По данному вектору а постройте векторы: По данному вектору «а» постройте векторы: 1) 1/3a 2) -3a 3) -1/2a

Найдите отрицательные значения следующих векторов: В = (2, 5) и Д = (3, -2). Кроме того, проверьте, являются ли два вектора отрицательными друг для друга или нет.

Определите значение n, при котором два вектора A = (-2n, -3, -2) и B = (8, 3, 2) будут отрицательными по отношению друг к другу.

Ответы

1. Отрицательное значение вектора A будет – A = (1, 2/3, 0).
2. Минус вектора T будет равен – T = (0, -2, 1).
3. Минус вектора В будет – В = (-2, -5), минус вектора D будет – D = (-3, 2). Ясно, что два вектора не являются негативами друг друга.
4. Негатив вектора F будет – F = (-4, -10). Минус вектора G будет – G = (-5,-5), а минус вектора H будет – H = (4,10). Ясно, что два вектора F и G не являются отрицательными друг другу, но векторы F и H равны F = – H.
5. Сравнивая компоненты двух векторов, мы находим, что при n = 4 два вектора A и B, будут негативами друг друга.
6. Величина вектора OA  равна | ОА |= 7 единиц, а минус вектора ОА будет – ОА. Его величина должна быть такой же, как у вектора OA . Таким образом, вектор – ОА будет начинаться в точке -О = (1, 0, -3) и заканчиваться в точке -А = (-5, -2, 0).
7. Величина вектора UV | UV |= 5 единиц, а отрицательный вектор УФ будет – УФ. Его величина должна быть такой же, как у вектора UV. Таким образом, вектор – UV будет начинаться в точке -U = (-1, 2, 0) и заканчиваться в точке -V = (2, -2, 0).

Векторы и базисы

Вектор — это стрелка длины и направление. Точно так же, как позиции, векторы существуют до того, как мы измерить или описать их. В отличие от позиций, векторы могут означают много разных вещей, таких как векторы положения, скорости и т. д. Векторы не привязаны к конкретным позиции в пространстве, так что мы можем двигать вектор вокруг и найти его в любом месте.

Изменять:

Два вектора, которые могут совпадать или не совпадать вектор. Перемещение вектора не меняет его: это еще тот же вектор.

Добавление и масштабирование векторов

Векторы можно умножать на скалярное число, которое умножает их длину. Также можно добавить векторы вместе, используя закон параллелограмма дополнение или правило «голова к хвосту «.

Добавление и масштабирование векторов для получения новых векторов.

Векторные базы

Для математического описания векторов мы записываем их как комбинация базисных векторов . ортонормированный базис представляет собой набор из двух (в 2D) или трех (в 3D) базисов векторов, которые

Любой другой вектор можно записать в виде линейного числа . комбинация базисных векторов:

\[\vec{a} = a_1 \,\hat{\imath} + a_2 \,\шляпа{\jmath} + a_3 \,\шляпа{k}\]

Числа $a_1, a_2, a_3$ называются компонент $\vec{a}$ в $\,\hat{\imath}, \hat{\jmath}, \hat{k}$ базис. Если мы находимся в 2D, то мы будем имеют только две компоненты для вектора.

Запись вектора в виде суммы масштабированных базисных векторов. масштабные коэффициенты являются компонентами вектора. Здесь $\vec{a} = 3\hat\imath + 2\hat\jmath$, поэтому компоненты $\vec{a}$ равны $a_1 = 3$ и $a_2 = 2$.

Мы рисуем символ $\odot$ (кончик стрелки), чтобы указать вектор выход со страницы и $\otimes$ (стрелка оперения) чтобы указать стрелку, идущую на страницу.

Два стандартных расположения базисных векторов при работает в 2D. Либо $\hat\jmath$ является вертикальным и $\hat{k}$ находится за пределами страницы или $\hat{k}$ является вертикальным и $\hat\jmath$ находится на странице. В обоих случаях $\hat\imath$ расположен горизонтально.

Длина векторов

Длина вектора $\vec{a}$ записывается либо $\|\vec{a}\|$, либо просто $a$. длина может быть вычислена с помощью 92. \конец{выровнено}\]

Нажмите и перетащите, чтобы повернуть.

Формула длины Пифагора может быть использована только в том случае, если все компоненты записываются в одном ортонормированном основа.

Вычисление длины вектора с помощью Пифагора теорема.

Некоторые общие целочисленные длины векторов $\vec{a} = 4\hat\imath + 3\hat\jmath$ (длина $a = 5$) и $\vec{b} = 12\hat\imath + 5\hat\jmath$ (длина $b = 13$).

Если $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$, то $\|\vec{c}\| \ne \|\vec{а}\| + \|\vec{b}\|$, если только $\vec{a}$ и $\vec{b}$ параллельны и имеют одинаковое направление.

Однако всегда будет верно, что $\|\vec{c}\| \ле \|\vec{а}\| + \|\vec{b}\|$. Этот факт известен как неравенство треугольника , по причинам, которые должны быть очевидный.

Единичные векторы

Единичный вектор — это любой вектор длиной один. Мы используем специальное обозначение $\hat{a}$ для указать, когда вектор является единичным вектором. Любой ненулевой вектор $\vec{a}$ задает единичный вектор $\hat{a}$, определяющий направление $\vec{a}$.

\[\begin{выровнено} \шляпа{а} = \frac{\vec{a}}{a}\end{выровнено}\]

Если мы вычислим длину $\hat{a}$, то найдем: \[ \| \шляпа{а} \| = \слева\| \frac{\vec{a}}{a} \right\| = \frac{\|\vec{a}\|}{a} = \frac{a}{a} = 1, \] так что $\hat{a}$ действительно является единичным вектором, и он находится в того же направления, что и $\vec{a}$, поскольку они отличаются только на скалярный фактор.

Любой вектор можно представить в виде произведения его длины на направление:

\[\begin{выровнено} \vec{a} = a \шляпа{а}\конец{выровнено}\]

Это следует из перестановки #rvv-eu.

Три вектора и их разложения на длины и направленные единичные векторы.

Векторы и единицы

При использовании векторов для описания физических величин нам необходимо чтобы иметь правильные единицы, связанные с ними, так же, как для положения координаты. Базисные векторы, такие как $\hat\imath,\hat\jmath,\hat{k}$ не имеют единиц (они также безразмерные), поэтому компоненты должны иметь единицы измерения. За например, вектор скорости $\vec{v} = (4\hat\imath + 3\hat\jmath){\rm\ m/s}$ имеет компоненты $v_1 = 4{\rm\ m/s}$ и $v_2 = 3{\rm\ m/s}$, которые затем умножают безразмерные (и безразмерные) базисные векторы $\hat\imath$ и $\шляпа\jmath$. Для удобства, когда все компоненты вектор имеет одинаковые единицы измерения, мы будем часто писать единицы измерения только один раз в конце, так что все следующие выражения эквивалентны: \[\ начало {выровнено} \vec{v} &= (4{\rm\ м/с})\,\шляпа\imath + (3{\rm\ м/с})\,\шляпа\jmath \\ &= (4\шапка\imath + 3\шляпа\jmath){\rm\m/s} \\ &= 4\шляпа\imath + 3\шляпа\jmath {\rm\ м/с}. \конец{выровнено}\] 92}} = 5{\rm\ м/с}. \] Тогда единичный вектор равен \[ \ шляпа {v} = \ гидроразрыва {\ vec {v}} {v} = \ frac {(4 {\ rm \ м / с}) \, \ шляпа \ imath + (3 {\ rm \ м / с}) \, \ шляпа \ jmath} {5 {\ rm \ м / с} } = 0.8\,\hat\imath + 0.6\,\hat\jmath. \]

Скалярное произведение

Скалярное произведение (также называемое внутренним числом ). произведение или скалярное произведение ) определяется как

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = а_1 б_1 + а_2 б_2 + а_3 б_3\]

Альтернативное выражение для скалярного произведения может быть заданы через длины векторов и угол между ними:

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = а б \cos\тета\]

Здесь мы представим простое 2D-доказательство. Более полное доказательство в 3D использует закон косинусов.

Начните с двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с угол $\theta$ между ними, как показано ниже.

Заметим, что угол $\theta$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ — это разница между $\theta_a$ и $\theta_b$ от горизонтали.

Если мы используем формулу суммы углов для косинуса, мы имеем

\[\begin{align} a b \cos\theta &= a b \cos(\theta_b — \theta_a) \\ &= a b (\cos\theta_b \cos\theta_a + \sin\theta_b \sin\theta_a) \конец{выровнено}\]

Теперь мы хотим выразить синус и косинус $\theta_a$ и $\theta_b$ с точки зрения $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Переформулируем выражение так, чтобы можно было использовать факт что $a_1 = a \cos\theta_a$ и $a_2 = a \sin\theta_a$, и аналогично для $\vec{b}$. 2$, что дает первое уравнение для длины через скалярное произведение. 9\circ$ вращение $\vec{a}$.

Перекрестный продукт

Перекрестный продукт может быть определен с точки зрения компонентов следующим образом:

\[ \vec{a} \times \vec{b} = (a_2 b_3 — a_3 b_2) \,\шляпа{\imath} + (a_3 b_1 — a_1 b_3) \,\шляпа{\jmath} + (a_1 b_2 — a_2 b_1) \,\шляпа{k} \]

Иногда удобнее работать с перекрестными произведениями отдельных базисных векторов, которые связаны следующим образом.

\[\ начало {выровнено} \hat\imath \times \hat\jmath &= \hat{k} & \hat\jmath \times \hat{k} &= \hat\imath & \hat{k} \times \hat\imath &= \hat\jmath \\ \hat\jmath \times \hat\imath &= -\hat{k} & \hat{k} \times \hat\jmath &= -\hat\imath & \hat\imath \times \hat{k} &= -\hat\jmath \\ \конец{выровнено}\]

Запись базисных векторов через самих себя дает составные части: \[\ начало {выровнено} i_1 &= 1 & i_2 &= 0 & i_3 &= 0 \\ j_1 &= 0 & j_2 &= 1 & j_3 &= 0 \\ k_1 &= 0 & k_2 &= 0 & k_3 &= 1. \конец{выровнено}\] Теперь эти значения можно подставить в определение #rvv-ex. Например, \[\ начало {выровнено} \ шляпа \ имат \ раз \ шляпа \ jmath &= (i_2 j_3 — i_3 j_2) \,\шляпа{\imath} + (i_3 j_1 — i_1 j_3) \,\шляпа{\jmath} + (i_1 j_2 — i_2 j_1) \,\шляпа{k} \\ &= (0 \times 0 — 0 \times 1) \,\hat{\imath} + (0 \times 0 — 1 \times 0) \,\hat{\jmath} + (1 \times 1 — 0 \times 0) \,\hat{k} \\ &= \шляпа{к} \конец{выровнено}\] Аналогично рассчитываются и другие комбинации.

Перекрестное произведение не ассоциативно, значит в общем \[\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) \ne (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}.\] Например, \[\ начало {выровнено} \ шляпа {\ imath} \ раз (\ шляпа {\ imath} \ раз \ шляпа {\ jmath}) &= \ шляпа {\ imath} \ раз \ шляпа {k} = — \ шляпа {\ jmath} \\ (\ шляпа {\ imath} \ раз \ шляпа {\ imath}) \ раз \ шляпа {\ jmath} &= \vec{0} \times \hat{\jmath} = \vec{0}. \конец{выровнено}\] Это означает, что мы никогда не должны писать выражение типа \[\vec{a} \times \vec{b} \times \vec{c}\] потому что непонятно, в каком порядке мы должны выполнять перекрестные произведения. Вместо этого, если у нас есть более одного перекрестное произведение, мы всегда должны использовать круглые скобки для указать порядок.

Вместо того, чтобы использовать компоненты, перекрестный продукт может быть определяется указанием длины и направления результирующий вектор. Направление $\vec{a} \times \vec{b}$ ортогонален как $\vec{a}$, так и $\vec{b}$, причем направление, заданное правилом правой руки. Величина перекрестное произведение определяется как:

\[\| \vec{a} \times \vec{b} \| = a b \sin\theta\]

Используя тождество Лагранжа, мы можем вычислить: \[\ начало {выровнено} \| \vec{a} \times \vec{b} \|^2 &= \|\vec{a}\|^2 \|\vec{b}\|^2 — (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 \\ &= a^2 b^2 — (a b \cos\theta)^2 \\ &= a^2 b^2 (1 — \cos^2\тета) \\ &= а^2 б^2 \sin^2\тета. \конец{выровнено}\] Извлечение квадратного корня из этого выражения дает желаемая формула длины перекрестного произведения.

Эта вторая форма определения перекрестного произведения также может быть относится к площади параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна длине основания умножается на высоту перпендикуляра, которая также является величина векторного произведения боковых векторов.

Полезный частный случай векторного произведения возникает, когда вектор $\vec{a}$ лежит в двумерной плоскости $\hat\imath,\hat\jmath$ а другой вектор находится в ортогональном $\hat{k}$ направление. В этом случае векторное произведение вращает $\vec{a}$ на 9 долларов\ перп. \конец{выровнено}\]

Проекция и дополнительная проекция

Проекция и дополнительная проекция:

\[\operatorname{Proj}(\vec{a},\vec{b}) = (\vec{a} \cdot \шляпа{b}) \шляпа{b} = (а \cos\тета) \, \шляпа{b} \]

\[\ начало {выровнено} \operatorname{Comp}(\vec{a}, \vec{b}) &= \vec{a} — \operatorname{Proj}(\vec{a}, \vec{b}) = \vec{a} — (\vec{a} \cdot \шляпа{b}) \шляпа{b} \\ \влево\| \operatorname{Comp}(\vec{a}, \vec{b}) \right\| &= а \sin\тета \конец{выровнено}\]

Добавление проекции и дополнительной проекции вектор просто дайте тот же вектор снова, как мы можем видеть на рисунок ниже.

Проекция $\vec{a}$ на $\vec{b}$ и дополнительная проекция.

Как мы видим на диаграмме выше, дополнительная проекция ортогонален опорному вектору:

\[\operatorname{Comp}(\vec{a}, \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0\]

Используя определения дополнительной проекции rvv-em и проекции rvv-ep, мы вычисляем: \[\ начало {выровнено} \operatorname{Comp}(\vec{a}, \vec{b}) \cdot \vec{b} &= \Big(\vec{a} — (\vec{a} \cdot \hat{b}) \шляпа{b}\Большой) \cdot \vec{b} \\ &= \vec{a} \cdot \vec{b} — (\vec{a} \cdot \hat{b}) (\шляпа{b} \cdot \vec{b}) \\ &= a b \cos\theta — (a\cos\theta) b \\ &= 0. \конец{выровнено}\]

Смена баз

Чтобы изменить базис, в котором записывается вектор, нам нужно узнать, как связаны базисные векторы. Мы делаем это по запись одного набора базисных векторов через другой базисные векторы. Если мы хотим перейти от $\hat\imath,\hat\jmath$ в $\hat{u},\hat{v}$, то мы нужно написать $\hat\imath,\hat\jmath$ в терминах $\hat{u},\hat{v}$, а затем подставьте выражения.

Например, если у нас есть $\vec{a} = 3\,\hat{\imath} + 2\,\hat{\jmath}$ и мы хотим напишите это в $\,\hat{u}, \,\hat{v}$ базисе, то нам нужно знать $\,\hat{\imath}, \,\hat{\jmath}$ через $\,\hat{u}, \,\шляпа{v}$.

Сверху мы видим, что: \[\begin{выровнено} \шляпа{\imath} &= \cos\theta \, \hat{u} — \sin\theta \, \hat{v} = \frac{1}{\sqrt{2}} \,\hat{u} — \frac{1}{\sqrt{2}} \,\шляпа{v} \\ \шляпа{\jmath} &= \sin\theta \, \hat{u} + \cos\theta \, \hat{v} = \ гидроразрыва {1} {\ sqrt {2}} \,\шляпа{и} + \фракция{1}{\sqrt{2}} \,\шляпа{v}. \end{выровнено}\]

Затем мы можем заменить и переставить:

\[\begin{выровнено} \vec{a} &= 3\,\шляпа{\imath} + 2\,\шляпа{\jmath} \\ &= 3\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \,\шляпа{u} — \frac{1}{\sqrt{2}} \,\шляпа{v}\right) + 2\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \,\шляпа{u} + \frac{1}{\sqrt{2}} \,\hat{v}\right) \\ &= \left(\frac{3}{\sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{2}} \right) \,\шляпа{u} + \left(-\frac{3}{\sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{2}} \right) \,\hat{v} \\ &= \frac{5}{\sqrt{2}} \,\hat{u} — \frac{1}{\sqrt{2}} \,\шляпа{v}.\end{выровнено}\]

Если мы хотим преобразовать обратно, то мы бы нужно знать $\,\hat{u}, \,\hat{v}$ с точки зрения $\,\шляпа{\imath}, \,\шляпа{\jmath}$. Мы можем найти это по решение для $\,\hat{u}, \,\hat{v}$ выше, что дает: \[\begin{выровнено} \шляпа{u} &= \cos\theta \, \hat\imath + \sin\theta \, \hat\jmath = \frac{1}{\sqrt{2}} \,\hat\imath + \frac{1}{\sqrt{2}} \,\шляпа\jmath\\ \шляпа{v} &= -\sin\theta \, \hat\imath + \cos\theta \, \hat\jmath = -\frac{1}{\sqrt{2}} \,\hat\imath + \frac{1}{\sqrt{2}} \,\шляпа\jmath. \end{выровнено}\]

Мы также можем написать общие выражения для изменения базиса, как показано ниже.

\[\ начало {выровнено} \vec{а} &= a_i \, \hat\imath + a_j \, \hat\jmath + a_k \, \hat{k} & \vec{а} &= a_u \, \шляпа{u} + a_v \, \шляпа{v} + a_w \, \шляпа{w} \\[1em] a_i &= a_u u_i + a_v v_i + a_w w_i & a_u &= a_i i_u + a_j j_u + a_k k_u \\ a_j &= a_u u_j + a_v v_j + a_w w_j & a_v &= a_i i_v + a_j j_v + a_k k_v \\ a_k &= a_u u_k + a_v v_k + a_w w_k & a_w &= a_i i_w + a_j j_w + a_k k_w \конец{выровнено}\]

Выведем первую систему уравнений (вторую набор выводится аналогично). Вектор $\vec{a}$ может быть написано как на $\hat\imath,\hat\jmath,\hat{k}$, так и на Основания $\шляпа{u},\шляпа{v},\шляпа{w}$: \[\ начало {выровнено} \vec{a} &= a_i \hat\imath + a_j \hat\jmath + a_k \hat{k} & \vec{a} &= a_u \hat{u} + a_v \hat{v} + a_w \hat{w}. \конец{выровнено}\]

Мы можем записать каждый базисный вектор $\hat{u},\hat{v},\hat{w}$ с точки зрения базиса $\hat\imath,\hat\jmath,\hat{k}$: \[\ начало {выровнено} \hat{u} &= u_i \hat\imath + u_j \hat\jmath + u_k \hat{k} \\ \шляпа{v} &= v_i \шляпа\imath + v_j \шляпа\jmath + v_k \шляпа{k} \\ \hat{w} &= w_i \hat\imath + w_j \hat\jmath + w_k \hat{k}. \конец{выровнено}\] Подстановка этих выражений в $\vec{a}$ дает: \[\ начало {выровнено} \vec{a} &= a_u \hat{u} + a_v \hat{v} + a_w \hat{w} \\ &= a_u (u_i \шляпа\imath + u_j \шляпа\jmath + u_k \шляпа{k}) + a_v (v_i \шляпа\imath + v_j \шляпа\jmath + v_k \шляпа{k}) + a_w (w_i \шляпа\imath + w_j \шляпа\jmath + w_k \шляпа{k}) \\ &= (a_u u_i + a_v v_i + a_w w_i) \шляпа\imath + (a_u u_j + a_v v_j + a_w w_j) \шляпа\jmath + (a_u u_k + a_v v_k + a_w w_k) \шляпа{k} \\ &= a_i \hat\imath + a_j \hat\jmath + a_k \hat{k}. \конец{выровнено}\] Сравнение последних двух строк дает формулы компонентов.

В 2D изменение между двумя ортонормированными основаниями представляет собой поворот на угол $\theta$, что приводит к изменению базиса выражение ниже.

\[\ начало {выровнено} \vec{а} &= a_i \, \hat\imath + a_j \, \hat\jmath & \vec{а} &= a_u \, \шляпа{u} + a_v \, \шляпа{v} \\[1em] a_i &= \cos\theta \, a_u — \sin\theta \, a_v & a_u &= \cos\theta \, a_i + \sin\theta \, a_j \\ a_j &= \sin\theta \, a_u + \cos\theta \, a_v & a_v &= -\sin\theta \, a_i + \cos\theta \, a_j \конец{выровнено}\]

Элементарная геометрия дает отношения между базисные векторы: \[\ начало {выровнено} \hat\imath &= \cos\theta \, \hat{u} — \sin\theta \, \hat{v} & \hat{u} &= \cos\theta \, \hat\imath + \sin\theta \, \hat\jmath \\ \hat\jmath &= \sin\theta \, \hat{u} + \cos\theta \, \hat{v} & \hat{v} &= -\sin\theta \, \hat\imath + \cos\theta \, \hat\jmath. \конец{выровнено}\] Итак, у нас есть компоненты: \[\ начало {выровнено} i_u &= \cos\theta & i_v &= -\sin\theta & u_i &= \cos\theta & u_j &= \sin\theta \\ j_u &= \sin\theta & j_v &= \cos\theta & v_i &= -\sin\theta & v_j &= \cos\theta. \конец{выровнено}\] Подставив их в #rvv-eg а игнорирование третьих компонентов дает желаемое выражения.

Векторные выражения истинны независимо от того, какой базис мы пишем векторы в, даже если они записаны в разных основаниях.

Добавление $\vec{a}$ и $\vec{b}$ для получения результата $\vec{c}$ — хорошо определенная операция еще до того, как используется базис, поэтому он не может зависеть от базиса выбран. Как мы видим ниже, мы можем сделать расчет в либо $\hat\imath,\hat\jmath$, либо $\hat{u},\hat{v}$ основа.

Показать компоненты: никто $\шляпа\imath,\шляпа\jmath$ $\шляпа{и},\шляпа{в}$ смешанный

\[\ начало {выровнено} \vec{c} &= \vec{a} + \vec{b} \\ &= (3\шляпа\имат + 2\шляпа\jmath) + (3\шляпа\имат — \шляпа\jмат) \\ &= 6\шляпа\имат + \шляпа\jmath \\ \vec{c} &= \vec{a} + \vec{b} \\ &= (3,5\шляпа{u} — 0,7\шляпа{v}) + (1,4\шляпа{u} — 2,8\шляпа{v}) \\ &= 4,9\шляпа{и} — 3.5\шляпа{в} \\ \vec{c} &= \vec{a} + \vec{b} \\ &= (3\шапка\imath + 2\шляпа\jmath) + (1.4\шляпа{u} — 2.8\шляпа{v}) \\ &= 3\шляпа\имат — 2,8\шляпа{v} + 2\шляпа\jmath + 1,4\шляпа{и}. \конец{выровнено}\] Порядок компонентов в смешанном выражении произвольный.

Рассмотрим два вектора, показанные ниже, и их компоненты в двух основаниях вместе с их длинами: 92} = 3,2 \конец{выровнено}\]

Показать компоненты: никто $\шляпа\imath,\шляпа\jmath$ $\шляпа{и},\шляпа{в}$

Вычислите векторное произведение $\vec{a} \times \vec{b}$ используя: (1) формулу угла #rvv-el; (2) формула компонента #rvv-ex с $\vec{a},\vec{b}$ как в базисе $\hat\imath,\hat\jmath$, так и в $\hat{u},\hat{v}$, а с $\vec{a}$ в Базис $\hat\imath,\hat\jmath$ и $\vec{b}$ в Базис $\hat{u},\hat{v}$. 9\circ$. Теперь используем #rvv-el дает: \[\ начало {выровнено} \vec{a} \times \vec{b} &= a b \sin\theta ( -\hat{k}) \\ &= -9 \шляпа{к}. \конец{выровнено}\] (2) Использование формулы компонента #rvv-ex дает: \[\ начало {выровнено} (3\шляпа\имат + 2\шляпа\jmath) \times (3\шляпа\имат — \шляпа\jmath) &= -3 \hat\imath \times \hat\jmath + 6 \hat\jmath \times \hat\imath \\ &= -3 \шляпа{к} — 6 \шляпа{к} \\ &= -9\ шляпа {к} \\ (3,5 \ шляпа {u} — 0,7 \ шляпа {v}) \ раз (1,4 \ шляпа {u} — 2,8 \ шляпа {v}) &= — (3,5 \times 2,8) \hat{u} \times \hat{v} — (0,7 х 1,4) \шляп{в} \раз \шляп{у} \\ &= -10 \шляпа{к} + \шляпа{к} \\ &= -9 \шляпа{к} \\ (3\шапка\imath + 2\шляпа\jmath) \times (1. \circ \, \шляпа{k} \\ &= — 9\шляпа{к}. \конец{выровнено}\]

Уравнение #rvv-ed делает ясно, что скалярное произведение не зависит от какой базис мы используем для записи $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если мы используем один и тот же ортонормированный базис для них обоих. Это потому что скалярное произведение зависит только от длины и угла между векторами, которые являются реальными физическими величины, которые не меняются только потому, что мы используем разная основа.

Однако мы также можем проверить непосредственно, что компонента уравнение #rvv-es для точки продукт не зависит от того, какую основу мы используем. Хранить короткая алгебра, мы будем делать это только в 2D.

Мы вычисляем скалярное произведение, используя #rvv-es в $\hat\imath,\hat\jmath$ и заменить в выражения изменения основы #rvv-eg, дающие:

\[\begin{выровнено} \vec{a} \cdot \vec{b} &= a_i b_i + a_j b_j \\ &= (u_i a_u + v_i a_v ) (u_i b_u + v_i b_v) + (u_j a_u + v_j a_v) (u_j b_u + v_j b_v) \\ &= (u_i^2 + u_j^2) a_u b_u + (v_i^2 + v_j^2) a_v b_v + (u_i v_i + u_j b_j) (a_u b_v + a_v b_u) \\ &= \| \шляпа{и} \|^2 a_u b_u + \| \шляпа{v} \|^2 a_v b_v + (\шляпа{u} \cdot \шляпа{v}) (a_u b_v + a_v b_u) \\ &= a_u b_u + a_v b_v. \конец{выровнено}\]

Чтобы получить последнюю строку, мы использовали тот факт, что $\hat{u}$ и $\hat{v}$ образуют орторнормальный базис, так что каждая из них имеет длину 1 (т.е. $\|\шляпа{и}\| = \|\шляпа{v}\| = 1$) и они ортогональные (то есть $\hat{u} \cdot \hat{v} = 0$).

Затем это показывает, что

\[\ начало {выровнено} a_i b_i + a_j b_j &= a_u b_u + a_v b_v \конец{выровнено}\]

и поэтому не имеет значения, какую основу мы используем для вычислить $\vec{a} \cdot \vec{b}$, поэтому пока мы используем ортонормированный базис.

Векторы и базисы, зависящие от времени

У нас могут быть динамические векторы, которые меняются со временем, поэтому их компоненты тоже меняются. В качестве альтернативы, мы можем иметь фиксированный вектор, но динамическая основа. Поскольку мы используем ортонормированный базиса, единственный тип изменения базиса, который может произойти, это жесткое вращательное движение основания.

Движение: вектор основа

Изменяющийся во времени вектор или базис. Будь то вектор или базис меняется со временем, в любом случае компоненты также меняется со временем.

Векторы 101 | ASGCT — Американское общество генной и клеточной терапии |

Генная терапия — это способ лечения или предотвращения определенного заболевания с использованием генетического материала. Один из распространенных способов, который исследователи нашли для достижения этой цели, — использование вектора. Векторы — это, по сути, носители, предназначенные для доставки терапевтического генетического материала, такого как рабочий ген, непосредственно в клетку. Существует четыре основных типа вирусных векторов (аденоассоциированные вирусы, аденовирусы, лентивирусы и ретровирусы), каждый из которых имеет свои уникальные характеристики, области применения и ограничения.

Использование вирусов

Векторы обычно получают из вирусов, поскольку вирусы доказали свою эффективность при попадании в клетки. Чтобы сделать векторы безопасными для использования, все вирусные гены удаляются, а вектор модифицируется для доставки только терапевтических генов. Выбор вирусов для использования в качестве векторов основывается на трех критериях:

• Насколько хорошо исследователи понимают вирус
• Насколько хорошо вирус может воздействовать на определенные типы клеток
• Как безопасно использовать вирус

Векторы используют оболочку вируса, также известную как капсид, чтобы помочь транспортировать рабочие гены в клетку-мишень. Думайте о векторах как о конвертах, используемых для доставки определенного сообщения. Конверт позволяет доставить сообщение, а сообщение внутри предоставляет клетке новые инструкции о том, как правильно функционировать. Использование вируса для лечения болезни может показаться устаревшим, но использование векторов подтверждено многолетними исследованиями и доказало свою безопасность, что всегда является главным приоритетом.

Генная терапия с использованием вирусных векторов дает больше, чем просто лечение симптомов. Векторы с генетической информацией, которую они несут, могут напрямую воздействовать на причину болезни и изменять способ функционирования клетки. Кроме того, их обычно нужно вводить только один раз, и они обычно используются для лечения редких наследственных заболеваний, для которых практически нет других вариантов лечения.

Аденоассоциированные вирусные векторы, также известные как AAV, обычно используются для доставки небольших пакетов ДНК или генов. Размер этого вектора может быть фактором, определяющим, на какие редкие заболевания он может воздействовать. Известно, что они безопасны и эффективны при использовании в течение подходов генной терапии in vivo . Терапия In vivo включает введение генной терапии в определенные части тела, чтобы новые генетические инструкции могли быть доставлены непосредственно в клетки тела.

AAV обычно не интегрируются . Это означает, что ДНК, которую они несут, обычно не встраивается в геном клетки. Таким образом, если вектор поглощается делящейся клеткой, терапевтический ген не будет копироваться при каждом клеточном делении и со временем может быть потерян, что ослабит лечебный эффект. Из-за этого AAV обычно используются для нацеливания на неделящиеся клетки, такие как клетки печени, нервной системы, глаз и скелетных мышц. ААВ могут сохраняться у пациентов в течение длительного периода времени, возможно, даже всю жизнь.

Врожденный иммунитет является одним из ограничений AAV, поскольку многие люди могли ранее подвергаться воздействию AAV через естественные инфекции. Это означает, что ранее существовавшие антитела могут отстранить от 30 до 70 процентов пациентов от участия в клинических испытаниях в зависимости от типа используемого AAV. Для этих пациентов их иммунная система может атаковать или уничтожить вектор до того, как он сможет доставить свой терапевтический пакет, что сделает его бесполезным. Кроме того, пациенты часто ограничиваются однократным введением терапии, поскольку у них могут вырабатываться антитела после первого введения. Тестирование на врожденный иммунитет становится все более распространенным и используется в качестве критерия исключения для участия в клинических испытаниях. На данный момент ученые работают над различными стратегиями, помогающими справиться с этой проблемой, такими как создание синтетических капсидов, которые не будут атакованы иммунной системой, или использование фермента, который может расщеплять антитела в краткосрочной перспективе. Эти решения основаны на знании того, что существует короткий промежуток времени (часы), в течение которого вектор вводится, а затем перемещается в клетку-мишень, и как только вектор попадает внутрь клетки, он защищен от антител.

В некотором смысле аденовирусные векторы сходны с векторами AAV. Например, они чаще всего используются для доставки пакетов ДНК в неделящиеся клетки. Однако аденовирусные векторы крупнее и способны доставлять генетические пакеты почти в восемь раз больше, чем AAV. Аденовирусные векторы могут вызывать сильных иммунных ответа , что приводит к потенциально опасному воспалению во всем организме и снижению эффективности терапии. В последние годы ученые работали над созданием аденовирусных векторов, вызывающих более мягкий иммунный ответ, чтобы доставлять более крупные пакеты с меньшим риском.

Лентивирусные и ретровирусные векторы могут нести более крупные генетические пакеты РНК, которые преобразуются в ДНК. Во время этого процесса векторы интегрируют в геном клетки-мишени, в отличие от AAV и аденовирусных векторов.

Способность интегрироваться в геном клетки делает лентивирусные и ретровирусные векторы наиболее подходящими для деления клеток, которые являются мишенями ex vivo лечения . Например, эти векторы используются для нацеливания на Т-клетки, которые являются типом иммунных клеток, и стволовые клетки, которые являются особыми клетками, которые могут развиваться во многие типы клеток. В отличие от in vivo обработок, ex vivo обработка клеток происходит вне организма. Клетки удаляются из организма и культивируются на чашках, что позволяет им реплицироваться и расширяться. Затем эти клетки обрабатывают векторами и модифицируют новыми генетическими инструкциями, такими как рабочий ген. Затем модифицированные клетки возвращаются в организм. После этого обработанные клетки начинают делиться и генерировать новые клетки. Благодаря интеграции новый генетический материал копируется во все новые клетки и продолжает функционировать за пределами исходной клетки.

Генная терапия с использованием вирусных векторов обладает большим потенциалом, но не лишена определенного риска. Эти примеры являются дополнением к ограничениям, которые обсуждались выше, включая врожденный иммунитет и сильный иммунный ответ.

Нецелевые эффекты — когда после введения могут быть затронуты ткани, отличные от основной ткани-мишени. Векторы, которые вставляют свой генетический пакет в геном хозяина, потенциально могут интегрироваться в неправильном месте генома и вызывать непредвиденные последствия. Чтобы сохранить как можно больший контроль над процессом, исследователи разработали методы таргетинга. Кроме того, у них есть возможность отслеживать долгосрочные эффекты вектора у пациентов в месте введения.

Производство — еще одна задача, которую решают профессионалы в этой области. Создание очень большого количества безопасных вирусных векторов требует времени, усилий и ресурсов. Сложность процесса увеличивает производственные затраты и затрудняет эффективную оптимизацию производства. Исследователи будут продолжать работать над более эффективными методами производства по мере того, как будут исследованы и одобрены для использования все больше генных терапий.

Исследователи также разрабатывают больше невирусных векторов для устранения (или устранения) этих ограничений. Невирусные векторы дешевле в производстве, чем их вирусные аналоги. Они потенциально могут доставлять более крупные генетические пакеты, позволяют многократно дозировать и упрощают контроль качества. Преимуществом невирусных векторов также является пониженная вероятность запуска неблагоприятных иммунных реакций.

Несмотря на то, что невирусные переносчики имеют большие перспективы, у ученых просто меньше опыта работы с ними. Многие из невирусных механизмов быстро развиваются, но все еще остаются проблемы, такие как пропускная способность и способность воздействовать на определенные органы или ткани. На данный момент их нельзя использовать для in vivo подходы, общие для AAV и аденовирусных векторов.

Подход к генной терапии очень отличается, когда речь идет об онкологии и лечении рака. Существующие векторы не могут воздействовать на 100 % клеток, поэтому стратегии добавления генов или специфического нацеливания на гены, которые используются для лечения редких заболеваний, таких как добавление рабочего гена, просто не так эффективны для лечения рака.