Калькулятор Пределов — Решение Пределов Онлайн
Этот калькулятор пределов вычисляет положительные или отрицательные пределы для заданной функции в любой точке. Вы должны попробовать этот решатель пределов, чтобы определить, как легко решать пределы. Кроме того, калькулятор правил l’hopital помогает вычислять предельные задачи \ (\ frac {0} {0} \) и \ (\ frac {\ infty} {\ infty} \) и поддерживает вычисление пределов онлайн на положительной и отрицательной бесконечности. Что ж, читайте дальше, чтобы понять, как найти предел онлайн функции с помощью этого решение пределов онлайн. Начнем с основ!
Что такое предел (математика)?
Обозначение пределов представляет собой математическое понятие, основанное на идее близости. Его также можно определить как значение, к которому функция «приближается», когда вход «приближается» к некоторому значению. Необходимо оценить Предел в исчислении и математическом анализе, чтобы определить непрерывность, производные и интегралы.
Что ж, пределы онлайн калькулятор производной – лучший способ вычислить предел производную функции по заданным значениям и показывает дифференцирование.
Что такое формула предела?
Формула предела будет следующей:
$$ \ lim_ {x \ to a} f (x) = L $$
Пример:
Если у вас есть функция «\ (\ frac {(x2 – 1)} {(x – 1)} \)», тогда необходимо найти пределы, когда \ (x \) равно \ (1 \), как деление по нулю не является законной математической операцией. С другой стороны, для любого другого значения \ (x \) числитель может быть учтен, а также разделен на \ ((x – 1) \), чтобы получить \ (x + 1 \). Таким образом, это частное будет равно \ (x + 1 \) для всех значений \ (x \), за исключением 1, которая не имеет значения. Хотя, 2 можно присвоить функции \ (\ frac {(x2 – 1)} {(x – 1)} \) как ее предел, когда \ (x \) приближается к 1. Если предел \ (x \) приближается к 0 или бесконечности, такие вычисление пределов онлайн упростить с помощью калькулятор пределов онлайн правил Лопиталя.
Для нахождения пределов существуют определенные законы и калькуляторы пределов, которые используют правило исчисления для определения предела функции. Кроме того, бесплатный пределы онлайн калькулятор интегралов позволяет вам определить интегралы функции, соответствующие задействованной переменной, и показать вам пошаговую работу.
Лимитные законы:
Для нахождения пределов существуют определенные законы и калькуляторы пределов, которые используют правило исчисления для определения предела функции. Эти законы можно использовать для оценки предела полиномиальной или рациональной функции. Кроме того, для некоторых правил существуют определенные условия, и если они не выполняются, то правило не может использоваться для проверки оценки лимита. Однако использование оценщика пределов – лучший способ оценить пределы функции в любой момент.
| Предельный закон в символах | Предел закон на словах | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | \( \lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a}f(x) + \lim_{x \to a}g(x)\) | Сумма Лимитов равна лимиту суммы. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2 | \(\lim_{x \to a}[ f(x) – g(x)]= \lim_{x \to a} f(x) – \lim_{x \to a} g(x)\) | Разница лимитов равна лимиту разницы. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 3 | \( \lim_{x \to a} cf (x) = c \lim_{x \to a} f (x) \) | Постоянный предел функции равен пределу постоянного времени функции. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 4 | \(\lim_{x \to a}[ f(x)g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) × \lim_{x \to a} g(x)]\) | Произведение лимитов равно лимиту продукта. 2} $$ мы можем найти предел онлайн 0, Inf, -Inf или вычисление пределов онлайн коэффициентам. Формальный метод:Речь идет о доказательстве того, как мы можем максимально приблизиться к ответу, сделав «\ (y \)» близким к «\ (a \)». Как калькулятор лимитов вычисляет лимиты?Этот калькулятор лимитов позволяет вам оценить лимит данных переменных. Что ж, искатель решение пределов онлайн помогает найти пределы, выполнив следующие действия: Вход:
Выход:
Часто задаваемые вопросы:Как узнать, что лимит не существует?Чтобы найти предел на графике, если существует вертикальная асимптота, и одна сторона идет в сторону бесконечности, а другая – в направлении отрицательной бесконечности, тогда предел не существует. Точно так же, если на графике есть дыра при значении x c, то двусторонний предел не будет существовать. Тем не менее, поиск пределов может помочь вам более точно оценить пределы. Каковы правильные обозначения пределов?По сути, предельная запись – это способ сформулировать тонкую идею, чем просто сказать \ (x = 5 \) или \ (y = 3 \). \ (\ lim_ {x \ to a} f (x) = b \). С другой стороны, калькулятор пределов онлайн избавляет от беспокойства об обозначении пределов, поскольку он определяет пределы и указывает их неточное форматирование. Можно ли применить правило L‘Hopital к каждому пределу?Правило L’Hôpital используется с неопределенными пределами, имеющими форму \ (0/0 \) или бесконечность. Он не решает всех ограничений. Иногда даже повторяющиеся применения правила не могут помочь найти предел онлайн значения. Итак, для удобства калькулятор правил l’hopital – лучший способ решить бесконечные вычислить предел функций. Может ли 0 быть пределом?Если мы просто оцениваем уравнение, предел \ (0/0 \) будет неопределенным. Однако, если мы получим \ (0/0 \), то может быть серия ответов. Теперь единственный способ определить точный ответ – это использовать решатель пределов для точного определения проблем с предельными значениями. Как используются лимиты в расчетах?Пределы определяют, как функция будет действовать рядом с точкой, как альтернатива в этой точке. Эта идея лежит в основе исчисления. Например, предел «\ (f \)» при \ (x = 3 \) и \ (x = 3 x = 3 \) – это значение f по мере того, как мы приближаемся к \ (x = 3 \). . Конечное примечание:Этот пределы онлайн калькулятор пределов находит пределы и специально предназначен для определения пределов в отношении переменной. Пределы можно оценивать как с положительной, так и с отрицательной стороны. Он обслуживает все вычислить предел задачи, которые невозможно решить алгебраически. Таким образом, здорово помочь студентам и профессионалам решить и проверить ваши ограничения в мгновение ока. Other Languages: Limit Calculator, Limit Hesaplama, Kalkulator Limit, Grenzwertrechner, Kalkulačka Limit, Calculadora De Limites, Calculateur De Limite, Calculadora De Limites, Calcolatore Limiti. Определение и нахождение пределов. Методы решения лимитовТестирование онлайнОпределение предела последовательностиЧисло a называется пределом числовой последовательности, если для любого существует число такое, что для всех n>N выполняется неравенство Когда число a является пределом числовой последовательности (xn), то пишут: Пример 1. Рассмотрим числовую последовательность . Найдем несколько первых элементов этой последовательности: Легко заметить, что пункты, которые отображают элементы данной числовой последовательности с нарастанием номера n все ближе и ближе приближаются к пункту a=1. Расстояние от xn до пункта а=1 может быть меньше или вообще любого положительного числа. Когда последовательность имеет предел, то она называется сходящейся. Когда пределом последовательности является число a, то говорят, что последовательность (xn) сходится к a. Когда последовательность не имеет предела, то она называется расходящейся. Из определения предела последовательности следует, что Арифметические действия над сходящимися последовательностямиОпределение предела функцииЧисло A называется пределом функции y=f(x) в пункте x0, когда для любого положительного числа существует такое положительное число , что для всех x, которые удовлетворяют неравенству выполняется неравенство: Когда число A является пределом функции f(x), то пишут: Обратите внимание! Здесь x стремится к некоторому числу, а не к бесконечности. Арифметические действия для пределов фунции аналогичные. Методы решения пределовПри отыскании пределов отношения двух многочленов относительно x при оба члена отношения полезно разделить на xn, где n — наивысшая степень этих многочленов. Решение пределов вида , где P(x) и Q(x) — целые многочлены. Если P(x0)=Q(x0)=0, то дробь рекомендуется сократить. Выражения, содержащие иррациональности, приводятся к рациональному виду во многих случаях путем введения новой переменной. Еще один способ решения пределов с иррациональными выражениями — это перевод иррациональности из числителя в знаменатель или, наоборот, из знаменателя в числитель. При вычислении пределов во многих случаях используется формула Нахождение пределов вида При решении подобных пределов часто используют формулу числа e:
Некоторые важные пределы: Решение пределов — презентация онлайн1. Решение пределовx4 218 7 16 2 1 1) Lim 2 3 4 1 11 11 x 2 3x 1 x 1 0 2) Lim [ ] Lim 0 x 1 x 1 x 1 3 3) Lim x 3 ( x 1)( x 2 x 1) Lim ( x 2 x 1) 3 x 1 x 1 ( x 3)( x 4 1) ( x 3) ( x 4 1) 0 x 3 Lim [ ] Lim 2 2 x 3 ( x 4 1) ( x 4 1) x 3 x 4 1 x 4 1 0 a — b Lim x 3 a ( x 3)( x 4 1) Lim ( x 4 1) x 3 b 3 4 1 2 1 3( x 1)( x ) 3x 2 x 1 0 3 [ ] Lim 1 x 1 2×2 x 1 0 2( x 1)( x ) 2 1 3x 1 3 1 4 1 Lim 2 1 3 3 x 1 2 x 1 2 4) Lim x 1 1 3x 2 2 x 1 3( x )( x 1) 3 D 4 4 3 ( 1) 16 x1 1 x 2 1 3 2 способ: По правилу Лопиталя 3x 2 2 x 1 5) Lim 2 x 1 2 x x 1 1 6x 2 6 2 4 (3x 2 2 x 1) 1 Lim Lim 2 4 1 3 3 x 1 4 x 1 x 1 ( 2 x x 1) 6) Lim x 2 9 x 8 4 x 3 4 4 4 2 x x 3x 9 x 8 [ ] Lim 2 4 2 3x x x 2 x 3x x 4 x 2 4 4 x x 9 8 3 2 4 x x Lim 3 3 1,5 Lim 3 1 x 2 2 x 2 2 3 x x 3x 4 9 x 2 8 6) Lim 2 x4 3×2 x x 3x 4 3 1,5 Lim 4 2 x 2 x a , если n=m b n ax ……. , если n>m Lim m bx ……. x 0, если n 5 7) Lim x 2 4 x 8 Lim (4 x 8) 0 5 0 4x – 8 – бм x 2 1 — бб 4x 8 5 — бб 4x 8 sin 2 x 1 cos x 2 2 1 cos x 2 sin 2 x 2 2 x 2 x 2 x sin sin 2 sin 1 cos x 0 2 2 2 8) Lim Lim 2Lim 2 2 Lim 2 2 x x x x 0 x 0 x 0 x 0 0 x 2 x 2 2 2 sin x 1 1 x 2 2 2 Lim 2 Lim 2 2 Lim 2 x x 0 x 2 x 0 2 x x 0 5 5 9) Lim 1 Lim 1 x x x x 3x x 3 1 5 (e 1 )3 e15 y Lim 1 e y y tg3x Sin5 x 0 10) Lim 2x 0 x 0 Lim x 0 8x tg3 3xx Sin5 5x x 4 Lim 2x x 0 2 x 1 11) Lim x cos o x 0 x Lim x o x — бм x 0 1 cos 1 — ограниченная x функция sin 1 x sin y 1 1 12) Lim ( x sin ) 0 Lim Lim y 1 y 0 x x x x 1 sin 1 1 1 x 1 sin x sin : x y 0 y 1 x x x x x 3 2 3 x 3x 0 x 0 13) Lim Lim Lim 0 1 Cosx x 0 0 x 0 x Sinx x 0 x Sinx Lim x 0 3x 2 1 Cosx Lim x 0 x 6x 6 Lim Sinx Sinx x 0 6 Sinx Lim x x 0 6 10. Самостоятельная работа в парах11. Вычислить пределы4×2 11) Lim 2x 1 1 x 2 3x 2 2 x 2) Lim 2 x x x 6 4×2 3) Lim x x 9 1 x 3 4) Lim 2 x 3 x 6 x 9 5) Lim x 0 tg 4 x x 12. Вычислить пределы ответы4×2 1 0(2 x 1)( 2 x 1) 1) Lim [ ] Lim Lim (2 x 1) 2 2x 1 0 2x 1 1 1 1 x x x 2 2 2 2 x (3 ) 3x 2 2 x x 2) Lim 2 Lim 3 x x x 6 x 1 6 x 2 (1 2 ) x x 2 4×2 4 92 3) Lim 81 x 1 9 x 9 1 x 3 x 3 1 4) Lim 2 Lim Lim 2 x 3 x 6 x 9 x 3 ( x 3) x 3 x 3 5) Lim x 0 tg 4 x 4x Lim 4 x x x 0 Бесплатно: Информатика, Математика, другие предметыКраткий список обозначений и операторов WolframAlphaдля решения задач онлайн Пределы — первая тема, с которой вам придется познакомиться в курсе высшей математики. Так что давайте рассмотрим все варианты задач, которые скорее всего попадутся вам по этой теме на контрольной или экзамене. Чтобы научиться решать примеры на пределы, надо знать две вещи: Тип предела часто подразумевает неопределенность, которая записана в примере. Плохая новость — подходы к решению таких примеров различны. Вот 5 полезных ссылок, по которым вы найдете понятные решения пределов онлайн, и сможете самостоятельно решить свои пределы, просто повторив ход моего решения. Предел с неопределенностью вида «бесконечность на бесконечность» Предел с неопределенностью вида «ноль на ноль» Предел с неопределенностью, решаемый через сопряженное Предел с тригонометрическими функциями Предел со степенями Предел с логарифмом Отдельным пунктом любого учебника стоят так называемые замечательные пределы. Это всего две формулы, которые имеют массу вариантов примеров на замечательные пределы. Два коротких ролика помогут вам справиться с этими примерами: Первый замечательный предел Второй замечательный предел При решении задач на замечательные пределы старайтесь «увидеть» их и свести к формулам этих пределов. Еще одна группа примеров — это примеры на полезное правило, которое очень упрощает нахождение пределов — Решение пределов с помощью правила Лопиталя. Правило Лопиталя — это нахождение производных, принцип которого объясняется здесь.2 Поскольку в этой таблице мы всегда будем рассматривать базу , для простоты записи обозначение этой базы будем пропускать и писать знак вместо . 1) . Эту формулу мы уже доказали и использовали в примерах. Эквивалентность и при означает в точности, что первый замечательный предел равен 1. 2) . Эта эквивалентность тоже была доказана выше в одном из примеров. 3) . Докажем эту эквивалентность: 4) . Докажите это в качестве упражнения, сделав замену и применив предыдущую табличную формулу. 5) . Для доказательства воспользуемся формулой . Далее, имеем: 6) ( ). Для доказательства этой эквивалентности сделаем такое преобразование: В частном случае, при , получаем эквивалентность ) . 7) ( ). Для доказательства сделаем замену и выразим через : . Согласно формуле 6, при , откуда . Из непрерывности логарифма следует, что и, значит, при . В этой формуле осталось лишь сменить обозначение переменного на , чтобы получить формулу 7. В частном случае, при , получаем эквивалентность ) . Сведём теперь полученные формулы в итоговую таблицу. Всюду в ней . Приведём примеры применения табличных формул для раскрытия неопределённостей вида . Ещё раз обратим внимание читателя, что все формулы таблицы эквивалентных бесконечно малых относятся к базе . Следовательно, те же эквивалентности имеют место и при односторонних базах и . Если же рассматриваемый пример содержит неопределённость вида при какой-либо другой базе, то часто предел можно свести к пределу при «стандартной» базе (или , или ) с помощью подходящей замены переменной, а затем воспользоваться табличными эквивалентностями. Применяя формулы таблицы эквивалентностей бесконечно малых последовательно, мы можем получать (и использовать для вычисления пределов) цепочки эквивалентностей произвольной длины. Используя полученную в результате эквивалентность Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана. В предыдущем разделе мы видели, что существует большой класс функций, который позволяет нам использовать для вычисления пределов.2} — 2x}} & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 2} \ frac {{\ left ({x — 2} \ right) \ left ({x + 6} \ right)}} {{x \ left ({x — 2} \ right)}} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 2} \ frac {{x + 6}} {x} \ end {align *} \] Итак, разложив на множители, мы увидели, что можем исключить \ (x — 2 \) как из числителя, так и из знаменателя. 2} — 2x}} = \ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 2} \ frac {{x + 6}} {x} = \ frac {8} {2} = 4 \] Обратите внимание, что это на самом деле то, что мы предполагали.2} — 2x}} = \ frac {{x + 6}} {x} \ hspace {0,25 дюйма} {\ mbox {provided}} x \ ne 2 \] Другими словами, два уравнения дают одинаковые значения, за исключением точки \ (x = 2 \), и поскольку пределы касаются только того, что происходит вокруг точки \ (x = 2 \), предел двух уравнений будет равен . Что еще более важно, в упрощенной версии мы получаем «достаточно хорошее» уравнение, и поэтому то, что происходит вокруг \ (x = 2 \), идентично тому, что происходит в \ (x = 2 \). Таким образом, мы можем взять предел упрощенной версии, просто подставив \ (x = 2 \), даже если мы не могли вставить \ (x = 2 \) в исходное уравнение и значение предела упрощенного уравнения будет таким же, как предел исходного уравнения. Кстати, 0/0, которое мы изначально получили в предыдущем примере, называется неопределенной формой . Это означает, что мы действительно не знаем, что это будет, пока мы не продолжим работу. Обычно ноль в знаменателе означает, что он не определен. Однако это будет верно только в том случае, если числитель также не равен нулю. Кроме того, ноль в числителе обычно означает, что дробь равна нулю, если знаменатель также не равен нулю. Точно так же все, что делится само на себя, равно 1, если мы не говорим о нуле. Итак, здесь действительно есть три конкурирующих «правила», и неясно, какое из них победит. Также возможно, что ни один из них не выиграет, и мы получим что-то совершенно отличное от undefined, нуля или единицы. Мы могли бы, например, получить из этого значение 4, чтобы выбрать число наугад. При простой оценке уравнения 0/0 не определено. Однако, взяв предел, если мы получим 0/0, мы можем получить множество ответов, и единственный способ узнать, какой из них правильный, — это фактически вычислить предел.2}}} {h} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \ frac {{h \ left ({- 12 + 2h} \ right)}} {h} \\ & = \ mathop {\ lim} \ limits_ {h \ to 0} \, \, — 12 + 2h = — 12 \ end {align *} \]
Пример 3 Оцените следующий предел.
\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {t \ to 4} \ frac {{t — \ sqrt {3t + 4}}} {{4 — t}} \]
Показать решение Этот предел потребует немного больше усилий, чем два предыдущих. Однако еще раз обратите внимание, что мы получаем неопределенную форму 0/0, если пытаемся просто оценить предел.2} \] Итак, если в первом и / или втором члене есть квадратный корень, рационализация устранит корень (и). Этот может помочь в оценке предела. Давайте попробуем рационализировать числитель в этом случае. Помните, что для обоснования мы просто берем числитель (поскольку это то, что мы рационализируем), меняем знак у второго члена и умножаем числитель и знаменатель на этот новый член.2} — 3t — 4}} {{\ left ({4 — t} \ right) \ left ({t + \ sqrt {3t + 4}} \ right)}} \ end {align *} \] Обратите внимание, что мы также не умножали знаменатель. Большинство студентов заканчивают занятия по алгебре, и им в голову приходит мысль постоянно умножать эти вещи. Однако в этом случае умножение сделает задачу очень сложной, и в конце концов вы все равно ее вычтите обратно. На этом мы почти закончили. Обратите внимание, что числитель можно разложить на множители, так что давайте сделаем это. Теперь все, что нам нужно сделать, это заметить, что если мы вычленим «-1» из первого члена в знаменателе, мы можем произвести некоторое сокращение. В этот момент проблема деления на ноль исчезнет, и мы сможем оценить предел. Обратите внимание, что, если бы мы умножили знаменатель, мы не смогли бы выполнить это сокращение, и, по всей вероятности, даже не увидели бы, что какое-то сокращение могло быть выполнено.2} + 5 & \ hspace {0.25in} {\ mbox {if}} y Вычислите следующие ограничения. В этом случае действительно особо нечего делать. Делая ограничения, помните, что мы всегда должны смотреть на то, что происходит по обе стороны от рассматриваемой точки, когда мы приближаемся к ней.В этом случае \ (y = 6 \) полностью находится внутри второго интервала для функции, поэтому есть значения \ (y \) по обе стороны от \ (y = 6 \), которые также находятся внутри этого интервала. Это означает, что мы можем просто использовать этот факт для оценки этого предела. В этой части и есть суть проблемы.В этом случае точка, для которой мы хотим взять предел, — это точка отсечки для двух интервалов. Другими словами, мы не можем просто вставить \ (y = — 2 \) во вторую часть, потому что этот интервал не содержит значений \ (y \) слева от \ (y = — 2 \), и нам нужно чтобы знать, что происходит по обе стороны от точки зрения. Для выполнения этой части нам нужно будет вспомнить факт из раздела об односторонних ограничениях, в котором говорится, что если два односторонних ограничения существуют и одинаковы, то нормальный предел также будет существовать и иметь такое же значение.+}} g \ left (y \ right) \] и так как два односторонних ограничения не совпадают. не существует. Обратите внимание, что очень простое изменение функции приведет к существованию предела в \ (y = — 2 \), поэтому не забывайте, что ограничения в этих точках отсечки в кусочной функции никогда не существуют, как следующие пример покажет. Односторонние ограничения такие же, поэтому получаем Нам нужно сделать еще одно ограничение. Однако нам понадобится новый факт об ограничениях, который поможет нам в этом. Если \ (f \ left (x \ right) \ le g \ left (x \ right) \) для всех \ (x \) на \ ([a, b] \) (кроме, возможно, в \ (x = c \)) и \ (a \ le c \ le b \), то Обратите внимание, что этот факт должен иметь для вас некоторый смысл, если мы предположим, что обе функции достаточно хороши.Если обе функции «достаточно хороши», чтобы использовать факт оценки предела, то мы имеем Неравенство верно, потому что мы знаем, что \ (c \) находится где-то между \ (a \) и \ (b \), и в этом диапазоне мы также знаем \ (f \ left (x \ right) \ le g \ left (х \ право) \). Обратите внимание, что на самом деле нам не нужно, чтобы две функции были достаточно точными, чтобы факт стал правдой, но это действительно хороший способ дать быстрое «обоснование» факта. Также обратите внимание, что мы сказали, что мы предполагали, что \ (f \ left (x \ right) \ le g \ left (x \ right) \) для всех \ (x \) на \ ([a, b] \) (кроме, возможно, точки \ (x = c \)). Поскольку ограничения не заботятся о том, что на самом деле происходит в \ (x = c \), нам действительно не нужно, чтобы неравенство сохранялось в этой конкретной точке. Нам нужно только, чтобы он держался около \ (x = c \), так как это то, о чем заботится предел. Мы можем пойти еще дальше и получить следующую теорему. Предположим, что для всех \ (x \) на \ ([a, b] \) (кроме, возможно, в \ (x = c \)) имеем, Также предположим, что, для некоторых \ (a \ le c \ le b \).Затем Как и в случае с предыдущим фактом, нам нужно только знать, что \ (f \ left (x \ right) \ le h \ left (x \ right) \ le g \ left (x \ right) \) истинно вокруг \ (x = c \), потому что мы работаем с ограничениями, и их интересует только то, что происходит вокруг \ (x = c \), а не то, что на самом деле происходит в \ (x = c \). Теперь, если мы снова предположим, что все три функции достаточно хороши (опять же, это не требуется для того, чтобы сделать теорему сжатия истинной, это только помогает с визуализацией), тогда мы можем получить быстрый набросок того, что говорит нам теорема сжатия. .На следующем рисунке показано, что происходит в этой теореме. Из рисунка видно, что если пределы \ (f (x) \) и \ (g (x) \) равны в точке \ (x = c \), то значения функций также должны быть равны в точке \ ( x = c \) (здесь мы используем тот факт, что мы предполагали, что функции «достаточно хороши», что на самом деле не требуется для теоремы). Однако, поскольку в этой точке \ (h (x) \) «зажато» между \ (f (x) \) и \ (g (x) \), то \ (h (x) \) должно иметь такое же значение. .2} \ cos \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) \]
Показать решение В этом примере нам не поможет ни один из предыдущих примеров. Здесь нет необходимости в факторинге или упрощении. Мы не можем рационализировать, и односторонние ограничения не работают. Есть даже вопрос, будет ли существовать этот предел, поскольку у нас есть деление на ноль внутри косинуса в \ (x = 0 \). Первое, на что следует обратить внимание, это то, что мы знаем следующий факт о косинусе. В нашей функции не просто \ (x \) в косинусе, но пока мы избегаем \ (x = 0 \), мы можем сказать то же самое для нашего косинуса.2} \ cos \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) = 0 \] Мы можем проверить это с помощью графика трех функций. Это показано ниже. В этом разделе мы рассмотрели несколько инструментов, которые мы можем использовать, чтобы помочь нам вычислить пределы, в которых мы не можем просто оценить функцию в рассматриваемой точке. Как мы увидим, многие ограничения, которые мы будем делать в следующих разделах, потребуют одного или нескольких из этих инструментов. Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана. Для задач 1–9 оцените предел, если он существует.2} — 36}} {h} \) Решение Оцените следующие пределы, если они существуют. Для задач 12 и 13 оцените предел, если он существует.4} \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {x}} \ right) \). Решение Фундаментальная идея в исчислении состоит в том, чтобы производить вычисления на
функционирует как переменная «приближается к» или приближается
определенное значение. Напомним, что определение производной дается
на предел при условии, что этот предел существует. Программное обеспечение Symbolic Math Toolbox ™
позволяет напрямую рассчитывать пределы функций. Команды иллюстрируют два самых важных ограничения в математике:
производная (в данном случае cos ( x ))
и экспоненциальная функция. Вы также можете рассчитать односторонние пределы с помощью программного обеспечения Symbolic Math Toolbox. Например, вы можете рассчитать предел x / | x |, график которого показан ниже
рисунок, поскольку x приближается к 0 слева или справа. Чтобы вычислить предел, когда x приближается к 0 слева, введите Чтобы вычислить предел, когда x приближается к 0 справа, введите Поскольку предел слева не равен пределу от
справа двусторонний предел не существует.В случае неопределенного
пределы, MATLAB ® возвращает возвращает Обратите внимание, что случай по умолчанию Математические операции MATLAB Command limx → 0f (x) 9279 limit af (x) limx → a − f (x) limx → a + f (x) Калькулятор лимитов.Калькулятор пределов находит, существует ли предел в любой точке: предел в 0, предел в «+ oo» и предел в «-oo» функции. Вычисление предела функции a. Можно вычислить предел в a функции, где a представляет действительное число: если предел существует и калькулятор может … Если функция приближается к одному и тому же значению в обоих направлениях, то это оценка предельного значения. Ответ: $$ \ displaystyle \ lim_ {x \ to 5} f (x) \ приблизительно 9 $$.Пример 2: Использование таблиц для оценки пределов Калькулятор пределов поддерживает поиск предела, когда x приближается к любому числу, включая бесконечность. В калькуляторе будет использоваться лучший доступный метод, поэтому попробуйте решить множество различных типов задач. Вы также можете лучше визуализировать и лучше понять функцию, используя наш инструмент построения графиков. Шаг 2: Пример 1. Найдите предел последовательности: поскольку значение каждой дроби становится немного больше для каждого члена, а числитель всегда на единицу меньше знаменателя, значения дроби будут становиться все ближе и ближе к 1; следовательно, предел последовательности равен 1.Пример 2: Оценить. Пределы можно оценить с помощью построения графиков, прямой подстановки, проверки и других алгебраических методов. • Построение графика Анализ графика вокруг x = c • Прямая подстановка Подстановка значения x = c в функцию и оценка (нахождение f (c), которое представляет предел). • Inspection Внимание: при оценке, если встречается выражение $ \ sqrt {0} $, также необходимо определить, действителен ли результат для двустороннего ограничения, или для определенного одностороннего ограничения, или возможно, вообще не действует.$ \ lim \ limits_ {x \ to 6 +} \ sqrt {6-x} $ при вычислении с помощью подстановки дает $ \ sqrt {6-6} = \ sqrt {0} = 0 $. 11 апреля 2017 г. · Пример 9 — Вычисление предела из исчисления Для функции f (x) = x2 — 1 найти Решение: Прямая подстановка дает неопределенную форму. 32 Это дает нам предел 1, когда x приближается к бесконечной пустоте в правой части графика. Пример проблемы. Оценивать . Хорошо, последний раз проблема, а это проблема триггера. Мы не можем смотреть на степень функции, поэтому наш предыдущий метод не сработает.Вместо этого попробуйте изобразить синусоидальный график. Может быть, вы спрашиваете себя: «Как этот предел … Привет, Эдди — отличные вопросы! Похоже, этот вопрос просит нас понять логику, лежащую в основе ограничений для нескольких функций, даже если у нас не обязательно есть точные уравнения для них. Вот как я подхожу к этому. a) Чтобы найти предел как x -> 2 для f (x) + g (x) , это помогает запомнить важное свойство пределов: предел суммы двух функций равен сумме лимиты .Это означает, что мы должны отдельно найти предел при x -> 2 для f (x) и предел при x-> 2 0f g (x), а затем сложить их вместе. Давайте сделаем это: i) f (x): Давайте посмотрим на x = 2 на графике f. Начиная с x = 1 и двигаясь к x = 2 («левая» сторона), мы видим, что по мере того, как мы приближаемся к x = 2, функция f (x) становится все ближе и ближе к f (x). = -1 (точка (2, -1)). Итак, у нас есть хорошее предположение, что предел = 2. . Важно отметить, что мы должны проверить, что «правый» предел равен тому же самому. Начиная с x = 3 и двигаясь к x = 2, мы видим, что функция направляется к той же точке (2, -1) (т.е. f (x) = -1). Следовательно, наш предел для f (x) равен -1. ii) g (x): Давайте теперь посмотрим на график g (x). Используя ту же логику, я могу начать с x = 1 и перейти к x = 2. Когда я это сделаю, я замечаю, что график приближается к точке (2, 2) (т.е. g (x) = 2). То же самое, если я начинаю с x = 3 и двигаюсь в другую сторону, поэтому наш предел для g (x) равен 2. Сложите их вместе, и мы получим наш ответ: -1 + 2 = 1. Теперь, когда мы установили базовую логику поиска предела в Части (a), мы можем подойти к другим аналогичным образом: b) Здесь я снова могу использовать свойство, подобное тому, которое использовалось выше. : что предел разницы равен разнице лимитов. Это означает, что все, что мне нужно сделать, это найти предел при x -> 0 для f (x), найти предел при x -> 0 для g (x), а затем вычесть два. Но ждать! Я сразу вижу проблему. График g (x) имеет два «предела» при x = 0; когда вы начинаете с -1 и направляетесь к нулю, мы приближаемся к точке (0,3), но если мы начинаем с 1, мы приближаемся к точке (0,1).Поскольку правый и левый пределы не равны друг другу, предел для g не существует! Это означает, что здесь не существует ограничения для всего этого (по крайней мере, при x -> 0). c) Подобно частям (a) и (b), предел продукта равен произведению лимита. Итак, давайте снова посмотрим на f (x) и g (x) по отдельности. Я выйду из строя ради этого, и вы поймете, почему. Предел для g (x) довольно прост: мы начинаем с x = -2 и направляемся к x = -1, чтобы найти график, приближающийся к (-1, 2).То же самое и с другой стороны — так что предел x -> -1 для g (x) равен 2. Что же происходит с f? Похоже, если мы посмотрим влево от оси y, у нас будет плавная кривая в каждой точке , кроме x = -1, где есть «разрыв» в (-1,1) и «прыжок» к точке. (-1,3). Означает ли это, что наш ответ — 3, поскольку это то, что равно f (x), когда мы подключаем x = -1? Не совсем! Здесь пределы отличаются от нашей обычной алгебры. Мы используем ту же логику, что и для частей (a) и (b) — начинаем с -2 и направляемся к -1.К чему подходит функция ? Похоже на точку (-1,1). То же самое, если мы начнем с x = 0. Таким образом, предел x -> -1 для f (x) на самом деле равен 1! Умножьте это на предел для g (x), и мы получим 2 x 1 = 1. d) Снова отметив, что предел произведения равен произведению пределов, это намного проще, чем части (b) и (c) — поскольку нет странных промежутков, скачков или острых точек для любого из графиков при x = 3, мы можем просто перемножить f (3) и g (3) вместе, чтобы получить наш ответ — и поскольку g (3) равно нулю, а любое значение, умноженное на ноль, равно нулю, нашим пределом будет ноль. д) Мне трудно понять, что именно задает этот вопрос (просто потому, что Wyzant иногда затрудняет использование математических обозначений), но вот мой лучший снимок. Здесь мы используем принцип, согласно которому мы можем «вытащить» постоянные коэффициенты, и нам просто нужно вставить x = 2, чтобы оценить x-часть. Вот что я имею в виду: в части (а) мы обнаружили, что предел при x-> 2 для f (x) = -1. Умножьте это на 2x, чтобы получить -2x. Теперь вставьте x = 2 (так как это значение x, о котором в первую очередь задается этот вопрос!), И мы обнаружим, что наш предел равен -2 x 2 = -4. f) Наконец, этот вопрос просит нас еще раз взглянуть на то, что мы обнаружили в Части (c) — что f (-1) не обязательно равно пределу x -> -1 для f (x). . Опять же, если мы посмотрим влево от оси Y, мы увидим, что f (x) — это плавная кривая в каждой точке, кроме x = -1, где есть «разрыв» в (-1, 1) и «скачок». «до (-1,3). Обратите внимание, что точка (-1,3) — это та, которая фактически заполнена: это означает, что f (-1) = 3. Теперь мы уже знаем из части (c), что предел как x -> -1 для g (x) равно 2: поэтому наш окончательный ответ — 3 + 2 = 5.{2} + 3h} {h} \\
& = \ lim_ {h \ to 0} \ dfrac {h (-4x — 2h + 3)} {h} \\
& = \ lim_ {h \ to 0} (- 4x-2h + 3) \\
f ‘(x) & = — 4x + 3
\ end {align *} Определите производную от \ (f \ left (x \ right) = \ frac {1} {x-2} \), используя первые принципы. \ begin {align *}
f (x) & = \ frac {1} {x-2} \\
f (x + h) & = \ frac {1} {x + h-2} \\
f ‘(x) & = \ lim_ {h \ to 0} \ dfrac {f (x + h) -f (x)} {h} \\
& = \ lim_ {h \ to 0} \ dfrac {\ frac {1} {x + h-2} — \ frac {1} {x-2}} {h} \\
& = \ lim_ {h \ to 0} \ dfrac {\ frac {(x-2) — (x + h-2)} {(x + h-2) (x-2)}} {h} \\
& = \ lim_ {h \ to 0} \ dfrac {\ frac {x-2-x-h + 2} {(x + h-2) (x-2)}} {h} \\
& = \ lim_ {h \ to 0} \ left (\ dfrac {-h} {(x + h-2) (x-2)} \ right) \ times \ frac {1} {h} \\
& = \ lim_ {h \ to 0} \ dfrac {-1} {(x + h-2) (x-2)} \\
f ‘(x) & = \ frac {-1} {(x-2) ^ {2}}
\ end {align *} Определите \ ({g} ‘\ left (3 \ right) \) из первых принципов, если \ (g \ left (x \ right) = — 5 {x} ^ {2} \).{2}} {h} \\
& = \ lim_ {h \ to 0} \ dfrac {h (-10x-5h)} {h} \\
& = \ lim_ {h \ to 0} (- 10x-5h) \\
& = — 10x
\ end {align *} Следовательно:
\ begin {align *}
g ‘(3) & = -10 (3) \\
& = -30
\ end {align *} Если \ (p \ left (x \ right) = 4x (x-1) \), определите \ ({p} ‘\ left (x \ right) \), используя первые принципы.{n-1}
\ end {выровнять *} Это очень ценное общее правило для нахождения производной функции. |