Решение неравенств методом интервалов: Метод интервалов. Как решать неравенства с помощью метода интервалов

Итак,

Рисунок \(\PageIndex{15}\)

Нотация Set-Builder 9004 0

В В этом тексте мы используем обозначение интервала. Однако другие ресурсы, с которыми вы, вероятно, столкнетесь, используют альтернативный метод для описания множеств, называемый обозначением построителя множеств. Мы использовали обозначение множеств для перечисления таких элементов, как целые числа

\(\{…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…\}\)

Фигурные скобки группируют элементы набора, а многоточие указывает, что целые числа продолжаются вечно. В этом разделе мы хотим описать интервалы действительных чисел, например, действительные числа, большие или равные \(2\).

Рисунок \(\PageIndex{16}\)

Поскольку набор слишком велик для перечисления, нотация построителя набора позволяет нам описать его, используя знакомую математическую запись. Ниже приведен пример нотации конструктора наборов:

\(\{ x∈\mathbb{R} | x\geq 2\}\)

Здесь \(x∈R\) описывает тип числа, где читается символ \((∈)\) «элемент». Это означает, что переменная \(x\) представляет собой действительное число. Вертикальная черта \((|)\) читается как «такая, что». Наконец, утверждение \(x≥2\) является условием, описывающим множество с помощью математической записи. На данном этапе нашего изучения алгебры предполагается, что все переменные представляют действительные числа. По этой причине вы можете опустить «\(∈R\)» и написать \(\{x|x≥2\}\), что читается как «множество всех действительных чисел \(x\), таких что \ (x\) больше или равно \(2\)».

Рисунок \(\PageIndex{17}\)

Для описания составных неравенств, таких как \(x<3\) или \(x≥6\), запишите \(\{x|x <3\) или \(x≥6\}\), который читается как «множество всех действительных чисел \(x\) таких, что \(x\) меньше, чем \(3\) или \(x\ ) больше или равно \(6\)».

Рисунок \(\PageIndex{18}\)

Запишите ограниченные интервалы, такие как \(−1≤x<3\), как \(\{x|−1≤x<3 \}\), который читается как «набор всех действительных чисел \(x\), таких что \(x\) больше или равен \(−1\) и меньше \(3\)».

Ключевые выводы

• Неравенства обычно имеют бесконечно много решений, поэтому вместо того, чтобы представлять невероятно большой список, мы представляем такие наборы решений либо графически на числовой прямой, либо в текстовом виде с использованием интервальной записи.
• Инклюзивные неравенства с компонентом «или равно» обозначаются закрытой точкой на числовой строке и квадратной скобкой в ​​интервальном обозначении.
• Строгие неравенства без компонента «или равно» обозначаются открытой точкой на числовой строке и скобками с использованием интервальной записи.
• Составные неравенства, в которых используется логическое «или», решаются путем решения любого неравенства. Набор решений представляет собой объединение каждого отдельного набора решений.
• Составные неравенства, в которых используется логическое «и», требуют, чтобы все неравенства решались одним решением. Набор решений является пересечением каждого отдельного набора решений.
• Составные неравенства вида \(n

Упражнение \(\PageIndex{1}\) Простые неравенства

Нанесите графически все решения на числовую прямую и задайте соответствующее обозначение интервала.

1. \(x≤10\)
2. \(х>−5\)
3. \(х>0\)
4. \(х≤0\)
5. \(х≤−3\)
6. \(х≥−1\)
7. \(−4
8. \(1≥х\)
9. \(х<−\фракция{1}{2}\)
10. \(x≥−\frac{3}{2}\)
11. \(x≥−1\frac{3}{4}\)
12. \(х<\фракция{3}{4}\)

Ответить

1. \((−∞, 10]\)

Рисунок \(\PageIndex{19}\)

3. \((0, ∞)\)

Рисунок \(\PageIndex{20}\)

5. \((−∞, −3]\)

Рисунок \(\PageIndex{21}\)

7. \((−4, ∞)\)

Рисунок \(\PageIndex{22}\)

9. \((−∞, −\frac{1}{2})\)

Рисунок \(\PageIndex{23}\)

11. \([−1\frac{3}{4}, ∞)\)

Рисунок \(\PageIndex{24}\)

Упражнение \(\PageIndex{2}\) Составные неравенства

Нанесите все решения на числовую прямую и задайте соответствующее обозначение интервала.

1. \(−2
2. \(−5≤x≤−1\)
3. \(−5
4. \(0\leq x<15\)
5. \(10
6. \(-40\leq x<-10\)
7. \(0
8. \(-30
9. \(-\frac{5}{8}
10. \(-\frac{3}{4}\leq x\leq \frac{1}{2}\)
11. \(−1≤x<1\frac{1}{2}\)
12. \(−1\frac{1}{2}
13. \(х<-3\) или \(х>3\)
14. \(х<−2\) или \(х≥4\)
15. \(x≤0\) или \(x>10\)
16. \(x≤−20\) или \(x≥−10\)
17. \(x<-\frac{2}{3}\) или \(x>\frac{1}{3}\)
18. \(x≤−\frac{4}{3}\) или \(x>−\frac{1}{3}\)
19. \(х>−5\) или \(х<5\)
20. \(х<12\) или \(х>-6\)
21. \(х<3\) или \(х≥3\)
22. \(x≤0\) или \(x>0\)
23. \(х<−7\) или \(х<2\)
24. \(х≥−3\) или \(х>0\)
25. \(х≥5\) или \(х>0\)
26. \(x<15\) или \(x≤10\)
27. \(х>−2\) и \(х<3\)
28. \(х≥0\) и \(х<5\)
29. \(x≥−5\) и \(x≤−1\)
30. \(х<-4\) и \(х>2\)
31. \(x≤3\) и\(x>3\)
32. \(x≤5\) и \(x≥5\)
33. \(x≤0\)   и  \( x≥0\)
34. \(x<2\)   и  \( x≤−1\)
35. \(х>0\)    и  \( х≥−1\)
36. \(х<5\)   и  \( х<2\)

Ответить

1. \((−2, 5)\)

Рисунок \(\PageIndex{25}\)

3. \((−5, 20]\)

Рисунок \(\PageIndex{26}\) ​​

5. \((10, 40]\)

Рисунок \(\PageIndex{27}\)

7. \((0, 50]\)

Рисунок \(\PageIndex{28}\)

9. \((−\frac{5}{8}, \frac{1}{8})\)

Рисунок \(\PageIndex{29}\)

11. \([−1, 1\frac{1}{2})\)

Рисунок \(\PageIndex{30}\)

13. \((−∞, −3)∪(3, ∞)\)

Рисунок \(\PageIndex{31}\)

15. \((−∞, 0]∪(10, ∞)\)

Рисунок \(\PageIndex{32}\)

17. \((−∞, −\frac{2}{3})∪(\frac{1}{3}, ∞)\)

Рисунок \(\PageIndex{33}\)

19. \(Р\)

Рисунок \(\PageIndex{34}\)

21. \(Р\)

Рисунок \(\PageIndex{35}\)

23. \((−∞, 2)\)

Рисунок \(\PageIndex{36}\)

25. \((0, ∞)\)

Рисунок \(\PageIndex{37}\)

27. \((−2, 3)\)

Рисунок \(\PageIndex{38}\)

29. \([−5, −1]\)

Рисунок \(\PageIndex{39}\)

31. \(∅\)

Рисунок \(\PageIndex{40}\)

33. \(\{0\}\)

Рисунок \(\PageIndex{41}\)

35. \((0, ∞)\)

Рисунок \(\PageIndex{42}\)

Упражнение \(\PageIndex{3}\) Обозначение интервалов

Определите неравенство, учитывая ответы, выраженные в обозначении интервалов.

1. \((−∞, 7]\)
2. \((−4, ∞)\)
3. \([−\frac{1}{2}, ∞)\)
4. \((−∞, −3)\)
5. \((−8, 10]\)
6. \((−20, 0]\)
7. \((−14, −2)\)
8. \([\frac{2}{3}, \frac{4}{3}]\)
9. \((−\frac{3}{4}, \frac{1}{2})\)
10. \((−∞, −8)\)
11. \((8, ∞)\)
12. \((−∞, 4)∪[8, ∞)\)
13. \((−∞, −2]∪[0, ∞)\)
14. \((−∞, −5]∪(5, ∞)\)
15. \((−∞, 0)∪(2, ∞)\)
16. \((−∞, −15)∪(−5, ∞)\)

Ответить

1. \(х\leq 7\)

3. \(x≥−\frac{1}{2}\)

5. \(−8

7. \(−14

9. \(-\frac{3}{4}

11. \(х>8\)

13. \(x≤−2\) или \(x≥0\)

15. \(х<0\) или \(х>2\)

Упражнение \(\PageIndex{4}\) Обозначение интервалов

Запишите эквивалентное неравенство.

1. Все действительные числа меньше \(27\).
2. Все действительные числа меньше или равные нулю.
3. Все действительные числа больше \(5\).
4. Все действительные числа, большие или равные \(−8\).
5. Все действительные числа строго между \(−6\) и \(6\).
6. Все действительные числа строго между \(−80\) и \(0\).

Ответить

1. \(х<27\)

3. \(х>5\)

5. \(-6

Упражнение \(\PageIndex{5}\) Темы на доске обсуждений

1. Сравните нотацию интервала с нотацией построителя наборов. Поделитесь примером набора, описанного с использованием обеих систем.
2. Объясните, почему мы не используем скобки в обозначении интервала, когда бесконечность является конечной точкой.
3. Изучите и обсудите различные составные неравенства, особенно объединения и пересечения.
4. Исследуйте и обсуждайте историю бесконечности.
5. Исследовать и обсудить вклад Георга Кантора.
6. Что такое диаграмма Венна? Объясни и выложи пример.

Ответить

1. Ответы могут отличаться

3. Ответы могут отличаться

5. Ответы могут отличаться

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   Аноним

   Печать CSS

   Плотный

   Версия лицензии

   3,0

   Программа OER или Publisher

   Издатель, имя которого нельзя называть

2. Теги

   На этой странице нет тегов. 2 + 2 = 4, у вас было бы два ответа √2 и -√2. Но если вам дано неравенство x + 2 < 4, то существует бесконечное количество решений. Чтобы описать этот бесконечный набор решений, вы должны использовать обозначение интервала и указать границы диапазона чисел, составляющих решение этого неравенства.

   Используйте те же процедуры, что и при решении уравнений, чтобы изолировать неизвестную переменную. Вы можете прибавить или вычесть одно и то же число с обеих сторон неравенства, как и в уравнении. В примере x + 2 < 4 вы можете вычесть два из левой и правой частей неравенства и получить x < 2.

   Умножьте или разделите обе части на одно и то же положительное число, как в уравнении. Если 2x + 5 < 7, сначала нужно вычесть по пять с каждой стороны, чтобы получить 2x < 2. Затем разделить обе части на 2, чтобы получить x < 1. 92 - x - 6 < 0. Теперь факторизуем левую часть: (x+2) (x-3) < 0. Это будет верным утверждением, когда либо (x+2), либо (x-3) отрицательно, но не оба, потому что произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Это утверждение верно только тогда, когда x > -2, но < 3.

   Используйте интервальную нотацию, чтобы выразить диапазон чисел, делая ваше неравенство верным утверждением. Набор решений, описывающий все числа от -2 до 3, выражается как: (-2,3). Для неравенства x + 2 < 4 набор решений включает все числа меньше 2. Таким образом, ваше решение находится в диапазоне от отрицательной бесконечности до (но не включая) 2 и будет записано как (-inf, 2).

   Используйте квадратные скобки вместо скобок, чтобы указать, что одно или оба числа, служащие границами диапазона вашего набора решений, включены в набор решений. Таким образом, если x + 2 меньше или равно 4, 2 будет решением неравенства в дополнение ко всем числам, меньшим 2. Решение этого будет записано как: (-inf, 2]. Если набор решений состоит из всех чисел от -2 до 3, включая -2 и 3, набор решений будет записан как: [-2,3].

   Похожие статьи

   Ссылки

   • Ilumina: решение неравенств
   • Purple Math: решение линейных неравенств; Введение и форматирование; Элизабет Стапель
   • SOS Математика: Неравенства; Основные правила

   Об авторе

   Эндрю Бреслин профессионально пишет с 1994 года.

   No related posts.