.
D.
E.

Ключ ответа

1. C. Пусть x представляет собой общую стоимость прошлогодних продаж. Составьте уравнение и решите его для x. Поскольку продажи продавца увеличились на 20% по сравнению с прошлым годом, его текущие продажи составляют 120% от x, или 1,2x. Итак,
1,2x = 60 000

Решите уравнение для x, разделив обе части на 1,2.

x = 50 000

Следовательно, в прошлом году продавец продал ножей для стейков на 50 000 долларов.

2. E. Это уравнение представляет собой пропорцию, поэтому его можно решить перекрестным умножением. Составьте новое уравнение, умножив числитель каждой дроби на знаменатель дроби с другой стороны. Затем упростите результат и найдите x.

x/3 = (2x + 3)/7
7x = 3(2x + 3)
7x = 6x + 9
x = 9

3. E. Для начала упростите правую часть уравнения, распределив 3.

3(2y + 4) = 8y
6y + 12 = 8y

Затем решите уравнение, выделив переменную и разделив обе части на коэффициент.

12 = 2y
y = 6

4. E. Это уравнение включает функцию абсолютного значения. Абсолютное значение числа — это его расстояние от нуля на числовой прямой. Поскольку расстояния никогда не бывают отрицательными, абсолютное значение числа всегда положительно (или равно нулю). Чтобы уравнение было верным, выражение внутри абсолютного значения x + 5 может быть равно -3 или 3, поскольку абсолютное значение обоих значений равно 3. Напишите два уравнения и решите каждое.

x + 5 = -3

x = -8

x + 5 = 3

x = -2

5. D. Для начала решите данное уравнение относительно x.

3x + 8x + 4x = 6x + 63
15x = 6x + 63
9x = 63
x = 7
Затем подставьте 7 вместо x в выражение 5x + 23 и упростите результат.

5(7) + 23 = 35 + 23 = 58

6. B. Произведение числа на его обратное или обратное мультипликативное число равно 1. Для дроби обратное число может быть найдено инвертированием (или переключением ) числитель и знаменатель. Поскольку –3 можно записать как ,
его обратное число равно
.

7. C. Поскольку квадратный корень из x находится между 3 и 11, мы знаем, что неравенство 3

11 верно. Чтобы найти значение x, возведите в квадрат каждую часть неравенства. Результатом является неравенство 9 < x < 121.

8. A. Запишите каждую часть информации в виде уравнения, используя переменные A, B и C для текущего возраста Эндрю, Брэда и Кэрол соответственно.

C = 3A
B = A + 2
(A + 6) + (B + 6) = C + 6

Это система уравнений. Поскольку первые два уравнения уже решены для C и B, подставьте выражения в правой части в третье уравнение. Затем решите для A.

(А + 6) + (В + 6) = С + 6
(А + 6) + [(А + 2) + 6) = (3А) + 6
2А + 14 = 3А + 6
А = 8

Итак, Андрею 8 лет. Чтобы найти возраст Кэрол, умножьте возраст Эндрю на три. Таким образом, Кэрол на данный момент 24 года.

9. B. Для начала напишите уравнение, связывающее стоимость C с расстоянием D. Если проехать более полумили, стоимость составит 3,25 доллара плюс 0,70 доллара, умноженное на расстояние в милях, исключая первые полмили. Поскольку первая половина мили исключается, ½ или 0,5 должны быть вычтены из расстояния при умножении на 0,70.

C = 3,25 + 0,70(D – 0,5)

Чтобы найти, как далеко человек может проехать с 12 долларами, подставьте 12 вместо C и решите D.

12 = 3,25 + 0,70(D – 0,5)
12 = 3,25 + 0,7D – 0,35
9,1 = 0,7D
D = 13

Следовательно, кто-то может проехать 13 миль за 12 долларов.

10. D. Сначала упростим левую часть уравнения.

13 – 2(2x + 1) = 1
13 – 4x – 2 = 1
–4x + 11 = 1

Затем изолируйте переменную и найдите x.

–4x = –10

Справочник по алгебре

Алгебра — это раздел математики, который использует неизвестные значения для решения уравнений. Некоторые люди думают, что это полезно только для тех, кто занимается наукой или математикой, но на самом деле оно может решать и повседневные проблемы. Люди используют алгебру для многих повседневных задач, таких как расчет расстояний или времени и планирование расходов на продукты, еду, бензин и другие вещи. Те, кому нужно сбалансировать бюджет, получат большую пользу от понимания основ алгебры.

Базовая алгебра

• Что такое алгебра?: Страница с базовой информацией об алгебре и ее истории.
• Введение в алгебру: обзор основ алгебры, включая примеры уравнений и решений.
• Уроки алгебры: Уроки, которые могут помочь учащимся лучше понять основы алгебры.
• Виртуальная математическая лаборатория: начальная алгебра: список учебных пособий, в которых подробно объясняются темы базовой алгебры.
• Руководство для начинающих по алгебре: руководство по решению основных задач по алгебре.

Алгебра среднего уровня

• Что такое алгебра среднего уровня? Введение в промежуточную алгебру, включая примеры задач и решений.
• Виртуальная математическая лаборатория: алгебра среднего уровня: полное руководство по алгебре среднего уровня.
• Виртуальная математическая лаборатория: GCF и факторинг по группировке: учебное пособие, показывающее, как выполняется факторинг в промежуточной алгебре и как найти наибольший общий делитель многочлена.
• Учебники по алгебре для среднего уровня: список видеоуроков по различным аспектам алгебры для среднего уровня.
• Учебник по алгебре для среднего уровня: онлайн-учебник с подробными инструкциями для тех, кто хочет изучать алгебру для среднего уровня.

Усовершенствованная алгебра

• Предварительное исчисление: список руководств, объясняющих различные концепции углубленной алгебры, также известной как предварительное исчисление.
• Темы в Precalculus: база данных уроков по различным темам продвинутой алгебры.
• Понятия предварительного исчисления: список, отображающий основные понятия предварительного исчисления.
• Системы линейных уравнений: Учебное пособие по системам линейных уравнений для продвинутых студентов алгебры.

Проверьте свои навыки по алгебре

• Практика по алгебре: множество практических задач для изучающих алгебру.
• Algebrahelp.com: Учебники и рабочие листы для тех, кто изучает алгебру.
• Решения практических задач по линейной алгебре: ряд задач и решений для студентов, изучающих линейную алгебру.
• Базовая алгебра: обширный список задач и интерактивных заданий, связанных с базовой алгеброй.
• Контрольные вопросы по алгебре среднего уровня: подборка практических задач для учащихся, изучающих алгебру среднего уровня.
• Предварительное исчисление: список задач по различным темам предварительного исчисления.

Алгебра в реальных ситуациях

• Зачем сдавать алгебру? Статья, в которой рассказывается, как изучение алгебры может улучшить навыки решения реальных задач.
• Повседневная жизнь и алгебра: редакционная статья, объясняющая использование алгебры в научных исследованиях и других областях.

  No related posts.