Решение неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка: Решить неоднородное дифференциальное уравнение специального вида. Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

4.8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

у» + ру’ + ду=/ (х). (1)

Оно отличается от соответствующего линейного однородного уравнения

у» + ру’ + ду = 0. (2)

наличием в правой части некоторой функции / (х).

200

Для нахождения общего решения уравнения (1) сначала нужно найти общее решение у уравнения (2), а затем найти какое-либо частное решение у* уравнения (1). Их сумма есть общее решение данного неоднородного уравнения (1):

— * у = у + у.

Приведем правило отыскания частного решения у* уравнения (1) в следующих двух случаях: правая часть f (x) имеет вид

f (x) = ekxP„(x). (3)

где Pn(x) — многочлен степени n; правая часть f (x) имеет вид

f (x) = a cos 1x + b sin 1x. (4)

Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.

I. Пусть правая часть уравнения (1) имеет вид

f (x) = (xX

причем число k не является корнем характеристического уравнения

r2 + p + q = 0, (5)

соответствующего однородному уравнению (2). Тогда частное решение уравнения (1) следует искать в форме

у* = e„(x), (6)

где Qn(x) — некоторый многочлен той же степени n с неопределенными коэффициентами.

Если же число к является корнем характеристического уравнения (5), то частное решение уравнения (1) следует искать в форме

у* = xmekx Q (x), (7)

где m — кратность корня к (т. е. m = 1, если к — однократный корень, и m = 2, если к — двукратный корень).

II. Пусть теперь правая часть уравнения (1) имеет вид:

причем числа ±1i не являются корнями характеристического уравнения (5). Тогда частное решение уравнения (1) следует искать в форме

где А и В — неопределенные коэффициенты.

Если же комплексные числа ±1i являются корнями характеристического уравнения (5), то частное решение уравнения (1) следует искать в форме

Пример 4. 21. Найти общее решение уравнения Решение:

1. Найдем общее решение у соответствующего однородного уравнения

Решая отвечающее ему характеристическое уравнение получаем корни r1 = -3, r2 = -1. Следовательно,

2. Перейдем к отысканию частного решения у* данного уравнения. Здесь правая часть f (x) = (8×2 + 84x)ex имеет вид (3): n = 2, P2(x) = 8×2 + 84x, k = 1, причем k = 1 не является корнем характеристического уравнения. Следовательно, частное решение у* нужно искать в форме

где A, B и C — некоторые коэффициенты, подлежащие определению. Для их отыскания воспользуемся тем, что у* должно быть решением данного уравнения. Найдем у*’ и у*»:

теперь подставим выражения для у*, у*’ и у*» в данное уравнение:

Сокращая обе части полученного равенства на ex и группируя члены при одинаковых степенях x, в результате получим

Это равенство выполняется тождественно только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях равенства равны между собой.

Итак, имеем следующую систему уравнений для отыскания коэффициентов A, В и С:

Решая эту систему, найдем A = 1, В = 9, С = -7. Таким образом, получаем искомое частное решение

Теперь можно записать общее решение данного уравнения

Пример 4.22. Найти общее решение уравнения

Решение. 1. Найдем у.

Характеристическое уравнениеимеем корни

r = r = -3. Следовательно,

203

2. Найдем теперь у*. Здесь правая часть имеет вид (3): n = 0, P0 = 14, к = -3. Так как к = -3 является двукратным корнем характеристического уравнения, то частное решение у* следует искать в форме

у* = Ax2e-3x,

где A — коэффициент, подлежащий определению. Вычислим производные у*’ и у*»:

у* = (-3Ax2 + 2 Ax )e-3x, у*’ = (9Ax2 -12Ax + 2A)e-3x.

Подставляя выражения для у*, у*’ и у*» в данное уравнение, сокращая обе его части на e-3x и приводя подобные члены, в итоге получим 2A = 14, откуда A = 7. Следовательно, искомое частное решение имеет вид:

у* = 7x2e-3x.

Итак, общее решение данного уравнения

у = у + у* = (C1 + C2 x )e-3x + 7×2 e-3x.

Пример 4.23. Найти общее решение уравнения у» — 4у’ + 5у = 2 cos x + 6 sin x.

Решение. 1. Найдем у. Характеристическое уравнение r2 — 4r + 5 = 0

имеем корни Г1 2 = 2 ± i. Следовательно,

у = e2x(C1cosx + C2 sinx).

2. Будем теперь искать у*. Здесь правая часть f (x) имеет вид (4): а = 2, b = 6, l = ± i. Числа ± i не являются корнями характеристического уравнения, поэтому частное решение у* следует искать в форме

где A и В — неопределенные коэффициенты. Найдем производные у*’ и у*»:

подставляя теперь выражения для у*, у*’ и у*» в данное уравнение и группируя члены при cos x и sin x, в результате получим

Следовательно, для нахождения A и В имеем систему

откуда. Таким образом,

Итак, общее решение данного уравнения имеет вид:

Пример 4.24. Найти общее решение уравнения

Решение. 1. Найдем сначала у. Характеристическое уравнение г2 + 4 = 0, имеет корни Г1 2 = ± 2г. Следовательно,

2. Переходим к нахождению у*. Здесь правая часть f (x) имеет вид (4): а = 12, b = 0, I = ± 2г. Так как числа ± 2г являются корнями характеристического уравнения, то частное решение следует искать в форме

ПодставивВ данное уравнение и приведя подобные

члены, получим

откуда

т. е.Поэтому

Итак, общее решение

Пример 4.25. Найти частное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям у (0) = 0, у’ (0) = 1.

2

Решение. 1. Характеристическое уравнение r + 2т — 8 = 0 имеет корни T1 = -4, т2 = 2. Следовательно,

где А и В — неопределенные коэффициенты. Имеем

2. Правая часть данного уравнения имеет вид (3): n = 1, Так как к = 2 является однократным корнем характеристического уравнения, то частное решение у* ищем в форме

Подставляя у*, у*’ и у*» в данное уравнение, сокращая обе его одя подобные члены, оконч

части на е2х и приводя подобные члены, окончательно получим

12Ах + (2А + 6В) = 12х + 20.

Решая систему

Г12 А = 12,

{ 2 А + 6В = 20,

находим А = 1, В = 3. Отсюда

у* = (х2 + 3х)е2х.

Итак, найдено общее решение данного уравнения

у = у + у* = С1е-4х + С2 е2 х + (х2 + 3х)е2х.

3. Для нахождения искомого частного решения воспользуемся заданными начальными условиями. Найдем производную общего решения

у’ = -4С1е-4х + 2С2е2х + (2х2 + 8х + 3)е2х;

подставив в выражения для общего решения и его производной значения х = 0, у = 0, у’ = 1, получим систему уравнений для нахождения С1 и С2:

0 = С1 + С2,

1 = -4С1 + 2С2 + 3.

Отсюда С1 = 3, С2 = — 1. Таким образом, искомое частное решение имеет вид;

у = I е-4х -1 е2х + (х2 + 3х)е2х.

< Предыдущая		Следующая >

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными ко­эффициентами

Этот тип уравнений характеризуется наличием правой части, то есть имеет вид:

.

(17)

Можно доказать, что общее решение уравнения (17) представляется в виде:

, (18)

где общее решение уравнения (17), ачастное решение уравнения (17). Иными словами, общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма общего решения линейного однородного решения и одного из частных решений линейного неоднородного уравнения.

Отметим еще одно важное свойство решений линейных дифференциальных уравнений – принцип суперпозиции решений. Пусть правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения представляется в виде суммы двух (или более) функций:

. (19)

Тогда решение этого уравнения может быть представлено в виде , гдеирешения дифференциальных уравнений:исоответственно. Это означает, что, разбив правую часть линейного неоднородного дифференциального уравнения на сумму двух слагаемых, можно свести его решение к решению двух более простых дифференциальных уравнений.

Заметим, что при формулировке принципа суперпозиции решений не требуется постоянство коэффициентов. Кроме того, этот принцип справедлив и для дифференциальных уравнений более высокого порядка.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными ко­эффициентами (17), в котором правая часть имеет следующий вид: , где, постоянные числа, , многочлены порядка и.

Такие уравнения называют уравнениями со специальной правой частью, и для нахождения их частного решения можно применить метод Эйлера. Согласно этому методу, частное решение ищется в следующем виде:

. (20)

В правой части равенства (20) , аимногочлены степенис неопределенными коэффициентами (их число равно). Степень множителяопределяется по следующему правилу.

Если контрольное число (комплексное прине совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения (18), то. Если контрольное число совпадает с одним из корней характеристического уравнения, то. Наконец, если контрольное число совпадает с корнем характеристического уравнения и этот корень кратный, то. Очевидно, что последний случай возможен только при, так как кратный корень может быть только вещественным.

Для определения неопределенных коэффициентов в многочленах иследует подставить выражение (20) в уравнение (17), предварительно найдя его производныеи. Неопределенные коэффициенты находятся из системы линейных алгебраических уравнений, к которым сведется уравнение (17) после подстановки в него выражения (20).

Пример9. Решить дифференциальное уравнение: .

Решение. Характеристическое уравнение для однородного дифференциального уравнения имеет вид: . Его корни. Общее решение однородного уравнения записывается в форме:, гдеипроизвольные постоянные.

Будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде (20). По условиям примера Контрольное число равно единице и не совпадает с корнями характеристического уравнения. ПоэтомуТаким образом, формула (20) дает:. Найдем производные.

Подставим эти выражения в дифференциальное уравнение:

.

Сокращая обе части уравнения на и приводя подобные, получаем:

.

Последнее равенство должно выполняться для произвольных значений , что возможно лишь при выполнении следующих условий:

Решая систему уравнений, находим:

Следовательно, и общее решение рассматриваемого дифференциального уравнения принимает вид:

.

Пример10. Найти общее решение дифференциального уравнения: .

Решение. Характеристическое уравнение для однородного дифференциального уравнения имеет два комплексных корня:Общее решение однородного уравнения записывается в виде:, гдеипроизвольные постоянные.

Найдем частное решение неоднородного уравнения. Заметим, что правая часть уравнения – сумма двух слагаемых, каждое из которых может быть представлено в виде (25). Поэтому, в соответствии с принципом суперпозиции решений, частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

.

Найдем производные функции :

.

Подстановка этих выражений в исходное уравнение дает:

.

Выполнение этого уравнения при произвольных значениях возможно только в том случае, когда коэффициенты при функцияхв левой и правой частях уравнения будут одинаковы. Это условие приводит к системе уравнений:

Ее решение: ; ; ;;.

В окончательном виде получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения:

.

Рассмотрим еще один метод нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка. Этот метод применим для уже рассмотренных уравнений с правой частью специального вида, а также для уравнений с правой частью более общего вида. Этот метод называют методом вариации произвольных постоянных, или методом Лагранжа.

Рассмотрим этот метод применительно к уравнению (17), хотя он позволяет находить решение и более общего уравнения с переменными коэффициентами. Согласно этому методу сначала находят два линейно- независимых решения иоднородного дифференциального уравнения. Частное решение неоднородного дифференциального уравнения ищется в виде их линейной комбинации, в которой произвольные постоянныеизаменяются на неизвестные функциии:

. (21)

Подстановка этого выражения в неоднородное дифференциальное уравнение (17) приводит к следующему уравнению:

. (22)

Перегруппируем слагаемые в (22):

(23)

Рассмотрим подробнее уравнение (23). Так как функции иявляются решениями однородного дифференциального уравнения (12), выражения в третьей и четвертой скобках в (23) тождественно равны нулю. Наложим на пока неопределенные функциииследующее условие:

(24)

Тогда выражение в пятой скобке в (23) также окажется равным нулю. Продифференцируем обе части равенства (23):

Это соотношение показывает, что и выражение в первой скобке в (23) тождественно равно нулю.

Таким образом, при условии (24) уравнение (23) сводится к следующему: Иными словами, уравнение (23) равносильно системе уравнений:

(25)

Поскольку определитель этой системы является вронскианом двух линейно независимых решений и, и отличен от нуля, система всегда имеет единственное решение.

Решив систему уравнения (25), остается лишь найти и, то есть проинтегрировать полученные из (25) функциии) и, подставить их в выражение для.

Пример11. Найти решение дифференциального уравнения: .

Решение. В этом уравнении правая часть не подпадает под вид, допускающий применение метода неопределенных коэффициентов.

Поэтому для нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Но сначала для нахождения фундаментальной системы решений рассмотрим однородное дифференциальное уравнение: .

Характеристическое уравнение имеет корни, и общее решение записывается в виде:

.

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:

.

Система (25) приобретает вид:

Отсюда находим:

и

В итоге получаем: .

Общее решение рассматриваемого уравнения принимает вид:

.

Решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка

Задачи  7

Лекционный материал  —  лекции №   15,  16.

1.  Решить следующее неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка
 при начальных условиях .
Решение.
      Решение неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения y_c(t) (общего интеграла) и частного решения (частного интеграла) y_p(t).
      Вначале находим общее решение однородного ДУ.  Составляем характеристическое уравнение  , определяем его корни . Поскольку это характеристическое уравнение имеет пару однократных комплексно сопряженных корней вида ,  то общий интеграл уравнения имеет вид . Для данного случая .

 Произвольные постоянные C<sub>1и  C2 определяем по начальным условиям. Исходя из начальных условий,  получаем следующую систему уравнений для  C1и  C2

из которой находим C1=3и  C2=-1.   Поэтому общее решение ДУ  .</sub>

Частное решение уравнения определяем соответственно его правой части . При правой части уравнения  вида частное решение есть функция, отличающаяся от x(t) только числовыми коэффициентами. В данном случае a=0, b=3 и поскольку числа  не являются корнями характеристического уравнения, то частный интеграл записываем в виде .  Определяем производные первого и второго порядков этой функции
.
Подставляем  выражения  в исходное неоднородное ДУ и получаем равенство        .    Это равенство будет тождеством при равенстве коэффициентов у    в левой и правой части, т.е. когда

     Решая эту систему,  находим   A = 1,  B = -6.  Следовательно,
. 
     Таким образом, решение данного уравнения 
       .              График решения

2.   Является ли линейной и инвариантной во времени (стационарной) система с уравнением выход – вход
а)   

б)    ?

Решение.

а)  Для входных сигналов  x₁(t) и x₂(t)    выход  соответственно   .  Если входной сигнал , то выход

. Система удовлетворяет принципу суперпозиции, следовательно, — линейная.

            Положим вход системы в виде , при этом выход  .  Поскольку , то система – неинвариантная во времени (нестационарная).

б) Система с уравнением  .  Для входных сигналов x₁(t) и x₂(t)    выходные сигналы   и  . Для линейной комбинации входных сигналов   выход  , поэтому система – линейная. 

Система – стационарная, так как  

3.  Найти импульсную характеристику (ИХ) системы с уравнением
.
Решение.
      Для определения  ИХ  h(t) системы будем использовать метод, основанной на нахождении переходной характеристики g(t) системы и использовании простой связи между импульсной и переходной характеристиками,  т. е. .   Переходная характеристика системы будет определяться,  как решение дифференциального уравнения системы  при правой части , где u(t) -функция единичного скачка.
      Запишем левую часть исходного уравнения с правой частью   u(t)
                                     .                                                          (*)
Характеристическое уравнение   .  Его корень  .
Следовательно, решение однородного уравнения (*)     . 
     Найдем частное решение уравнения (*) при правой части  . При этом исходим из теоретических положений, определяющих, что для правой части ДУ в виде , где P(t) – многочлен, частное решение y_p(t) отличается от f(t) только числовыми  коэффициентами – константами. Для f(t)=u(t) частное решение будет иметь вид  . Подставим  y_p(t)  в уравнение (*), получим уравнение
, отсюда  .  Складывая общее решение однородного уравнения и частное решения уравнения (*), находим  решение в виде
 . Для определения значения константы A используем нулевые начальные условия, характерные для получения переходной характеристики,  а именно:
t = 0^—    g_a(0^—)=0.   Поэтому .  Следовательно,   .  Дифференцируя  g_a(t), получаем промежуточную составляющую искомой импульсной характеристики.                                      
    Подставим выражение h_a(t) в правую часть дифференциального уравнения системы для определения окончательного вида ИХ системы
. 
В этом выражении — это дельта-функция, возникающая из-за наличия в правой части исходного уравнения системы производной входного сигнала  . При этом  появляется необходимость  дифференцирования . Если в правой части исходного уравнения не будет производной, то и дельта – функции в выражении ИХ не будет.

4.  Получить дифференциальное уравнение, передаточную функцию, частотные характеристики, нули и полюса электрической цепи

Решение.

, выразим  ток в цепи через выходное напряжение  ,

при этом  ,    .  Уравнение  системы

.

Для указанных в условии номинальных значений элементов  .

Передаточная функция: возьмем преобразование Лапласа от обеих частей уравнения

,   .

Нуль передаточной функции  z = 0,     полюса 

Частотная характеристика цепи

.

Амплитудно – частотная характеристика  . 

Фазо – частотная характеристика  .

Графики

Вид АЧХ свидетельствует, что цепь представляет собой полосовой фильтр.

5.  Найти выходной сигнал  RC – цепи первого порядка, на вход которой поступает прямоугольный импульс x(t) с  амплитудой А и длительностью t_и.
                        

Решение.

Импульсная характеристика цепи  .

Запишем прямоугольный импульс в виде разности единичных ступенчатых функций

.

Выходной сигнал цепи

,

для           ,

для           

Второй, более простой вариант решения.

Переходная характеристика цепи    , для   

Для   

График  для    A=5,     τ = 0,5 ,   t_и = 5

6.  Вычислить свертку сигналов

Решение.

Воспользуемся геометрической трактовкой свертки: зеркальное отображение, сдвиг, перемножение, интегрирование.

Если , то h(-τ) не будет перекрываться с x(τ) и их произведение и интеграл равен нулю. Когда  площадь совместного перекрытия  сигналов линейно увеличивается (уменьшается) и интеграл свертки линейно растет (убывает), в интервале  площадь перекрытия функций не изменяется при смещении t и интеграл свертки – константа.

7.  Задана передаточная функция системы   . Найти область сходимости (ОС) передаточной функции, её полюса и нули и импульсную характеристику системы.
Решение.
     Найдем нули и полюса системы
Нули  ,

Полюса 
Полюсно — нулевое представление передаточной функции
.
Расположение полюсов, нулей и области сходимости передаточной функции

Разложим передаточную  функцию на простые дроби для упрощения перехода во временную область (вычисление обратного преобразования Лапласа от передаточной функции
.  
Обратные преобразования Лапласа  .
Поэтому  импульсная характеристика системы    

8.  Задана частотная характеристика системы    .  Найти её импульсную характеристику.
Решение.

Запишем H(jω)  в виде суммы элементарных дробей  

Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях jω числителя H(jω), получаем

      Решая, получим      .

Отсюда 

.

Обратное преобразование Фурье   , поэтому импульсная характеристика

9.  Задана система с передаточной функцией    .

Найти полюса системы, определить отклик системы в установившемся состоянии на гармонический входной сигнал 

Решение.

Полюса системы 

Отклик системы H(s)  на гармонический вход  есть

.

При  частотная характеристика для ω = 10

,    поэтому

10.  Система состоит из последовательного соединения двух систем

Первая система имеет импульсную характеристику   . Для второй системы известно, что входному сигналу   соответствует выходной сигнал 

.  Найти
а)  частотную характеристику всей системы,
б)  дифференциальное уравнение системы,

      в)  Импульсную характеристику всей системы.
Решение.
Для последовательного соединения систем частотная характеристика  .
Частотная характеристика  первой системы   .
Для второй системы связь выхода и входа в частотной области  .
Частотный спектр выходного сигнала для заданного y(t)  
.  Частотный спектр входного сигнала системы 2  .

Найденные выражения спектров позволяют определить частотную характеристику системы 2   .
           Частотная характеристика всей системы   .
Отсюда связь выход – вход в частотной области для всей системы
.

По теореме дифференцирования преобразования Фурье
                                    .

Применяя это свойство к каждому члену предыдущего выражения, получаем дифференциальное уравнение системы
                                   .
Для получения импульсной характеристики представим  H(jω) в виде суммы простых дробей                   .
Беря обратное преобразование Фурье от каждой дроби  частотной характеристики, получаем импульсную характеристику системы
                              .

Задачи для самостоятельного решения

1.   Определите, является ли линейной и стационарной (инвариантной во времени) система с уравнением
а)  ,

      б)  ?
Ответ.   а)  Система линейная и нестационарная,  б)  система – нелинейная и стационарная

3. Определите импульсную характеристику цепи
                           
   Ответ.  .

4.  Система имеет переходную характеристику вида

.

На вход системы  подается сигнал вида

Определите выходной сигнал системы.

Ответ.  .

5.  Определите передаточную функцию, полюса, АЧХ и ФЧХ  RLC – цепи, изображенной на рис.

Ответ.  

5.   Дифференциальное уравнение  фильтра нижних частот (ФНЧ) второго порядка  Баттерворта имеет вид
,  где  ω_с –частота среза фильтра.
Найдите частотную характеристику фильтра и его АЧХ, постройте график АЧХ.
Ответ. 
            

6.  Ниже представлены две диаграммы нулей и полюсов системы

Запишите  выражения передаточной функции систем.

Ответ.  а)  ,     б)   .

7.  Передаточная функция системы имеет вид
.  Найдите полюса системы. Является ли система устойчивой?
Определите отклик системы на входной сигнал  .

Ответ.  . 

8.  Найдите выходной сигнал системы с импульсной характеристикой  и входным сигналом  .
Ответ.  

9.  Для цепи, изображенной на рис., определите передаточную функцию, частотные характеристики, импульсную характеристику. Операционный усилитель считайте идеальным

Ответ. 

10.  Линейная непрерывная стационарная система

имеет входной  сигнал  .
При этом выходной сигнал     .

Постройте графики входного и выходного сигналов, определите преобразование Фурье (спектр) выходного сигнала y(t), найдите частотную характеристику системы.

Ответ.  
 

Дифференциальные уравнения — Неоднородные дифференциальные уравнения

Онлайн-заметки Пола
Главная / Дифференциальные уравнения / DE второго порядка / Неоднородные дифференциальные уравнения

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 3-8: Неоднородные дифференциальные уравнения

Пришло время подумать о том, как решать неоднородные дифференциальные уравнения. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

. \[\begin{equation}y» + p\left( t \right)y’ + q\left( t \right)y = g\left( t \right)\label{eq:eq1}\end{ уравнение}\]

где \(g(t)\) — ненулевая функция. Обратите внимание, что мы не использовали здесь постоянные коэффициенты, потому что все, что мы собираемся сделать в этом разделе, не требует этого. Кроме того, мы используем коэффициент 1 для второй производной просто для того, чтобы часть работы было немного легче записать. Не обязательно быть 1.

Прежде чем говорить о том, как решить одну из них, нам нужно разобраться с некоторыми основами, что и является целью этого раздела.

Сначала позвоним по номеру

\[\begin{equation}y» + p\left( t \right)y’ + q\left( t \right)y = 0\label{eq:eq2}\end{equation}\]

ассоциированное однородное дифференциальное уравнение с \(\eqref{eq:eq1}\).

Теперь давайте рассмотрим следующую теорему.

Теорема

Предположим, что \(Y_{1}(t)\) и \(Y_{2}(t)\) являются двумя решениями \(\eqref{eq:eq1}\) и что \(y_ {1}(t)\) и \(y_{2}(t)\) являются фундаментальным набором решений ассоциированного однородного дифференциального уравнения \(\eqref{eq:eq2}\), тогда

\[{Y_1}\влево( t \вправо) — {Y_2}\влево( t \вправо)\]

является решением \(\eqref{eq:eq2}\) и может быть записано как

\[{Y_1}\left( t \right) — {Y_2}\left( t \right) = {c_1}{y_1}\left( t \right) + {c_2}{y_2}\left( t \right )\]

Обратите внимание на используемые здесь обозначения. Заглавными буквами обозначались решения \(\eqref{eq:eq1}\), а строчными буквами обозначались решения \(\eqref{eq:eq2}\). Это довольно распространенное соглашение при работе с неоднородными дифференциальными уравнениями. 9\prime + q\left( t \right){Y_2} & = g\left( t \right)\end{align*}\]

Итак, мы смогли доказать, что разность двух решений является решением \(\eqref{eq:eq2}\).

Доказательство того, что

\[{Y_1}\left( t \right) — {Y_2}\left( t \right) = {c_1}{y_1}\left( t \right) + {c_2}{y_2}\left( t \right )\]

еще проще. Поскольку \(y_{1}(t)\) и \(y_{2}(t)\) являются фундаментальным набором решений \(\eqref{eq:eq2}\), мы знаем, что они образуют общее решение поэтому любое решение \(\eqref{eq:eq2}\) можно записать в виде

\[y\left( t \right) = {c_1}{y_1}\left( t \right) + {c_2}{y_2}\left( t \right)\]

Итак, \(Y_{1}(t) — Y_{2}(t)\) является решением \(\eqref{eq:eq2}\), как мы показали выше, поэтому его можно записывается как

\[{Y_1}\left( t \right) — {Y_2}\left( t \right) = {c_1}{y_1}\left( t \right) + {c_2}{y_2}\left( t \right )\]

Итак, что нам дает эта теорема? Мы можем использовать эту теорему, чтобы записать форму общего решения \(\eqref{eq:eq1}\). Предположим, что \(y(t)\) является общим решением \(\eqref{eq:eq1}\) и что \(Y_{P}(t)\) является любым решением \(\eqref{eq :eq1}\), которые мы можем получить. Тогда, используя вторую часть нашей теоремы, мы знаем, что

\[y\left( t \right) — {Y_P}\left( t \right) = {c_1}{y_1}\left( t \right) + {c_2}{y_2}\left( t \right)\ ]

где \(y_{1}(t)\) и \(y_{2}(t)\) являются фундаментальным набором решений для \(\eqref{eq:eq2}\). Решение для \(y(t)\) дает

\[y\left( t \right) = {c_1}{y_1}\left( t \right) + {c_2}{y_2}\left( t \right) + {Y_P}\left( t \right)\ ]

Мы позвоним

\[{y_c}\left( t \right) = {c_1}{y_1}\left( t \right) + {c_2}{y_2}\left( t \right)\]

дополнительное решение и \(Y_{P}(t)\) частное решение. Тогда общее решение дифференциального уравнения можно записать в виде.

\[y\left( t \right) = {y_c}\left( t \right) + {Y_P}\left( t \right)\]

Итак, чтобы решить неоднородное дифференциальное уравнение, нам нужно решить однородное дифференциальное уравнение \(\eqref{eq:eq2}\), что для дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами довольно легко сделать, и нам понадобится решение \(\eqref{eq:eq1}\).

Кажется, это круговой аргумент. Чтобы записать решение \(\eqref{eq:eq1}\) нам нужно решение. Однако это не проблема, как кажется. Есть способы найти решение \(\eqref{eq:eq1}\). Они просто не будут, в общем, общим решением. Фактически, следующие два раздела посвящены именно этому, нахождению частного решения неоднородного дифференциального уравнения.

Существует два распространенных метода поиска конкретных решений: неопределенные коэффициенты и вариация параметров. У обоих есть свои преимущества и недостатки, как вы увидите в следующих нескольких разделах.

Исчисление – Дифференциальные уравнения второго порядка – Неоднородное линейное дифференциальное уравнение

Неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

\[P(x)y»(x)+Q(x)y'(x)+R(x)y(x)=G(x),\]

где \(P\), \(Q\) и \(R\) — непрерывные функции с \(P(x)\not\equiv0\) и \(G(x)\not\equiv0\). Тогда мы имеем:

Теорема: Если \(y_p(x)\) является частным решением и \(y_h(x)\) является общим решением соответствующей однородный (также называемый: дополнительное ) дифференциальное уравнение (где \(G(x)\) заменено на \(0\)), тогда \(y(x)=y_p(x)+y_h(x)\) общее решение.

В случае неоднородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

\[ay»+by’+cy=G(x),\quad a,b,c\in\mathbb{R},\quad a\neq0,\]

мы можем получить общее решение \(y_h(x)\) соответствующего однородного дифференциального уравнения во всех случаях.
Чтобы решить неоднородное дифференциальное уравнение, нам нужно только (произвольное) частное решение \(y_p(x)\).

В некоторых случаях мы сможем найти такое частное решение, угадывая его форму с одним или несколькими коэффициентами, а затем вывести значения этих коэффициентов путем подстановки. Это называется

методом неопределенных коэффициентов .

Этот метод может применяться, когда правая часть \(G(x)\) представляет собой экспоненциальную функцию, многочлен, синус, косинус или их комбинацию из этих функций.

Примеры:

9{2x}\). Теперь возьмем \(y_p(x)=A\cos(x)+B\sin(x)\), тогда получим: \(y_p(x)=-A\sin(x)+B\cos(x) \) en \(y_p»(x)=-A\cos(x)-B\sin(x)\). {2x}\) с \(c_1,c_2\in\mathbb{R}\). 9{-x}\sin(2x)\). Теперь возьмем \(y_p(x)=A\cos(2x)+B\sin(2x)\), тогда имеем: \(y_p'(x)=-2A\sin(2x)+2B\cos(2x)\) en \(y_p»(x)=-4A\cos(2x)-4B\sin(2x)\) . Замена тогда дает:

\начать{выравнивать*} &-4A\cos(2x)-4B\sin(2x)-4A\sin(2x)+4B\cos(2x)+5A\cos(2x)+5B\sin(2x)=17\sin(2x) \\[2,5 мм] &{}\hspace{10mm}\Longleftrightarrow\quad(A+4B)\cos(2x)+(-4A+B)\sin(2x)=17\sin(2x)\\[2,5мм] &{}\hspace{10mm}\Longleftrightarrow\quad A+4B=0\;\;\text{and}\;\;-4A+B=17. \конец{выравнивание*} 9{-x}\sin(2x)\) с \(c_1,c_2\in\mathbb{R}\).

12) Если \(y»+9y=6\sin(3x)\), то \(y_h(x)=c_1\cos(3x)+c_2\sin(3x)\). Теперь возьмем \(y_p(x)=Ax\cos(3x)+Bx\sin(3x)\), тогда имеем: \(y_p'(x)=A\left(\cos(3x)-3x\sin(3x)\right)+B\left(\sin(3x)+3x\cos(3x)\right)\) en \(y_p»(x)=A\left(-6\sin(3x)-9x\cos(3x)\right)+B\left(6\cos(3x)-9x\sin(3x)\right )\). Замена тогда дает:

\начать{выравнивать*} &A\left(-6\sin(3x)-9x\cos(3x)\right)+B\left(6\cos(3x)-9x\sin(3x)\right)+9Ax\cos(3x)+9Bx\sin(3x)=6\sin(3x)\\[2,5 мм] &{}\hspace{10mm}\Longleftrightarrow\quad-6A\sin(3x)+6B\cos(3x)=6\sin(3x)\quad\Longleftrightarrow\quad A=-1\;\;\text{ и}\;\;В=0. \конец{выравнивание*}

Отсюда: \(y_p(x)=-x\cos(3x)\) — частное решение. Тогда общее решение: \(y(x)=-x\cos(3x)+c_1\cos(3x)+c_2\sin(3x)\) выполнено \(c_1,c_2\in\mathbb{R}\).

Метод варьирования параметров можно найти здесь.

---

Последнее изменение 8 марта 2021 г.

MAT 2680 Дифференциальные уравнения | «Чем он отличается от камней».

Опубликовано 26 мая 2015 г. Йонасом Райцем | Оставить комментарий

Привет всем,

Окончательные оценки за курс были отправлены в CUNYFirst, и можно найти подробную разбивку вашей оценки (включая итоговую оценку за экзамен, оценку за проект «Учебное пособие» и т. д.) на странице ОЦЕНКИ.

Желаю вам всего наилучшего в ваших будущих начинаниях – было очень приятно работать с вами в этом семестре. 9(4))….. = 0
Теперь приравняем 0
2a2 + 2a1 + a0 =0
6a3 + 4a2 + a1 = 0
12a4 + 6a3 + a2 = 0

Помните, что y (0) =0 и y'(0)=2
Y(0) = 0 = a0
Y'(0)= 2 = a1
Теперь, зная, что мы подставим a0 и a1
2a2 + 2(2) + 0 =0
2a2 + 4 = 0 2a2 = -4 a2 = -2

Опубликовано 20 мая 2015 г. автором Aayush | 1 комментарий

Преобразование Лапласа является важным методом в дифференциальных уравнениях, а также широко используется в электротехнике для решения линейного дифференциального уравнения Преобразование Лапласа берет функцию, область определения которой находится во времени, и преобразует ее в функцию комплексного частота. 92 Y(s)-sy(0)-y'(0)

2) Как только мы применим правильное преобразование Лапласа к нашей функции, мы затем применим начальное условие

3) Затем, поскольку мы не можем найти y(t ) напрямую, мы находим Y(s), что является преобразованием Лапласа y(t)

4) Как только мы находим Y(s), нам может понадобиться разбить уравнение на частичную дробь в зависимости от знаменателя. в знаменателе должен быть только один член, а в числителе не должно быть «s». (см. прилагаемое изображение диаграммы «Фактор в знаменателе»)

5) Выполним обратное преобразование Лапласа, чтобы получить y(t)

 

Теперь, чтобы применить эти шаги,

Возьмем, например, 2y’-y = 1 ; y(0) = 0

1) Применить преобразования. (1/2t)-1 94)

Надеюсь, что ссылка на видео и изображения будет полезна.

https://www.khanacademy.org/math/дифференциальные-уравнения/laplace-transform/laplace-transform-to-solve- Differential-equation/v/laplace-transform-to-solve-an-equation

 

 

 

 

 

Опубликовано 18 мая 2015 г. Дэниелом Вонгом | 1 комментарий

Существует несколько улучшений метода Эйлера: обратный метод Эйлера и Метод Рунге-Кутты (о Улучшенный метод Эйлера см. в публикации BingJing Zheng Улучшенный метод Эйлера ).

Обратный метод Эйлера с примером

Напомним, что в методе Эйлера точка приближается по наклону предыдущей точки. Это дает уравнение , где функция f представляет наклон или y'(t), а h представляет собой размер шага. Это оказывается довольно неточным, поскольку наклон в новой точке не будет таким же, как в предыдущей точке. В обратном Эйлере рассматривается тот же сценарий, но учитывается линия, соединяющая две точки. Вместо того, чтобы брать наклон в предыдущей точке, берут наклон в новой точке. Это дает уравнение для обратного метода Эйлера.

Пример: приведенный примерно y (1)

Найти Y в T = 0

Дано: при T = 0, y = 1

Найти Y в T . = 0,5

при T = 0,5,

при T = 0,5,

при T = 0,5,

при T = 0,5,

на T = 0,5,

Найти. г в т = 1

в T = 1,

в T = 1,

на T = 1,

на T = 1,

на T = 1,

Runge-Kutta Метод с примером

Как и в усовершенствованном методе Эйлера, делается попытка найти лучшее соответствие определенному интегралу кривой. Один использует идею о том, что парабола будет покрывать наибольшую площадь под кривой (по сравнению с прямоугольником или трапецией других методов). Из этой идеи были найдены уравнения для следующих точек:

, где

Пример: приведенный примерный Y (1)

Найти y на T = 0

Дано: на T = 0, y = =

. 1

Найти Y в T = 0,5

0002  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Find y at t = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Анализ

Ответив на один и тот же вопрос с помощью обратного метода Эйлера и метода Рунге-Кутты, можно убедиться в точности результатов.

Точное решение для y(1) равно 0,6321205588.

Используя метод Эйлера, y(1) приблизительно равно 0,375.

При использовании обратного метода Эйлера значение y(1) приблизительно равно 0,8333333333.

Используя метод Рунге-Кутты, y(1) приблизительно равно 0,6328751629.

Обратный метод Эйлера обеспечивает лучшую аппроксимацию, чем метод Эйлера, с несколькими дополнительными шагами. Метод Рунге-Кутты обеспечивает наилучшее приближение, но требует больше вычислений.

Опубликовано 17 мая 2015 г. Йонасом Райцем | 2 комментария

Привет всем,

Я обновил ответ на задачу № 14 – правильный ответ:

 

 

Лучший,
Проф. 2 комментария

6.2 Преобразование Лапласа: решение задач с начальными значениями (обратное преобразование)

Преобразование Лапласа используется для преобразования функции в области t и переноса ее в область s. Практическое использование этого преобразования заключается в упрощении решения дифференциальных уравнений. Прочитав определения и зная, как работает преобразование Лапласа, мы перейдем к примеру того, как применить его к дифференциальному уравнению с начальными значениями.

1.Решить с помощью преобразования Лапласа

y”-y’-2y=0 с условием y(0)=1 y’=0

Шаг 1: Шаг 1 это дифференциальное уравнение? Да, потому что он однородный и линейный

Шаг 2: Возьмем уравнение Лапласа с обеих сторон L{ y”-y’-2y=0}

Шаг 3: Решим его алгебраически

, используя известную нам диаграмму преобразования Лапласа f”( t)= L{f(t)-sf(0)-f'(0)

f'(t)=sL{f(t)-f(0)

Возьмем Лапласа дифференциального уравнения, применив заданное начальное значение:

Y(s)-s(1)-0-{sY(s)-1}-2Y(s)

Фактор Y(s):                            Y(s)(-s-2)-s+1=0

Изолировать Y(s):                                     Y(s)= 9000 и разделить из квадратного уравнения

Шаг 4. Упростите решение, применив дробь (s-2)(s+1)=B(s-2)

s-1= A(s+1)+B(s-2)

«” ​​= as+a+bs-2b

”” = as+bs+a-2b

Объедините все буквы с s и число с условиями, которые не имеют с на нем.

A+B=1, так как (1) стоит перед используемым s 1                       -1=A-2B

Решите линейные уравнения: мы решим это, используя метод исключения :

A -2B = -1

2A+2B = 2

3A = 1 Следовательно, a = 1/3, затем заменив A в A+B = 1– (1/3)+ B=1

получаем B=2/3 и A=1/3

Наконец, ваша функция находится в области s:

Напоминание о решении дифференциального уравнения с использованием преобразования Лапласа:

1. Начните с дифференциальное уравнение

2. Преобразование Лапласа из обеих частей уравнения
3. Тогда вам придется упростить алгебраическое решение.
4. Для этого потребуется метод, подобный частичной дроби

4. Сделайте обратное преобразование Лапласа решения, это будет ваше решение для дифференциального уравнения, в этот момент вы должны быть в области t с уравнением упрощения

Важное обозначение:

L{f(t) }: «L» используется для обозначения того, что применяется преобразование Лапласа функции {f(t)}.

F(s) : При работе с преобразованием Лапласа все, что написано с большой буквы, означает, что вы          работаете в области s. Таким образом, F(s) означает, что функция f(t) уже перенесена в область s           .

{F(S)}: используется при работе с обратным преобразованием Лапласа, поэтому возвращаемся к вашей                                      функция в области t.

Опубликовано 17 мая 2015 г. автором BingJing Zheng | 11 комментариев

 

По мере прохождения курса нам обычно дают дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно решить. Тем не менее, есть много проблем, которые не могут быть решены. Уравнения первого порядка можно разделить на линейное уравнение, сепарабельное уравнение, нелинейное уравнение, точное уравнение, однородное уравнение, уравнение Бернулли и неоднородные уравнения. Однако для большинства сепарабельных и точных уравнений не всегда можно представить решение в явном виде. Трудно найти значение для конкретной точки в функции. Есть некоторые уравнения, которые не попадают ни в одну из вышеперечисленных категорий. Итак, мы вводим метод, называемый методом Эйлера. Мы сможем использовать его для аппроксимации решений дифференциального уравнения. В методе Эйлера нам дадут дифференциальное уравнение, которое представляет собой наклон функции, и определим размер шага для интеграла (чем меньшие размеры шагов у вас есть, тем более точные значения аппроксимации вы получите). Мы создаем новую точку, начиная с начальной точки, мы подставляем эту точку в заданную функцию, это будет наклон начальной точки. Затем следующая новая точка будет иметь размер шага  плюс  h, умноженный на ранее рассчитанный наклон. общая формула: Однако погрешность метода Эйлера зависит от размера шага. единственный способ уменьшить ошибку — уменьшить размер шага, но это увеличит объем вычислений. это только примерно уменьшает ошибку наполовину.

 

Теперь мы представляем усовершенствованный метод Эйлера. Этот метод очень похож на метод Эйлера. В методе Эйлера мы аппроксимируем функцию прямоугольной формой (см. график ниже):

 

Однако это приближение не включает площадь под кривой. Для улучшения аппроксимации мы используем усовершенствованный метод Эйлера. В улучшенном методе мы используем среднее значение значений в изначально заданной точке и новой точке. Определим интеграл трапецией вместо прямоугольника. Площадь трапеции больше площади прямоугольника. Это также обеспечит более точное приближение.

 

Трудно предсказать, будет ли кривая решения вогнутой вверх или вогнутой вниз в действительности. Идеальная линия предсказания точно совпадет с кривой в следующей точке предсказания. Метод Эйлера создает наклон на основе начальной точки, и мы не знаем, будет ли следующая точка на этой линии наклона, если только мы не используем компьютер для построения уравнения. Иногда мы можем переоценивать значение или недооценивать значение. Усовершенствованный метод Эйлера решил эти проблемы, найдя среднее значение наклона на основе начальной точки и наклона новой точки, что даст среднюю точку для оценки значения. Это также уменьшает ошибки, которые мог бы иметь метод Эйлера. 92+2y, y(0)=1, оценка y(2), шаг 0,5.

Свод

ПРИМЕЧАНИЕ. Этот метод связан с большим количеством вычислений, рекомендуется после каждой точки записывать значения в таблицу. Самому посмотреть и проверить будет несложно. Для каждой точки расчетный подход к следующей новой точке одинаков, поэтому, если вы настроите три шага, вам будет очень ясно перейти к следующему шагу.

Я думаю, что это видео очень полезно, и оно четко указывает на улучшенный метод Эйлера, а пример включен в видео. Пожалуйста, посмотрите это видео.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Posted on May 17, 2015 by kumar Прайс | 2 комментария

Обзор
Рассматриваются методы решения линейных уравнений второго порядка, когда коэффициенты являются функциями независимой переменной. Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка
P(x) d2 y/ dx2 + Q(x) dy/ dx + R(x)y = 0 (уравнение 1)
Поскольку процедура для неоднородного уравнения аналогична. Многие задачи математической физики приводят к уравнениям такого вида с полиномиальными коэффициентами; примеры включают уравнение Бесселя
X2 y’’ + xy’ + (x2 – a 22) y = 0
Где (a) – константа, а уравнение Лежандра
(1 – x 2 ) y» – 2xy’ + c(c + 1) y = 0 Где (c) – константа
Учитывая уравнение
P( x) d2 y/ dx2 + Q(x) dy /dx + R(x)y = 0
Уравнение
d2 y/ dx2 + Q(x) P(x) dy/ dx + R(x) P(x ) y = 0 или d2 y/ dx2 + p(x) dy/ dx + q(x)y = 0
Где p(x) = Q(x)/ P(x) и q(x) = R(x ) /P(x)
называется эквивалентной нормализованной формой уравнения. Точка (а) называется обыкновенной точкой уравнения (1). Другими словами, эти две величины имеют ряды Тейлора в районе x=x0. Мы будем иметь дело только с коэффициентами, которые являются многочленами, так что это будет эквивалентно утверждению, что 9n〗

, а затем попытайтесь определить, каким должен быть ан. Мы сможем сделать это только в том случае, если точка x=x0 будет обычной точкой. Обычно мы говорим, что это рядовое решение около x=x0.

Example

y”+y=0

Suppose that     has a Taylor series about x=0

y(x) =  x ⁿ = a ₀ +а ₁ х+а ₂ х ² +а ₃ x ³ +A ₄ x ⁴

Замените в дифференциальное уравнение и упростите с аналогичными полномочиями

Wes Gessentships

. Y (x) = A ₀ +A ₁ x +A ₂ x ² +A ₃ x ³ +A ₄ x ⁴ +… … ₄ x ⁴ +… … 40820 4 x ⁴ +… … 40820 4 x ⁴ +. .. … ₄ x ⁴ +… 40820 4 x ⁴ +A ₄ x ⁴ . Y'(x) = а ₁ + 2а ₂ x+3a ₃ x ² +4a ₄ x ³  +……

Y”(x) = 2a ₂ +6a ₃ x+12a ₄ x ² +……

Now substitute   and   into the differential equation

Y»+y= 0:

( 2a ₂ +6a ₃ x+12a ₄ x ² +……) +( a ₀ +a ₁ x+a ₂ x ² +a ₃ x ³ +a ₄ x ⁴  + …..) = 0

Избавьтесь от скобок (не забудьте распределить знаки  и  перед вторыми и третьими скобками

2a ₂ +6a ₃ x +12a ₄ x ² +… +A ₀ +A ₁ x +A ₂ x ² +A ₃ X ³ +A ₃ X ³ +A _{4 ^{4. + +}}1 4918 4918 4 ^{4 +}1 4 ^{+A 4 + 4 +}1 4 + ^{4 4 9 +1. + ….= 0}

Теперь сгруппируем по степеням   :

( 2a ₂₊ A ₀ ) +(6A ₃ +A ₁ ) x +(12A ₄ +A ₂ ) x ² +(20A ₅ +A _{3 +(20A 5 +A 3 ) (20A 5 +A 3 ) (20A 5 +A 3 ) (20A 5 ). +…= 0}

Наконец, мы сравниваем каждое слагаемое слева с соответствующим слагаемым справа – поскольку правая часть равна нулю, каждое из выражений в скобках (которые дают коэффициенты при степенях  ) должны также равны нулю:

• 2а ₂ +а ₀ =0
• 6а ₃ +а ₁ =0
• 12а4+а2=0
• 20а ₅ +а ₃ =0
• ……

Затем вы находите первые 5 слагаемых (коэффициенты)

• a ₀ =0
• a ₁ =0
• а ₂ = а ₀ /2
• a ₃ = a ₁ /6
• а ₄ = а ₀ / 24

 

Это дает нам коэффициенты для определения первых пяти членов ряда Тейлора, учитывая, что Y(x) = a ₀ +a ₁ x+a ₂ x ² +a ₃ x ³ +a ₄ x ⁴ +…. подставляем значения   , чтобы получить

Y=a ₀ +a ₁ x+a ₀ /2 x ² +a ₁ /6 x 90 ^{3 908 /24 х 4}

3. Если я недостаточно ясно выразился в объяснении или шагах, необходимых для решения уравнения, я добавлю пару видео, надеюсь, они помогут.

 

 

Опубликовано 16 мая 2015 г. Йонасом Райцем | Оставить комментарий

Привет всем,

Оценки за Экзамен 3 размещены на странице Оценки (напишите мне, если вы забыли пароль).

Этот экзамен включал в себя большой объем материала, и, хотя общие оценки были сопоставимы с первым экзаменом, я уверен, что не все справились так хорошо, как им хотелось бы. Вы можете улучшить свой результат на экзамене, заполнив специальное предложение ниже.

Если у вас возникнут вопросы, дайте мне знать, и удачи вам в учебе!
Prof. Reitz

Экзамен 3 Специальное предложение – заработайте бонусные баллы . Вы можете улучшить свою оценку на экзамене, выполнив следующие действия:

1. Выберите ТОЛЬКО ОДНУ задачу , за выполнение которой вы НЕ набрали полных баллов. Вы работаете над тем, чтобы вернуть (некоторые) баллы, которые вы упустили в этой задаче.
2. Решите задачу заново, аккуратно и полностью , от начала до конца, на отдельном листе бумаги.
   1. Не забудьте свое имя, дату и номер проблемы.
3. На том же листе напишите короткое заявление (одно или два полных предложения), объясняющее вашу ошибку (ошибки) . Цель состоит в том, чтобы сообщить мне, что вы понимаете, что сделали неправильно.
4. Сдайте исходный экзамен и исправленную задачу и объяснение, скрепленные вместе, в классе в четверг (день выпускного экзамена).
90 660 бонусных баллов будут добавлены к вашему баллу за экзамен 3 в зависимости от количества баллов, которые вы пропустили в выбранной задаче, точности ваших исправлений и объяснений, а также вашей общей оценки за экзамен. Бонусные баллы ограничены следующим образом:
1. Если вы набрали менее 60% на экзамене, вы можете заработать максимум 20 бонусных баллов.
2. Если вы набрали от 60% до 69% на экзамене, вы можете заработать максимум 15 бонусных баллов.
3. Если вы набрали от 70% до 79% на экзамене, вы можете заработать максимум 10 бонусных баллов.
4. Если вы набрали от 80% до 89% на экзамене, вы можете заработать максимум 5 бонусных баллов.
5. Если на экзамене вы набрали от 90 % и более, вы можете заработать максимум 2 бонусных балла.

 

Опубликовано 13 мая 2015 г. Кристианом Пинто | 7 комментариев

Преобразование Лапласа — это метод, используемый для перехода от одного домена к другому. В этом случае мы переходим от временной области (t) к частотной области  (s).

Что касается большинства преобразований, то если есть один способ перехода от одной единицы к другой, должен быть и способ вернуться назад. Это применимо и в этом случае, хотя это не обязательно единица. В этом случае это называется просто «обратное преобразование Лапласа». В этом случае мы переходим от частотной области (s) обратно к временной области (t).

Обозначение преобразования Лапласа:

Буква «L» используется для обозначения преобразования Лапласа. Внутри фигурных скобок находится функция, которую вы хотите преобразовать из временной области в частотную.

Иногда вы также можете видеть это обозначение, которое означает то же самое, что и предыдущее:

Что касается преобразования Лапласа, оно обозначается:

Это даст вам F(s).

Чтобы перейти к исходной временной области, вам нужно выполнить обратное преобразование Лапласа для  F(s), которое равно:

Теперь, когда мы записали преобразование Лапласа, мы можем углубиться в него.

Общая формула преобразования Лапласа, где ‘t’ больше или равно нулю:

 Мы оцениваем, что t больше или равно нулю, потому что мы хотим удовлетворить два условия:

1. Функция f( t) должен быть кусочно-непрерывным из интервала [0,A]. Просто означает функцию, которая разбита на разные части, но все еще продолжается. Например: 9(at), когда t больше или равно M. В этом случае переменные K, M и a являются просто константами, а K, M положительны.

Что касается обратного преобразования Лапласа, то для него не существует заданного уравнения или метода. Обратное преобразование Лапласа обозначается следующим образом:

Это просто означает, что для получения функции f(t) вам потребуется выполнить обратное преобразование Лапласа для F(s).

Основная причина, по которой мы используем преобразование Лапласа, заключается в том, что оно упрощает вычисление некоторых (не всех) дифференциальных уравнений.

Небольшое введение в шаги, которые необходимо предпринять при решении задачи преобразования Лапласа.

No related posts.