от Архимеда до Валлиса и Бернулли – Российский учебник
Как только в учебнике алгебры появляется обозначение log, у школьников всех времен и народов сводит челюсти до зубовного скрежета. Ну разве только особо влюбленных в математику учеников минует эта участь. А большинство школяров закатывают глаза к небу и мучаются извечным вопросом «Зачем?»…
Уверены, в конце статьи вы не только найдете ответ на вопрос, но и сможете с легкостью решить задания из учебника «Алгебра 11 класс» под редакцией А.Г.Мерзляка.
Предпосылки к открытию
Предпосылки к открытию логарифмов были уже в Античности. Архимед знал о связи между арифметической и геометрической прогрессиями, а также о некоторых свойствах степеней с натуральным показателем.
Большой толчок к развитию не только математики, но и других естественных наук дала Эпоха Великих Географических Открытий. Население росло, запасы истощались, и в поисках новых земель и приключений отважные мореплаватели отправлялись бороздить просторы всех шести океанов.
И, чтобы точно проложить курс через моря и океаны, сложить 5 и 7 было явно недостаточно. Нужны были сложные расчеты с привязкой к звездному небу, учитывающие расположение звезд и конфигурацию планет, для определения курса корабля, а калькулятор в карманы лосин, туго обтягивающих бедра капитана корабля, не помещался.
Астрономы тратили несколько месяцев на трудоемкие расчеты с многозначными числами. В середине XV столетия, сопоставляя значения геометрических и арифметических прогрессий, кому-то из светлых умов пришла идея в расчетах заменить умножение многозначных чисел с громоздкими результатами сложением, взяв геометрическую прогрессию за исходную.
Впервые примеры таких расчетов в 1544 году в книге «Arithmetica integra» опубликовал Михаэль Штифель. Революционной идей ученого был переход от целых показателей степеней к произвольным рациональным числам. Однако развивать свою идею дальше и составлять таблицы для вычислений он не стал.
Джон Непер — отец логарифмов
В начале XVI века два ученых, не зная об исследованиях друг друга, опубликовали свои работы по изучению арифметических и геометрических прогрессий:
- В 1614 г. шотландский математик Джон Непер опубликовал книгу «Описание удивительной таблицы логарифмов».
- В 1620 г. из-под пера швейцарского ученого Иоста Бюрги вышел труд «Таблицы арифметической и геометрической прогрессий, вместе с основательным наставлением, как их нужно понимать и с пользой применять во всяческих вычислениях».
Кто-то может посмеяться и сказать: «Одновременно?! Да между книгами прошло 6 лет, и Бюрги украл идею Непера!». Но во времена, когда не было интернета и международных научных симпозиумов, а информация распространялась «голубиной почтой», 6 лет — не такой большой срок. А одновременное открытие логарифмов, в странах разделенных не только расстоянием, но и языковым барьером, как раз свидетельствует о важности этого открытия.
Учитывая, что Джон Непер предложил придуманный им способ вычислений называть логарифм (от греческих слов logos – «отношение» и arithmos – «число», а вместе – «число отношений»), он по праву считается отцом логарифмов. Еще шотландский математик составил специальные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1 и с точностью до восьми знаков. С началом практического использования таблиц Непера умножение многозначных чисел и извлечение корней значительно упростилось.
Что ещё почитать?
«Игровая заниматика» — игры и упражнения на развитие предпосылок логического мышления
Почему делить на ноль нельзя?Развитие компетенций учителя математики основной и средней школы
Демоверсия ЕГЭ-2019 по математике (профильный уровень)
Дальнейшая история логарифмов.
В 1620 году Эдмунд Уингейт предложил модель логарифмической линейки. И до изобретения калькулятора логарифмическая линейка оставалась незаменимым помощником инженеров, мореплавателей, и других ученых, которым требовалась работа с большими числами.
Впоследствии многие ученые создавали свои таблицы логарифмов, уточняя их значения. Не обошел своим вниманием эту тему и Иоган Кеплер — известный ученый не только открыл законы движения небесных тел, но и составил астрономические таблицы, которые опубликовал в 1624 году с восторженным посвящением Джону Неперу, не зная о смерти отца логарифмов.
Наиболее близко к современному определению логарифмирования подошли Валлис (1685) и Иоганн Бернулли (1694). Эйлер окончательно узаконил логарифмирование как математическое действие, обратное возведению в степень.
Многие ученые в своих вычислениях стали пользоваться таблицами логарифмов, а Лаплас Пьер Симон в одном из своих трудов написал фразу, вынесенную в эпиграф статьи: «Изобретение логарифмов, сократив вычисления нескольких месяцев в труд нескольких дней, словно удваивает жизнь астрономов».
Астрономами в то время называли не только любителей звездного неба, каждый вечер настраивающих свои телескопы в поисках новых и сверхновых звезд, а любого ученого, использующего в своих расчетах сложные вычисления.
Другие области применения логарифмической шкалы
Математика – не единственная дисциплина, где используется логарифмическая шкала. Часто, даже не подозревая об этом, мы пользуемся ей в других науках. Например:
- интенсивность звука (децибелы) в физике;
- шкала яркости звёзд в астрономии;
- активность водородных ионов (pH) в химии;
- шкала Рихтера для определения интенсивности землетрясения в сейсмологии;
- логарифмическая шкала времени в истории.
Решать просто уравнения скучно, хотя и очень полезно. Тот, кто решит все задания в учебнике Алгебра 11 класс под редакцией Мерзляка, сдаст ЕГЭ на высокий балл.
Работать с практическими задачами намного интереснее.
Методические советы
Практическая задача
Представим, что на Землю нападают противные инопланетные чудовища, покрытые кислотной слизью, которые размножаются делением. Первоначально на землю была заброшена исследовательская шлюпка с 8 тварями на борту. Атмосфера земли оказалась столь прекрасна, что через два часа количество особей увеличилось до 100 штук. И перед землянами стоит задача не только выхватить огнемет и с доблестью, достойной Мстителей истребить инопланетных тварей, но и рассчитать, через какое время захватчики размножатся до 500 штук и поработят землю.
Для решения задачи вспомним также понятия скорости и ускорения
- 8х=100 ⇒ х=log8100 ⇒ – конечное значение скорости размножения тварей при первом изменении vкон1
- Проделываем те же расчеты для второго изменения:
8х=500 ⇒ х=log8500 ⇒ log8500 – конечное значение скорости размножения тварей при втором изменении vкон2 - Зная формулу ускорения
v=vнач+at ⇒ a=(v-vнач)/t
где а — ускорение,
t — время
и приняв, что начальная скорость равна log88 =vнач(наши исходные 8 тварей)
t1=2 часа
t2=x
составим уравнения ускорения а1 = (vкон1-vнач)/t1 ⇒ (log8100 — log88)/ 2
а2 = (vкон2-vнач)/t2 ⇒ (log8500 — log88)/ x - Поскольку инопланетные твари размножаются с постоянной скоростью, а1=а2 ⇒(log8100 — log88)/ 2= (log8500 — log88)/ x
- Чтобы воспользоваться табличными данными, переведем логарифмы в натуральные, используя формулу
logab = lnb lna - В этом случае выражение примет вид:
ln100 — ln8 = ln500 — ln8 ⇒x= 2(ln500/8) 2ln8 xln8 ln(100/8) - Посмотрим в таблице справочные данные или вычислим на калькуляторе значения логарифмов и решим уравнение:
x= 2×4,13 ≈3. 27 часа или 3 часа 18 минут. 2,53
Ответ: всего 3 часа 18 минут понадобится инопланетным тварям на захват Земли, если герои Марвел их не остановят.
#ADVERTISING_INSERT#
домен-логарифмическая-функция-калькулятор — Googlesuche
AlleBilderVideosShoppingMapsNewsBücher
suchoptionen
Functions Domain Calculator — — Symbolab
www.symbolab.com — найти домен функций шаг за шагом. … квадратный корень из отрицательного числа или логарифмирование отрицательного числа.
Онлайн-калькулятор доменов и диапазонов — Wolfram|Alpha
www.wolframalpha.com › калькуляторы › domain-ran…
Wolfram|Alpha — отличный инструмент для определения домена и диапазона функции. Он также показывает графики функции и иллюстрирует домен и диапазон на …
домен log(x) — Wolfram|Alpha
www. wolframalpha.com › input › i=domain+of+log. ..
Вычисляйте ответы, используя революционную технологию и базу знаний Wolfram, на которые полагаются миллионы студентов и профессионалов. Для математики, естественных наук, питания, …
Калькулятор поиска домена — Mathway
www.mathway.com › Калькулятор › поиск домена
Калькулятор домена позволяет вам взять простую или сложную функцию и мгновенно найти домен как в интервале, так и в записи. .
Домен калькулятора функций — AtoZmath.com
atozmath.com › Functions2 › q=domain
Домен калькулятора функций — y=2x-5 найти Домен функции, шаг за шагом онлайн.
Ähnliche Fragen
Как найти домен функции?
Что такое домен и диапазон функции калькулятора?
Калькулятор домена и диапазона — eMathHelp
www.emathhelp.net › калькуляторы › исчисление-1 › dom…
Пошаговый расчет домена и диапазона. Калькулятор найдет домен и диапазон функции одной переменной.