Решение матричным способом системы уравнений онлайн: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Матричный метод. Метод обратной матрицы.

Задание 4. Решение систем линейных уравнений

Решить систему линейных уравнений, используя различные способы.

Задание выполните с помощью математического пакета MathCAD (использовать матричный метод, метод Гаусса, метод Крамера, встроенную функцию lsolve, метод Given-Find) и электронной таблицы Microsoft Excel (использовать матричный метод, метод Крамера, инструмент Поиск решения).

Выполнение в MCAD:

Споcоб 1 Матричный метод

Полученные результаты вида -1.421х10^-14 с заданной степенью точности равны 0

Споcоб 2 Метод Гаусса

Споcоб 3 Метод Крамера

Получаем матрицы из матрицы A заменой i-столбца на вектор свободных членов b

Определители этих матриц

Решение системы

Споcоб 4 Встроенной функции lsolve

Способ 5 Метод Given-Find

Выполнение в Excel:

Способ 1 Матричный метод

В общем случае решение линейной системы AX=B, где А – матрица коэффициентов, В – вектор свободных членов, Х – вектор-столбец неизвестных, имеет вид X=A^–1B, где A^–1 – матрица обратная к матрице А. Это вытекает из того, что при решении матричных уравнений при Х должна остаться единичная матрица Е. Умножая слева обе части уравнения АХ=В на A^–1, получаем решение линейной системы уравнений.

Найти все неизвестные величины можно, выполнив следующие действия:

1. Сформировать матрицу коэффициентов при неизвестных и записать ее в виде массива.

2. Сформировать матрицу свободных членов и тоже записать ее в виде массива.

3. Выделить блок для обратной матрицы (число ее строк и столбцов будет соответствовать матрице коэффициентов при неизвестных) и выполните команду меню Вставка – Функция. В появившемся окне в поле Категория выбрать Математические, в поле Выберите функцию – МОБР. В появившемся окне Аргументы функции в поле Массив ввести адрес массива, соответствующего матрице коэффициентов при неизвестных. Ввод формулы для массива осуществляется одновременным нажатием Ctrl+Shift+OK или Ctrl+Shift+Enter.

4. Для определения значений неизвестных обратную матрицу следует умножить на матрицу свободных членов. Необходимо выделить блок для результата (количество ячеек соответствует количеству неизвестных). Вставка – Функция. В появившемся окне в поле Категория выбрать Математические, в поле Выберите функцию – МУМНОЖ. В качестве аргументов функции ввести в поле Массив1 адрес массива, соответствующего обратной матрице, и в поле Массив2 – матрице свободных членов. Ввод формулы для массива осуществляется одновременным нажатием Ctrl+Shift+OK или Ctrl+Shift+Enter.

5. Можно сделать проверку найденного результата. Умножив матрицу коэффициентов при неизвестных на матрицу неизвестных, в случае правильного решения получится матрица свободных членов.

6. Результат решения системы линейных уравнений матричным способом

представлен на рисунке

Способ 2 Метод Крамера

1. Введём матрицу А и вектор b на рабочий лист.

2. Сформируем четыре вспомогательные матрицы, заменяя последовательно столбцы матрицы A на столбец вектора b

3. Чтобы вычислить определитель матрицы A. Установим курсор в ячейку H9 и обратимся к мастеру функций. В категории Математические выберем функцию МОПРЕД, предназначенную для вычисления определителя матрицы, и перейдём ко второму шагу мастера функций. Диалоговое окно, появляющееся на втором шаге содержит поле ввода Массив. В этом поле указывают диапазон матрицы, определитель которой вычисляют. В нашем случае это ячейки B2:E5.

4. Для вычисления вспомогательных определителей введем формулы:

h20=МОПРЕД(B7:E10),

h21=МОПРЕД(B12:E15),

h22=МОПРЕД(B17:E20),

h23=МОПРЕД(B22:E25).

5. В результате в ячейке H9 хранится главный определитель, а в ячейках h20:h23 – вспомогательные.

6. Воспользуемся формулами Крамера и разделим последовательно вспомогательные определители на главный. В ячейку К10 введём формулу =h20/$H$9. Затем скопируем её содержимое в ячейки К11, К12 и К13.

7. Результат решения системы линейных уравнений методом Крамера представлен на рисунке.

Способ 3 Инструмент Поиск решения

Для решения системы линейных уравнений с помощью инструмента Поиск решения выполним следующее:

1. Внесем коэффициенты системы в ячейки A2:D5, а свободные члены в диапазон G2:G5.

2. В ячейку F2 введем формулу =СУММПРОИЗВ($A$8:$D$8;A2:D2) и скопируем ее с помощью маркера заполнения в ячейки F3, F4 и F5. Наша задача добиться совпадения значений столбцов F и G. В качестве изменяемых значений используются ячейки A8, B8, С8 и D8 (в них будет находиться решение системы соответственно x

   1, х₂, х₃ и х₄). Первоначально они остаются пустыми, т.е. равными 0.

3. Выполним команду Сервис – Поиск решения.

4. В появившемся диалоговом окне Поиск решения (рис. 7) в поле Изменяемые ячейки вводятся $A$8:$D$8, в поле Ограничения $F$2:$F$5==$G$2:$G$5.

Результат представлен на рисунке.

НОУ ИНТУИТ | Лекция | Матричная запись системы. Метод Гаусса. Метод Крамера. Матричный способ

< Лекция 10 || Лекция 5: 12345

Аннотация: В лекции рассмотрено использование ранее изученных методов для поиска решений системы линейных уравнений

Ключевые слова: определитель, Алгебраическим дополнением, алгебраические, коэффициенты, равенство, свободными членами, определителем системы, переменная, бесконечное множество, вывод, множитель, коэффициентами системы, система линейных уравнений, обратный, матричная форма, матрица, детерминант, совместность, расширенная матрица, выражение

Правило Крамера

intuit.ru/2010/edi»>Основные задачи изучения системы (3.1), «лекции 3» :

1. Выяснить, является ли система (3.1) совместной или несовместной.
2. Если система (3.1) совместна, то выяснить, является ли она определенной и найти решения.

Далее рассмотрим, в частности, систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными.

( 4.2)

Составим из коэффициентов при неизвестных системы (4.2) определитель этой системы

Умножим обе части первого уравнения почленно на алгебраическое дополнение А₁₁ элемента а₁₁, второе уравнение — на алгебраическое дополнение А₂₁ элемента а₂₁, а третье — на алгебраическое дополнение А₃₁ элемента а₃₁.

Сложим все три полученных уравнения, умножив предварительно на соответствующие алгебраические дополнения, получим

( 4.3)

Коэффициенты при y и z в силу свойства определителя (см. «лекц. 1» , теорема 2) равны нулю, а коэффициент при х на основании тех же свойств (см. «лекц. 1» , теорема 1) равен , т.е. , поэтому равенство (4.3) примет вид:

( 4.4)

( 4. 5)

Заметим, что определитель получается из определителя путем замены коэффициентов а₁₁, а₂₁, а₃₁

при неизвестном х свободными членами или замены первого столбца коэффициентов при искомом х столбцом свободных членов. Аналогично получаются другие равенства:

( 4.6)

Определители и получают из определителя системы заменой второго и третьего столбцов коэффициентов при y и z столбцом свободных членов.

Рассмотрим следующие случаи.

1. . Тогда из равенств (4. 4) и (4.5) находим решение системы (2) как

   ( 4.7)

   которые называют формулами Крамера.
2. . Тогда по крайней мере один из , или отличен от нуля и система (4.2) не имеет решения (система несовместна), что можно показать. Пусть, например, . Тогда равенство из (4.4) получаем или , что невозможно.
3. и . Тогда система (4.2) либо не имеет решения, либо имеет бесконечное множество решений.

Пример 1. Решить систему

Решение. Вычислим все определители.

Так как , то данная система имеет единственное решение, которое найдем по формулам Крамера (4. 7):

т.е. (2, 0, -1) — искомое решение системы.

Пример 2. Решить систему

Решение. Вычислим определители

т.е. система решений не имеет (случай 2)

Пример 3. Решить систему

Решение. Нетрудно убедиться в том, что и . Данная система не имеет решений, так как первое и третье уравнения противоречивы. Если умножить первое уравнение на 3 и вычесть из полученного уравнение третье, то придем к ложному равенству 0 = 3.

Пример 4. Решить систему

Решение. Нетрудно убедиться в том, что и . Так как второе уравнение получается из первого умножением на 2, то данная система равносильна системе двух уравнений относительно трех неизвестных

Так как

то можно найти решение последней системы

в которой переменная z является свободной, и, следовательно, исходная система имеет бесконечное множество решений, которое можно найти либо по формулам Крамера, либо методом исключений. В результате получим (-5z/11; (7z+11)/11; z), где z может принимать произвольные значения.

Дальше >>

< Лекция 10 || Лекция 5: 12345

Решение систем линейных уравнений с использованием матриц

Горячая математика

Если нужно, просмотрите матрицы , операции со строками матрицы и решение систем линейных уравнений прежде чем читать эту страницу.

матричный метод решения систем линейных уравнений — это просто метод исключения в маскировке. При использовании матриц запись становится немного проще.

Предположим, у вас есть система линейных уравнений, например:

{ 3 Икс + 4 у «=» 5 2 Икс − у «=» 7

Первый шаг — преобразовать это в матрицу. Убедитесь, что все уравнения в стандартной форме ( А Икс + Б у «=» С ) , и используйте коэффициенты каждого уравнения для формирования каждой строки матрицы. Это может помочь вам отделить правый столбец пунктирной линией.

[ 3 4 2 − 1 | 5 7 ]

Далее мы используем операции со строками матрицы изменить 2 × 2 матрица слева от единичная матрица . Во-первых, мы хотим получить ноль в строке 1 , Столбец 2 . Итак, добавьте 4 раз ряд 2 грести 1 .

[ 11 0 2 − 1 | 33 7 ] → добавлен ( 4 × Ряд 2 ) к Ряд 1

Далее мы хотим 1 в левом верхнем углу.

[ 1 0 2 − 1 | 3 7 ] → разделенный Ряд 1 к 11

Теперь нам нужен ноль в нижнем левом углу.

[ 1 0 0 − 1 | 3 1 ] → добавлен ( − 2 × Ряд 1 ) к Ряд 2

Наконец, мы хотим 1 в строке 2 , Столбец 2 .

[ 1 0 0 1 | 3 − 1 ] → умноженный Ряд 2 к − 1

Теперь, когда у нас есть 2 × 2 единичная матрица слева, мы можем прочитать решения из правого столбца:

Икс «=» 3 у «=» − 1

Этот же метод можно использовать для н линейные уравнения в н неизвестные; в этом случае вы должны создать н × ( н − 1 ) матрица и используйте операции со строками матрицы, чтобы получить тождество н × н матрица слева.

Важная заметка: Если уравнения, представленные вашей исходной матрицей, представляют собой параллельные линии, вы не сможете получить единичную матрицу, используя операции со строками. В этом случае решения либо не существует, либо существует бесконечно много решений системы.

4.5 Решение систем уравнений с помощью матриц — Алгебра среднего уровня 2e

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Написать расширенную матрицу для системы уравнений
• Использовать операции со строками в матрице
• Решение систем уравнений с использованием матриц

Будь готов 4.13

Прежде чем приступить к работе, пройдите этот тест на готовность.

Решите: 3(x+2)+4=4(2x−1)+9,3(x+2)+4=4(2x−1)+9.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 2.2.

Будь готов 4.14

Решите: 0,25p+0,25(p+4)=5,20. 0,25p+0,25(p+4)=5,20.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 2.13.

Будь готов 4.15

Оценить, когда x=−2x=−2 и y=3:2×2−xy+3y2.y=3:2×2−xy+3y2.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите пример 1.21.

Напишите расширенную матрицу для системы уравнений

Решение системы уравнений может быть утомительной операцией, где простая ошибка может нанести ущерб поиску решения. Доступен альтернативный метод, использующий основные процедуры исключения, но с более простыми обозначениями. Метод предполагает использование матрицы. Матрица представляет собой прямоугольный массив чисел, расположенных в строках и столбцах.

Матрица

Матрица представляет собой прямоугольный массив чисел, расположенных в строках и столбцах.

Матрица с m строк и n столбцов имеет порядок m×n.m×n. Матрица слева внизу имеет 2 строки и 3 столбца, поэтому она имеет порядок 2×3,2×3. Мы говорим, что это матрица 2 на 3.

Каждое число в матрице называется элементом или записью в матрице.

Мы будем использовать матрицу для представления системы линейных уравнений. Мы записываем каждое уравнение в стандартной форме, а коэффициенты переменных и константы каждого уравнения становятся строкой в ​​матрице. Тогда каждый столбец будет коэффициентом одной из переменных в системе или констант. Вертикальная черта заменяет знаки равенства. Полученную матрицу назовем расширенной матрицей системы уравнений.

Обратите внимание, что первый столбец состоит из всех коэффициентов x , второй столбец содержит все коэффициенты y , а третий столбец содержит все константы.

Пример 4,37

Запишите каждую систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы:

ⓐ {5x−3y=−1y=2x−2{5x−3y=−1y=2x−2 ⓑ {6x−5y+2z=32x+y− 4z=53x−3y+z=−1{6x−5y+2z=32x+y−4z=53x−3y+z=−1

Решение

ⓐ Второе уравнение не в стандартной форме. Перепишем второе уравнение в стандартной форме.

y=2x−2−2x+y=−2y=2x−2−2x+y=−2

Заменим второе уравнение его стандартной формой. В расширенной матрице первое уравнение дает нам первую строку, а второе уравнение дает нам вторую строку. Вертикальная черта заменяет знаки равенства.

ⓑ Все три уравнения представлены в стандартной форме. В расширенной матрице первое уравнение дает нам первую строку, второе уравнение дает нам вторую строку, а третье уравнение дает нам третью строку. Вертикальная черта заменяет знаки равенства.

Попробуй 4,73

Запишите каждую систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы: y+4z=7x+3y+2z=-3{2x-5y+3z=83x-y+4z=7x+3y+2z=-3

Попробуй 4,74

Запишите каждую систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы:

ⓐ {11x=−9y−57x+5y=−1{11x=−9y−57x+5y=−1 ⓑ {5x−3y+2z=−52x −y−z=43x−2y+2z=−7{5x−3y+2z=−52x−y−z=43x−2y+2z=−7

При решении систем уравнений с использованием матриц важно иметь возможность переключаться между системой и матрицей. В следующем примере нас просят взять информацию из матрицы и написать систему уравнений.

Пример 4,38

Запишите систему уравнений, соответствующую расширенной матрице:

[4−3312−1−2−13|−12−4].[4−3312−1−2−13|−12−4].

Решение

Мы помним, что каждая строка соответствует уравнению и что каждая запись является коэффициентом переменной или константой. Вертикальная черта заменяет знак равенства. Поскольку эта матрица имеет размер 4×34×3, мы знаем, что она преобразуется в систему из трех уравнений с тремя переменными.

Попробуй 4,75

Запишите систему уравнений, соответствующую расширенной матрице: [1−12321−214−120].[1−12321−214−120].

Попробуй 4,76

Напишите систему уравнений, соответствующую расширенной матрице: [111423−1811−13].[111423−1811−13].

Использование операций со строками в матрице

Как только система уравнений будет представлена ​​в форме расширенной матрицы, мы будем выполнять операции над строками, которые приведут нас к решению.

Чтобы решить методом исключения, не имеет значения, в каком порядке мы расположим уравнения в системе. Точно так же в матрице мы можем поменять местами строки.

Когда мы решаем методом исключения, мы часто умножаем одно из уравнений на константу. Поскольку каждая строка представляет собой уравнение, и мы можем умножать каждую часть уравнения на константу, аналогичным образом мы можем умножать каждую запись в строке на любое действительное число, кроме 0,

.

При исключении мы часто добавляем кратное число одной строки к другой строке. В матрице мы можем заменить строку на ее сумму, кратную другой строке.

Эти действия называются операциями со строками и помогут нам использовать матрицу для решения системы уравнений.

Операции со строками

В матрице следующие операции могут выполняться над любой строкой, и результирующая матрица будет эквивалентна исходной матрице.

1. Поменяйте местами любые два ряда.
2. Умножить строку на любое действительное число, кроме 0.
3. Добавить ненулевое кратное одной строки к другой строке.

Выполнить эти операции несложно, но все арифметические действия могут привести к ошибке. Если мы используем систему для записи операций со строками на каждом этапе, гораздо проще вернуться и проверить нашу работу.

Мы используем заглавные буквы с нижними индексами для представления каждой строки. Затем мы показываем операцию слева от новой матрицы. Чтобы показать перестановку строк:

Чтобы умножить строку 2 на -3-3:

Чтобы умножить строку 2 на −3−3 и прибавить к строке 1:

Пример 4,39

Выполнить указанные операции над расширенной матрицей:

ⓐ Поменять местами строки 2 и 3.

ⓑ Умножить строку 2 на 5.

ⓒ Умножить строку 3 на -2-2 и прибавить к строке 1.

[6-5221-43-31|35-1][6-5221-43-31|35-1]

Решение

ⓐ Поменяем местами строки 2 и 3.

ⓑ Умножим строку 2 на 5.

ⓒ Умножим строку 3 на −2−2 и прибавим к строке 1.

Попробуй 4,77

Выполнить последовательно указанные операции над расширенной матрицей:

ⓐ Поменять местами строки 1 и 3.

ⓑ Умножить строку 3 на 3.

ⓒ Умножить строку 3 на 2 и прибавить к строке 2.

[5-2-24-1-4-230|-24-1][5-2-24-1-4-230|-24-1]

Попробуй 4,78

Выполнить указанные операции над расширенной матрицей:

ⓐ Поменять местами строки 1 и 2,

ⓑ Умножить строку 1 на 2,

ⓒ Умножить строку 2 на 3 и прибавить к строке 1.

[2 −3− 241−3504|−42−1][2−3−241−3504|−42−1]

Теперь, когда мы попрактиковались в операциях со строками, мы рассмотрим расширенную матрицу и выясним, какую операцию мы будем использовать для достижения цели. Это именно то, что мы сделали, когда мы сделали исключение. Мы решили, на какое число умножить строку, чтобы при сложении строк исключалась переменная.

Учитывая эту систему, что бы вы сделали, чтобы исключить x ?

Следующий пример делает то же самое, но с матрицей.

Пример 4.40

Выполните необходимую операцию со строками, чтобы первая запись в строке 2 была равна нулю в расширенной матрице: [1−14−8|20].[1−14−8|20].

Решение

Чтобы число 4 стало равным 0, мы могли бы умножить строку 1 на -4−4, а затем прибавить к строке 2.

Попробуй 4,79

Выполните необходимую операцию со строками, чтобы первая запись в строке 2 была равна нулю в расширенной матрице: [1−13−6|22].[1−13−6|22].

Попробуй 4,80

Выполните необходимую операцию со строками, чтобы первая запись в строке 2 была равна нулю в расширенной матрице: [1−1−2−3|32].[1−1−2−3|32].

Решение систем уравнений с использованием матриц

Чтобы решить систему уравнений с использованием матриц, мы преобразуем расширенную матрицу в матрицу в виде строк-ступеней, используя операции со строками. Для непротиворечивой и независимой системы уравнений ее расширенная матрица имеет форму эшелона строк, когда слева от вертикальной линии каждая запись на диагонали равна 1, а все записи ниже диагонали — нули.

Рядно-Эшелонная Форма

Для непротиворечивой и независимой системы уравнений ее расширенная матрица имеет вид строк-ступенчатой ​​формы , когда слева от вертикальной линии каждая запись на диагонали равна 1, а все записи ниже диагонали — нулями.

Как только мы приведем расширенную матрицу к ступенчатой ​​форме, мы можем написать эквивалентную систему уравнений и прочитать значение по крайней мере одной переменной. Затем мы подставляем это значение в другое уравнение, чтобы продолжить решение для других переменных. Этот процесс проиллюстрирован в следующем примере.

Пример 4.41

Как решить систему уравнений с помощью матрицы

Решить систему уравнений с помощью матрицы: {3x+4y=5x+2y=1. {3x+4y=5x+2y=1.

Решение

Попробуй 4,81

Решите систему уравнений, используя матрицу: {2x+y=7x−2y=6.{2x+y=7x−2y=6.

Попробуй 4,82

Решите систему уравнений, используя матрицу: {2x+y=−4x−y=−2.{2x+y=−4x−y=−2.

Здесь приведены шаги.

Как

Решите систему уравнений с помощью матриц.

1. Шаг 1. Запишите расширенную матрицу для системы уравнений.
2. Шаг 2. Используя операции со строками, запись в строке 1 столбца 1 будет равна 1.
3. Шаг 3. Используя операции со строками, получите нули в столбце 1 ниже 1.
4. Шаг 4. Используя операции со строками, сделайте запись в строке 2 столбца 2 равной 1.
5. Шаг 5. Продолжайте процесс до тех пор, пока матрица не будет иметь форму строки-эшелона.
6. Шаг 6. Напишите соответствующую систему уравнений.
7. Шаг 7. Используйте подстановку, чтобы найти оставшиеся переменные.
8. Шаг 8. Запишите решение в виде упорядоченной пары или тройки.
9. Шаг 9. Убедитесь, что решение делает исходные уравнения верными.

Вот изображение, показывающее порядок получения 1 и 0 в правильном положении для формы строки-эшелона.

Мы используем ту же процедуру, когда система уравнений состоит из трех уравнений.

Пример 4,42

Решите систему уравнений, используя матрицу: {3x+8y+2z=-52x+5y-3z=0x+2y-2z=-1.{3x+8y+2z=-52x+5y-3z=0x+ 2y−2z=−1.

Решение

Use operation minus 2R2 plus R3 on row 3. Use operation 1 upon 6 R3 on row 3. The matrix is now in row-echelon form. The corresponding system of equations is x plus 2y minus 2z equals minus 1, y plus z equals 2 and z equals minus 1. Using substitution, we get y equal to 3 and x equal to minus 9. The solution is minus 9, 3, minus 1. Check that the original equations hold true.» data-label=»»>

Напишите расширенную матрицу для уравнений.
Поменяйте местами строки 1 и 3, чтобы получить запись в строке 1 , столбец 1 будет равен 1.
Используя операции со строками, получить нули в столбце 1 под 1.
Запись в строке 2 столбца 2 теперь равна 1.
Продолжайте процесс до тех пор, пока матрица не будет иметь форму строки-эшелона.
Матрица теперь имеет форму строки-эшелона.
Напишите соответствующую систему уравнений.
Используйте подстановку, чтобы найти остальные переменные.
Запишите решение в виде упорядоченной пары или тройки.
Убедитесь, что решение соответствует исходным уравнениям.	Мы оставляем вам чек.

Попробуй 4,83

Решите систему уравнений, используя матрицу: {2x−5y+3z=83x−y+4z=7x+3y+2z=−3.{2x−5y+3z=83x−y+4z=7x+3y+ 2z=−3.

Попробуй 4,84

Решите систему уравнений, используя матрицу: {−3x+y+z=−4−x+2y−2z=12x−y−z=−1.{−3x+y+z=−4−x+ 2y−2z=12x−y−z=−1.

До сих пор мы работали с матрицами только с непротиворечивыми и независимыми системами, что означает, что они имеют ровно одно решение. Давайте теперь посмотрим, что происходит, когда мы используем матрицу для зависимой или противоречивой системы.

Пример 4,43

Решите систему уравнений, используя матрицу: {x+y+3z=0x+3y+5z=02x+4z=1.{x+y+3z=0x+3y+5z=02x+4z=1.

Решение

Напишите расширенную матрицу для уравнений.
Запись в строке 1 столбца 1 равна 1.
Используя операции со строками, получить нули в столбце 1 под 1.
Продолжайте процесс до тех пор, пока матрица не будет иметь форму строки-эшелона.
Умножить строку 2 на 2 и добавить к строке 3.
На данный момент у нас есть все нули слева от строки 3.
Запишите соответствующую систему уравнений.
Так как 0≠10≠1 мы имеем ложное утверждение. Точно так же, как когда мы решали систему, используя другие методы, это говорит нам о несогласованности системы. Нет решения.

Попробуй 4,85

Решить систему уравнений с помощью матрицы: {x−2y+2z=1−2x+y−z=2x−y+z=5.{x−2y+2z=1−2x+y−z=2x −y+z=5.

Попробуй 4,86

Решите систему уравнений с помощью матрицы: {3x+4y-3z=-22x+3y-z=-12x+y-2z=6.{3x+4y-3z=-22x+3y-z=-12x +y−2z=6.

Последняя система была несогласованной и поэтому не имела решений. Следующий пример является зависимым и имеет бесконечно много решений.

Пример 4,44

Решите систему уравнений, используя матрицу: {x−2y+3z=1x+y−3z=73x−4y+5z=7. {x−2y+3z=1x+y−3z=73x−4y+5z =7.

Решение

Напишите расширенную матрицу для уравнений.
Запись в строке 1 столбца 1 равна 1.
Используя операции со строками, получить нули в столбце 1 под 1.
Продолжайте процесс до тех пор, пока матрица не будет иметь форму строки-эшелона.
Умножить строку 2 на -2−2 и добавить к строке 3.
На данный момент у нас есть все нули в нижней строке.
Запишите соответствующую систему уравнений.
Поскольку 0=00=0, мы имеем верное утверждение. Так же, как когда мы решали подстановкой, это говорит нам о том, что у нас есть зависимая система. Существует бесконечно много решений.
Найдите y через z во втором уравнении.
Решите первое уравнение для x через z .
Замените y=2z+2. y=2z+2.
Упрощение.
Упрощение.
Упрощение.
Система имеет бесконечно много решений (85,-425,-245)(85,-425,-245)

Попробуй 4,87

Решите систему уравнений, используя матрицу: {x+y-z=02x+4y-2z=63x+6y-3z=9.{x+y-z=02x+4y-2z=63x+6y-3z =9.

Попробуй 4,88

Решите систему уравнений, используя матрицу: {x−y−z=1−x+2y−3z=−43x−2y−7z=0.{x−y−z=1−x+2y−3z= −43x−2y−7z=0.

СМИ

Получите доступ к этому онлайн-ресурсу для получения дополнительных инструкций и практики с методом исключения Гаусса.

• Исключение Гаусса

Раздел 4.5 Упражнения

Практика ведет к совершенству

Написать расширенную матрицу для системы уравнений

В следующих упражнениях запишите каждую систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы.

196.

ⓐ {3x−y=−12y=2x+5{3x−y=−12y=2x+5
ⓑ {4x+3y=−2x−2y−3z=72x−y+2z=−6{4x +3y=-2x-2y-3z=72x-y+2z=-6

197.

ⓐ {2x+4y=−53x−2y=2{2x+4y=−53x−2y=2
ⓑ {3x−2y−z=−2−2x+y=55x+4y+z=−1 {3x−2y−z=−2−2x+y=55x+4y+z=−1

198.

ⓐ {3x−y=−42x=y+2{3x−y=−42x=y+2
ⓑ {x−3y−4z=−24x+2y+2z=52x−5y+7z=−8 {x−3y−4z=−24x+2y+2z=52x−5y+7z=−8

199.

ⓐ {2x−5y=−34x=3y−1{2x−5y=−34x=3y−1
ⓑ {4x+3y−2z=−3−2x+y−3z=4−x−4y+ 5z=-2{4x+3y-2z=-3-2x+y-3z=4-x-4y+5z=-2

Напишите систему уравнений, соответствующую расширенной матрице.

200.

[2−11−3|42][2−11−3|42]

201.

[2−43−3|−2−1][2−43−3|−2−1]

202.

[10-31-200-12|-1-23][10-31-200-12|-1-23]

203.

[2-2002-130-1|-12-2][2-2002-130-1|-12-2]

Использование операций со строками в матрице

В следующих упражнениях выполните указанные операции над расширенными матрицами.

204.

[6−43−2|31][6−43−2|31]

ⓐ Поменять местами строки 1 и 2

ⓑ Умножить строку 2 на 3

ⓒ Умножить строку 2 на −2−2 и добавить строку 1 к это.

205.

[4−632|−31][4−632|−31]

ⓐ Поменять местами строки 1 и 2

ⓑ Умножить строку 1 на 4

ⓒ Умножить строку 2 на 3 и добавить к ней строку 1.

206.

[4-12-84-2-3-62-1|16-1-1][4-12-84-2-3-62-1|16-1-1]

ⓐ Поменять местами ряды 2 и 3

ⓑ Умножить строку 1 на 4

ⓒ Умножить строку 2 на −2−2 и прибавить к строке 3.

207.

[6-5221-43-31|35-1][6-5221-43-31|35-1]

ⓐ Поменять местами ряды 2 и 3

ⓑ Умножить строку 2 на 5

ⓒ Умножить строку 3 на −2−2 и прибавить к строке 1.

208.

Выполните необходимую операцию со строками, которая сделает первую запись в строке 2 равной нулю в расширенной матрице: [12−3−4|5−1].[12−3−4|5−1].

209.

Выполните необходимые операции со строками, чтобы первая запись в строке 2 и строке 3 была равна нулю в расширенной матрице: [1-233-1-22-3-4|-45-1].[1- 233−1−22−3−4|−45−1].

Решение систем уравнений с использованием матриц

В следующих упражнениях решите каждую систему уравнений, используя матрицу.

210.

{2x+y=2x-y=-2{2x+y=2x-y=-2

211.

{3x+y=2x-y=2{3x+y=2x-y=2

212.

{−x+2y=−2x+y=−4{−x+2y=−2x+y=−4

213.

{−2x+3y=3x+3y=12{−2x+3y=3x+3y=12

В следующих упражнениях решите каждую систему уравнений, используя матрицу.

214.

{2x−3y+z=19−3x+y−2z=−15x+y+z=0{2x−3y+z=19−3x+y−2z=−15x+y+z=0

215.

{2x−y+3z=−3−x+2y−z=10x+y+z=5{2x−y+3z=−3−x+2y−z=10x+y+z=5

216.

{2x−6y+z=33x+2y−3z=22x+3y−2z=3{2x−6y+z=33x+2y−3z=22x+3y−2z=3

217.

{4x-3y+z=72x-5y-4z=33x-2y-2z=-7{4x-3y+z=72x-5y-4z=33x-2y-2z=-7

218.

{x+2z=04y+3z=-22x-5y=3{x+2z=04y+3z=-22x-5y=3

219.

{2x+5y=43y−z=34x+3z=−3{2x+5y=43y−z=34x+3z=−3

220.

{2y+3z=-15x+3y=-67x+z=1{2y+3z=-15x+3y=-67x+z=1

221.

{3x−z=−35y+2z=−64x+3y=−8{3x−z=−35y+2z=−64x+3y=−8

222.

{2x+3y+z=12x+y+z=93x+4y+2z=20{2x+3y+z=12x+y+z=93x+4y+2z=20

223.

{x+2y+6z=5-x+y-2z=3x-4y-2z=1{x+2y+6z=5-x+y-2z=3x-4y-2z=1

224.

{x+2y-3z=-1x-3y+z=12x-y-2z=2{x+2y-3z=-1x-3y+z=12x-y-2z=2

225.

{4x-3y+2z=0-2x+3y-7z=12x-2y+3z=6{4x-3y+2z=0-2x+3y-7z=12x-2y+3z=6

226.

{x-y+2z=-42x+y+3z=2-3x+3y-6z=12{x-y+2z=-42x+y+3z=2-3x+3y-6z=12

227.

{−x−3y+2z=14−x+2y−3z=−43x+y−2z=6{−x−3y+2z=14−x+2y−3z=−43x+y−2z=6

228.