Решение неравенств 8 класс примеры: Как решать линейное неравенство. Алгебра, 8 класс: уроки, тесты, задания.

Алгебра. Урок 8. Неравенства, системы неравенств.

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Неравенства” на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

• Неравенства

• Линейные неравенства

Таблица числовых промежутков
Алгоритм решения линейного неравенства
Примеры решения линейных неравенств

• Квадратные неравенства

Алгоритм решения квадратного неравенства
Примеры решения квадратных неравенств

• Дробно рациональные неравенства

Алгоритм решения дробно рационального неравенства
Примеры решения дробно рациональных неравенств

• Системы неравенств

Алгоритм решения системы неравенств
Примеры решения систем неравенств

 

Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак     =     поменять на любой из знаков неравенства:

>    больше,

≥    больше или равно,

<    меньше,

≤    меньше или равно,

то получится неравенство.

Линейные неравенства

Линейные неравенства – это неравенства вида:

ax<bax≤bax>bax≥b

где a и b – любые числа, причем a≠0,x – переменная.

Примеры линейных неравенств:

3x<5x−2≥07−5x<1x≤0

Решить линейное неравенство – получить выражение вида:

x<cx≤cx>cx≥c

где c – некоторое число.

Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.

• Если знак неравенства строгий >,<, точка на оси будет выколотой (не закрашенной), а скобка, обнимающая точку – круглой.

Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.

• Если знак неравенства нестрогий ≥,≤, точка на оси будет жирной (закрашенной), а скобка, обнимающая точку – квадратной.

Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.

• Скобка, которая обнимает знак бесконечности всегда круглая – не можем мы объять необъятное, как бы нам этого ни хотелось.

Таблица числовых промежутков

Неравенство	Графическое решение	Форма записи ответа
x<c		x∈(−∞;c)
x≤c		x∈(−∞;c]
x>c		x∈(c;+∞)
x≥c		x∈[c;+∞)

Алгоритм решения линейного неравенства

1. Раскрыть скобки (если они есть), перенести иксы в левую часть, числа в правую и привести подобные слагаемые. Должно получиться неравенство одного из следующих видов:

ax<bax≤bax>bax≥b

1. Пусть получилось неравенство вида ax≤b. Для того, чтобы его решить, необходимо поделить левую и правую часть неравенства на коэффициент a.

• Если a>0 то неравенство приобретает вид x≤ba.

• Если a<0, то знак неравенства меняется на противоположный, неравенство приобретает вид x≥ba.

1. Записываем ответ в соответствии с правилами, указанными в таблице числовых промежутков.

Примеры решения линейных неравенств:

№1. Решить неравенство    3(2−x)>18.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6−3x>18

−3x>18−6−3x>12|÷(−3)

Делим обе части неравенства на (-3) – коэффициент, который стоит перед  x. Так как    −3<0,  знак неравенства поменяется на противоположный. x<12−3⇒x<−4 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Ответ: x∈(−∞;−4)

№2. Решить неравество    6x+4≥3(x+1)−14.

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6x+4≥3x+3−14

6x−3x≥3−14−4

3x≥−15    |  ÷3 Делим обе части неравенства на (3) – коэффициент, который стоит перед  x. Так как 3>0,   знак неравенства после деления меняться не будет.

x≥−153⇒x≥−5 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков).

Ответ: x∈[−5;  +∞)

Особые случаи (в 14 задании ОГЭ 2019 они не встречались, но знать их полезно).

Примеры:

№1. Решить неравенство    6x−1≤2(3x−0,5).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

6x−1≤6x−1

6x−6x≤−1+1

0≤0

Получили верное неравенство, которое не зависит от переменной x. Возникает вопрос, какие значения может принимать переменная x, чтобы неравенство выполнялось? Любые! Какое бы значение мы ни взяли, оно все равно сократится и результат неравенства будет верным. Рассмотрим три варианта записи ответа.

Ответ:
1. x – любое число
2. x∈(−∞;+∞)
3. x∈ℝ

 

 

 

 

№2. Решить неравенство    x+3(2−3x)>−4(2x−12).

Решение:

Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые.

x+6−9x>−8x+48

−8x+8x>48−6

0>42

Получили неверное равенство, которое не зависит от переменной x. Какие бы значения мы ни подставляли в исходное неравенство, результат окажется одним и тем же – неверное неравенство. Ни при каких значениях x исходное неравенство не станет верным. Данное неравенство не имеет решений. Запишем ответ.

Ответ: x∈∅

Квадратные неравенства

Квадратные неравенства – это неравенства вида: ax2+bx+c>0ax2+bx+c≥0ax2+bx+c<0ax2+bx+c≤0 где a, b, c — некоторые числа, причем   a≠0,x — переменная.

Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т.д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет.

Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения (см. урок 4).

Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов

1. Решить уравнение ax2+bx+c=0 и найти корни x1 и x2.
1. Отметить на числовой прямой корни трехчлена.

Если знак неравенства строгий >,<, точки будут выколотые.

Если знак неравенства нестрогий ≥,≤, точки будут жирные (заштрихованный).

1. Расставить знаки на интервалах. Для этого надо выбрать точку из любого промежутка (в примере взята точка A) и подставить её значение в выражение ax2+bx+c вместо x.

Если получилось положительное число, знак на интервале плюс. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

Если получилось отрицательное число, знак на интервале минус. На остальных интервалах знаки будут чередоваться.

Точки выколотые, если знак неравенства строгий.

Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.

1. Выбрать подходящие интервалы (или интервал).

Если знак неравенства > или ≥ в ответ выбираем интервалы со знаком +.

Если знак неравенства < или ≤ в ответ выбираем интервалы со знаком -.

1. Записать ответ.

Примеры решения квадратных неравенств:

№1. Решить неравенство    x2≥x+12.

Решение:

Приводим неравенство к виду ax2+bx+c ≥0, а затем решаем уравнение ax2+bx+c=0.

x2≥x+12

x2−x−12≥0

x2−x−12=0

a=1,b=−1,c=−12

D=b2−4ac=(−1)2−4⋅1⋅(−12)=1+48=49

D>0⇒ будет два различных действительных корня

x1,2=−b±D2a=−(−1)±492⋅1=1±72=[1+72=82=41−72=−62=−3

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 6. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x2−x−1=62−6−1=29>0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 6 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

В ответ пойдут два интервала. В математике для объединения нескольких интервалов используется знак объединения: ∪.

Точки -3 и 4 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ:   x∈(−∞;−3]∪[4;+∞)

№2. Решить неравенство    −3x−2≥x2.

Решение:

Приводим неравенство к виду ax2+bx+c ≥0, а затем решаем уравнение ax2+bx+c=0.

−3x−2≥x2

−x2−3x−2≥0

−x2−3x−2=0

a=−1,b=−3,c=−2

D=b2−4ac=(−3)2−4⋅(−1)⋅(−2)=9−8=1

D>0⇒ будет два различных действительных корня

x1,2=−b±D2a=−(−3)±12⋅(−1)=3±1−2=[3+1−2=4−2=−23−1−2=2−2=−1

x1=−2,x2=−1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0. Подставляем эту точку в исходное выражение:

−x2−3x−2=−(0)2−3⋅0−2=−2<0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет   −.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   ≥, выбираем в ответ интервал со знаком   +.

Точки -2 и -1 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ:   x∈[−2;−1]

№3. Решить неравенство   4<x2+3x.

Решение:

Приводим неравенство к виду ax2+bx+c ≥0, а затем решаем уравнение ax2+bx+c=0.

4<x2+3x

−x2−3x+4<0

−x2−3x+4=0

a=−1,b=−3,c=4

D=b2−4ac= (−3)2−4⋅(−1)⋅4=9+16=25

D>0⇒ будет два различных действительных корня

x1,2=−b±D2a=−(−3)±252⋅(−1)=3±5−2=[3+5−2=8−2=−43−5−2=−2−2=1

x1=−4,x2=1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение:

−x2−3x+4=−(2)2−3⋅2+4=−6<0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет   -.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   <,  выбираем в ответ интервалы со знаком   −.

Точки -4 и 1 будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ:   x∈(−∞;−4)∪(1;+∞)

№4. Решить неравенство   x2−5x<6.

Решение:

Приводим неравенство к виду ax2+bx+c ≥0, а затем решаем уравнение ax2+bx+c=0.

x2−5x<6

x2−5x−6<0

x2−5x−6=0

a=1,b=−5,c=−6

D=b2−4ac=(−5)2−4⋅1⋅(−6)=25+25=49

D>0⇒ будет два различных действительных корня

x1,2=−b±D2a=−(−5)±492⋅1=5±72=[5+72=122=65−72=−22=−1

x1=6,x2=−1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 10. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x2−5x−6=102−5⋅10−6=100−50−6= 44>0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 10 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   <, выбираем в ответ интервал со знаком   -.

Точки -1 и 6 будут в круглых скобках, так как они выколотые

Ответ:   x∈(−1;6)

№5. Решить неравенство   x2<4.

Решение:

Переносим 4 в левую часть, раскладываем выражение на множители по ФСУ и находим корни уравнения.

x2<4

x2−4<0

x2−4=0

(x−2)(x+2)=0⇔[x−2=0x+2=0 [x=2x=−2

x1=2,x2=−2

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 3. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x2−4=32−4=9−4=5>0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 3 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   <,   выбираем в ответ интервал со знаком   −.

Точки -2 и 2 будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ:   x∈(−2;2)

№6. Решить неравенство   x2+x≥0.

Решение:

Выносим общий множитель за скобку, находим корни уравнения   x2+x=0.

x2+x≥0

x2+x=0

x(x+1)=0⇔[x=0x+1=0[x=0x=−1

x1=0,x2=−1

Наносим точки на ось x. Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 1. Подставляем эту точку в исходное выражение:

x2+x=12+1=2>0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 1 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

Поскольку знак неравенства   ≥,  выбираем в ответ интервалы со знаком   +.

В ответ пойдут два интервала. Точки -1 и 0 будут в квадратных скобках, так как они жирные.

Ответ:   x∈(−∞;−1]∪[0;+∞)

Вот мы и познакомились с методом интервалов. Он нам еще пригодится при решении дробно рациональных неравенств, речь о которых пойдёт ниже.

Дробно рациональные неравенства

Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов:

f(x)g(x)<0f(x)g(x)≤0f(x)g(x)>0f(x)g(x)≥0

Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю).

Примеры дробно рациональных неравенств:

x−1x+3<03(x+8)≤5×2−1x>0x+20x≥x+3

Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов.

Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:

1. Привести неравенство к одному из следующих видов (в зависимости от знака в исходном неравенстве):

f(x)g(x)<0f(x)g(x)≤0f(x)g(x)>0f(x)g(x)≥0

1. Приравнять числитель дроби к нулю   f(x)=0.  Найти нули числителя.
1. Приравнять знаменатель дроби к нулю   g(x)=0.  Найти нули знаменателя.

В этом пункте алгоритма мы будем делать всё то, что нам запрещали делать все 9 лет обучения в школе – приравнивать знаменатель дроби к нулю. Чтобы как-то оправдать свои буйные действия, полученные точки при нанесении на ось x будем всегда рисовать выколотыми, вне зависимости от того, какой знак неравенства.

1. Нанести нули числителя и нули знаменателя на ось x.

Вне зависимости от знака неравенства
при нанесении на ось xнули знаменателя всегда выколотые.

Если знак неравенства строгий,
при нанесении на ось x нули числителя выколотые.

Если знак неравенства нестрогий,
при нанесении на ось x нули числителя жирные.

1. Расставить знаки на интервалах.
1. Выбрать подходящие интервалы и записать ответ.

Примеры решения дробно рациональных неравенств:

№1. Решить неравенство   x−1x+3>0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

1. Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду  f(x)g(x)>0.
1. Приравниваем числитель к нулю  f(x)=0.

x−1=0

x=1 — это ноль числителя. Поскольку знак неравенства строгий, ноль числителя при нанесени на ось x будет выколотым. Запомним это.

1. Приравниваем знаменатель к нулю  g(x)=0.

x+3=0

x=−3 — это ноль знаменателя. При нанесении на ось x точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данном случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

1. Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение f(x)g(x):x−1x+3 = 2−12+3=15>0,

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

1. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства   >,  выбираем в ответ интервалы со знаком   +.

В ответ пойдут два интервала. Точки -3 и 1 будут в круглых скобках, так как обе они выколотые.

Ответ:   x∈(−∞;−3)∪(1;+∞)

№2. Решить неравенство   3(x+8)≤5.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

1. Привести неравенство к виду  f(x)g(x)≤0.

3(x+8)≤5

3(x+8)−5\x+8≤0

3x+8−5(x+8)x+8≤0

3−5(x+8)x+8≤0

3−5x−40x+8≤0

−5x−37x+8≤0

1. Приравнять числитель к нулю  f(x)=0.

−5x−37=0

−5x=37

x=−375=−375=−7,4

x=−7,4 — ноль числителя. Поскольку знак неравенства нестрогий, при нанесении этой точки на ось x точка будет жирной.

1. Приравнять знаменатель к нулю  g(x)=0.

x+8=0

x=−8 — это ноль знаменателя. При нанесении на ось x, точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства нестрогий, значит нули числителя будут жирными. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.

1. Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0. Подставляем эту точку в исходное выражение  f(x)g(x):

−5x−37x+8=−5⋅0−370+8=−378<0

Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет   -.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

1. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства   ≤,  выбираем в ответ интервалы со знаком   -.

В ответ пойдут два интервала. Точка -8 будет в круглой скобке, так как она выколотая, точка -7,4 будет в квадратных скобках, так как она жирная.

Ответ:   x∈(−∞;−8)∪[−7,4;+∞)

№3. Решить неравенство   x2−1x>0.

Решение:

Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.

1. Первый шаг алгоритма уже выполнен. Неравенство приведено к виду  f(x)g(x)>0.
1. Приравнять числитель к нулю  f(x)=0.

x2−1=0

(x−1)(x+1)=0⇒[x−1=0x+1=0[x=1x=−1

x1=1,x2=−1  — нули числителя. Поскольку знак неравенства строгий, при нанесении этих точек на ось x точки будут выколотыми.

1. Приравнять знаменатель к нулю g(x)=0.

x=0 — это ноль знаменателя. При нанесении на ось x, точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).

1. Наносим нули числителя и нули знаменателя на ось x.

При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя и так выколоты всегда.

1. Расставляем знаки на интервалах.

Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2. Подставляем эту точку в исходное выражение  f(x)g(x):

x2−1x=22−12=4−12=32>0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет   +.

Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.

1. Выбираем подходящие интервалы и записываем ответ.

Поскольку знак неравенства   >,  выбираем в ответ интервалы со знаком   +.

В ответ пойдут два интервала. Все точки будут в круглых скобках, так как они выколотые.

Ответ:   x∈(−1;0)∪(1;+∞)

Системы неравенств

Сперва давайте разберёмся, чем отличается знак { системы от знака [ совокупности. Система неравенств ищет пересечение решений, то есть те точки, которые являются решением и для первого неравенства системы, и для второго. Проще говоря, решить систему неравенств — это найти пересечение решений всех неравенств этой системы друг с другом. Совокупность неравенств ищет объединение решений, то есть те точки, которые являются решением либо для первого неравенства, либо для второго, либо одновременно и для первого неравенства, и для второго. Решить совокупность неравенств означает объединить решения обоих неравенств этой совокупности. Более подробно об этом смотрите короткий видео-урок.

Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной, которые объединены в общую систему фигурной скобкой.

Пример системы неравенств:

{x+4>02x+3≤x2

Алгоритм решения системы неравенств

1. Решить первое неравенство системы, изобразить его графически на оси x.
1. Решить второе неравенство системы, изобразить его графически на оси x.
1. Нанести решения первого и второго неравенств на ось x.
1. Выбрать в ответ те участки, в которых решение первого и второго неравенств пересекаются. Записать ответ.

Примеры решений систем неравенств:

№1. Решить систему неравенств   {2x−3≤57−3x≤1

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

1. Решаем первое неравенство системы.

2x−3≤5 

2x≤8|÷2, поскольку  2>0,  знак неравенства после деления сохраняется.

x≤4;

Графическая интерпретация:

Точка 4 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

1. Решаем второе неравенство системы.

7−3x≤1

−3x≤1−7

−3x≤−6|÷(−3),  поскольку  −3<0,  знак неравенства после деления меняется на противоположный.

x≥2

Графическая интерпретация решения:

Точка 2 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

1. Наносим оба решения на ось x.
1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается на отрезке от 2 до 4. Точки 2 и 4 в ответе буду в квадратных скобках, так как обе они жирные.

Ответ:   x∈[2;4]

№2. Решить систему неравенств   {2x−1≤51<−3x−2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

1. Решаем первое неравенство системы.

2x−1≤5

2x≤6|÷2, поскольку  2>0,  знак неравенства после деления сохраняется.

x≤3

Графическая интерпретация:

Точка 3 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.

1. Решаем второе неравенство системы.

1<−3x−2

3x<−1−2

3x<−3|÷3,  поскольку  3>0,  знак неравенства после деления сохраняется.

x<−1

Графическая интерпретация решения:

Точка -1 на графике выколотая, так как знак неравенства строгий.

1. Наносим оба решения на ось x.
1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается на самом левом участке. Точка -1 будет в ответе в круглых скобках, так как она выколотая.

Ответ:   x∈(−∞;−1)

№3. Решить систему неравенств   {3x+1≤2xx−7>5−x

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

1. Решаем первое неравенство системы.

3x+1≤2x

3x−2x≤−1

x≤−1

Графическая интерпретация решения:

1. Решаем второе неравенство системы

x−7>5−x

x+x>5+7

2x>12| ÷2,  поскольку  2>0,  знак неравенства после деления сохраняется.

x>6

Графическая интерпретация решения:

1. Наносим оба решения на ось x.
1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечений решений не наблюдается. Значит у данной системы неравенств нет решений.

Ответ:   x∈∅

№4. Решить систему неравенств   {x+4>02x+3≤x2

Решение:

Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.

1. Решаем первое неравенство системы.

x+4>0

x>−4

Графическая интерпретация решения первого неравенства:

1. Решаем второе неравенство системы

2x+3≤x2

−x2+2x+3≤0

Решаем методом интервалов.

−x2+2x+3=0

a=−1,b=2,c=3

D=b2−4ac=22−4⋅(−1)⋅3=4+12=16

D>0 — два различных действительных корня.

x1,2=−b±D2a=−2±162⋅(−1)=−2±4−2=[−2−4−2=−6−2=3−2+4−2=2−2=−1

Наносим точки на ось x и расставляем знаки на интервалах. Поскольку знак неравенства нестрогий, обе точки будут заштрихованными.

Графическая интерпретация решения второго неравенства:

1. Наносим оба решения на ось x.
1. Выбираем подходящие участки и записываем ответ.

Пересечение решений наблюдается в двух интервалах. Для того, чтобы в ответе объединить два интервала, используется знак объединения  ∪.

Точка -4 будет в круглой скобке, так как она выколотая, а точки -1 и 3 в квадратных, так как они жирные.

Ответ:   x∈(−4;−1]∪[3;+∞)

 

Скачать домашнее задание к уроку 8.

 

определение, отображение на числовой прямой, примеры

Понятие решения неравенства с одной переменной

Решением неравенства с одной переменной называют такое множество всех значений этой переменной, при подстановке которых в это неравенство вместо неизвестного получается верное числовое неравенство.

При решении неравенств используются свойства неравенств (см. §36 этого справочника), из которых следует:

• если перенести какое-либо слагаемое неравенства в другую часть, знак неравенства не изменится;
• если разделить обе части неравенства на одно и то же положительное число, знак не изменится; при делении на одно и то же отрицательное число знак нужно поменять.

Например: Решить неравенство $5x-12 \gt 3x+4$

$5x-12 \gt 3x+4$

Переносим 12 вправо со знаком +

$5x \gt 3x+4+12$

Переносим 3x влево со знаком —

$5x-3x \gt 4+12$

$2x \gt 16$

Делим на 2 обе части неравенства

$x \gt 8$

Получаем ответ: $x \gt 8 или x \in (8;+\infty)$

Ответом является бесконечное множество решений – все действительные числа больше 8. Эти решения образуют открытый луч (см. §16 данного справочника)

Изображение множества решений неравенства с одной переменной на числовой прямой

Подробно о числовой прямой и видах числовых промежутков на ней рассказано в §16 данного справочника. Здесь мы изобразим числовые промежутки как решения неравенств на более простых примерах.

Отрезок
	$3 \le x \le 5 или x \in [3;5]$
Интервал
	$3 \lt x \lt 5 или x \in (3;5)$
Полуинтервал
	$3 \lt x \le 5 или x \in (3;5]$
	$3 \le x \lt 5 или x \in [3;5)$
Луч
	$x \ge 3 или x \in [3, +\infty)$
	$x \le 5 или x \in (-\infty,5]$
Открытый луч
	$x \gt 3 или x \in (3,+\infty)$
	$x \lt 5 или x \in (-\infty,5)$

Примеры

Пример 1. 2-x-6+10 $

$x \ge 4 или x \in [4;+ \infty)$- луч

Пример 2. Длина стороны прямоугольника 7 см. Какой должна быть длина другой стороны, чтобы периметр прямоугольника был меньше периметра квадрата со стороной 5 см?

Пусть x неизвестная сторона прямоугольника.

Периметр прямоугольника: $P_{rec} = 2(7+x)$

Периметр квадрата: $P_{sq} = 4 \cdot 5 = 20$

По условию:

$$ 2(7+x) \lt 20 |:2 $$

$$ 7+x \lt 10 $$

$$ x \lt 3 $$

Т.к. речь идёт о стороне прямоугольника, которая не может быть равной 0 или отрицательной, получаем: $0 \lt x \lt 3$ (см)

Ответ: $0 \lt x \lt 3$ см

Пример 3. Турист отправился на моторной лодке по течению реки и должен вернуться обратно не позже, чем через 5 часов. На какое расстояние может отъехать турист, если скорость течения 3 км/ч, а скорость лодки в стоячей воде 15 км/ч.

Заполним таблицу:

v, км/ч

t, ч

s, км

По течению

18

$\frac{s}{18}$

s

Против течения

12

$\frac{s}{12}$

s

По условию:

$$\frac{s}{18} + \frac{s}{12} \le 5 | \times 36 $$

$$ 2s+3s \le 180 $$

$$ 5s \le 180 $$

$$ s \le 36 $$

Турист не должен отъезжать дальше, чем на 36 км.

Ответ: не более 36 км.

4.7 Решение линейных неравенств | Уравнения и неравенства

Предыдущий 4.6 Буквенные уравнения

Следующий 4.8 Краткое содержание главы

4.7 Решение линейных неравенств (EMA3H)

Линейное неравенство похоже на линейное уравнение в том, что наибольший показатель степени переменной равен \(\текст 1}\). Ниже приведены примеры линейных неравенств.

\начать{выравнивать*} 2х+2&\ле 1\ \frac{2 — x}{3x + 1} & \ge 2 \\ \frac{4}{3}x — 6 & < 7x + 2 \конец{выравнивание*}
Методы, используемые для решения линейных неравенств, аналогичны тем, которые используются для решения линейных уравнений. Единственный разница возникает, когда есть умножение или деление, которое включает знак минус. Например, мы знайте, что \(8>6\). Если обе части неравенства разделить на \(-\text{2}\), то получим \(-4>-3\), что неверно. Следовательно, знак неравенства необходимо поменять местами, что дает \(-4<-3\).

Чтобы сравнить неравенство с нормальным уравнением, мы сначала решим уравнение.

Решите \(2x + 2 = 1\):

\начать{выравнивать*} 2х+2&=1\ 2х & = 1 — 2 \ 2х&=-1\ х & = -\фракция{1}{2} \конец{выравнивание*}
Если мы представим этот ответ на числовой прямой, мы получим:

Теперь найдем \(x\) в неравенстве \(2x + 2 \le 1\):

\начать{выравнивать*} 2х+2&\ле 1\ 2x&\le 1 — 2\ 2х&\ле-1\ х & \ le — \ гидроразрыва {1} {2} \конец{выравнивание*}

Если мы представим этот ответ в числовой строке, мы получим:

Мы видим, что для уравнения существует только одно значение \(х\), для которого уравнение истинно. Однако, для неравенства существует диапазон значений, для которых неравенство верно. Это главное отличие между уравнением и неравенством.

Помните: когда мы делим или умножаем обе части неравенства на отрицательное число, направление изменения неравенства. Например, если \(x<1\), то \(-x>-1\). Также обратите внимание, что мы не можем разделить или умножить на переменную.

Следующее видео знакомит с линейными неравенствами.

Видео: 2FGH

Интервальное обозначение (EMA3J)

Примеры:

\(\влево(4;12\вправо)\)	Круглые скобки означают, что номер не включен. В этот интервал входят все действительные числа больше, но не равны \(\text{4}\) и меньше, но не равны \(\текст{12}\).
\(\влево(-\infty ;-1\вправо)\)	Круглые скобки всегда используются для положительной и отрицательной бесконечности. Этот интервал включает все действительные числа меньше, но не равны \(-\text{1}\).
\(\влево[1;13\вправо)\)	Квадратная скобка означает, что число включено. В этот интервал входят все действительные числа больше или равные \(\text{1}\) и меньше, но не равные \(\текст{13}\).

Важно отметить, что это обозначение может использоваться только для представления интервала действительных чисел.

Мы представим приведенный выше ответ в интервальной нотации как \(\left(-\infty ; -\frac{1}{2}\right]\)

Рабочий пример 17: Решение линейных неравенств

Найдите \(r\):

\[6 — г > 2\]

Ответ представить в числовой строке и в интервальной записи.

Переставить и решить для \(r\)

\начать{выравнивать*} -r & > 2 — 6 \\ -r & > -4 \конец{выравнивание*}

Умножить на \(-\text{1}\) и поменять знак неравенства

\[г < 4\]

Представьте ответ в числовой строке

Представить ответ в виде интервала

\[\влево(-\infty ; 4\вправо)\]

Рабочий пример 18: Решение линейных неравенств

Найдите \(q\):

\[4q + 3 < 2(q + 3)\]

Ответ представить в числовой строке и в интервальной записи.

Развернуть скобу

\начать{выравнивать*} 4q + 3 & < 2(q + 3) \\ 4q + 3 & < 2q + 6 \end{выравнивание*}

Переставить и решить для \(q\)

\начать{выравнивать*} 4q + 3 & < 2q + 6 \\ 4q - 2q & < 6 - 3 \\ 2q & < 3 \конец{выравнивание*}

Разделить обе части на \(\text{2}\)

\начать{выравнивать*} 2q & < 3 \\ д & < \ гидроразрыва {3} {2} \end{выравнивание*}

Представьте ответ в числовой строке

Представить ответ в виде интервала

\(\left(-\infty ; \frac{3}{2}\right)\)
температура текст

Рабочий пример 19: Решение сложных линейных неравенств

Найдите \(x\):

\[5 \le x + 3 < 8\]

Ответ представить в числовой строке и в интервальной записи.

Вычесть \(\text{3}\) из всех частей неравенства

\[\begin{массив}{ccccc} 5 — 3 &\le&x + 3 — 3 &< & 8 - 3 \\ 2 & \le & x & < & 5 \конец{массив}\]

Представьте ответ в числовой строке

Представить ответ в виде интервала

\(\влево[2 ; 5\вправо)\)
температура текст
Учебник Упражнение 4.6

\(x < -1 \text{ и } x \ge 6 ; x \in \mathbb{R}\)

\(3 < x < 6 ; x \in \mathbb{R}\)

\(x \neq 3 ; x \neq 6 ; x \in \mathbb{R}\)

\(x > -10 ; x \in \mathbb{R}\)

\(3x + 4 > 5x + 8\)

\начать{выравнивать*} 3х+4&>5х+8\ 3х — 5х & >
8 — 4\ -2х > 4\ 2х<-4\ х < -2 \конец{выравнивание*}

Представлено на числовой прямой:

В интервальной записи: \((-\infty; -2)\)

\(3(x — 1) — 2 \le 6x + 4\)

\начать{выравнивать*} 3(х — 1) — 2 & \le 6x + 4 \\ 3х — 5 и \ле 6х + 4\ 3х — 6х &\ле 4+5\ -3х\ле 9\ х \ge -\frac{9}{3} \\ х \ гэ -3 \конец{выравнивание*}

Представлено на числовой прямой:

В интервальной записи: \([-3; \infty)\)

\(\dfrac{x — 7}{3} > \dfrac{2x — 3}{2} \)

\начать{выравнивать*} \frac{x — 7}{3} & > \frac{2x — 3}{2} \\ 2(х — 7) & > 3(2х — 3) \\ 2х — 14 > 6х — 9\ -4х > 5\ х < -\фракция{5}{4} \конец{выравнивание*}

Представлено на числовой прямой:

В интервальной записи: \((-\infty; -\frac{5}{4})\)

\(-4(x — 1) < x + 2\)

\начать{выравнивать*} -4 (х — 1) & < х + 2 \\ -4x + 4 & < х + 2 \\ -5х < -2\ х > \ гидроразрыва {2} {5} \конец{выравнивание*}

Представлено на числовой прямой:

В интервальной записи: \((\frac{2}{5}; \infty)\)

\(\dfrac{1}{2}x + \dfrac{1} {3}(x — 1) \ge \dfrac{5}{6}x — \dfrac{1}{3}\)

\начать{выравнивать*} \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}(x — 1) & \ge \frac{5}{6}x — \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}x — \frac{1}{3} & \ge \frac{5}{6}x — \frac{1}{3} \ \ \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}x — \frac{5}{6}x & \ge \frac{1}{3} — \frac{1}{3} \ \ \frac{3}{6}x + \frac{2}{6}x — \frac{5}{6}x & \ge 0 \\ 0x\ge 0 \конец{выравнивание*}

Неравенство верно для всех действительных значений \(x\).

\(-2 \le x — 1 < 3\)

\[\begin{массив}{ccccc} -2 & \le & x — 1 & < & 3 \\ -1 & \le & x & < & 4 \конец{массив}\]

Представлено на числовой прямой:

В интервальной записи: \([-1; 4)\)

\(-5 < 2x - 3 \le 7\)

\[\begin{массив}{ccccc} -5&<&2x - 3&\le&7\ -2 & < & 2x & \le & 10 \\ -1 & < & х & \ле & 5 \конец{массив}\]

Представлено на числовой прямой:

В интервальной записи: \((-1; 5]\)

\(7(3x + 2) — 5(2x — 3) > 7\)

\начать{выравнивать*} 7 (3x + 2) — 5 (2x — 3) & > 7 \\ 21х + 14 — 10х + 15 и > 7\ 11х&>-22\ х & > -2 \конец{выравнивание*}

Представлено на числовой прямой:

В интервальной записи: \((-2; \infty)\)

\(\dfrac{5x — 1}{-6} \ge \dfrac{1 — 2x}{ 3}\)

\начать{выравнивать*} \frac{5x — 1}{-6} & \ge \frac{1 — 2x}{3} \\ 5x — 1 & \ge -2(1 — 2x) \\ 5x — 1 & \ge -2 + 4x \ 5x — 4x & \ge -1\ х & \ ge -1 \конец{выравнивание*}

Представлено на числовой прямой:

В интервальной записи: \([-1; \infty)\)

\(3 \ле 4 — х \ле 16\)

\[\begin{массив}{ccccc} 3&\ле&4 — х&\ле&16\ -1&\le&-x&\le&12\ 1 & \ge & x & \ge & -12 \конец{массив}\]

Представлено на числовой прямой:

В интервальной записи: \([1; 12]\)

\(\dfrac{-7y}{3} — 5 > -7\)

\начать{выравнивать*} \frac{-7y}{3} — 5 & > -7 \\ -7у — 15 и > -21\ -7у&>-6\ у & < \ гидроразрыва {6} {7} \конец{выравнивание*}

Представлено на числовой прямой:

В интервальной записи: \((-\infty;\frac{6}{7})\)

\(1 \le 1 — 2y < 9\)

\[\begin{массив}{ccccc} 1&\le&1 — 2у&<&9\ 0&\le&-2y&<&8\ 0 & \ge & y & > & -4 \\ -4 & < & у & \ле & 0 \конец{массив}\]

Представлено в числовой строке:

В интервальных обозначениях: \((-4;0]\)

\(-2 < \dfrac{x - 1}{-3} < 7\)

\[\begin{массив}{ccccc} -2 & < & \dfrac{x - 1}{-3} & < & 7 \\ 6&>&х-1&>&-21\ 7&>&х&>&-20\ -20 & < & х & < & 7 \конец{массив}\]

Представлено на числовой прямой:

В интервальной записи: \((-20;7)\)

\(2x -1 < 3(x+11)\)

\begin{align*} 2 х -1 &< 3(х +11) \\ 2 х -1 &< 3 х +33 \\ 2 х -3 х &< 33 +1 \ -1 х &< 34\ \поэтому х &> -34 \end{выравнивание*}

\[\left(-34;\infty\right)\]

\(x -1 < -4(x-6)\)

\begin{align*} х-1 &<-4(х-6) \\ х -1 &< -4 х +24 \\ х +4 х &< 24 +1 \\ 5 х &< 25\ \поэтому х &< 5 \end{align*}

\[\left(-\infty;5\right)\]

\(\dfrac{x-1}{8} \leq \dfrac{2(x-2)}{3}\)

\начать{выравнивать*} \frac{x-1}{8} &\leq \frac{2(x-2)}{3} \\ 3(х-1) &\leq 16(х-2) \\ 3x-3 &\leq 16x-32\ 3x -16x &\leq -32 +3\ -13x &\leq -29\ \поэтому х &\geq\frac{29}{13} \конец{выравнивание*}

\(\; x \in \left[ \frac{29}{13} ;\infty\right)\).

\(\dfrac{x+2}{4} \leq \dfrac{-2(x-4)}{7}\)

\начать{выравнивать*} \frac{x+2}{4} &\leq \frac{-2(x-4)}{7} \\ 7(х+2) &\leq -8(х-4) \\ 7x+14 &\leq -8x+32 \\ 7x +8x &\leq 32 -14\ 15x &\leq 18\\ \поэтому х &\leq\frac{6}{5} \конец{выравнивание*}

\(\; x \in \left(-\infty; \frac{6}{5} \right]\).

\(\dfrac{1}{5}x — \dfrac{5}{ 4}(x+2) > \dfrac{1}{4}x + 3\)

\begin{align*} \frac{1}{5}x — \frac{5}{4}(x+2) &> \frac{1}{4}x +3 \\ 4x — 25(x+2) &> 5x +60 \\ 4х — 25х-50 &> 5х +60\ 4х — 25 х -5х &> 60 + 50\\ -26x &> 110\\ \следовательно, x &< -\frac{55}{13} \end{выравнивание*}

Интервал: \[\left(-\infty;-\frac{55}{13}\right)\]

\(\dfrac{1}{5}x — \dfrac{2}{5}(x+3) \geq \dfrac{4}{2}x +3\)

\begin{align*} \frac{1}{5}x — \frac{2}{5}(x+3) &\geq \frac{4}{2}x +3 \\ 2x — 4(x+3) &\geq 20x +30 \\ 2x — 4x-12 &\geq 20x+30\ 2x — 4 x -20x &\geq 30 + 12\\ -22x &\geq 42\\ \поэтому x &\leq -\frac{21}{11} \end{выравнивание*}

Интервал: \[\left(-\infty;-\frac{21}{11}\right]\]

\(4x +3 < -3 \quad\text{or}\quad 4x +3 > 5\)

Решите неравенство: \[\begin{массив}{rclcrcl} 4x +3 &<& -3 &\text{or}& 4x +3 &>& 5 \\ 4x &<& -3-3 &\text{or}& 4x &>& 5-3 \\ х &<& \frac{-3-3}{4} &\text{or}& x &>& \frac{5-3}{4} \\ x &<& - \frac{3}{2} &\text{or}& x &>& \frac{1}{2} \\ \конец{массив}\]

\[\left(-\infty; — \frac{3}{2}\right) \cup \left(\frac{1}{2}; \infty\right)\]

\(4 \ ge -6x -6 \ge -3\)

Решите неравенство: \[\begin{массив}{rcccl} 4 &\ge&-6x -6 &\ge&-3 \\ 4+6 &\ge& -6x &\ge& -3+6 \\ \frac{4+6}{-6} &\le& x &\le& \frac{-3+6}{-6} \\ — \frac{5}{3} &\le& x &\le& — \frac{1}{2} \\ \конец{массив}\]

\[\left[- \frac{5}{3}; — \frac{1}{2}\right]\]

\(6b — 3 > b + 2 , ~b \in \mathbb{Z}\)

\начать{выравнивать*} 6b — 3 > b + 2 , ~b \in \mathbb{Z}\\ 5б > 5\ б > 1 \конец{выравнивание*}

\(3a — 1 < 4a + 6 , ~a \in \mathbb{N}\)

\начать{выравнивать*} 3а — 1 < 4а + 6\ -а < 7\ а > -7 \конец{выравнивание*}

Однако нам говорят, что \(a \in \mathbb{N}\) и, следовательно, \(a > 0\).

\(\dfrac{b-3}{2} + 1 < \dfrac{b}{4} - 4 , ~b \in \mathbb{R}\)

\начать{выравнивать*} \frac{b-3}{2} + 1 < \frac{b}{4} - 4 \\ 2б - 6 + 4 < б - 16\ б < -14 \конец{выравнивание*}

\(\dfrac{4a +7}{3} — 5 > a — \dfrac{2}{3} , ~a \in \mathbb{N}\)

\начать{выравнивать*} \frac{4a +7}{3} — 5 > a — \frac{2}{3} \\ 4а + 7 — 15 > 3а — 2\ а > 6 \конец{выравнивание*}

Предыдущий 4.6 Буквенные уравнения

Оглавление

Следующий 4. 8 Краткое содержание главы

Линейные неравенства с двумя переменными| Графики и уравнения | Примеры

В этом мини-уроке мы узнаем о бесконечных множествах, упорядоченных парах, построении графиков линейных неравенств с двумя переменными, больше или равно, меньше или равно, линейных неравенствах с двумя переменными и построении графиков неравенств с двумя переменными.

Но вот интересная мелочь: знаете ли вы, что Томас Хэрриот был человеком, который ввел понятие неравенств в своей книге «Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas» в 1631 году.

План урока

1.	Что такое линейное неравенство с двумя переменными?
2.	Советы и рекомендации
3.	Важные замечания о линейных неравенствах с двумя переменными
4.	Решенные примеры линейных неравенств с двумя переменными
5.	Интерактивные вопросы о линейных неравенствах с двумя переменными

Что такое линейное неравенство с двумя переменными?

Когда одно выражение больше или меньше другого выражения, возникает неравенство.

Линейные неравенства определяются как выражения, в которых два значения сравниваются с использованием символов неравенства.   Символы, обозначающие неравенства, следующие:

Не равно (\(\neq\))
Меньше (\(<\))
Больше (\(>\))
Меньше или равно (\(\ leq\))
Больше или равно (\(\geq\))

Линейные неравенства с двумя переменными представляют собой отношение неравенства между двумя алгебраическими выражениями, включающими две разные переменные.

Линейное неравенство двух переменных  формируется, когда символы, отличные от равенства, такие как больше или меньше, используются для связи двух выражений и двух переменных.

Вот несколько примеров линейных неравенств с двумя переменными:

\[\begin{array}{l}2x< 3y + 2\\7x - 2y > 8\\3x + 4y + 3 \le 2y — 5\ \y + x \ge 0\end{массив}\]

---

Как решать линейные неравенства с двумя переменными?

Решением линейного неравенства с двумя переменными, например Ax + By > C, является упорядоченная пара (x, y), которая дает истинное утверждение, когда значения x и y подставляются в неравенство.

Решение линейных неравенств аналогично решению линейных уравнений; разница, которую он имеет, связана с символом неравенства.

Мы решаем линейные неравенства так же, как и линейные уравнения.

Шаг 1. Упростите неравенство с обеих сторон, как с левой, так и с правой стороны, в соответствии с правилами неравенства.
Шаг 2: Получив значение, мы имеем:

• строгие неравенства, в которых две стороны неравенства не могут быть равны друг другу.
• нестрогие неравенства, в которых две стороны неравенства также могут быть равны.

Рассмотрим следующее неравенство:

\[2x +3y > 7\]

Когда мы говорим о нахождении решения этого неравенства , мы говорим обо всех этих парах значений из x и y , для которых выполняется это неравенство. Это означает, например, что \(x = 4,\;y = 3\) является одним из возможных решений этого конкретного неравенства. Однако \(x = 0,\;y = 0\) – это не так, потому что при подстановке x и y равные 0 в левой части неравенства, оказывается меньше 7.

Мы видели, что для любого линейного уравнения с двумя переменными существует бесконечно много решений. Теперь вам может быть очевидно, что и для любого линейного неравенства у нас будет бесконечно много решений. Все эти решения составят набор решений линейного неравенства.

 

Советы и рекомендации

1. PEMDAS и BODMAS играют решающую роль в решении неравенств.
2. Если число отрицательное с любой стороны знака (не с обеих), направление остается прежним.
Как построить график неравенства с двумя переменными?

Линейные неравенства с двумя переменными имеют бесконечные множества или бесконечно много упорядоченных парных решений.

Эти упорядоченные пары или наборы решений можно изобразить в соответствующей половине прямоугольной координатной плоскости.

Для построения графика неравенств с двумя переменными

1. Определите тип неравенства (больше, меньше, больше или равно, меньше или равно).
2. Нарисуйте граничную линию — штриховую (в случае строгого неравенства) или сплошную линию (в случае нестрогого неравенства).
3. Выберите тестовую точку, скорее всего (0,0) или любую другую точку, которая не находится на границе.
4. Закрасьте область соответствующим образом. Если контрольная точка решает неравенство, заштрихуйте содержащую ее область. В противном случае заштрихуйте противоположную сторону граничной линии.
5. Проверка с большим количеством контрольных точек в регионе и за его пределами.

Пример: Начертите линейное равенство \[2x + 3y > 7\]

• Нарисуйте прямую линию, соответствующую линейному уравнению \(2x + 3y = 7\).
• Определите любые две точки (решения) этого уравнения: две возможные точки на графике можно взять как \(A\left( { — 1,\;3}\right),\,\,B\left( {2 ,\;1} \right)\) и нанесите их на график.
• Определите некоторые конкретные решения линейного неравенства \[2x + 3y > 7\], которые могут быть следующими \begin{equation}(2,3), (3,1), (4.5,0), (0, 3), (1.5,2)\end{уравнение}
• Нанесите эти пять точек на один график.

Все пять точек (соответствующих пяти решениям) лежат на выше линии .

• Возьмем любую точку , лежащую выше линии. Его координаты, например \(\left( {{x_0},\;{y_0}} \right),\), будут удовлетворять неравенству: \[2{x_0} + 3{y_0} >7\]
• Это означает, что множество решений неравенства состоит из  всех точек, лежащих выше прямой .
• Положим x = 0, y = 0, что дает 2(0) + 3(0) > 7, что далее дает 0 > 7. Это неверно для данного неравенства. Итак, заштрихуйте полуплоскость, которая не включает точку (0,0).

 

Важные примечания

• Неравенства можно решать путем сложения, вычитания, умножения или деления обеих частей на одно и то же число.
• Деление или умножение обеих сторон на отрицательные числа изменит направление неравенства.
• Упорядоченные пары вне заштрихованной области не решают линейных неравенств.
• Меньше и больше являются строгими неравенствами, тогда как меньше или равно и больше или равно не являются строгими неравенствами.
• Любая прямая разделит плоскость, в которой она лежит, на две полуплоскости.
• Наборы решений линейных неравенств соответствуют полуплоскостям, а наборы решений линейных уравнений соответствуют прямым.
Решенные примеры 

Пример 1

 

 

Помогите Бобу определить, является ли (2,1/5) решением \[2x + 5y < 10\]

Решение

Давайте поставьте эти значения (2,1/5 ) в данном линейном неравенстве.

Это дает \begin{equation}
2(2)+5(1 / 5)<10
\end{уравнение}

 \begin{уравнение}4 + 1 < 10\end{уравнение}

 \begin{equation}5 < 10\end{equation} что верно.

\(\следовательно\) Таким образом, (2,1/5) является решением \[2x + 5y < 10\]

Пример 2

 

 

Мать Брука передает ему 7 долларов на шоколад. Она говорит ему, чтобы он потратил всего 7 долларов или меньше.

Молочный шоколад стоит 2 доллара, а шоколад с орехами – 33 доллара.

Пусть x — количество шоколадных конфет, а y — количество шоколадных конфет с орехами.

Составьте неравенство, соответствующее приведенной выше ситуации, и начертите неравенство.

Решение

\[2x + 3y ≤ 7\] будет неравенством, соответствующим приведенной выше ситуации.

В этом случае мы построим сплошную линию как границу, соединяющую точки, удовлетворяющие линейному уравнению \[2x + 3y=7\]

Для \[2x + 3y=7\]

х	2	5	-7
и	1	-1	7

Для неравенства \[2x + 3y ≤ 7\]

• Определите некоторые конкретные решения для линейного неравенства  \[2x + 3y ≤ 7\], которые могут быть следующими: ),(-4,0),(1,0),(-5,1),(2,-1)\end{уравнение}
• Нанесите эти точки на график. Они будут лежать ниже сплошной линии.

Теперь положим x = 0, y = 0

Это дает 2(0) + 3(0) ≤ 7, что удовлетворяет неравенству.

Итак, заштрихуйте полуплоскость на графике линейного неравенства ниже, которая включает точку (0,0).

Пример 3

 

 

Постройте график решения для \[y > -5x + 2 \]

Решение:

\[y > -5x + 2 \] неравенство формы пересечения наклона; наклон=-5, точка пересечения=2.

В этом случае мы построим пунктирную линию из-за того, что равенство меньше или равно, как границу, соединяющую точки, удовлетворяющие линейному уравнению  \[y = -5x + 2\]

Для \[y = — 5x + 2\]

х	0	1	2	-1
и	2	-3	-8	7

 

 

Для неравенства \[y > -5x + 2 \]

• Определить конкретные решения линейного неравенства \[y > -5x + 2 \], которые могут быть следующими: \begin {уравнение} (1,2), (3,-2), (4,3), (4,5), (3,6)\конец {уравнение}
• Нанесите эти точки на график. Они будут лежать выше пунктирной линии.

Для \[y > -5x + 2 \] поставьте x=0, y=0

Это дает 0>-5(0)+2

, что далее дает 0>2

Это неверно для данного неравенства. Итак, заштрихуйте полуплоскость на графике линейного неравенства ниже, которая не включает точку (0,0).

---

Интерактивные вопросы

Вот несколько заданий для практики.

Выберите/введите свой ответ и нажмите кнопку «Проверить ответ», чтобы увидеть результат.

 

 

 

 

---

Подведем итоги

Надеемся, вам понравилось узнавать о линейных неравенствах с двумя переменными, решении линейных неравенств с двумя переменными, построении графиков неравенств с двумя переменными, бесконечных множествах, упорядоченных парах, больше или равно &, меньше или равно с интерактивными вопросами . Теперь вы сможете легко находить ответы на линейные неравенства с двумя переменными и знать о решениях линейных неравенств.

Мини-урок был посвящен увлекательной концепции линейных неравенств с двумя переменными. Математическое путешествие вокруг линейных неравенств с двумя переменными начинается с того, что ученик уже знает, и продолжается творческим созданием новой концепции в умах юных. Сделано таким образом, что это не только понятно и легко для понимания, но и останется с ними навсегда. В этом заключается магия Cuemath.

О Cuemath

В Cuemath наша команда экспертов по математике стремится сделать обучение интересным для наших любимых читателей, студентов!

Благодаря интерактивному и увлекательному подходу «обучение-преподавание-обучение» учителя изучают тему со всех сторон.

Будь то рабочие листы, онлайн-классы, сеансы сомнений или любая другая форма отношений, мы в Cuemath верим в логическое мышление и разумный подход к обучению.

---

Часто задаваемые вопросы o n Линейные неравенства с двумя переменными

1. Что такое система линейных неравенств с двумя переменными?

Система линейных неравенств с двумя переменными относится к набору не менее двух линейных неравенств с одними и теми же переменными.

2. Как отличить линейные неравенства с двумя переменными от линейных уравнений с двумя переменными?

График линейных уравнений включает сплошную линию в любой ситуации, тогда как в случае линейных неравенств график включает либо пунктирную, либо сплошную линию. Кроме того, линейные неравенства включают заштрихованные области, а линейные уравнения — нет.

3. Что является примером линейного неравенства?

Примером линейного неравенства может быть любое линейное уравнение, но с такими символами, как <, >, ≤ или ≥ вместо =.

4. Какие символы используются в линейных неравенствах?

В линейных неравенствах используются символы <, ≤, > и ≥.

5. Что означают линейные неравенства?

Линейное неравенство — это неравенство, имеющее линейную функцию, состоящую из одного из символов неравенства.

6. Как определить линейное неравенство?

Когда две части уравнения имеют знак, отличный от равного.

7. Для чего используются линейные неравенства?

Система линейных неравенств часто используется для определения максимального или минимального значения ситуации с несколькими ограничениями.

8. Какие 5 символов неравенства?

Пять символов неравенства: ≠ = не равно, > = больше, < = меньше, ≥ = больше или равно & ≤ = меньше или равно.

No related posts.