Решение алгебраических: Решение алгебраических уравнений онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Решение алгебраических уравнений онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Рассмотрим несколько примеров, как решать простые и сложные алгебраические уравнения, и используя калькулятор уравнений онлайн, получить подробное решение.

Содержание

Простое алгебраическое уравнение

На простом примере

2*(x — 1/2) = 3/8*(1-x/7)

— линейного алгебраического уравнения долго не будем задерживаться — вы сами можете воспользоваться формой ниже и опробовать:

Лучше сразу перейдём к более сложным алгебраическим уравнениям.

Сложное алгебраическое уравнение

Рассмотрим пример уравнения с полиномом 4-ой степени:

(x — 2)^4 + 3*(x — 2)^2 — 10 = 0

Для получения подробного решения вбейте данное уравнение в калькулятор:

И ниже вы увидите подробное решение:

Дано уравнение:


              4             2    
-10 + (-2 + x)  + 3*(-2 + x)  = 0

Сделаем замену

тогда ур-ние будет таким:

Это уравнение вида

Квадратное уравнение можно решить

с помощью дискриминанта.

Корни квадратного уравнения:


       ___    
     \/ D  - b
v1 = ---------
        2*a


            ___
     -b - \/ D 
v2 = ----------
        2*a

где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.

Т.к.

, то


(3)^2 - 4 * (1) * (-10) = 49

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.


v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)


v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или

Получаем окончательный ответ:

Т.к.

то

тогда:


2 ___                
\/ 2              ___
----- + 2 = 2 + \/ 2 
  1


 2 ___                 
-\/ 2               ___
------- + 2 = 2 - \/ 2 
   1


2 ____                  
\/ -5                ___
------ + 2 = 2 + I*\/ 5 
  1


 2 ____                   
-\/ -5                 ___
-------- + 2 = 2 - I*\/ 5 
   1

Также можно решать уравнения со степенью 6 (шестой степенью) и другими степенями. Калькулятор алгебраических уравнений вам поможет в этом.

x^6 + 9*x^3 + 8 = 0

Дано уравнение:

Сделаем замену

тогда ур-ние будет таким:

Это уравнение вида

Квадратное уравнение можно решить

с помощью дискриминанта.

Корни квадратного уравнения:


       ___    
     \/ D  - b
v1 = ---------
        2*a


            ___
     -b - \/ D 
v2 = ----------
        2*a

где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.

Т.к.

, то


(9)^2 - 4 * (1) * (8) = 49

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.


v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)


v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или

Получаем окончательный ответ:

Т.к.

то

тогда:


3 ____         
\/ -1    3 ____
------ = \/ -1 
  1


3 ____           
\/ -8      3 ____
------ = 2*\/ -1 
  1

Также можно решить алгебраическое уравнение третьей степени (кубическое):

2*x^3 + 4*x — 8*x = 16

Дано уравнение:


          3      2     
-8*x + 2*x  + 4*x  = 16

преобразуем


   3           2                    
2*x  - 16 + 4*x  - 16 - 8*x + 16 = 0

или


   3      3      2      2               
2*x  - 2*2  + 4*x  - 4*2  - 8*x + 16 = 0


  / 3    3\     / 2    2\                
2*\x  - 2 / + 4*\x  - 2 / - 8*(x - 2) = 0


          / 2          2\                                    
2*(x - 2)*\x  + 2*x + 2 / + 4*(x - 2)*(x + 2) - 8*(x - 2) = 0

Вынесем общий множитель -2 + x за скобки

получим:


        /  / 2          2\                \    
(x - 2)*\2*\x  + 2*x + 2 / + 4*(x + 2) - 8/ = 0

или


         /       2      \    
(-2 + x)*\8 + 2*x  + 8*x/ = 0

тогда:

и также

получаем ур-ние

Это уравнение вида

Квадратное уравнение можно решить

с помощью дискриминанта.

Корни квадратного уравнения:


       ___    
     \/ D  - b
x2 = ---------
        2*a


            ___
     -b - \/ D 
x3 = ----------
        2*a

где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.

Т.к.

, то


(8)^2 - 4 * (2) * (8) = 0

Т.к. D = 0, то корень всего один.

Получаем окончательный ответ для -8*x + 2*x^3 + 4*x^2 — 16 = 0:

Способы решения алгебраических уравнений

Предисловие

Уравнения занимают значительное место в курсе математики средней школы. Остановимся лишь на алгебраических уравнениях, которые разобьем на три группы:

полиномиальные уравнения вида P_n(x) = 0, где P_n(x) — многочлен n-й степени относительно x;
дробно-рациональные уравнения, т.е. содержащие в качестве двух компонент частные двух многочленов;
иррациональные уравнения.

Для ряда приемов даны небольшие теоретические обоснования. Приведено 30 приемов, иллюстрированных более чем 36 примерами. Не надо думать, что приведенный в конкретном примере прием является наиболее рациональным для решения данного примера. Просто надо принять к сведению существование такого подхода к решению уравнений.

Одни и те же подходы (применение тригонометрии, использование однородности, разложение на множители и др.) находят применение не только при решении рациональных, дробно-рациональных, иррациональных уравнений, но и при решении трансцендентных уравнений, неравенств, систем.

При написании использовалась литература:

Рывкин А. А. «Справочник по математике» – М.: Высшая школа, 1987.
Цыпкин А. Г. «Справочник по методам решения задач по математике» – М.: Наука, 1989.
Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике – М.: Просвещение, 1989.
Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы / Под ред. Сканави М. И. – Мн.: Вышэйшая школы, 1990.

и др.

В этих пособиях можно найти достаточное количество нужных уравнений, конечно, не пренебрегая другими источниками.

Полиномиальные уравнения

1. Докажем теорему: Если уравнение a_nxⁿ + a_n–1xⁿ–1 + … + a₁x + a₀ = 0 (*) с целыми коэффициентами имеет рациональный корень, где p и q взаимно просты, то a₀ делится на p, а a_n делится на q.

Доказательство: Заменим в (*) x на , получим верное числовое равенство умножим обе части равенства на qⁿ:

a_npⁿ + a_n–1pⁿ–1q + … + a₁pqⁿ–1 + a₀qⁿ = 0 (**)

a_npⁿ = – q (a_n–1pⁿ–1 + … + a₁pqⁿ–2 + a₀

qⁿ–1)

Правая часть делится на q, значит, и левая должна делиться на q, но т.к. p и q взаимно просты, то pⁿ не делится на q, но тогда a_n должно делиться на q, иначе левая часть не будет кратна q.

Из (**) можно получить и другое равенство a₀qⁿ = – p (a_npⁿ–1 + a_n–1pⁿ–2q + … + a₁qⁿ–1)

Правая часть кратна p, значит, и левая кратна p, но qⁿ взаимно просты с p, значит a₀ кратно p. Теорема доказана.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена P(x) = a_nxⁿ + a_n–1xⁿ–1 + … + a₁x + a₀

на двучлен (x – a) равен значению многочлена P(x) при x = a.
Доказательство: Делимое равно делителю, умноженному на частное, плюс остаток. Так как делитель — многочлен первой степени, то остаток будет многочленом, степень которого меньше степени делителя, значит, остаток – const. Частное будет многочленом степени n – 1. Тогда
P(x) = (x – a) (с_n–1xⁿ–1 + с_n–2xⁿ–2 + … + с₁x + с₀) + R (***)
При x = a это равенство имеет вид
P(a) = 0 ? (с_n–1aⁿ–1 + с_n–2aⁿ–2 + … + с₁a + с₀) + R,
из которого следует  P(a) = R. Теорема доказана.
Следствие: Если
x = a — корень многочлена, то многочлен делится на x – a без остатка.
Доказательство: При x = a равенство (***) примет вид 0 = 0 + R, из которого следует, что R = 0. А так как остаток от деления равен нулю, то утверждение доказано.
Пример 1. Решить уравнение 30x⁴ + x³ – 30x² + 3x + 4 = 0.
Составим различные несократимые дроби, числители которых — делители свободного члена, т.е. 4, а знаменатели — делители старшего коэффициента, т.е. 30.




В левом столбике в знаменателях участвуют все делители числа 30. Видно, что – 1 — корень многочлена. По следствию из теоремы Безу делим многочлен на x + 1
Для поиска корней многочлена 30x
3 – 29x² – x + 4 воспользуемся таблицей дробей. При многочлен примет вид Значит, — корень многочлена.

2.  При решении алгебраических уравнений может быть полезен метод неопределенных коэффициентов.
Пример 2. Решить уравнение x⁴ + 2x³ – 16x² + 11x – 2 = 0.
Пусть многочлен представим в виде произведения
(a x² + b x + g ) (ax² + bx + c),
где a , b , g , a, b, c коэффициенты, которые желательно подобрать так, чтобы после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получился исходный многочлен. Раскроем скобки, полагая, что a = a = 1.
(x² + b x + g ) (x² + bx + c) = x⁴ + (b + b)

x³ + (b b + g +c)x² + (g b + b c)x + cg
Приравняем коэффициенты
b + b = 2 b = 2 – b
b b + g +c = – 16 2b – b² + g +c = – 16
g b + b c = 11 g b + 2c – bc = 11

cg = – 2 cg = – 2
Положим c = 1, g = – 2 или c = 2, g = – 1 (подбираем коэффициенты).
– 2b – b = 9

b = – 3, тогда b = 5.
Убедимся, что b = 5, g = – 2, b = – 3, c = 1. Такой набор удовлетворяет всем четырем уравнениям, поэтому можем записать
x⁴ + 2x³ – 16x² + 11x – 2 = (x² – 3x + 1) (x² + 5x – 2)
Решив квадратные уравнения, получим корни исходного уравнения.

Ответ:

3.  Решение возвратных уравнений
Уравнения вида ax^2k + bx^2k–1 + cx^2k–2 + … + l ^k–2cx² + l ^k–1bx + l a = 0 (k I N, l I R) называются возвратными.
После почленного деления на x^k, они решаются подстановкой
Пример 3. Решить уравнение 2x⁴ – 3x³ – 7x² –15x + 50 = 0.
Разделим на x², получим
Уравнение примет вид:


Если l = 1, то уравнение вида ax^2k + bx^2k–1 + cx^2k–2 + dx^2k–3 + … + dx³ + cx²
+ bx + a = 0 называется возвратным (или симметрическим) уравнением степени 2k первого рода.
Пример 4. Решить уравнение 5x⁴ + 3x³ – 16x² + 3x + 5 = 0.
Разделим почленно на x². Имеем .


Ответ:
Если l = – 1, то получим уравнение вида
ax^2k + bx^2k–1 + cx^2k–2 + dx^2k–3 + … + dx³ + cx² – bx + a = 0, которое называется возвратным (или симметрическим) уравнением степени 2k второго рода. Решается подстановкой
Пример 5. Решить уравнение 8x⁴ – 42x³ + 29x² + 42x + 8 = 0.


Ответ:
Возвратное уравнение нечетной степени имеет корень – 1. Это объясняется тем, что уравнение имеет четное число членов, которые при замене
x на – 1 попарно уничтожаются. Поэтому в начале делят многочлен на x + 1, а частное приведет к возвратному уравнению четной степени, решение которого уже рассмотрено.
Пример 6. Решить уравнение 24x⁵ + 74x⁴ – 123x³ – 123x² + 74x + 24 = 0.
Имеем возвратное уравнение 5-й степени. Один из его корней – 1. После деления на x + 1, получим
24x⁴ + 50x³ – 173x² + 50x + 24 = 0


Ответ:
если , то
По биному Ньютона
Замечание 2. Определить по внешнему виду, что уравнение является возвратным не всегда просто, особенно, если . Поэтому в уравнении степени 2n производим почленное деление на
xⁿ и, если при этом получается сумма выражений вида , где n = 0, 1, 2 … m, то дальнейшее решение ясно.
Приложение
Урок 12. решение алгебраических уравнений разложением на множители — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №12. Решение алгебраических уравнений разложением на множители.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1) типы алгебраических уравнений;
2) решение алгебраические уравнения методом разложения на множители;
3) методы решения алгебраических уравнений.
Глоссарий по теме
Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение) — уравнение вида P(x₁, x₂, …, x_n)=0, где P — многочлен от переменных x₁, x₂, …, x_n, которые называются неизвестными.
Коэффициенты многочлена P обычно берутся из некоторого множества F, и тогда уравнение P(x₁, x₂, …, x_n)=0 называется алгебраическим уравнение над множеством F.
Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P.
Значения переменных x₁, x₂, …, x_n, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.
Биквадратными называются уравнения вида ах⁴ + bх² + с = 0, где а, b, с – заданные числа, причем, а ≠ 0.
Симметрическим уравнением 3-ей степени называют уравнение вида: ax³ + bx² + bx + a = 0, где a, b – заданные числа.
Уравнение вида aⁿxⁿ₊a^n-1x^n-1+…+a¹x+a⁰=0 называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, т.е. a^n-1=a^k, при k=0, 1, …, n.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Дополнительная литература:
Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Давайте вспомним, что такое алгебраическое уравнение?
Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение) — уравнение вида P(x₁, x₂, …, x_n)=0, где P — многочлен от переменных x₁, x₂, …, x_n, которые называются неизвестными.
Коэффициенты многочлена P обычно берутся из некоторого поля F, и тогда уравнение P(x₁, x₂, …, x_n)=0 называется алгебраическим уравнение над полем F.
Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P.
Например, уравнение
является алгебраическим уравнением седьмой степени от трёх переменных (с тремя неизвестными) над полем вещественных чисел.
Связанные определения. Значения переменных x₁, x₂, …, x_n, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Алгебраические уравнения, решаемые разложением на множители:
Пример 1.
x³ – 3x – 2 = 0.
Решение: I способ
D(–2) : ,
Можно догадаться, что число х₁ = –1 является корнем этого уравнения, так как –1 + 3 – 2 = 0.
(х + 1)( х² –х–2) = 0;
х + 1 = 0 или х² –х–2 = 0;
х₁= –1 х_2,3 = ;
х_2,3 = ;
х₂= –1, х₃ = 2
Ответ: –1; 2.
II способ
x³ + х² – х²– х – 2x – 2 = 0;
(x³ + х²) – (х² + х) – 2(x + 1) = 0;
х²(х + 1) – х(х + 1) – 2(х + 1) = 0;
(х + 1) (х² –х–2) = 0;
(х + 1) (х + 1) (х –2) = 0;
(х –2) = 0;
х₁= –1, х₂ = 2
Ответ: –1; 2.
Уравнения, сводящиеся к алгебраическим
Биквадратные уравнения
На прошлом уроке мы познакомились с данным видом уравнений
Определение. Биквадратными называются уравнения вида ах⁴ + bх² + с = 0, где а, b, с – заданные числа, причем, а ≠ 0.
Метод решения
Биквадратное уравнение приводится к квадратному уравнению при помощи подстановки у=х².
Новое квадратное уравнение относительно переменной у: ay²+by+c=0.
Решая это уравнение, мы получаем корни квадратного уравнения
y₁ и y₂.
Решая эти два уравнения (y₁=x₁² и y₂=x₁²) относительно переменной x, мы получаем корни данного биквадратного уравнения.
Порядок действий при решении биквадратных уравнений
Ввести новую переменную у=х²
Подставить данную переменную в исходное уравнение
Решить квадратное уравнение относительно новой переменной
После нахождения корней (y₁; y₂) подставить их в нашу переменную у=х² и найти исходные корни биквадратного уравнения
Пример 2.
х⁴ – 8х² – 9 = 0.
Решение: Пусть у = х², где у 0; у² – 8у – 9 = 0;
По формулам Виета:
у₁ = –1; у₂ = 9;
Первое решение отбрасываем ( у 0),
а из второго находим х₁ = –3; х₂ = 3.
Ответ: х₁ = –3; х₂ = 3.
2 Симметрические уравнения
Решение симметрических уравнений рассмотрим на примере симметрических уравнений третьей степени.
Симметрическим уравнением 3-ей степени называют уравнение вида ax³ + bx² + bx + a = 0, где a, b – заданные числа.
Для того, чтобы успешно решать уравнения такого вида, полезно знать и уметь использовать следующие простейшие свойства симметрических уравнений:
1⁰. У любого симметрического уравнения нечетной степени всегда есть корень, равный -1.
Действительно, если сгруппировать в левой части слагаемые следующим образом: а(х³ + 1) + bx(х + 1) = 0, то есть возможность вынести общий множитель, т.е.
(х + 1)(ах² + (b – а)x + а) = 0, поэтому,
х + 1 = 0 или ах² + (b – а)x + а = 0,
первое уравнение и доказывает интересующее нас утверждение.
2⁰. У симметрического уравнения корней, равных нулю, нет.
3⁰. При делении многочлена нечетной степени на (х + 1) частное является снова симметрическим многочленом.
Пример 3.
х³ + 2x² + 2х + 1 = 0.
Решение: У исходного уравнения обязательно есть корень х = –1.
Разлагая далее левую часть на множители, получим
(х + 1)(x² + х + 1) = 0.
Квадратное уравнение
x² + х + 1 = 0 не имеет корней.
Ответ: –1.
2 Возвратные уравнения
Уравнение вида aⁿxⁿ₊a^n-1x^n-1+…+a¹x+a⁰=0 называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, т.е. a^n-1=a^k, при k=0, 1, …, n.
Рассмотрим возвратное уравнение четвёртой степени вида
ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0, где a, b и c — некоторые числа, причём a ≠ 0. Оно является частным случаем уравнения ax⁴ + bx³ + cx² + kbx + k²a = 0 при k = 1.
Порядок действий при решении возвратных уравнений вида ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0:
разделить левую и правую части уравнения на . При этом не происходит потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения;
группировкой привести полученное уравнение к виду
ввести новую переменную , тогда выполнено
, то есть ;
в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным: at² +bt+c–2a=0;
решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.
Пример 4
2x⁴ – 3x³ – 7x² –15x + 50 = 0.
Решение: Разделим на x², получим:

Введем замену:
Пусть
тогда 2t² – 3t – 27 = 0
t=-3

x2+3x+5=0
D<0

2×2-9x+10=0
x=2; x=2,5
Ответ: .
§ 1. Числовые и алгебраические выражения
Тема урока: § 1. Числовые и алгебраические выражения. Работа с числовыми и алгебраическими выражениями позволяет строить математические модели разнообразных ситуаций, представлять сложные смысловые предложения в более удобной форме.
Числовые выражения
Определение:
Числовое выражение — это запись составленная из чисел и знаков арифметических действий, которая имеет смысл.
Примеры числовых выражений
$$\tag{\textcolor{#3eb489}{1}} 43:5$$ $$\tag{\textcolor{#ed5fa6}{2}} 1+0$$ $$\tag{\textcolor{#3eb489}{3}} 72$$ $$\tag{\textcolor{#ed5fa6}{4}} 2^4-2^3+2^5-2$$ $$\tag{\textcolor{#3eb489}{5}} \small 12,8-\frac{2}{11}\cdot (2,18+3,32)$$
Каждое из них составлено из чисел и знаков действий. Если соблюдая принятый порядок, выполнить указанные действия, то получится число. Это число называют числовым значением выражения или, короче, значением выражения.
Например, $\footnotesize 2^4-2^3+2^2-2=10$ число $\footnotesize 10$ — значение данного выражения.
Выражение может состоять и из одного числа. В этом случае значение выражения есть само число.
Выражение $\frac{35}{\textcolor{#3eb489}{48:6}-\textcolor{#ed5fa6}{8}}$ не имеет числового значения, так как не все указанные действия можно выполнить (деление на нуль невозможно!). О таких выражениях говорят, что они не имеют смысла.
Таким образом, числовое выражение может или иметь одно значение, или не иметь значения.
Алгебраические выражения
Определение:
Алгебраическое выражение — это числовое выражение содержащее буквенную часть и имеющее смысл.
Примеры алгебраических выражений
1. Выражения с одной переменной.
Рассмотрим какое-нибудь выражение с одной переменной, например: $\footnotesize \textcolor{#ed5fa6}{a}(\textcolor{#ed5fa6}{a}+1).$ При $\footnotesize \textcolor{#ed5fa6}{a}=\textcolor{#3eb489}{2}$ его значение равно $\footnotesize 6,$ так как $\footnotesize \textcolor{#3eb489}{2}\cdot (\textcolor{#3eb489}{2}+1)=6.$ При $\footnotesize a=8$ значение этого выражения равно $\footnotesize 72,$ при $\footnotesize a=-1$ — нулю, при $\footnotesize a=0$ тоже нулю.
Если значения переменной $\footnotesize a$ образуют множество $\footnotesize A=\begin{Bmatrix} 2; 8; -1; 0 \end{Bmatrix},$ то значения выражения $\footnotesize a(a+1)$ составят множество $\footnotesize B=\begin{Bmatrix} 6; 72; 0 \end{Bmatrix}.$
Если множество значений переменной, входящей в выражение, не указано, то считается, что переменная принимает все те значения, при которых выражение имеет смысл. Например, если ничего не сказано о множестве значений переменной $\footnotesize p$ в выражении $\footnotesize \frac{p}{2p-6},$ то имеется в виду, что переменная $\footnotesize p$ принимает любые числовые значения, кроме $\footnotesize 3.$
2. Выражения с несколькими переменными.
Значение выражения $\footnotesize (x-2y)^2$ зависит от значений переменных $\footnotesize x$ и $\footnotesize y.$ Пусть переменная $\footnotesize x$ принимает значения из множества $\footnotesize X=\begin{Bmatrix} 1; 5 \end{Bmatrix}$ , а переменная $\footnotesize y$ — из множества $\footnotesize Y=\begin{Bmatrix} 1; 2; 5 \end{Bmatrix}$
$ (x-2y)^2 = \begin{cases} 81 \leftarrow\textcolor{gray}{если \ x=1, y=5,}\\ 9 \leftarrow\textcolor{gray}{если \ x=5, y=1;} \end{cases} $
Каждой паре значений переменных $\footnotesize x$ и $\footnotesize y$ соответствует определенное значение выражения $\footnotesize (x-2y)^2$ причем единственное. Составим всевозможные пары значений $\footnotesize x$ и $\footnotesize y$ и для каждой из них найдем соответствующее значение выражения:
\[\ \ \ \ x \ \ \ \] \[\ \ \ \ y \ \ \ \] \[(x-2y)^2\]
\[\textcolor{#3eb489}{1}\] \[\textcolor{#ed5fa6}{1}\] \[=(\textcolor{#3eb489}{1}-2\cdot\textcolor{#ed5fa6}{1})^2=1\]
\[\textcolor{#3eb489}{1}\] \[\textcolor{#ed5fa6}{2}\] \[=(\textcolor{#3eb489}{1}-2\cdot\textcolor{#ed5fa6}{2})^2=9\]
\[\textcolor{#3eb489}{1}\] \[\textcolor{#ed5fa6}{5}\] \[=(\textcolor{#3eb489}{1}-2\cdot\textcolor{#ed5fa6}{5})^2=81\]
\[\textcolor{#3eb489}{5}\] \[\textcolor{#ed5fa6}{1}\] \[=(\textcolor{#3eb489}{5}-2\cdot\textcolor{#ed5fa6}{1})^2=9\]
\[\textcolor{#3eb489}{5}\] \[\textcolor{#ed5fa6}{2}\] \[=(\textcolor{#3eb489}{5}-2\cdot\textcolor{#ed5fa6}{2})^2=1\]
\[\textcolor{#3eb489}{5}\] \[\textcolor{#ed5fa6}{5}\] \[=(\textcolor{#3eb489}{5}-2\cdot\textcolor{#ed5fa6}{5})^2=25\]
Значения выражения $\footnotesize (x-2y)^2$ образуют множество $\footnotesize \begin{Bmatrix} 1; 9; 81; 25 \end{Bmatrix}.$
Если в выражении с двумя переменными множества их значений не указаны, то считают, что переменные принимают любые значения, при которых данное выражение имеет смысл.
Например, если ничего не сказано о множествах значений переменных $\small \textcolor{#3eb489}{x}$ и $\small \textcolor{#ed5fa6}{y}$ в выражении $ \frac{5}{\textcolor{#3eb489}{x}-\textcolor{#ed5fa6}{y}},$ то считается, что переменные $\small \textcolor{#3eb489}{x}$ и $\small \textcolor{#ed5fa6}{y}$ принимают любые не равные между собой значения.
Задачи для самостоятельного решения
Условие
Задача №1.
Вычислите значение числового выражения: $$14\frac{7}{15}-3\frac{3}{23}\cdot\frac{23}{27}-1\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{6}$$
Решение
$$14\frac{7}{15}-3\frac{3}{23}\cdot\frac{23}{27}-1\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{6}$$
Шаг 1. Переведём все смешанные дроби в неправильные (для этого целую часть дроби нужно умножить на знаменатель нецелой части и сложить это с числителем нецелой части, получившийся результат поделить на знаменатель нецелой части).
$$\small \frac{14\cdot15+7}{15}-\frac{3\cdot23+3}{23}\cdot\frac{23}{27}-\frac{1\cdot5+1}{5}\cdot\frac{1}{6}$$
Шаг 2. Выполним элементарные преобразования (действия).
$$\frac{217}{15}-\frac{72}{23}\cdot\frac{23}{27}-\frac{6}{5}\cdot\frac{1}{6}$$
Шаг 3. Сократим числа:
$$\frac{217}{15}-\frac{8}{1}\cdot\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{1}$$
$$\frac{217}{15}-\frac{8}{3}-\frac{1}{5}$$
Шаг 4. Приведём к общему знаменателю.
$$\frac{217}{15}-\frac{8}{3}\cdot\frac{5}{5}-\frac{1}{5}\cdot\frac{3}{3}$$
$$\frac{217}{15}-\frac{40}{15}-\frac{3}{15}$$
$$\frac{217-40-3}{15}$$
$$\frac{174}{15}$$
Шаг 5. Выполним деление и запишем ответ.
$$\frac{174}{15}=11\frac{3}{5}=11,6$$
Ответ: 11,6.
Условие
Задача №2.
Вычислите значение числового выражения: $$(5\frac{8}{9}:1\frac{17}{36}+1\frac{1}{4})\cdot\frac{5}{21}$$
Решение
$$(5\frac{8}{9}:1\frac{17}{36}+1\frac{1}{4})\cdot\frac{5}{21}$$
Шаг 1. Выполним действия в скобках. По степени важности выполним деление, а потом сложение.
а) Смешанные дроби переводим в неправильные:
$$5\frac{8}{9}:1\frac{17}{36}=\frac{5\cdot9+8}{9}:\frac{1\cdot36+17}{36}$$
$$\frac{53}{9}\cdot\frac{36}{53}=4$$
б) Выполним сложение:
$$4+1\frac{1}{4}=\frac{4}{1}+\frac{1\cdot4+1}{4}$$
$$\frac{16}{4}+\frac{5}{4}=\frac{21}{4}=5,25$$
Шаг 2. Выполним умножение.
$$\frac{21}{4}\cdot\frac{5}{21}=\frac{5}{4}$$
$$\frac{5}{4}=1,25$$
Ответ: 1,25.
Условие
Задача №3.
Вычислите значение выражения при заданных переменных: $$0,4y+1= \ ?$$ $$y=-0,5; 8; -10.$$
Решение
$$0,4y+1= \ ?$$
$$y=-0,5; 8; -10.$$
Шаг 1. Вычислим значение выражения при первом значении переменной.
$$0,4\cdot(-0,5)+1=-0,2+1=0,8$$
Шаг 2. Вычислим второе значение выражения.
$$0,4\cdot8+1=3,2+1=4,2$$
Шаг 3. Подставим вместо переменной оставшееся значение.
$$0,4\cdot(-10)+1=-4+1=-3$$
Ответ: 0,8; 4,2; -3.
Условие
Задача №4.
Вычислите значение выражения, если известны значения переменных: $$\frac{2}{7}c-0,2d= \ ?$$ $$c=-28; d=15$$
Решение
Найти: $$\frac{2}{7}c-0,2d= \ ? \ c=-28; d=15$$
Шаг 1. Подставим вместо переменных их значения.
$$\frac{2}{7}c-0,2d=\frac{2}{7}\cdot(-28)-0,2\cdot15$$
Шаг 2. Выполним действия.
$$\frac{2}{7}\cdot(-28)=2\cdot(-4)=-8$$
$$-0,2\cdot15=-3$$
$$-8-3=-11$$
Ответ: -11.
Условие
Задача №5.
Найти значение алгебраического выражения: $$(n-m)k= \ ?$$ $$2m-2n+3k= \ ?$$ $$m-n=5, k=-2.$$
Решение
Найти: $$(n-m)k= \ ?$$ $$2m-2n+3k= \ ?$$ $$m-n=5, k=-2.$$
Шаг 1. Найдем значение первого выражения:
$$(n-m)k=-(m-n)k$$
$$-(m-n)k=-5\cdot(-2)=10$$
Шаг 2. Найдем значение второго выражения:
$$2(m-n)+3k=2\cdot5+3\cdot(-2)$$
$$2\cdot5+3\cdot(-2)=10-6=4$$
Ответ: 10; 4.
Следующая тема
Алгебра. Урок 4. Уравнения, системы уравнений
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Уравнения”.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:

Линейное уравнение – уравнение вида a x = b , где x – переменная, a и b некоторые числа, причем a ≠ 0 .
Примеры линейных уравнений:
Линейными уравнениями называют не только уравнения вида a x = b , но и любые уравнения, которые при помощи преобразований и упрощений сводятся к этому виду.
Как же решать уравнения, которые приведены к виду a x = b ? Достаточно поделить левую и правую часть уравнения на величину a . В результате получим ответ: x = b a .
Как распознать, является ли произвольное уравнение линейным или нет? Надо обратить внимание на переменную, которая присутствует в нем. Если старшая степень, в которой стоит переменная, равна единице, то такое уравнение является линейным уравнением.
Для того, чтобы решить линейное уравнение, необходимо раскрыть скобки (если они есть), перенести «иксы» в левую часть, числа – в правую, привести подобные слагаемые. Получится уравнение вида a x = b . Решение данного линейного уравнения: x = b a .
Примеры решения линейных уравнений:
2 x + 1 = 2 ( x − 3 ) + 8
Это линейное уравнение, так как переменная стоит в первое степени.
Попробуем преобразовать его к виду a x = b :
Для начала раскроем скобки:
2 x + 1 = 4 x − 6 + 8
В левую часть переносятся все слагаемые с x , в правую – числа:
2 x − 4 x = 2 − 1
− 2 x = 1
Теперь поделим левую и правую часть на число ( -2 ) :
− 2 x − 2 = 1 − 2 = − 1 2 = − 0,5
Ответ: x = − 0,5

x 2 − 1 = 0
Это уравнение не является линейным уравнением, так как старшая степень, в которой стоит переменная x равна двум.

x ( x + 3 ) − 8 = x − 1
Это уравнение выглядит линейным на первый взгляд, но после раскрытия скобок старшая степень становится равна двум:
x 2 + 3 x − 8 = x − 1
Это уравнение не является линейным уравнением.

Особые случаи (в 4 задании ОГЭ они не встречались, но знать их полезно)
Примеры:
2 x − 4 = 2 ( x − 2 )
Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:
2 x − 4 = 2 x − 4
2 x − 2 x = − 4 + 4
0 = 0
И как же здесь искать x , если его нет? После выполнения преобразований мы получили верное равенство (тождество), которое не зависит от значения переменной x . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда получается верное равенство (тождество). Значит x может быть любым числом. Запишем ответ к данном линейному уравнению.
Ответ: x ∈ ( − ∞ ; + ∞ )

2 x − 4 = 2 ( x − 8 )
Это линейное уравнение. Раскроем скобки, перенесем иксы влево, числа вправо:
2 x − 4 = 2 x − 16
2 x − 2 x = − 16 + 4
0 = − 12
В результате преобразований x сократился, но в итоге получилось неверное равенство, так как . Какое бы значение x мы ни подставляли бы в исходное уравнение, в результате всегда будет неверное равенство. А это означает, что нет таких значений x , при которых равенство становилось бы верным. Запишем ответ к данному линейному уравнению.
Ответ: x ∈ ∅

Квадратное уравнение – уравнение вида a x 2 + b x + c = 0, где x – переменная, a , b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0 .
Алгоритм решения квадратного уравнения:
Раскрыть скобки, перенести все слагаемые в левую часть, чтобы уравнение приобрело вид: a x 2 + b x + c = 0
Выписать, чему равны в числах коэффициенты: a = … b = … c = …
Вычислить дискриминант по формуле: D = b 2 − 4 a c
Если D > 0 , будет два различных корня, которые находятся по формуле: x 1,2 = − b ± D 2 a
Если D = 0, будет один корень, который находится по формуле: x = − b 2 a
Если D < 0, решений нет: x ∈ ∅
Примеры решения квадратного уравнения:
− x 2 + 6 x + 7 = 0
a = − 1, b = 6, c = 7
D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 7 = 36 + 28 = 64
D > 0 – будет два различных корня:
x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 64 2 ⋅ ( − 1 ) = − 6 ± 8 − 2 = [ − 6 + 8 − 2 = 2 − 2 = − 1 − 6 − 8 − 2 = − 14 − 2 = 7
Ответ: x 1 = − 1, x 2 = 7

− x 2 + 4 x − 4 = 0
a = − 1, b = 4, c = − 4
D = b 2 − 4 a c = 4 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 4 ) = 16 − 16 = 0
D = 0 – будет один корень:
x = − b 2 a = − 4 2 ⋅ ( − 1 ) = − 4 − 2 = 2
Ответ: x = 2

2 x 2 − 7 x + 10 = 0
a = 2, b = − 7, c = 10
D = b 2 − 4 a c = ( − 7 ) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 10 = 49 − 80 = − 31
D < 0 – решений нет.
Ответ: x ∈ ∅
Также существуют неполные квадратные уравнения (это квадратные уравнения, у которых либо b = 0, либо с = 0, либо b = с = 0 ). Смотрите видео, как решать такие квадратные уравнения!

Квадратный трехчлен можно разложить на множители следующим образом:
a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 1 ) ⋅ ( x − x 2 )
где a – число, коэффициент перед старшим коэффициентом,
x – переменная (то есть буква),
x 1 и x 2 – числа, корни квадратного уравнения a x 2 + b x + c = 0 , которые найдены через дискриминант.
Если квадратное уравнение имеет только один корень , то разложение выглядит так:
a x 2 + b x + c = a ⋅ ( x − x 0 ) 2
Примеры разложения квадратного трехчлена на множители:
− x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1, x 2 = 7
− x 2 + 6 x + 7 = ( − 1 ) ⋅ ( x − ( − 1 ) ) ( x − 7 ) = − ( x + 1 ) ( x − 7 ) = ( x + 1 ) ( 7 − x )

− x 2 + 4 x − 4 = 0 ; ⇒ x 0 = 2
− x 2 + 4 x − 4 = ( − 1 ) ⋅ ( x − 2 ) 2 = − ( x − 2 ) 2

Если квадратный трехчлен является неполным, ( ( b = 0 или c = 0 ) то его можно разложить на множители следующими способами:
c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x ( a x + b )

Пусть f ( x ) и g ( x ) – некоторые функции, зависящие от переменной x .
Дробно рациональное уравнение – это уравнение вида f ( x ) g ( x ) = 0 .
Для того, чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо вспомнить, что такое ОДЗ и когда оно возникает.
ОДЗ – область допустимых значений переменной.
В выражении вида f ( x ) g ( x ) = 0
ОДЗ: g ( x ) ≠ 0 (знаменатель дроби не может быть равен нулю).
Алгоритм решения дробно рационального уравнения:
Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .
Выписать ОДЗ: g ( x ) ≠ 0.
Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни.
Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.
Пример решения дробного рационального уравнения:
Решить дробно рациональное уравнение x 2 − 4 2 − x = 1.
Решение:
Будем действовать в соответствии с алгоритмом.
Привести выражение к виду f ( x ) g ( x ) = 0 .
Переносим единичку в левую часть, записываем к ней дополнительный множитель, чтобы привести оба слагаемых к одному общему знаменателю:
x 2 − 4 2 − x − 1 \ 2 − x = 0
x 2 − 4 2 − x − 2 − x 2 − x = 0
x 2 − 4 − ( 2 − x ) 2 − x = 0
x 2 − 4 − 2 + x 2 − x = 0
x 2 + x − 6 2 − x = 0
Первый шаг алгоритма выполнен успешно.
Выписать ОДЗ:
g ( x ) ≠ 0
2 − x ≠ 0
− x ≠ − 2
x ≠ 2
Обводим в рамочку ОДЗ, не забываем про него: x ≠ 2
Приравнять числитель дроби к нулю f ( x ) = 0 и найти корни:
x 2 + x − 6 = 0 – Квадратное уравнение. Решаем через дискриминант.
a = 1, b = 1, c = − 6
D = b 2 − 4 a c = 1 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 1 + 24 = 25
D > 0 – будет два различных корня.
x 1,2 = − b ± D 2 a = − 1 ± 25 2 ⋅ 1 = − 1 ± 5 2 = [ − 1 + 5 2 = 4 2 = 2 − 1 − 5 2 = − 6 2 = − 3
[ x 1 = 2 x 2 = − 3

Указать в ответе корни из числителя, исключив те корни, которые попали в ОДЗ.
Корни, полученные на предыдущем шаге:
[ x 1 = 2 x 2 = − 3
ОДЗ: x ≠ 2
Значит, в ответ идет только один корень, x = − 3.
Ответ: x = − 3.

Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (как правило, неизвестные обозначаются x и y ) , которые объединены в общую систему фигурной скобкой.
Пример системы уравнений
{ x + 2 y = 8 3 x − y = − 4
Решить систему уравнений – найти пару чисел x и y , которые при подстановке в систему уравнений образуют верное равенство в обоих уравнениях системы.
Существует два метода решений систем линейных уравнений:
Метод подстановки.
Метод сложения.
Алгоритм решения системы уравнений методом подстановки:
Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.
Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.
Решить уравнение с одной неизвестной.
Найти оставшуюся неизвестную.
Пример:
Решить систему уравнений методом подстановки
{ x + 2 y = 8 3 x − y = − 4
Решение:
Выразить из любого уравнения одну переменную через другую.
{ x = 8 − 2 y 3 x − y = − 4
Подставить в другое уравнение вместо выраженной переменной полученное значение.
{ x = 8 − 2 y 3 x − y = − 4
{ x = 8 − 2 y 3 ( 8 − 2 y ) − y = − 4
Решить уравнение с одной неизвестной.
3 ( 8 − 2 y ) − y = − 4
24 − 6 y − y = − 4
− 7 y = − 4 − 24
− 7 y = − 28
y = − 28 − 7 = 28 7 = 4
y = 4
Найти оставшуюся неизвестную.
y = 4
x = 8 − 2 y = 8 − 2 ⋅ 4 = 8 − 8 = 0
Ответ можно записать одним из трех способов:
Ответ:
x = 0, y = 4
{ x = 0 y = 4
( 0 ; 4 )

Решение системы уравнений методом сложения.
Метод сложения основывается на следующем свойстве:
если
{ a = b c = d
то
( a + c ) = ( b + d )
Идея метода сложения состоит в том, чтобы избавиться от одной из переменных, сложив уравнения.
Пример:
Решить систему уравнений методом сложения
{ x + 2 y = 8 3 x − y = − 4
Давайте избавимся в данном примере от переменной x . Суть метода состоит в том, чтобы в первом и во втором уравнении перед переменной x стояли противоположные коэффициенты. Во втором уравнении перед x стоит коэффициент 3 . Для того, чтобы метод сложения сработал, надо чтобы перед переменной x оказался коэффициент ( − 3 ) . Для этого домножим левую и правую часть первого уравнения на ( − 3 ) .
{ x + 2 y = 8 | ⋅ ( − 3 ) 3 x − y = − 4
{ ( − 3 ) ⋅ ( x + 2 y ) = ( − 3 ) ⋅ 8 3 x − y = − 4
{ − 3 x − 6 y = − 24 3 x − y = − 4
Теперь, когда перед переменной в обоих уравнениях стоят противоположные коэффициенты, при сложении левых частей уравнений переменная x исчезнет.
{ − 3 x − 6 y = − 24 3 x − y = − 4 ⊕
( − 3 x − 6 y ) + ( 3 x − y ) = ( − 24 ) + ( − 4 )
− 3 x − 6 y + 3 x − y = − 24 − 4
− 7 y = − 28
y = − 28 − 7 = 28 7 = 4
Осталось найти переменную x . Для этого подставим y = 4 в любое из двух уравнений системы. Например, в первое.
x + 2 y = 8
x + 2 ⋅ 4 = 8
x + 8 = 8
x = 8 − 8 = 0
Ответ можно записать одним из трех способов:
Ответ:
x = 0, y = 4
{ x = 0 y = 4
( 0 ; 4 )

Скачать домашнее задание к уроку 4.

Урок 12. решение алгебраических уравнений разложением на множители — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс Урок Конспект Дополнительные материалы
Решение алгебраических уравнений
Решите уравнение и укажите неверные ответы:
$x³+4x²−2x−8=0$
Решение алгебраических уравнений разложением на множители
Опираясь на графики, поставьте в соответствие, сколько корней имеют уравнения
Подсказка
Обратите внимание на количество точек пересечения графиков функций
Решение алгебраических уравнений разложением на множители
Рассортируйте уравнения по следующим категориям:
Подсказка
Воспользоваться одним из способов нахождения корней степенных уравнений
Один корень
Два корня
Корней более двух
Нет корней
$х⁵-32=0$
$х⁴-9х²+3=0$
$25х⁴-20х+4=0$
$х⁴-9х²+3=0$
$7х³+х²-14х-2=0$
$х⁴-7х²+17=0$
Решение алгебраических уравнений разложением на множители
Решите уравнение, среди предложенных ответов, выделите правильный
4х³+8х²−х−2=0
Подсказка
Воспользоваться методами решения уравнений высших степеней
−2;−13
−2;−12;13
−2;−12;12
2;−12;13
Решение алгебраических уравнений разложением на множители
Не выполняя деления, найти остаток от деления многочлена
$Р(х) = x^{4} + x^{3} + 7x^{2} + х + 3$ на двучлен (х – 1)
Подсказка
Воспользуйтесь теоремой Безу
Решение алгебраических уравнений разложением на множители
Восстановите порядок действий при решении уравнений вида $ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + bx + a = 0$
Подсказка
Воспользоваться алгоритмом решения уравнений четвертой степени
группировкой привести полученное уравнение к виду $a( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} ) + b( x + \frac{1}{x}) + c = 0$
ввести новую переменную $t = x + \frac{1}{x}$ , тогда выполнено $t^{2} = x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}} ,$ то есть $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = t2 – 2; $ в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным: $at^{2} + bt + c – 2a = 0;$
разделить левую и правую части уравнения на $x^{2} ≠ 0$
решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной
Решение алгебраических уравнений разложением на множители
Укажите алгебраические уравнения:
Подсказка
Воспользоваться определением алгебраического уравнения
Решение алгебраических уравнений разложением на множители
Найдите корни уравнения
$x^{3}+3x^{2}-4x-12=0$
Подсказка
Воспользоваться методом группировки
Решение алгебраических уравнений разложением на множители
Найдите корни уравнения:
$(x^{2}-9)^{2}-4(x^{2}-9) +3=0$
Подсказка
Воспользоваться методом замены
Решение алгебраических уравнений разложением на множители
Решите уравнение:
$2x^{3}-x^{2} -13х-6=0$
x₁ = ______
x₂ = ______
x₃= ______
Подсказка
Воспользоваться алгоритмом решения уравнений высших степеней
Решение алгебраических уравнений разложением на множители
Определите, при каких значениях х равны значения двучленов:
$9x^{3}+18x^{2}$ и (х + 2)
$x_{1}=$ ___
$x_{2}=$ ___
$x_{3}=$ ___
Подсказка
Применить алгоритм решения уравнений высших степеней
Решение алгебраических и трансцендентных уравнений Постановка задачи и этапы решения.
55
Оглавление
РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 5
Постановка задачи и этапы решения. 5
Пример локализации корней. 5
Метод половинного деления 5
Метод хорд и касательных 6
Метод итераций 6
Сведение исходного уравнения к виду, пригодному для применения метода итераций. 7
Суть и обоснование метода итераций. 7
Условие окончания вычислений в методе итераций. 7
Сравнение различных методов. 7
Контрольные вопросы 8
Содержание лабораторной работы 8
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 8
Постановка задачи интерполирования. 8
Линейная интерполяция. 9
Интерполяция многочленом. 9
Единственность интерполяционного многочлена n-й степени. 9
Построение вспомогательных многочленов Лагранжа. 10
Построение многочлена Лагранжа. 10
Оценка погрешности. 10
Сплайн-интерполяции. 11
Контрольные вопросы: 11
Содержание лабораторной работы: 12
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 12
Общая схема 13
МЕТОД ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ. 13
МЕТОД ТРАПЕЦИЙ. 13
МЕТОД СИМПСОНА. 14
Метод двойного счета. 15
Контрольные вопросы: 15
Содержание лабораторной работы 16
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 16
Метод Пикара. 16
метод разложения неизвестной функции Y(х) в ряд, 17
метод Эйлера. 18
Общая схема численных методов. 18
методы Рунге-Кутта 18
Контрольные вопросы. 19
Содержание лабораторной работы. 20
МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ 20
Постановка задачи и ее качественный анализ. 20
Нахождение наилучшей линейной приближающей функции. 21
Сведение поиска функций другого вида к поиску линейной функции. 22
Контрольные вопросы. 23
Содержание лабораторной работы. 23
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 24
Постановка задачи и ее качественное исследование. 24
Метод Гаусса 25
Прямой ход. 25
Формулы прямого хода 26
Обратный ход 26
Формулы обратного хода. 26
Ручные вычисления по методу Гаусса. 26
Регуляризация решения 27
Описание метода Гаусса для вырожденных систем. 28
Применения метода Гаусса. 28
Нахождение определителя матрицы. 28
Нахождение обратной матрицы 28
Нахождение ранга матрицы. 28
Определение совместности системы. 29
Контрольные вопросы 29
Содержание лабораторной работы «Метод Гаусса» 29
Содержание лабораторной работы «Применения метода Гаусса» 29
МЕТОД КВАДРАТНОГО КОРНЯ 29
Условие применимости метода квадратного корня. 29
Матричное описание метода квадратного корня. 30
Нахождение матрицы S («квадратного корня» из А) 30
Нахождение вспомогательного вектора Y. 31
Нахождение вектора решения Х. 31
Пример. 31
Компакт-метод. 32
Контрольные вопросы. 33
Содержание лабораторной работы. 33
МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ 33
Условия применимости метода простых итераций. 33
Описание метода простых итераций. 34
Условие окончания вычислений. 35
Приведение исходной системы к нужному виду. 35
Случай диагонального преобладания. 35
Случай, когда матрица А близка к единичной. 35
Контрольные вопросы. 36
Содержание лабораторной работы. 36
Численные методы решения экстремальных задач 36
Численные методы поиска экстремумов функций одной переменной 37
Метод равномерного поиска. 37
Метод поразрядного приближения 37
Метод деления отрезка пополам (или метод дихотомии). 38
Метод квадратичной интерполяции 38
Метод золотого сечения 39
Численные методы поиска экстремумов функций многих переменных 39
Метод координатного спуска 39
Градиентный метод 40
Контрольные вопросы 41
Содержание лабораторной работы «Численные методы решения экстремальных задач 41
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 41
Постановка задачи. Графический метод 41
Пример 1 (транспортная задача) 42
Пример 2 (расчет рациона) 42
Пример 3 (распределение ресурсов) 42
Задача линейного программирования в общем виде: 43
Графический метод решения задачи линейного программирования. 44
Двойственная задача 44
СИМПЛЕКС — МЕТОД 44
Описание симплекс-метода. 45
Алгоритм симплекс-метода: 46
Пример. 46
Содержание лабораторной работы. 47
Элементы математической статистики 47
Генеральная совокупность. Выборка. Статистические ряды 48
Графическое изображение вариационных рядов. Эмпирическое распределение 49
Средние величины и показатели вариации 49
Средняя арифметическая и ее свойства 50
Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение 51
Коэффициент вариации 51
Структурные средние 51
Законы распределения случайных величин 52
Статистические гипотезы 52
Контрольные вопросы 55
Содержание лабораторной работы «Элементы математической статистики» 55
Литература 55
При решении алгебраических и трансцендентных уравнений, встречающихся на практике, очень редко удается найти точное решение. Поэтому приходится применять различные приближенные способы определения корней. В общей постановке задачи обычно требуют непрерывность функции f(x), корни которой ищутся с заданной точностью. Решение при этом разбивается на два этапа:
1.ЛОКАЛИЗАЦИЯ корней, т.е. выделение непересекающихся отрезков, каждый из которых содержит по одному корню.
2.УТОЧНЕНИЕ корней, т.е. вычисление корня на каждом из отрезков с нужной точностью.
Первая часть задачи обычно решается либо с использованием примерного графика функции, либо с помощью исследования знака функции и, как правило, не включается в стандартный курс вычислительной математики.
Пример локализации корней.
Приведем лишь один ПРИМЕР: определить количество и приближенное расположение корней уравнения sinX — 0.2X=0.
Для решения перепишем уравнение в виде sinX=0.2X. Поскольку значения функции y=sinX лежат между -1 и 1, то корни уравнения могут быть только на отрезке [-5,5]. Ясно, что один из корней — это X=0 . Если же на отрезке [-5,5] нарисовать графики функций y₁(X)= sinX и y₂(X)=0.2X, то сразу будет видно, что точки их пересечения (а это и есть корни нашего уравнения) расположены на отрезках [-3,-2] и [2,3].
Ответ: исходное уравнение имеет 3 корня: Х₁=0, Х₂[-3,-2] и Х₃[2,3].
Упражнения :определить количество и месторасположение корней уравнений:
1.1 9 – Х²— e^х = 0
1.2 sin 2X – X²+6=0
1.3 1/(1+X²) — 0.1 X⁴ = 0
1.4 ln(2+X) — 0.4X³= 0
В дальнейшем мы будем считать, что уравнение f(X)=0 задано на отрезке [a,b], на котором расположен ровно один его корень, и исследовать решение второй части задачи — уточнение корней. По-видимому, эта задача является самой простой из всех вычислительных задач, встречающихся на практике. Существуют несколько хороших методов решения данной задачи.
Метод половинного деления
(или метод вилки) хорошо знаком по доказательству теоремы о промежуточном значении в курсе математического анализа. Его суть заключается в построении последовательности вложенных отрезков, содержащих корень. При этом на каждом шаге очередной отрезок делится пополам и в качестве следующего отрезка берется та половина, на которой значения функции в концах имеют разные знаки. Процесс продолжают до тех пор, пока длина очередного отрезка не станет меньше, чем величина 2. Тогда его середина и будет приближенным значением корня с точностью .
Алгоритм данного метода можно записать так:
1.Ввести данные (a, b, ).
2.Если нужная точность достигнута (| b — a | < 2) то иди к п.6
3.Возьми середину очередного отрезка ( С = ( a + b )/ 2 ).
4.Если значения функции в точках а и С одного знака (f(a)*f(C)>0), то в качестве следующего отрезка возьми правую половину (а=С), иначе левую (b=C).
5.Иди к п.2.
6.Напечатать ответ (( a + b ) / 2 )
Упражнение 1.5 Перевести данный алгоритм на один из языков программирования.
Метод хорд и касательных
(или метод Ньютона, хотя принято называть методом Ньютона не комбинированный метод, а метод хорд) применяется только в том случае, когда . f'(X) и f»(X) не изменяют знака на отрезке [a,b], т.е.функция f(X) на отрезке [a,b] монотонна и не имеет точек перегиба.
Суть метода та же самая — построение последовательности вложенных отрезков, содержащих корень, однако отрезки строятся по-другому. На каждом шаге через концы дуги графика функции f(X) на очередном отрезке проводят хорду и из одного конца проводят касательную. Точки пересечения этих прямых с осью ОХ и образуют следующий отрезок. Процесс построения прекращают при выполнении того же условия (| b — a | < 2).
Для того, чтобы отрезки получались вложенными, нужно проводить ту касательную из конца, которая пересекает ось ОХ на отрезке [a,b]. Перебрав четыре возможных случая, легко увидеть, что касательную следует проводить из того конца, где знак функции совпадает со знаком второй производной. Также несложно заметить, что касательная проводится либо все время из правого, либо все время из левого конца. Будем считать для определенности , что этот конец — b .
90000 Algebraic solution — Simple English Wikipedia, the free encyclopedia 90001 90002 An 90003 algebraic solution 90004 is an algebraic expression which is the solution of an algebraic equation in terms of the coefficients of the variables. It is found only by addition, subtraction, multiplication, division, and the extraction of roots (square roots, cube roots, etc.). 90005 90002 The most well-known example is the solution of the general quadratic equation. 90005 90008 90009 x = — b ± b 2 — 4 a c 2 a , {\ Displaystyle x = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac \}}} {2a}},} 90010 90011 90008 90009 a x 2 + b x + c = 0 {\ Displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0 \,} 90010 90011 90002 (where 90017 a 90018 ≠ 0).90005 90002 There is a more complicated solution for the general cubic equation 90021 [1] 90022 and quartic equation. 90021 [2] 90022 The Abel-Ruffini theorem 90021 [3] 90022 90021: 211 90022 states that the general quintic equation does not have an algebraic solution. This means that the general polynomial equation of degree 90017 n 90018, for 90017 n 90018 ≥ 5, can not be solved by using algebra. However, under certain conditions, we can get algebraic solutions; for example, the equation x 10 = a {\ Displaystyle x ^ {10} = a} can be solved as x = a 1 / 10 .{1/10}.} 90005 90034 90035 ↑ Nickalls, R. W. D., «A new approach to solving the cubic: Cardano’s solution revealed,» 90017 Mathematical Gazette 90018 77, November тисяча дев’ятсот дев’яносто три, 354-359. 90038 90035 ↑ Carpenter, William, «On the solution of the real quartic,» 90017 Mathematics Magazine 90018 39, 1966, 28-30. 90038 90035 ↑ Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra 1 (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1 90038 90045 .90000 Solutions of Algebraic Equations 90001 90002 Up until now, we have just been talking about manipulating algebraic expressions. Now it is time to talk about 90003 equations 90004. An expression is just a statement like 90005 90002 2 90003 x 90004 + 3 90005 90002 This expression might be equal to any number, depending on the choice of 90003 x 90004. For example, if 90003 x 90004 = 3 then the value of this expression is 9. But if we are writing an equation, then we are making a statement about its value.We might say 90005 90002 2 90003 x 90004 + 3 = 7 90005 90002 A mathematical equation is either true or false. This equation, 2 90003 x 90004 + 3 = 7, might be true or it might be false; it depends on the value chosen for 90003 x 90004. We call such equations 90003 conditional 90004, because their truth depends on choosing the correct value for 90003 x 90004. If I choose 90003 x 90004 = 3, then the equation is clearly false because 2 (3) + 3 = 9, not 7. In fact, it is only true if I choose 90003 x 90004 = 2.Any other value for 90003 x 90004 produces a false equation. We say that 90003 x 90004 = 2 is the 90003 solution 90004 of this equation. 90005 90040 Solutions 90041 90042 90043 The solution of an equation is the value (s) of the variable (s) that make the equation a true statement. 90044 90045 90002 An equation like 2 90003 x 90004 + 3 = 7 is a simple type called a linear equation in one variable. These will always have one solution, no solutions, or an infinite number of solutions.There are other types of equations, however, that can have several solutions. For example, the equation 90005 90002 90003 x 90004 90053 2 90054 = 9 90005 90002 is satisfied by both 3 and 3, and so it has two solutions. 90005 90058 One Solution 90059 90002 This is the normal case, as in our example where the equation 2 90003 x 90004 + 3 = 7 had exactly one solution, namely 90003 x 90004 = 2. The other two cases, no solution and an infinite number of solutions, are the oddball cases that you dont expect to run into very often.Nevertheless, it is important to know that they can happen in case you do encounter one of these situations. 90005 90058 Infinite Number of Solutions 90059 90002 Consider the equation 90005 90002 90003 x 90004 = 90003 x 90004 90005 90002 This equation is obviously true for every possible value of 90003 x 90004. This is, of course, a ridiculously simple example, but it makes the point. Equations that have this property are called 90003 identities 90004. Some examples of identities would be 90005 90002 90005 90002 2 90003 x 90004 = 90003 x 90004 + 90003 x 90004 90005 90002 3 = 3 90005 90002 (90003 x 90004 2) (90003 x 90004 + 2) = 90003 x 90004 90053 2 90054 4 90005 90002 90005 90002 All of these equations are true for any value of 90003 x 90004.The second example, 3 = 3, is interesting because it does not even contain an 90003 x 90004, so obviously its truthfulness can not depend on the value of 90003 x 90004! When you are attempting to solve an equation algebraically and you end up with an obvious identity (like 3 = 3), then you know that the original equation must also be an identity, and therefore it has an infinite number of solutions. 90005 90058 No Solutions 90059 90002 Now consider the equation 90005 90002 90003 x 90004 + 4 = 90003 x 90004 + 3 90005 90002 There is no possible value for 90003 x 90004 that could make this true.If you take a number and add 4 to it, it will never be the same as if you take the same number and add 3 to it. Such an equation is called a 90003 contradiction 90004, because it can not ever be true. 90005 90002 If you are attempting to solve such an equation, you will end up with an extremely obvious contradiction such as 1 = 2. This indicates that the original equation is a contradiction, and has no solution. 90005 90002 In summary, 90005 90002 o An 90003 identity 90004 is always true, no matter what 90003 x 90004 is 90005 90002 o A 90003 contradiction 90004 is never true for any value of 90003 x 90004 90005 90002 o A 90003 conditional equation 90004 is true for some values of 90003 x 90004 90005 .90000 Algebraic fractions — A complete course in algebra 90001 90002 20 90003 90002 The principle of equivalent fractions 90003 90002 Reducing to lowest terms 90003 90002 2nd Level 90003 90002 FRACTIONS IN ALGEBRA are often called rational expressions. (See Topic 18 of Precalculus.) We begin with the principle of equivalent fractions, which appears as follows: 90003 90002 «Both the numerator and denominator may be multiplied 90013 by the same factor.»90003 90015 90016 90017 Both 90018 x 90019 and 90018 y 90019 have been multiplied by the factor 90018 a 90019. 90024 90017 90026 90018 x 90019 90029 90013 90018 y 90019 90024 90017 and 90024 90017 90026 90018 ax 90019 90029 90013 90018 ay 90019 90024 90017 are 90024 90047 90048 90002 called equivalent fractions. That means that, in a calculation, we could replace either one with the other.90003 90002 It is the same rule as in arithmetic: 90003 90002 on multiplying both 2 and 3 by 5. 90003 90002 Problem 1. Write the missing numerator. 90003 90002 To see the answer, pass your mouse over the colored area. 90013 To cover the answer again, click «Refresh» ( «Reload»). 90013 Do the problem yourself first! 90003 90002 The denominator has been multiplied by 3; therefore the numerator will also be multiplied by 3.90003 90002 Problem 2. Write the missing numerator. 90003 90002 The denominator has been multiplied by 90018 x 90019; therefore the numerator will also be multiplied by 90018 x 90019. 90003 90002 Problem 3. Write the missing numerator. 90003 90002 The denominator has been multiplied by 8 90018 x 90019 90076 2 90077; therefore the numerator will also be multiplied by 8 90018 x 90019 90076 2 90077.90003 90002 The student should expect that the original denominator on the left will be a 90018 factor 90019 of the new denominator on the right. It must be a factor because to produce the new denominator, the original denominator was 90018 multiplied 90019 90003 90002 Problem 4. Write the missing numerator. 90003 90002 ( «The denominator has been multiplied by _____. Therefore the numerator will also be multiplied by ____.») 90003 90015 90016 90017 a) 90024 90017 90026 90018 a 90019 90029 90013 90018 b 90019 90024 90017 = 90024 90017 90026 5 90018 a 90019 90029 90013 5 90018 b 90019 90024 90017 90024 90017 b) 90024 90017 90026 3 90029 90013 90018 x 90019 90024 90017 = 90024 90017 90026 6 90029 90013 2 90018 x 90019 90024 90017 90024 90017 c) 90024 90017 90026 5 90029 90013 90018 y 90019 90024 90017 = 90024 90017 90026 5 90018 y 90019 90029 90013 90018 y 90019 90076 2 90077 90024 90047 90016 90163 90024 90047 90016 90017 d) 90024 90017 90026 8 90029 90013 90018 x 90019 90024 90017 = 90024 90017 90026 8 90018 y 90019 90029 90013 90018 xy 90019 90024 90017 90024 90017 e) 90024 90017 90026 90018 a 90019 90029 90013 90018 x 90019 90024 90017 = 90024 90017 90026 2 90018 x 90019 90076 2 90077 90018 a 90019 90029 90013 2 90018 x 90019 90076 3 90077 90024 90017 90024 90017 f) 90024 90017 90026 90018 b 90019 90029 90013 90018 y 90019 90024 90017 = 90024 90017 90026 90018 bx 90019 90076 2 90077 90018 y 90019 90029 90013 90018 x 90019 90076 2 90077 90018 y 90019 90076 2 90077 90024 90047 90016 90163 90024 90047 90016 90017 g) 90024 90017 90026 90018 p 90019 90029 90013 90018 q 90019 90024 90017 = 90024 90017 90026 90018 prs 90019 90029 90013 90018 qrs 90019 90024 90017 90024 90017 h) 90024 90017 90026 2 90029 90013 90018 b 90019 90024 90017 = 90024 90017 90026 2 90018 ac 90019 90029 90013 90018 abc 90019 90024 90017 90024 90017 i) 90024 90017 90026 4 90029 90013 90018 x 90019 90024 90017 = 90024 90017 90026 4 (90018 x 90019 + 1) 90029 90013 90018 x 90019 (90018 x 90019 + 1) 90024 90047 90048 90015 90016 90017 Example 1.90024 90017 90018 a 90019 90024 90017 = 90024 90017 90026? 90029 90013 90018 b 90019 90024 90047 90048 90015 90016 90017 90349 Solution. 90350 To explain the solution, we will write 90018 a 90019 as 90024 90017 90026 90018 a 90019 90029 90013 1 90024 90017. 90024 90047 90048 90002 Since 1 has been multiplied by 90018 b 90019, then so will 90018 a 90019.90003 90002 The numerator 90018 ab 90019 however is simply the product of 90018 a 90019 times 90018 b 90019. It is a kind of cross-multiplying, and the student should not have to write the denominator 1. 90003 90002 You do algebra with your eyes. 90003 90002 Problem 5. Write the missing numerator. 90003 90015 90016 90017 a) 90024 90017 90018 x 90019 90024 90017 = 90024 90017 90026 3 90018 x 90019 90029 90013 3 90024 90017 90024 90017 b) 90024 90017 2 90024 90017 = 90024 90017 90026 2 90018 ab 90019 90029 90013 90018 ab 90019 90024 90017 90024 90017 c) 90024 90017 90018 x 90019 90024 90017 = 90024 90017 90026 90018 x 90019 ³ 90029 90013 90018 x 90019 90076 2 90077 90024 90047 90016 90017 d) 90024 90017 1 90024 90017 = 90024 90017 90026 90018 x 90019 90029 90013 90018 x 90019 90024 90017 90024 90017 e) 90024 90017 2 90024 90017 = 90024 90017 90026 2 90018 x 90019 + 2 90029 90013 90018 x 90019 + 1 90024 90017 90024 90017 f) 90024 90017 90018 x 90019 + 1 90024 90017 = 90024 90017 90026 90018 x 90019 90076 2 90077 — 1 90029 90013 90018 x 90019 — 1 90024 90047 90048 90002 Part f) is The Difference of Two Squares.90003 90002 There will be more problems of this type at the 2nd Level. 90003 90002 Reducing to lowest terms 90003 90002 The numerator and denominator of a fraction are called its terms. Since we may multiply both terms, then, symmetrically, we may divide both terms. 90003 90002 «Both the numerator and denominator may be divided 90013 by a common factor.» 90003 90002 When we do that, we say that we have reduced the fraction to its lowest terms.90003 90002 Again, this is the same as in arithmetic. 90003 90015 90016 90017 Example 2. Reduce 90024 90017 90026 5 90018 x 90019 90029 90013 5 90018 y 90019 90024 90017. 90024 90047 90048 90015 90016 90017 90349 Answer. 90350 90024 90017 90026 5 90018 x 90019 90029 90013 5 90018 y 90019 90024 90017 = 90024 90017 90026 90018 x 90019 90029 90013 90018 y 90019 90024 90017.90024 90047 90048 90002 5 is a common factor of the numerator and denominator. Therefore we may divide each of them by 5. 90003 90002 One often hears that we have «canceled» the 5’s. But that can be very dangerous expression, as the following examples will show. 90003 90015 90016 90017 Example 3. Reduce 90024 90017 90026 5 + 90018 x 90019 90029 90013 5 + 90018 y 90019 90024 90017.90024 90047 90048 90002 90349 Answer. 90350 This can 90018 not 90019 be reduced. We can not «cancel» the 5’s, because 5 is not a factor of either the numerator or the denominator. In both of them, 5 is a term. 90003 90002 We can not cancel terms. 90003 90002 The word 90018 term 90019 does double duty in algebra. We speak of the terms of a sum and also the terms of a fraction, which are the numerator and denominator.A fraction is in its lowest terms when the terms — the numerator and denominator — have no common factors. 90003 90015 90016 90017 Example 4. Reduce 90024 90017 90026 3 90018 a 90019 + 6 90018 b 90019 + 9 90018 c 90019 90029 90013 12 90018 d 90019 90024 90017. 90024 90047 90048 90002 90349 Answer 90350. When the numerator or denominator is made up of a sum, then if 90018 every 90019 term has a common factor, we may divide 90018 every 90019 term by it.90003 90002 In this example, every term in both the numerator and denominator has a factor 3. Therefore, upon dividing every term by 3, we can write immediately: 90003 90015 90016 90017 90026 3 90018 a 90019 + 6 90018 b 90019 + 9 90018 c 90019 90029 90013 12 90018 d 90019 90024 90017 = 90024 90017 90026 90018 a 90019 + 2 90018 b 90019 + 3 90018 c 90019 90029 90013 4 90018 d 90019 90024 90047 90048 90002 There is no more reducing.The numerator and denominator no longer have a common factor. 90003 90002 We could show the common factor explicitly, by writing 90003 90015 90016 90017 90026 3 90018 a 90019 + 6 90018 b 90019 + 9 90018 c 90019 90029 90013 12 90018 d 90019 90024 90017 = 90024 90017 90026 3 (90018 a 90019 + 2 90018 b 90019 + 3 90018 c 90019) 90029 90013 3 90349 · 90350 4 90018 d 90019 90024 90047 90048 90002 But to actually write that is not required.90003 90002 This example illustrates the following: 90003 90002 To divide a sum — 3 90018 a 90019 + 6 90018 b 90019 + 9 90018 c 90019 — by a number, 90013 we must be able to divide 90018 every term 90019 by that number. 90003 90015 90016 90017 Example 5. Reduce 90024 90017 90026 3 90018 a 90019 + 6 90018 b 90019 + 8 90018 c 90019 90029 90013 12 90018 a 90019 90024 90017.90024 90047 90048 90002 90349 Answer 90350. Not possible. The numerator and denominator have no common factor. 3 is not a common factor, because 3 is not a factor of 8. 2 is not a common factor, because 2 is not a factor of 3. And 90018 a 90019 is not a common factor. That fraction is in its lowest terms. 90003 90002 Again, to divide a sum, every term must have a common factor, as in Example 4. 90003 90015 90016 90017 Example 6.Reduce 90024 90017 90026 8 90018 x 90019 90029 90013 8 90018 x 90019 + 10 90024 90017. 90024 90047 90048 90002 90349 Answer 90350. 2 is a factor of every term in both the numerator and denominator. Therefore we may divide every term by 2. 90003 90015 90016 90017 90026 8 90018 x 90019 90029 90013 8 90018 x 90019 + 10 90024 90017 = 90024 90017 90026 4 90018 x 90019 90029 90013 4 90018 x 90019 + 5 90024 90017.90024 90047 90048 90002 There is no more dividing. We can not «cancel» the 4 90018 x 90019 ‘s, because 4 90018 x 90019 is not a factor of the denominator. 4 90018 x 90019 is not a factor of 5. 90003 90002 Problem 6. Reduce to lowest terms. 90003 90015 90016 90017 a) 90024 90017 90026 3 90018 a 90019 90029 90013 3 90018 b 90019 90024 90017 = 90024 90017 90026 90018 a 90019 90029 90013 90018 b 90019 90024 90017 90024 90017 b) 90024 90017 90026 8 90018 xy 90019 90029 90013 12 90018 x 90019 90024 90017 = 90024 90017 90026 2 90018 y 90019 90029 90013 3 90024 90017 90024 90017 c) 90024 90017 90026 56 90018 y 90019 90029 90013 77 90018 xy 90019 90024 90017 = 90024 90017 90026 8 90029 90013 11 90018 x 90019 90024 90047 90048 90015 90016 90017 d) 90024 90017 90026 2 90018 x 90019 + 6 90029 90013 4 90018 x 90019 + 8 90024 90017 = 90024 90017 90026 90018 x 90019 + 3 90029 90013 2 90018 x 90019 + 4 90024 90017, on dividing every term in both the numerator 90013 and denominator by 2.90024 90047 90048 90015 90016 90017 e) 90024 90017 90026 2 90018 x 90019 + 3 90029 90013 4 90018 x 90019 + 9 90024 90017 = 90024 90017 Not possible. The terms of the numerator and denominator have no common factor. 90024 90047 90048 90015 90016 90017 Example 7.Reduce 90024 90017 90026 90018 x 90019 90029 90013 4 90018 x 90019 90024 90017. 90024 90047 90048 90015 90016 90017 90349 Answer 90350. 90024 90017 90026 90018 x 90019 90029 90013 4 90018 x 90019 90024 90017 = 90024 90017 90026 1 90029 90013 4 90024 90017, 90024 90047 90048 90002 on dividing both the numerator and denominator by 90018 x 90019.90003 90002 Note that we must write 1 in the numerator, for 90018 x 90019 = 1 90349 · 90350 90018 x 90019. 90003 90015 90016 90017 Example 8. Reduce 90024 90017 90026 4 90018 x 90019 90029 90013 90018 x 90019 90024 90017. 90024 90047 90048 90015 90016 90017 90349 Answer 90350.90024 90017 90026 4 90018 x 90019 90029 90013 90018 x 90019 90024 90017 = 90024 90017 4. 90024 90047 90048 90002 It is not the style in algebra to write 1 as a denominator. 90003 90015 90016 90017 Example 9. Reduce 90024 90017 90026 90018 x 90019 — 3 90029 90013 6 (90018 x 90019 — 3) 90024 90017.90024 90047 90048 90015 90016 90017 90349 Answer 90350. 90024 90017 90026 90018 x 90019 — 3 90029 90013 6 (90018 x 90019 — 3) 90024 90017 = 90024 90017 90026 1 90029 90013 6 90024 90017. 90024 90047 90048 90002 We can view 90018 x 90019 — 3 as a 90018 factor 90019 of the numerator, because 90003 90002 90018 x 90019 — 3 = (90018 x 90019 — 3) 90349 · 90350 1 90003 90002 Again, we must write 1 in the numerator.90003 90002 Problem 7. Reduce. 90003 90015 90016 90017 a) 90024 90017 90026 2 90018 a 90019 90029 90013 90018 a 90019 90024 90017 = 90024 90017 2 90024 90017 90024 90017 b) 90024 90017 90026 90018 a 90019 90029 90013 90018 ab 90019 90024 90017 = 90024 90017 90026 1 90029 90013 90018 b 90019 90024 90017 90024 90017 c) 90024 90017 90026 2 90018 x 90019 90029 90013 8 90018 xy 90019 90024 90017 = 90024 90017 90026 1 90029 90013 4 90018 y 90019 90024 90047 90048 90015 90016 90017 d) 90024 90017 90026 5 (90018 x 90019 — 2) 90029 90013 90018 x 90019 — 2 90024 90017 = 90024 90017 5 90024 90017 90024 90017 e) 90024 90017 90026 90018 x 90019 + 1 90029 90013 2 (90018 x 90019 + 1) 90024 90017 = 90024 90017 90026 1 90029 90013 2 90024 90017 90024 90017 f) 90024 90017 90026 3 (90018 x 90019 + 2) 90018 x 90019 90029 90013 6 (90018 x 90019 + 2) 90018 xy 90019 90024 90017 = 90024 90017 90026 1 90029 90013 2 90018 y 90019 90024 90047 90048 90015 90016 90017 Example 10.Reduce 90024 90017 90026 15 90018 x 90019 90029 90013 5 90018 x 90019 — 3 90024 90017. 90024 90047 90048 90002 90349 Answer 90350. Not possible. The numerator and denominator have no common factor. 90003 90015 90016 90017 Example 11. Reduce 90024 90017 90026 90018 x 90019 90076 2 90077 — 90018 x 90019 — 6 90029 90013 90018 x 90019 90076 2 90077 — 4 90018 x 90019 + 3 90024 90017.90024 90047 90048 90002 90349 Answer 90350. In its present form, there is no reducing — because there are no factors. But we can 90018 make 90019 factors: 90003 90015 90016 90017 90026 90018 x 90019 90076 2 90077 — 90018 x 90019 — 6 90029 90013 90018 x 90019 90076 2 90077 — 4 90018 x 90019 + 3 90024 90017 = 90024 90017 90026 (90018 x 90019 — 3) (90018 x 90019 + 2) 90029 90013 (90018 x 90019 — 3) (90018 x 90019 — 1) 90024 90017 = 90024 90017 90026 90018 x 90019 + 2 90029 90013 90018 x 90019 — 1 90024 90047 90048 90002 (90018 x 90019 -3) is now seen to be a common factor.We can divide by it. And when we do, the numerator and denominator no longer have a common factor. The end. 90003 90015 90016 90017 Example 12. Reduce: 90024 90017 90026 4 90018 x 90019 ³ — 9 90018 x 90019 90076 2 90077 90029 90013 4 90018 x 90019 ³ + 6 90018 x 90019 90076 2 90077 90024 90017. 90024 90047 90048 90002 90349 Answer 90350. The only common factor is 90018 x 90019 90076 2 90077.And we could display it by factoring both the numerator and denominator: 90003 90015 90016 90017 90026 4 90018 x 90019 ³ — 9 90018 x 90019 90076 2 90077 90029 90013 4 90018 x 90019 ³ + 6 90018 x 90019 90076 2 90077 90024 90017 = 90024 90017 90026 90018 x 90019 90076 2 90077 (4 90018 x 90019 — 9) 90029 90013 2 90018 x 90019 90076 2 90077 (2 90018 x 90019 + 3) 90024 90017 = 90024 90017 90026 4 90018 x 90019 — 9 90029 90013 2 (2 90018 x 90019 + 3) 90024 90047 90048 90002 The fraction is now in its lowest terms.No common factors. 90003 90002 Problem 8. Reduce. 90003 90015 90016 90017 a) 90024 90017 90026 5 90018 x 90019 90029 90013 10 90018 x 90019 + 15 90024 90017 = 90024 90017 90026 5 90018 x 90019 90029 90013 5 (2 90018 x 90019 + 3) 90024 90017 = 90024 90017 90026 90018 x 90019 90029 90013 2 90018 x 90019 + 3 90024 90047 90048 90015 90016 90017 b) 90024 90017 90026 3 90018 x 90019 — 12 90029 90013 3 90018 x 90019 90024 90017 = 90024 90017 90026 3 (90018 x 90019 — 4) 90029 90013 3 90018 x 90019 90024 90017 = 90024 90017 90026 90018 x 90019 — 4 90029 90013 90018 x 90019 90024 90047 90048 90015 90016 90017 c) 90024 90017 90026 12 90018 x 90019 — 18 90018 y 90019 + 21 90018 z 90019 90029 90013 6 90018 y 90019 90024 90017 = 90024 90017 90026 4 90018 x 90019 — 6 90018 y 90019 + 7 90018 z 90019 90029 90013 2 90018 y 90019 90024 90017, 90024 90047 90048 90002 upon dividing every term by their common factor, 3.90003 90015 90016 90017 d) 90024 90017 90026 2 90018 m 90019 90029 90013 90018 m 90019 90076 2 90077 — 2 90018 m 90019 90024 90017 = 90024 90017 90026 2 90018 m 90019 90029 90013 90018 m 90019 (90018 m 90019 — 2) 90024 90017 = 90024 90017 90026 2 90029 90013 90018 m 90019 — 2 90024 90047 90048 90015 90016 90017 e) 90024 90017 90026 90018 x 90019 90076 2 90077 — 90018 x 90019 90029 90013 90018 x 90019 90024 90017 = 90024 90017 90026 90018 x 90019 (90018 x 90019 — 1) 90029 90013 90018 x 90019 90024 90017 = 90024 90017 90018 x 90019 — 1 90024 90047 90048 90015 90016 90017 f) 90024 90017 90026 12 90018 x 90019 90076 2 90077 90029 90013 16 90018 x 90019 90076 5 90077 — 20 90018 x 90019 90076 2 90077 90024 90017 = 90024 90017 90026 12 90018 x 90019 90076 2 90077 90029 90013 4 90018 x 90019 90076 2 90077 (4 90018 x 90019 90076 3 90077 — 5) 90024 90017 = 90024 90017 90026 3 90029 90013 4 90018 x 90019 90076 3 90077 — 5 90024 90047 90048 90015 90016 90017 g) 90024 90017 90026 90018 x 90019 + 3 90029 90013 4 90018 x 90019 + 12 90024 90017 = 90024 90017 90026 90018 x 90019 + 3 90029 90013 4 (90018 x 90019 + 3) 90024 90017 = 90024 90017 90026 1 90029 90013 4 90024 90047 90048 90015 90016 90017 h) 90024 90017 90026 2 90018 x 90019 — 8 90029 90013 90018 x 90019 — 4 90024 90017 = 90024 90017 90026 2 (90018 x 90019 — 4) 90029 90013 90018 x 90019 — 4 90024 90017 = 90024 90017 2 90024 90047 90048 90015 90016 90017 i) 90024 90017 90026 2 90018 x 90019 — 2 90018 y 90019 90029 90013 3 90018 x 90019 — 3 90018 y 90019 90024 90017 90024 90017 = 90024 90017 90026 2 (90018 x 90019 — 90018 y 90019) 90029 90013 3 (90018 x 90019 — 90018 y 90019) 90024 90017 = 90024 90017 90026 2 90029 90013 3 90024 90047 90048 90002 Problem 9.Make factors, and reduce. 90003 90015 90016 90017 a) 90024 90017 90026 90018 x 90019 90076 2 90077 — 2 90018 x 90019 — 3 90029 90013 90018 x 90019 90076 2 90077 — 90018 x 90019 — 2 90024 90017 = 90024 90017 90026 (90018 x 90019 + 1) (90018 x 90019 — 3) 90029 90013 (90018 x 90019 + 1) (90018 x 90019 — 2) 90024 90017 = 90024 90017 90026 90018 x 90019 — 3 90029 90013 90018 x 90019 — 2 90024 90047 90048 90015 90016 90017 b) 90024 90017 90026 90018 x 90019 90076 2 90077 + 90018 x 90019 — 2 90029 90013 90018 x 90019 90076 2 90077 — 90018 x 90019 — 6 90024 90017 = 90024 90017 90026 (90018 x 90019 + 2) (90018 x 90019 — 1) 90029 90013 (90018 x 90019 + 2) (90018 x 90019 — 3) 90024 90017 = 90024 90017 90026 90018 x 90019 — 1 90029 90013 90018 x 90019 — 3 90024 90047 90048 90015 90016 90017 c) 90024 90017 90026 90018 x 90019 90076 2 90077 — 2 90018 x 90019 + 1 90029 90013 90018 x 90019 90076 2 90077 — 1 90024 90017 = 90024 90017 90026 (90018 x 90019 — 1) 90076 2 90077 90029 90013 (90018 x 90019 + 1) (90018 x 90019 — 1) 90024 90017 = 90024 90017 90026 90018 x 90019 — 1 90029 90013 90018 x 90019 + 1 90024 90047 90048 90015 90016 90017 d) 90024 90017 90026 90018 x 90019 90076 2 90077 — 100 90029 90013 90018 x 90019 + 10 90024 90017 = 90024 90017 90026 (90018 x 90019 + 10) (90018 x 90019 — 10) 90029 90013 90018 x 90019 + 10 90024 90017 = 90024 90017 90018 x 90019 — 10 90024 90047 90048 90015 90016 90017 e) 90024 90017 90026 90018 x 90019 + 3 90029 90013 90018 x 90019 90076 2 90077 + 6 90018 x 90019 + 9 90024 90017 = 90024 90017 90026 90018 x 90019 + 3 90029 90013 (90018 x 90019 + 3) 90076 2 90077 90024 90017 = 90024 90017 90026 1 90029 90013 90018 x 90019 + 3 90024 90047 90048 90015 90016 90017 f) 90024 90017 90026 90018 x 90019 ³ + 4 90018 x 90019 90076 2 90077 _ 90029 90013 90018 x 90019 90076 2 90077 + 90018 x 90019 — 12 90024 90017 = 90024 90017 90026 90018 x 90019 90076 2 90077 (90018 x 90019 + 4) 90029 90013 (90018 x 90019 — 3) (90018 x 90019 + 4) 90024 90017 = 90024 90017 90026 90018 x 90019 90076 2 90077 90029 90013 90018 x 90019 — 3 90024 90047 90048 90002 Problem 10.Reduce to lowest terms — if possible. 90003 90015 90016 90017 a) 90024 90017 90026 3 + 90018 x 90019 90029 90013 3 90018 x 90019 90024 90017 90024 90017 Not possible. The numerator and denominator have no common factors. 90024 90047 90048 90015 90016 90017 b) 90024 90017 90026 8 90018 a 90019 + 90018 b 90019 90029 90013 2 90018 ab 90019 90024 90017 90024 90017 Not possible.Again, no common factors. 90024 90047 90048 90015 90016 90017 c) 90024 90017 90026 8 90018 a 90019 + 2 90018 b 90019 90029 90013 2 90018 ab 90019 90024 90017 = 90024 90017 90026 2 (4 90018 a 90019 + 90018 b) 90019 90029 90013 2 90018 ab 90019 90024 90017 = 90024 90017 90026 4 90018 a 90019 + 90018 b 90019 90029 90013 90018 ab 90019 90024 90047 90048 90015 90016 90017 d) 90024 90017 90026 6 90018 a 90019 + 90018 b 90019 90029 90013 3 90018 a 90019 + 90018 b 90019 90024 90017 90024 90017 Not possible.The numerator and denominator have no common factors. 3 is not a factor of either the numerator or denominator. It is a factor only of the first term in each. 90024 90047 90048 90015 90016 90017 e) 90024 90017 90026 6 (90018 a 90019 + 90018 b 90019) 90029 90013 3 (90018 a 90019 + 90018 b 90019) 90024 90017 = 90024 90017 2 90024 90047 90048 90015 90016 90017 f) 90024 90017 90026 2 90018 x 90019 + 4 90018 y 90019 + 6 90018 z 90019 90029 90013 10 90024 90017 = 90024 90017 90026 90018 x 90019 + 2 90018 y 90019 + 3 90018 z 90019 90029 90013 5 90024 90017 Divide every term by 2.90024 90047 90048 90015 90016 90017 g) 90024 90017 90026 2 90018 x 90019 + 4 90018 y 90019 + 5 90018 z 90019 90029 90013 10 90024 90017 90024 90017 Not possible. The numerator and denominator have no common factor. 90024 90047 90048 90015 90016 90017 h) 90024 90017 90026 (90018 x 90019 + 1) + (90018 x 90019 + 2) 90029 90013 (90018 x 90019 + 1) (90018 x 90019 + 3) 90024 90017 90024 90017 Not possible.The numerator is not made up of factors. 90024 90047 90048 90015 90016 90017 i) 90024 90017 90026 (90018 x 90019 + 1) (90018 x 90019 + 2) 90029 90013 (90018 x 90019 + 1) (90018 x 90019 + 3) 90024 90017 = 90024 90017 90026 90018 x 90019 + 2 90029 90013 90018 x 90019 + 3 90024 90047 90048 90015 90016 90017 j) 90024 90017 90026 90018 ab 90019 + 90018 c 90019 90029 90013 90018 abc 90019 90024 90017 = 90024 90017 90024 90017 Not possible.The numerator and denominator have no common factors. 90024 90047 90048 90015 90016 90017 k) 90024 90017 90026 90018 ab 90019 + 90018 ac 90019 90029 90013 90018 abc 90019 90024 90017 = 90024 90017 90026 90018 a 90019 (90018 b 90019 + 90018 c 90019) 90029 90013 90018 abc 90019 90024 90017 = 90024 90017 90026 90018 b 90019 + 90018 c 90019 90029 90013 90018 bc 90019 90024 90047 90048 90015 90016 90017 l) 90024 90017 90026 90018 x 90019 90076 2 90077 — 90018 x 90019 — 12 90029 90013 90018 x 90019 90076 2 90077 + 90018 x 90019 — 6 90024 90017 = 90024 90017 90026 (90018 x 90019 + 3) (90018 x 90019 — 4) 90029 90013 (90018 x 90019 + 3) (90018 x 90019 — 2) 90024 90017 = 90024 90017 90026 90018 x 90019 — 4 90029 90013 90018 x 90019 — 2 90024 90047 90048 90002 2nd Level 90003 90002 Next Lesson: Negative exponents 90003 90002 Table of Contents | Home 90003 92372 90002 Please make a donation to keep TheMathPage online.90013 Even $ 1 will help. 90003 92376 90002 Copyright © 2020 Lawrence Spector 90003 90002 Questions or comments? 90003 90002 E-mail: [email protected] 90003 90013 .90000 Find Algebraic Equations, Given Their Solution at MROB 90001 90002 Quick Links 90003 Recent Changes 90003 RIES Source Code (build instructions in header comment), MSAL (optional Maths functions Stand-alone Library), Windows Wrapper (with instructions); and License: RIES License (GPL v3). 90003 RIES profiles (settings files): Latin, Mathematica 90003 Manual: PDF, PostScript, Plain ASCII, Source (nroff), and License: FDL 1.3 90007 90008 RIES was featured on xkcd on Wed 2012.0425 … 90007 90008 … which is ((90011 7 90012 √π + 1/2 × π) 90011 2 90012 × π) 90011 2 90012 90007 90008 To use RIES, you must download the source code (links above) and compile it on your own computer. 90007 90002 Contents 90003 Overview 90003 RIES Profiles 90003 Benchmarks 90003 Searching for Solutions of a Restricted Class 90003 RIES Background and Philosophy 90003 Motivation and History 90003 Algorithm 90003 An Exact Answer is Unlikely 90003 Optimising the Bidirectional Search 90003 Source Code 90003 Approximating Multiple Unknowns 90003 Detailed Examples of Restricted-Class Searches 90003 Searching for Integer Solutions 90003 Searching for Rational Solutions 90003 Searching for «Constructible» Solutions 90003 Searching for Algebraic Solutions 90003 Variations of the -a Option 90003 Chow’s «Closed-Form» or «Exponential-Logarithmic» Numbers 90003 Liouvillian Numbers 90003 Elementary Numbers 90003 Nerdy Math Tricks 90003 «Classical» Approximations 90003 Mystical Pre-Destiny 90003 Four Fours 90003 Secret Code 90003 Area 51 90003 A Visit by Dr.Matrix 90003 Semiserious Math Tricks 90003 Formal Hypothesis 90003 Wild Guessing 90003 Successive Refinement 90003 Forgotten Identities 90003 The Broken Calculator 90003 Enlightened Discovery 90003 Debugging 90003 Kolmogorov Complexity 90003 Some Examples for Pi Day 2013 90003 Some Examples for Pi Day 2015 90003 Details and Surprises 90003 A Detailed Example of the RIES Algorithm 90003 Effects of Changing the Symbol Set 90003 Links 90003 See Also 90007 90065 90066 Overview 90067 90002 ries (or RIES, an acronym for RILYBOT Inverse Equation Solver) takes any number and produces a list of equations that approximately solve to that number, like the following example: 90007 bash # ries 2.(E-2) for x = T — 2.25977e-09 {118} x sqrt (phi x) = 2 (pi-1 / phi) for x = T — 1.71971e-09 {126} (For more results, use the option ‘-l3’) e = base of natural logarithms, 2.71828 … cospi (X) = cos (pi * x) ln (x) = natural logarithm or log base e tanpi (X) = tan (pi * x) phi = the golden ratio, (1 + sqrt (5)) / 2 sqrt (x) = square root A «/ B = Ath root of B pi = 3.14159 … —LHS— —RHS— -Total- max complexity: 67 61 128 dead-ends: 2848836 4250702 7099538 CPU time: 0.296 expressions: 228357 318227 546584 distinct: 111700 89860 201560 Memory: 12608KiB Total equations tested: 10037362000 (1.004e + 10) 90002 Notice the answers are ordered by increasing closeness to the given number. It should also be apparent that the simplest equations tend to come first and the more complex ones later on. ries follows the example of continued fractions — as you go to longer equations, you get a closer approximaion to your number, and each approximation is the closest approximation that is available with an equation of that «complexity».90007 90002 ries is highly customisable. You can have it omit functions and symbols (like the sine and cosine functions, or the symbol for phi, the Golden Ratio) if you do not want it to use them in solutions. You can give it an integer and specify that it limit its search to calculations that come out to be exact integers, and it will figure out the shortest way to construct your number from the digits 1 through 9. If you want easily inverted solutions you can specify that there be only one x on the left-hand side, omitting things like «x-sin (x)».ries can find the simplest way to (for example) express the value 27 using only the digit 4 and the four basic operators plus, minus, times and divide. 90007 90074 ries Profiles 90075 90002 It is common to want to use several ries options together, and to use the same options in many different commands. To facilitate this, ries supports the use of «profiles» specified by the -p option. A profile is a text file containing one or more ries command-line options, with whatever spacing you desire and optional comments delimited by the ‘#’ character.Here is an example: 90007 # Old.ries Profile for all the old RIES behaviour —trig-argument-scale 1 # Radians -NT # old RIES had no tangent function -l1 # The default searchlevel was -l1 —significance-loss-margin 15 # There were no sig-loss checks 90002 If this file is in the current directory, adding the option -pold.ries (or —include old.ries) will give nearly the same results as a pre-2012 version of ries. 90007 90002 Note that you can override options in a profile: the command ries 1.2345 -pold.ries -l2 overrides the -l1 option in old.ries by giving the option -l2. 90007 90074 Searching for Solutions of a Restricted Class 90075 90002 ries makes it easy to limit your search to certain well-defined types of numbers, expressions, and equations. Two popular examples are rational numbers and algebraic numbers. This table summarises the options; at the top of each column is a link to a section with details on how ries handles that specific type of number; a Y indicates that numbers in this row are found by ries using the option at the top of the column: 90007 90086 90087 90088 90089 90090 90087 90089 ries option 90093 90089 -i 90093 90089 -r 90093 90089 -c 90093 90089 -a 90093 90089 -Ox 90093 90089 -l 90093 90089 — 90093 90089 n / a 90093 90110 90087 90089 type of number 90093 90089 integral 90093 90089 rational 90093 90089 constructible 90093 90089 algebraic 90093 90089 Chow’s 90003 «closed-form» 90093 90089 Liouville 90093 90089 elementary 90093 90089 real 90093 90110 90087 90089 target 90093 90110 90087 90089 integer, e.g. 90003 1729 90093 90089 Y 90093 90089 Y 90093 90089 Y 90093 90089 Y 90093 90089 Y 90093 90089 Y 90093 90089 Y 90093 90089 — 90093 90110 90087 90089 rational, e.g. 90003 7/27 ≈ 0.259259 … 90093 90089 — 90093 90089 Y 90093 90089 Y 90093 90089 Y 90093 90089 Y 90093 90089 Y 90093 90089 Y 90093 90089 — 90093 90110 90087 90089 closed-form quadratic, e.g. 90003 √ (2 + √3) ≈ 1.93185165257814 90093 90089 — 90093 90089 — 90093 90089 Y 90093 90089 Y 90093 90089 Y 90093 90089 Y 90093 90089 Y 90093 90089 — 90093 90110 90087 90089 closed-form algebraic, e.g. 90003 (2 + √3) 90011 (1/3) 90012 ≈ 1.55113351807125 90003 root of x 90011 3 90012 + x-3 = 0 ≈ 1.21341166276223 90003 root of x 90011 4 90012 + x-3 = 0 ≈ 1.16403514028977 90003 90093 90089 — 90093 90089 — 90093 90089 — 90093 90089 Y 90093 90089 Y 90093 90089 Y 90093 90089 Y 90093 90089 — 90093 90110 90087 90089 implicit algebraic, e.g. 90003 root of x 90011 5 90012 -x + 1 = 0 ≈ -1.16730397826142 90093 90089 — 90093 90089 — 90093 90089 — 90093 90089 Y 90093 90089 — 90093 90089 Y 90093 90089 Y 90093 90089 — 90093 90110 90087 90089 closed-form algebraic, exponent and / or logarithm, e.g. 90003 √2 90011 √2 90012 ≈ 1.63252691943815 90003 e 90011 2 90011 (1 / Φ) 90012 90012 ≈ 4.64031500910231 90093 90089 — 90093 90089 — 90093 90089 — 90093 90089 — 90093 90089 Y 90093 90089 Y 90093 90089 Y 90093 90089 — 90093 90110 90087 90089 implicitly-defined algebraic, exponential, and / or logarithm, e.g. 90003 root of x 90011 x 90012 -7 = 0 ≈ 2.31645495878561 90003 root of x + e 90011 x 90012 = 0 ≈ -0.567143290409784 90003 root of x-cos (πx) = 1 ≈ 0.623032990606725 90093 90089 — 90093 90089 — 90093 90089 — 90093 90089 — 90093 90089 — 90093 90089 — 90093 90089 Y 90093 90089 — 90093 90110 90087 90089 transcendental, e.g. 90003 Gamma [1/3] ≈ 2.67893853470774 90093 90089 — 90093 90089 — 90093 90089 — 90093 90089 — 90093 90089 — 90093 90089 — 90093 90089 — 90093 90089 — 90093 90110 90328 90093 90110 90328 90002 For more on how to use ries for each of these types of problems, select the links: integral, rational, constructible, algebraic, Chow’s 90003 «closed-form», Liouville, and elementary.90007 90002 90007 90008. . . Forward to page 2. . . Last page (page 6) 90007 90003 90065 Contents: ries overview Benchmarks History Nerdy Math Tricks Semiserious Math Tricks Links and miscellaneous 90065 90003 This page was written in the «embarrassingly readable» markup language RHTF, and some sections were last updated on 2020 Mar 26. 90343 s.11 90003.
No related posts.