Уравнение с тремя неизвестными | Математика
62. Одно уравнение с тремя неизвестными. Пусть имеем уравнение
3x + 4y – 2z = 11.
На это уравнение можно смотреть, как на запись задачи: найти числовые значения для x, y и z, чтобы трехчлен 3x + 4y – 2z оказался равен числу 11. Таким образом это уравнение является уравнением с тремя неизвестными. Так как мы можем решить одно уравнение с одним неизвестным, то уже с первого взгляда возникает мысль, что 2 неизвестных здесь являются как бы лишними, и им можно давать произвольные значения. И действительно, если, например, взять для y число 3 и для z число 5, то получим уравнение с одним неизвестным:
3x + 12 – 10 = 11,
откуда
3x = 9 и x = 3.
Возьмем другие числа для y и z. Например, пусть
y = –1 и z = 0.
Тогда получим уравнение:
3x – 4 = 11,
откуда
3x = 15 и x = 5.
Продолжая эту работу дальше, мы придем к заключению:
Одно уравнение с тремя неизвестными имеет бесконечно много решений, и для получения их надо двум неизвестным давать произвольные значения.
Результаты этой работы можно записать в таблице (мы, кроме двух уже найденных решений, записали в ней еще одно, которое получится, если положить y = –1 и z = –2):
Так как для y и для z мы берем произвольные значения, то они являются независимыми переменными, а x является зависимым (от них) переменным. Другими словами: x является функциею от y и z.
Чтобы удобнее получать решения этого уравнения, можно определить из него x через y и z. Получим:
3x + 4y – 2z = 11; 3x = 11 – 4y + 2z;
x = (11 – 4y + 2z) / 3.
Дадим, напр., значения: y = 5 и z = 1; получим: x = (11 – 20 + 2) / 3 = –2(1/3) и т. д.
Возьмем еще уравнение
3x – 5y – 2z = 7.
Примем x и y за независимые переменные, а z — за зависимое и определим z через x и y
–2z = 7 – 3x + 5y; 2z = 3x – 5y – 7; z = (3x – 5y – 7) / 2
Теперь легко составить таблицу решений:
maths-public.ru
Случаи систем уравнений с тремя неизвестными
67. Особенные случаи систем уравнений с тремя неизвестными. Возьмем следующую систему уравнений:
3x + 4y + 5z = 17
2x + 3y + 4z = 15
5x + 7y + 9z = 32
Наблюдательный человек здесь может подметить, что третье уравнение вовсе не является новым, а является следствием двух первых: каждый член 3-го уравнения получается от сложения соответствующих членов 1-го и 2-го уравнения (5x = 3x + 2x, 7y = 4y + 3y; 9z = 5z + 4z; 32 = 17 + 15), и само собою понятно, что если
3x + 4y + 5z должно равняться 17,
2x + 3y + 4z должно равняться 15,
то (3x + 4y + 5z) + (2x + 3y + 4z) должно равняться 32.
Поэтому мы здесь имеем, в сущности, только 2 уравнения с 3 неизвестными, и они имеют бесконечно много решений.
Можно составлять такие системы и более сложным путем. Возьмем два уравнения:
x – 2y + 3z = 7
2x + y – z = 5
Умножим каждое из них на какое-либо число и сложим (или вычтем) по частям полученные уравнения. Умножим обе части 1-го уравнения, например, на 3 и обе части второго на (–2) и полученные уравнения сложим. Тогда получим уравнения:
–x – 8y + 11z = 11.
Это уравнение является следствием двух первых и поэтому все три уравнения, взятые вместе, должны иметь бесконечно много решений.
Попробуем решать эти уравнения: 1) из 1-го и 3-го сложением по частям исключим x; 2) из 2-го и 3-го, умножив предварительно третье на 2, также исключим x:
Если теперь разделить обе части 1-го из полученных уравнений на 2 и обе части 2-го на 3, то получим одно и то же уравнение, а именно:
–5y + 7z = 9.
Это обстоятельство и является признаком того, что наша система имеет бесконечно много решений.
Если мы изберем такой план: 1) из 1-го и, напр., 3-го уравнений определим x и y через z; 2) подставим полученные выражения в 3-е уравнение, то должны получить само собою очевидное равенство, вроде 0 = 0 или 7 = 7 или 15 = 15 или –11 = –11 и т. п.
В самом деле:
то после предыдущего становится ясным, что эти 3 уравнения совместно решить нельзя. В самом деле, ведь левая часть 3-го уравнения получается от сложения левых частей 1-го и 2-го уравнений, а в таком случае эта сумма должна равняться 17 + 15 или 32, но не может равняться 33.
Также точно можно, взяв 2 уравнения произвольно, составить третье, несовместимое с ними, умножением каждого из взятых двух уравнений на какое-нибудь число и сложением (или вычитанием) полученных уравнений, причем известный член должно как-либо изменить. Например, если первое из взятых уравнений умножим на 2 (получим: 6x + 8y + 10z = 34), второе на 3 (получим: 6x + 9y + 12z = 45), сложим полученные уравнения по частям, но вторую часть как-либо изменим (напр., вместо получающейся суммы 79 возьмем 100), то полученное уравнение
12x + 17y + 22z = 100
не совместимо с первыми двумя.
Если кто-либо стал бы решать систему несовместимых уравнений, то пришел к результату явно нелепому, например:
0 = 5 или 7 = 11 или –5 = +5 и т. п.
maths-public.ru
Уравнение с тремя неизвестными
1. Одно уравнение с тремя неизвестными.
Рассмотрим, например, такое уравнение с тремя неизвестными:
15x + 10y + 8z = 164. (1)
Можно показать, что уравнение (1) имеет бесконечное множество решений. Действительно, взяв для x и y какие-либо произвольные числа, например x = 2, y = 5, и подставив эти значения в уравнение, получим:
15 * 2 + 10 * 5 + 8z = 164,
или
80 + 8z = 164.
Откуда найдем:
Дав другие произвольные значения x и y, получим другое значение для z и т. д.
Итак, одно уравнение с тремя неизвестными имеет (в общем случае) бесконечное множество решений.
2. Система двух уравнений с тремя неизвестными.
Теперь рассмотрим систему двух уравнений с тремя неизвестными.
Присоединим к уравнению (1), например, следующее уравнение:
x + y + z = 16. (2)
Итак, имеем систему двух уравнений с тремя неизвестными. Покажем, что и эта система имеет бесконечное множество решений. Убедимся подстановкой, что системе удовлетворяют, например, следующие тройки чисел:
1) x = 2, y = 11, z = 3; 2) x = 4, y = 4, z = 8.
Дадим теперь одному из неизвестных, хотя бы x, какое-либо произвольное значение, например . Подставив это значение в уравнения (1) и (2), получим:
Решив эту систему, найдем:
Итак, система имеет еще решения:
Взяв за x другое значение, получим новую систему с двумя неизвестными, из которой найдем y и z, и т. д.
Значит, вообще говоря, система двух уравнений с тремя неизвестными тоже имеет бесконечное множество решений.
Однако можно привести пример системы, не имеющей ни одного решения, например:
Какие бы значения ни имели x, y и z, выражение x – y + 2z не может одновременно быть равно 5 и 7.
mthm.ru
Решение уравнений с тремя неизвестными онлайн калькулятор
Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Уравнения с тремя неизвестными частое явление в математике. Способов решений данного рода уравнений довольно много и в большинстве случаев львиная их часть дополняется еще 2 уравнениями/условиями. Выбор способа решения напрямую зависит от конкретного уравнения.
Если в вашей системе имеются только 2 неизвестные из 3, то, скорее всего удобным решением данной системы будет выражение одних переменных через другие с их подстановкой в уравнение с 3 неизвестными. Все это делается для того, чтобы преобразовать его в обычное уравнение только с 1 неизвестной, решение которого даст число, которое можно будет подставить на место неизвестного и получить конечный результат по всем остальным неизвестным.
Так же читайте нашу статью «Решить уравнения с 4 неизвестными онлайн решателем»
Существуют системы уравнений, решаемых вычитанием из одного уравнения другого. Это возможно в том случае, если есть возможность умножения одного из выражений на переменную/значение, позволяющее при вычитании сократить несколько неизвестных. Однако стоит помнить, что при умножении и вычитании на число нужно выполнять действия с обеими частями выражения.
Где решить уравнение с 3 неизвестными онлайн?
Решить уравнение с тремя неизвестным онлайн решателем вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
www.pocketteacher.ru
Уравнения с четырьмя и более неизвестными
68. Уравнения с четырьмя и более неизвестными. Теперь ясны следующие соображения: одно уравнение с четырьмя неизвестными имеет бесконечно много решений, причем можно давать произвольные значения трем неизвестным, два уравнения с 4 неизвестными имеют бесконечно много решений, причем произвольные значения можно давать двум неизвестным, три уравнения с 4 неизвестными имеют бесконечно много решений, причем произвольные значения можно давать одному неизвестному, четыре уравнения с 4 неизвестными имеют лишь одно решение (конечно, если ни одно из этих уравнений не есть следствие остальных и не противоречит остальным).
Такие соображения можно продолжить и дальше. Например, 5 уравнений с 8-ю неизвестными имеют бесконечно много решений, причем произвольные значения можно давать трем неизвестным и т. п.
Решать системы уравнений с большим числом неизвестных приходится редко. Следует при этом решении пользоваться по возможности всеми особенностями уравнений, чтобы упростить решение.
Рассмотрим 2 примера. Пример 1:
x + y + 2z – t = 9
x + y – 2z + t = 7
x – y + z + 2t = –9
x – y – z – 2t = 5
Сложив 1-е и 2-е уравнения по частям, мы получим очень простое уравнение только с двумя неизвестными, а именно
2x + 2y = 16 или x + y = 8.
Сложив по частям 3-е и 4-е уравнения, получим:
2x – 2y = –4 или x – y = –2.
Теперь легко решить 2 полученных уравнения (x + y = 8 и x – y = –2), и тогда найдем x = 3 и y = 5.
Подставляя эти значения в 1-е и в 3-е уравнения, получим:
3 + 5 + 2z – t = 9 или 2z – t = 1
3 – 5 + z + 2t = –9 или z + 2t = –7
Подстановка этих значений во 2-е и 4-е уравнения приведет к таким же точно уравнениям.
Теперь остается решить 2 уравнения с 2 неизвестными:
maths-public.ru
Как решить уравнение с тремя неизвестными
Само по себе уравнение с тремя неизвестными имеет множество решений, поэтому чаще всего оно дополняется еще двумя уравнениями или условиями. В зависимости от того, каковы исходные данные, во многом будет зависеть ход решения.Вам понадобится
- — система из трех уравнений с тремя неизвестными.
Инструкция
- Если два из трех уравнений системы имеют лишь две неизвестные из трех, попытайтесь выразить одни переменные через другие и подставить их в уравнение с тремя неизвестными. Ваша цель при этом – превратить его в обычное уравнение с одной неизвестной. Если это удалось, дальнейшее решение довольно просто – подставьте найденное значение в другие уравнения и найдите все остальные неизвестные.
- Некоторые системы уравнений можно решить вычитанием из одного уравнения другого. Посмотрите, нет ли возможности умножить одно из выражений на число или переменную так, чтобы при вычитании сократились сразу две неизвестные. Если такая возможность есть, воспользуйтесь ею, скорее всего, последующее решение не составит труда. Не забывайте, что при умножении на число необходимо умножать как левую часть, так и правую. Точно также, при вычитании уравнений необходимо помнить о том, что правая часть должна также вычитаться.
- Если предыдущие способы не помогли, воспользуйтесь общим способом решений любых уравнений с тремя неизвестными. Для этого перепишите уравнения в виде а11х1+a12х2+а13х3=b1, а21х1+а22х2+а23х3=b2, а31х1+а32х2+а33х3=b3. Теперь составьте матрицу коэффициентов при х (А), матрицу неизвестных (Х) и матрицу свободных членов (В). Обратите внимание, умножая матрицу коэффициентов на матрицу неизвестных, вы получите матрицу, равную матрице свободных членов, то есть А*Х=В.
- Найдите матрицу А в степени (-1) предварительно отыскав определитель матрицы, обратите внимание, он не должен быть равен нулю. После этого умножьте полученную матрицу на матрицу В, в результате вы получите искомую матрицу Х, с указанием всех значений.
- Найти решение системы из трех уравнений можно также с помощью метода Крамера. Для этого найдите определитель третьего порядка ∆, соответствующий матрице системы. Затем последовательно найдите еще три определителя ∆1, ∆2 и ∆3, подставляя вместо значений соответствующих столбцов значения свободных членов. Теперь найдите х: х1=∆1/∆, х2=∆2/∆, х3=∆3/∆.
completerepair.ru
Решение линейной системы уравнений с тремя неизвестными
Задача 1
Решить систему линейных уравнений двумя способами: по формулам Крамера и методом Гаусса
Решение:
1) решим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Ах = В методом Крамера
Определитель системы D не равен нулю. Найдем вспомогательные определители D1 , D2 , D3 , если они не равны нулю, то решений нет, если равны, то решений бесконечное множество
Система 3 линейных уравнений с 3 неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда совместна и имеет единственное решение, вычисляемое по формулам:
Ответ: получили решение:
2) решим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Ах = В методом Гаусса
Составим расширенную матрицу системы
Примем первую строку за направляющую, а элемент а11 = 1 – за направляющий. С помощью направляющей строки получим нули в первом столбце.
Матрице соответствует множество решений системы линейных уравнений
Ответ: получили решение:
Задача 2
Даны координаты вершин треугольника АВС
Найти:
1) длину стороны АВ;
2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;
3) внутренний угол при вершине В в радианах с точностью до 0,01
4) уравнение медианы АЕ;
5) уравнение и длину высоты CD;
6) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ и точку М ее пересечения с высотой CD;
7) уравнение окружности с центром в точке Е, проходящей через вершину В
Построить заданный треугольник и все линии в системе координат.
А(1; -1), В(4; 3). С(5; 1).
Решение
1) Расстояние между точками А(х1 ; у1 ) и В(х2 ; у2 ) определяется по формуле
воспользовавшись которой находим длину стороны АВ;
2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости А(х1 ; у1 ) и В(х2 ; у2 ) имеет вид
Подставляя в (2) координаты точек А и В, получаем уравнение стороны АВ:
Угловой коэффициент kАВ прямой АВ найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом у = kx — b .
У нас
, то есть откудаАналогично получим уравнение прямой ВС и найдем ее угловой коэффициент.
Подставляя в (2) координаты точек В и С, получаем уравнение стороны ВС:
Угловой коэффициент kВС прямой ВС найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом у = kx — b .
У нас
, то есть3) внутренний угол при вершине В в радианах с точностью до 0,01
Для нахождения внутреннего угла нашего треугольника воспользуемся формулой:
Отметим, что порядок вычисления разности угловых коэффициентов, стоящих в числителе этой дроби, зависит от взаимного расположения прямых АВ и ВС.
Подставив ранее вычисленные значения kВС и kАВ в (3), находим:
Теперь, воспользовавшись таблицами инженерным микрокалькулятором, получаем В » 1,11 рад.
4) уравнение медианы АЕ;
Для составления уравнения медианы АЕ найдем сначала координаты точки Е, которая лежит на середине отрезка ВС
Подставив в уравнение (2) координаты точек А и Е, получаем уравнение медианы:
5) уравнение и длину высоты CD;
Для составления уравнения высоты CD воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку М(х0 ; у0 )с заданным угловым коэффициентом k , которое имеет вид
и условием перпендикулярности прямых АВ и CD, которое выражается соотношением kAB kCD = -1, откуда kCD = -1/kAB = — 3/4
Подставив в (4) вместо k значение kСD = -3/4, а вместо x 0 , y 0 ответствующие координаты точки С, получим уравнение высоты CD
Для вычисления длины высоты СD воспользуемся формулой отыскания расстояния d от заданной точки М(х0 ; у0 ) до заданной прямой с уравнением Ax+ By + С = 0 , которая имеет вид:
Подставив в (5) вместо х0 ; у0 координаты точки С, а вместо А, В, С коэффициенты уравнения прямой АВ, получаем
6) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ и точку М ее пересечения с высотой CD;
Так как искомая прямая EF параллельна прямой АВ, то kEF = kAB = 4/3. Подставив в уравнение (4) вместо х0 ; у0 координаты точки Е, а вместо k значение kEF получаем уравнение прямой EF’.
Для отыскания координат точки М решаем совместно уравнения прямых EF и CD.
Таким образом, М(5,48; 0,64).
7) уравнение окружности с центром в точке Е, проходящей через вершину В
Поскольку окружность имеет центр в точке Е(4,5; 2) и проходит через вершину В(4; 3), то ее радиус
Каноническое уравнение окружности радиуса R с центром в точке М0 (х0 ; у0 ) имеет вид
Имеем
Треугольник АВС, высота СD, медиана AE, прямая EF , точка M и окружность построенная в системе координат x0у на рис.1.
Рис. 1
Задача 3
Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки А (2; 5) равно расстоянию до прямой у = 1. Полученную кривую построить в системе координат
Пусть М (x , у ) — текущая точка искомой кривой. Опустим из точки М перпендикуляр MB на прямую у = 1 (рис.2). Тогда В(х; 1). Так как МА = MB , то
Pиc. 2
Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке С(5; -1,5) и ветвями, направленными вверх (см. рис 2).
Задача 4
Найти указанные пределы:
а)
Ответ:
б)
Ответ:
Задача 5
Найти производные dy / dx , пользуясь правилами и формулами дифференцирования
mirznanii.com