Решение иррациональных уравнений с помощью замены переменной
В этой статье я расскажу о том, как решать довольно сложные иррациональные уравнения с помощью замены переменной.
Я не устаю повторять, что замена переменной и разложение на множители — два универсальных приема, которые надо всегда держать в голове. Однако, не всегда замена переменной очевидна, и о некоторых видах замены догадаться сложно, их нужно знать.
В этой статье я хочу поделиться с вами несколькими красивыми способами решения иррациональных уравнений.
1. Решим уравнение:
Мы видим, что в уравнении присутствует корень третьей степени и квадратный корень. Чтобы избавиться от иррациональности, нам пришлось бы, в конечном итоге, возводить уравнение в шестую степень. Можете при желании попробовать самостоятельно этот способ, но мы пойдем другим путем.
Давайте введем замену:
пусть и ,
Выразим подкоренные выражения:
, ,
Теперь перед нами стоит задачи найти линейную комбинацию покоренных выражений, в результате которой получилось бы просто число.
В данном случае все просто: если мы сложим подкоренные выражения, то получим число 1:
Тогда вместо нашего уравнения мы получим систему:
Выразим в первом уравнении через , так как возводить выражение в квадрат проще, чем в третью степень:
Подставим во второе уравнение:
Отсюда:
, ,
Найдем соответствующие значения :
, , . Условию удовлетворяют все значения.
Теперь самое время вернуться к исходной переменной. Вспомним, что,
Отсюда , , ,
, ,
Ответ: {2; 10; 1}
2. Теперь я предлагаю вам рассмотреть решение более сложного иррационального уравнения, уровня С3.
Решим уравнение:
Введем замену
Получим уравнение:
Перенесем все слагаемые влево:
Теперь мы видим, что имеем дело с однородным уравнением, и, так как не является корнем уравнения (при этом значении х переменная t обращается в ноль), разделим обе части уравнения на
Получим:
Решим квадратное уравнение относительно
Получим: или
Вернемся к исходной переменной.
Теперь нам надо решить два уравнения:
(1)
(2)
Решим уравнение (1):
Вспомним, как решаются простейшие иррациональные уравнения и перейдем к равносильной системе:
Решим первое уравнение системы. Получим:
,
Условию удовлетворяет только корень
Решим уравнение (2):
Возведем обе части уравнения в квадрат и перейдем к равносильной системе:
Решим первое уравнение системы. Получим:
,
Условию удовлетворяет только корень
Ответ: ,
3. И, наконец, я предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК с подробным решением уравнения уровня С3:
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Разработка урока в 11 классе на тему » Иррациональные уравнения» | Методическая разработка по алгебре (11 класс) на тему:
1. Здравствуйте, ребята! Сегодня на уроке у нас присутствуют гости.
Давайте поприветствуем их. (Учащиеся встают.)
2.Я рада всех вас видеть и надеюсь на совместную плодотворную работу. Пусть эпиграфом к уроку послужат слова Л.Н. Толстого. (Слайд)
При демонстрации слайдов — ИКТ технология
3.Учитель: «Ребята, скажите, что мы изучали на прошлом уроке?»
Ученик: « На прошлом уроке мы изучали иррациональные уравнения и методы их решения, в частности метод введения новой переменой и возведения в степень корня, решали уравнения части В ЕГЭ (В7).
Учитель: «Правильно. Сегодня мы продолжим изучение темы «Иррациональные уравнения». Проговаривается Цель и задачи урока. Эта работа сопровождается демонстрацией слайдов.(Слайды)
Учащиеся открывают тетради, записывают число и тему урока.
Технология оценивания учебных успехов
На партах лежат оценочные листы, которые учащиеся должны заполнить по ходу урока, а в конце сдают учителю. Учитель напоминает как работать с оценочными листами.
4.Фронтальная работа Повторяется определение иррационального уравнения, известные методы решения и их алгоритмы на конкретных примерах
Учитель: « Ребята, посмотрите на экран, на слайде представлены уравнения, назовите те из них, которые являются иррациональными
Ученик отвечает.
Учитель: «А по какому признаку вы выделили иррациональные уравнения. Чем руководствовались при этом?
Ученик: «Определением иррациональных уравнений. Формулирует определение» Демонстрируется слайд.
Повторяются известные методы решения иррациональных уравнений по готовым слайдам.
Технология проблемного обучения
Создается проблемная ситуация, для решения которой требуется изучение нового материала — новых методов решения иррациональных уравнений.
Учитель: «Какими методами можно решить предложенные иррациональные уравнения?»
Изученные методы не помогают.
5.Усвоение новых знаний.
При решении иррациональных уравнений не всегда следует сразу приступать к «слепому» применению известного алгоритма решения.
В заданиях Единого государственного экзамена имеется довольно много уравнений, при решении которых необходимо выбрать такой способ решения, который позволяет решить уравнения проще, быстрее. Использование ЭОР
В презентации имеется гиперсссылка на ЭОР — «Открытый банк заданий по математике ЕГЭ» Примеры уравнений из открытого банка заданий.
Слайд (17) переход по гиперссылке на ЭОР-открытый банк заданий по математике http://mathege.ru/or/ege/Main.
Поэтому необходимо знать и другие методы решения иррациональных уравнений, с некоторыми из них мы сегодня познакомимся.
При подготовке к уроку некоторые ученики получили листы-рекомендации, в которых рассматриваются основные приёмы решения иррациональных уравнений. Ребята ознакомились с предложенными решениями и сегодня изложат его нам.
Выступление учеников
1 ученик. Решение уравнения методом исследования области определения уравнения.
Пусть дано уравнение: — = –
Возведение обеих частей в квадрат приведёт нас к громоздким вычислениям и трате времени на экзамене.
Воспользуемся методом исследования области допустимых значений заданного уравнения.
Область допустимых значений данного уравнения определяется системой неравенств х=2
Данное уравнение определено только при х = 2.
Проверим, является ли число 2 корнем уравнения:
— = –
5 = 5 – верно.
Ответ: х = 2.
2 ученик. Использование свойства монотонности функции.
Я хочу рассказать об уравнениях, решение которых основывается на свойстве монотонности функций. Существуют теоремы:
Теорема 1. Пусть уравнение имеет вид: f(x) = с, где f(x) –монотонно возрастающая (убывающая) функция, а с – число, входящее область значений функции f(x), тогда уравнение f(x) = с имеет единственный корень.
Теорема 2. Пусть уравнение имеет вид f(x)= g(x), где функции f(x) и g(x) «встречно монотонны», т.е. f(x) возрастает, а g(x) убывает или наоборот, то такое уравнение имеет не более одного корня.
Если удается заметить эти свойства функций в уравнении или привести уравнение к таким видам, и при этом нетрудно угадать корень уравнения, то он и будет единственным решением данного уравнения.
Пример для изучения
Пусть дано уравнение: + = 6
ОДЗ уравнения: х+60; х
Функции = и = являются возрастающими на промежутке [- 6; , поэтому функция у = + так же является возрастающей на этом промежутке, и следовательно принимает любое значение, в том числе и 6, только один раз.
Значит, уравнение имеет единственный корень.
Найдём этот корень подбором.
х = 2.
Проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем данного уравнения.
Ответ: х = 2.
3 ученик. Метод оценки частей уравнения.
Рассмотрим уравнение: + = 14х —
Запишем уравнение в виде + = -( +49)
+ = —
Так как левая часть данного уравнения неотрицательная, а
правая — неположительная при любых допустимых значениях x ,
то равенство возможно только в том случае, когда они обе части уравнения
равны нулю. Легко убедиться, что это возможно только при х = 7.
Здоровьесберегающая технология
Валеопауза для снятия напряжения с глаз.
Здоровьесберегающая технология по системе В. Ф. Базарного.
6.Разноуровневое обучение
Работа в разноуровневых группах
После прослушивания выступающих начинается работа учеников в группах по решению предложенных уравнений. Учащимся раздаются карточки с заданиями.
Учитель контролирует работу групп, даёт консультации.
Задания для групп. Для 4и 2 групп задания даются попроще, а 1, 3,5 — сложнее.
Затем работа проверяется с помощью документ камеры
Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция. Еще раз повторяются уже все методы решения иррациональных уравнений
Учащиеся нацеливаюся на самостоятельную работу
7.Текст самостоятельной работы.
Критерии выставления оценок.
Работа выполняется под копирку в тетрадях, после выполнения листочек сдается, а по тетради , сверяясь с ключами , учащиеся выставляют себе оценки по критериям, внося результаты в оценочный бланк, который сдается учителю для анализа.
8. Анализ учителем проделанной на уроке работы и объявление оценок с подробным комментарием.
9. Домашнее задание.
1.Учебник п.30, стр.237
2.Задачник стр.190,№30.8, 30.9.
Технология разноуровневое обучение
Учащиеся на выбор выполняют следующее задание по уровню сложности: или только часть В, или и В и С
3.
Сборник ЕГЭ – варианты 25-30, В7 — 1 часть, С3 — 2 часть
10. Рефлексия
Вопросы:
Как вы считаете, насколько полезным было проведенное занятие?
Получены ли новые знания и умения?
Кратко опишите, какие моменты занятия вам особенно запомнились.
Каких моментов занятия вам хотелось бы избежать?
Какие трудности вы испытали при изучении материала, при ответе на вопросы, в ходе решения заданий? Сумели ли вы их преодолеть? Если да, то как?
Опишите свои впечатления от проведенного занятия. Хотели бы вы в будущем принимать участие в таких занятиях?
Решение радикальных уравнений | Начальная алгебра
Цели обучения
- Решение радикальных уравнений
- Извлечение квадратных корней в уравнениях и решение для переменной
- Идентифицировать посторонние решения радикальных уравнений
- Квадратные корни и заполнение квадрата для решения радикальных уравнений
- Использование квадратных корней для решения квадратных уравнений
- Заполните квадрат, чтобы решить квадратное уравнение
- Использование квадратичной формулы для решения квадратных уравнений
- Напишите квадратное уравнение в стандартной форме и определите значения a , b и c в квадратном уравнении стандартной формы.
- Используйте квадратную формулу, чтобы найти все действительные решения.
- Решение прикладных задач, требующих использования квадратичной формулы.
- Напишите квадратное уравнение в стандартной форме и определите значения a , b и c в квадратном уравнении стандартной формы.
Основная стратегия решения радикальных уравнений состоит в том, чтобы сначала выделить радикальный член, а затем возвести обе части уравнения в степень, чтобы удалить радикал. (Причина использования степеней станет ясна через мгновение.) Это тот же тип стратегии, который вы использовали для решения других нерадикальных уравнений — перестройте выражение, чтобы изолировать переменную, которую вы хотите знать, а затем решите полученное уравнение. . 9{2}}=x[/латекс]. (Это свойство позволяет вам «удалить» радикалы из ваших уравнений.)
Давайте начнем с радикального уравнения, которое вы можете решить за несколько шагов: [латекс] \sqrt{x}-3=5[/латекс].
Чтобы проверить свое решение, вы можете заменить x на 64 дюйма в исходном уравнении. [латекс] \sqrt{64}-3=5[/латекс]? Да, квадратный корень из 64 равен 8, а [латекс]8−3=5[/латекс].
Обратите внимание, как вы объединили одинаковые члены, а затем возвели в квадрат обе сторон уравнения в этой задаче. Это стандартный метод удаления радикала из уравнения. Важно выделить радикал с одной стороны уравнения и максимально упростить до в квадрате. Чем меньше членов перед возведением в квадрат, тем меньше дополнительных членов будет сгенерировано в процессе возведения в квадрат.
В приведенном выше примере под радикалом находилась только переменная x . Иногда вам нужно будет решить уравнение, которое содержит несколько членов под корнем. Выполните те же действия, чтобы решить их, но обратите внимание на критическую точку — возведите в квадрат обе сторон уравнения, а не отдельные членов . Посмотрите, как решаются следующие две задачи. 9{2}[/латекс].
Идентификация посторонних решений
Соблюдение правил важно, но не менее важно обращать внимание на математику перед вами, особенно при решении радикальных уравнений.
Взгляните на следующую проблему, которая демонстрирует потенциальную ловушку, связанную с согласованием обеих сторон для устранения радикала.
Посмотрите на это — ответ [латекс]а=9[/латекс] не дает истинного утверждения при подстановке обратно в исходное уравнение. Что случилось?
Проверьте исходную проблему: [латекс]\sqrt{a-5}=-2[/латекс]. Обратите внимание, что радикал установлен равным [латекс]-2[/латекс], и помните, что главный квадратный корень числа может быть только положительным . Это означает, что никакое значение для и не приведет к подкоренному выражению, положительный квадратный корень которого равен [латекс]-2[/латекс]! Вы могли сразу это заметить и сделать вывод, что для и решений нет.
Посмотрите на следующую проблему. Обратите внимание, что исходная задача имеет вид [латекс] x+4=\sqrt{x+10}[/латекс], но после возведения обеих сторон в квадрат она становится [латекс] {{x}^{2}}+8x+16.
{2}[/латекс].
В следующем видео мы покажем больше примеров решения простых квадратных уравнений с использованием квадратных корней.
Иногда возводится в квадрат больше, чем просто x :
В этом видеопримере вы увидите больше примеров решения квадратных уравнений с использованием квадратных корней.
Завершение квадрата для решения квадратного уравнения
Конечно, квадратные уравнения часто не приходят в формате приведенных выше примеров. У большинства из них будет 9{2}[/латекс]. Разложим совершенный квадратный трехчлен на квадратный двучлен.
Вы можете использовать процедуру из следующего примера, чтобы помочь вам решить уравнения, в которых вы идентифицируете совершенные квадратные трехчлены, даже если уравнение не установлено равным 0.
Один из способов решения квадратных уравнений состоит в том, чтобы завершить квадрат . Если у вас нет идеально квадратного трехчлена, вы можете создать , добавив постоянный член, который является идеальным квадратом, к обеим частям уравнения. Давайте посмотрим, как найти этот постоянный член. 9{2}+bx[/латекс].
В этом примере площадь всего прямоугольника определяется как [латекс]x\влево(х+b\вправо)[/латекс].
Теперь давайте превратим этот прямоугольник в квадрат. Сначала разделите красный прямоугольник площадью b x на два равных прямоугольника площадью [латекс] \frac{b}{2}x[/латекс]. Затем поверните и переместите один из них. Вы не изменили размер красной области — в сумме он по-прежнему составляет [latex]bx[/latex].
{2}+bx+c=0[/латекс] и затем решите 9{2}+bx+c=0[/latex] называется стандартной формой квадратного уравнения. Прежде чем решать квадратное уравнение с помощью квадратной формулы, важно убедиться, что уравнение имеет именно такую форму. Если вы этого не сделаете, вы можете использовать неправильные значения для a , b или c , и тогда формула даст неверные решения. Вы получаете два верных утверждения, поэтому вы знаете, что оба решения работают: [латекс]x=1[/латекс] или [латекс]-5[/латекс].
Вы успешно решили уравнение, используя квадратную формулу!
Сила Квадратной Формулы в том, что с ее помощью можно решить любое квадратное уравнение , даже такое, в котором невозможно найти комбинации чисел.
В следующем видео мы показываем пример использования формулы квадратного уравнения для решения уравнения с двумя действительными решениями. 9{2}-2\влево(4\вправо)=6\влево(4\вправо)-16\\16-8=24-16\,\,\,\,\,\,\\8=8\ ,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\end{массив}[/ латекс]
В следующем видео мы показываем пример использования квадратной формулы для решения квадратного уравнения, которое имеет одно повторяющееся решение.
В этом видео примере мы показываем, что решения квадратных уравнений могут иметь рациональные ответы.
Применение квадратичной формулы
Квадратные уравнения широко используются в науке, бизнесе и технике.
Квадратные уравнения обычно используются в ситуациях, когда две вещи перемножаются, и обе они зависят от одной и той же переменной. Например, при работе с площадью, если оба измерения записываются в терминах одной и той же переменной, вы используете квадратное уравнение. Поскольку количество проданного продукта часто зависит от цены, иногда вы используете квадратное уравнение для представления дохода как произведения цены и проданного количества. Квадратные уравнения также используются, когда задействована сила тяжести, например, траектория движения мяча или форма тросов подвесного моста.
Очень распространенное и простое для понимания приложение — это высота мяча, брошенного на землю со здания. Поскольку гравитация будет увеличивать скорость мяча при падении, можно использовать квадратное уравнение для оценки его высоты в любое время до того, как он упадет на землю. Примечание. Уравнение не совсем точное, поскольку трение о воздух немного замедляет мяч. Для наших целей это достаточно близко.
Приведенная ниже задача с площадями не выглядит так, как будто она включает квадратную формулу любого типа, и кажется, что эту задачу вы уже много раз решали простым умножением. Но для того, чтобы решить ее, вам нужно будет использовать квадратное уравнение.
В этом последнем видеоролике мы покажем, как использовать квадратичную формулу для решения задачи, связанной с рамкой изображения.
Резюме
Обычный метод решения радикальных уравнений состоит в том, чтобы возвести обе части уравнения в любую степень, чтобы убрать знак радикала из уравнения. Но будьте осторожны — когда обе части уравнения возводятся в степень и даже , существует вероятность того, что будут введены посторонние решения. При решении радикального уравнения важно всегда проверять свой ответ, подставляя значение обратно в исходное уравнение.
{2}}-4ac}}{2a}[/latex] находится путем заполнения квадрата квадратного уравнения [латекс] [/латекс].
Предварительное исчисление по алгебре — Поиск решения иррационального уравнения
Задавать вопрос
спросил
Изменено 6 лет, 5 месяцев назад
Просмотрено 206 раз
$\begingroup$
Дано уравнение $\sqrt{x + 3 — 2\sqrt{x + 2}} + \sqrt{x + 27 — 10\sqrt{x + 2}} = 4$, найдите его решение(я).
Сначала нахождение области определения функции. Заметим, что из $\sqrt{x + 2} \geq 0 \ следует x \geq -2$. Тогда, решая неравенства для $x + 3 — 2\sqrt{x + 2} \geq 0$ и $x + 27 — 10\sqrt{x + 2} \geq 0$, получаем, что их область определения $D = \mathbb {R}$, так как квадратичные уравнения, возникающие из этих неравенств, имеют ровно один корень — $S_1 = \{-1\}$ и $S_2 = \{23\}$.