Решение неравенств методом интервалов: Метод интервалов. Как решать неравенства с помощью метода интервалов

2\)
\(x_1=\frac{-1-11}{2 \cdot 2}=-3;\)      \(x_2=\frac{-1+11}{2 \cdot 2}=\frac{5}{2}\)
\(2(x-\frac{5}{2})(x+3)>0\)          \(|:2\)
\((x-\frac{5}{2})(x+3)>0\)                

Отметим, что здесь применено разложение на множители квадратного трехчлена.


  • Найдите корни числителя и знаменателя (т.е. такие значения икса, которые превратят их в ноль).

    \(x=\frac{5}{2}; x=-3\)


  • Нанесите найденные значения на числовую ось.

    Если неравенство строгое, то корни числителя обозначьте «выколотой» точкой, если нет — закрашенной. Корни знаменателя «выколоты» всегда, независимо от строгости знака сравнения

  • Расставьте знаки на интервалах числовой оси. Напомню правила расстановки знаков:

    — В крайнем правом интервале ставим знак плюс;

    — Дальше двигаемся влево;

    — Переходя через число:

    меняем знак, если скобка с этим числом была в нечетной степени (1, 3, 5…)

     

    не меняем знак, если скобка с этим числом была в четной степени (2, 4, 6…)

     



  • Выделите нужные промежутки. 2+64\) – однозначно положительно при любом значении икса, то есть это выражение никак не влияет на знак левой части. Поэтому можно смело делить обе части неравенства на это выражение.

    Поделим неравенство так же на \(-1\) , чтобы избавиться от минуса.

    \((x-8)(x+8)≥0\)

    Теперь можно применять метод интервалов

    \(x=8;\)   \(x=-8\)

    Запишем ответ

    Ответ: \((-∞;-8]∪[8;∞)\)

    Смотрите также:
    Квадратные неравенства
    Дробно-рациональные неравенства

    Метод интервалов | ЮКлэва

    Метод интервалов тебе просто необходимо понять и знать его как свои пять пальцев!

    Хотя бы потому, что он применяется для решения рациональных неравенств.

    И потому, что, зная этот метод как следует, решать эти неравенства на удивление просто.

    Чуть позже раскрою тебе пару секретов, как сэкономить время на решении этих неравенств.

    Ну что, заинтриговал? Тогда поехали!

    Суть метода интервалов

    Суть метода в разложении неравенства на множители (повтори тему «Разложение на множители»), определении ОДЗ и знака сомножителей.

    Сейчас все поясню.

    Возьмем самый простенький пример: \( (x+1)\cdot ({x}-2)>0\).

    Области допустимых значений (ОДЗ) здесь писать не надо, поскольку деления на переменную нет, и радикалов (корней) здесь не наблюдается.

    На множители здесь все и так разложено за нас. Но не расслабляйся, это все, чтоб напомнить азы и понять суть!

    Допустим, ты не знаешь метода интервалов, как бы ты стал решать это неравенство? Подойди логически и опирайся на то, что уже знаешь.

    Во-первых, левая часть будет больше нуля если оба выражения в скобках либо больше нуля, либо меньше нуля, т. к. «плюс» на «плюс» дает «плюс» и «минус» на «минус» дает «плюс», так?

    А если знаки у выражений в скобках разные, то в итоге левая часть будет меньше нуля.

    А что же нам нужно, чтоб узнать те значения \( x\), при которых выражения в скобках будут отрицательными или положительными?

    Нам нужно решить уравнение, оно точно такое же как неравенство, только вместо знака «\( >\)» будет знак «\(=\)«.

    Корни этого уравнения и позволят определить те пограничные значения, при отступлении \( x\) от которых множители \( (x+1)\) и \( ({x}-2)\) будут больше или меньше нуля!

    \( (x+1)\cdot ({x}-2)=0\) \( \displaystyle \left[ \begin{array}{l}x=-1\\x=2\end{array} \right.\)

    А теперь сами интервалы.

    Что такое интервал?

    Это некий промежуток числовой прямой, то есть все возможные числа, заключенные между двумя какими-то числами – концами интервала. Эти промежутки в голове представить не так просто, поэтому интервалы принято рисовать, сейчас научу.

    Рисуем ось \( X\), на ней располагается весь числовой ряд от \( -\infty \) и до \( +\infty \). На ось наносятся точки, те самые так называемые нули функции, значения, при которых 

    выражение равняется нулю.

    Эти точки «выкалываются» что означает, что они не относятся к числу тех значений, при которых неравенство верно. В данном случае, они выкалываются, т.к. знак в неравенстве \( >\), а не \(\ge\), то есть строго больше, а не больше или равно.

    Хочу сказать, что ноль отмечать не обязательно, он без кружочков тут, а так, для понимания и ориентации по оси.

    Ладно, ось нарисовали, точки (точнее кружочки) поставили, дальше что, как мне это поможет в решении? – спросишь ты.

    Теперь просто…

    Возьми значение для икса из интервалов по порядку и подставь их в свое неравенство и смотри, какой знак будет в результате умножения.

    Короче, просто берем \( -2\) например, подставляем его сюда \( (x+1)\cdot ({x}-2)\), получится \( 4\), а \( 4>0\).

    Значит на всем промежутке (на всем интервале) от \( -\infty \) до \( -1\), из которого мы брали \( -2\), неравенство будет справедливо.

    Иными словами если икс от \( -\infty \) до \( -1\), то неравенство верно.

    То же самое делаем и с интервалом от \( -1\) до \( 2\), берем \( 0\) или \( 1\), например, подставляем в \( (x+1)\cdot ({x}-2)\), определяем знак, знак будет «минус». И так же делаем с последим, третьим интервалом от \( 2\) до \( +\infty \), где знак получится «плюс».

    Такая куча текста вышла, а наглядности мало, правда?

    Взгляни еще раз на неравенство \( (x+1)\cdot ({x}-2)>0\).

    Теперь все на ту же ось наносим еще и знаки, которые получатся в результате. Ломаной линией в моем примере обозначаем положительные и отрицательные участки оси.

    Смотри на неравенство – на рисунок, опять на неравенство – и снова на рисунок, что-нибудь понятно?

    Постарайся теперь сказать на каких промежутках икса, неравенство будет верно.

    Правильно, от \( -\infty \) до \( -1\) неравенство будет справедливо и от \( 2\) до \( +\infty \).

    {2}}-3x+2}\le \frac{1}{{x}-2}\)

    Раскладываем на множители и переносим все в одну сторону, нам ведь справа только ноль надо оставить, чтоб с ним сравнивать:

    \( \displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{({x}-1)\cdot ({x}-2)}\le \frac{1}{{x}-2}\\\frac{1}{({x}-1)\cdot ({x}-2)}-\frac{1}{{x}-2}\le 0\\\frac{1-x+1}{({x}-1)\cdot ({x}-2)}\le 0\\\frac{-x+2}{({x}-1)\cdot ({x}-2)}\le 0\\\frac{{x}-2}{({x}-1)\cdot ({x}-2)}\ge 0\end{array}\)

    Обращаю твое внимание, что в последнем преобразовании, дабы получить в числителе \( \displaystyle {x}-2\) как и в знаменателе, умножаю обе части неравенства на \( -1\).

    Помни, что при умножении обеих частей неравенства на \( -1\), знак неравенства меняется на противоположный!!!

    Пишем ОДЗ:

    \( \left\{ \begin{array}{l}x\ne 1\\x\ne 2\end{array} \right.\), иначе знаменатель обратится в ноль, а на ноль, как ты помнишь, делить нельзя!

    Согласись, в получившемся неравенства так и подмывает сократить \( {x}-2\) в числителе и знаменателе! Этого делать нельзя, можно потерять часть решений или ОДЗ!

    Теперь попробуй сам нанести точки на ось.

    Замечу лишь, что при нанесении точек надо обратить внимание на то, что точка со значением \( 2\), которая исходя из знака \( \ge \), казалось бы, должна быть нанесена на ось как закрашенная, закрашенной не будет, она будет выколота!

    Почему спросишь ты? А ты ОДЗ вспомни, не собираешься же ты на ноль делить так?

    Запомни, ОДЗ превыше всего! Если все неравенство и знаки равенства говорят одно, а ОДЗ – другое, доверяй ОДЗ, великой и могучей!

    Ну что, ты построил интервалы, я уверен, что ты воспользовался моей подсказкой по поводу чередования и у тебя получилось вот так (см. рисунок ниже) А теперь зачеркни, и не повторяй эту ошибку больше!

    Какую ошибку? – спросишь ты.

    Метод интервалов для линейной функции

    Линейной называется функция вида \( f\left( x \right)=ax+b\)

    Рассмотрим для примера функцию \( f\left( x \right)={x}-3\).

    Она положительна при \( x>3\) и отрицательна при \( x<3\). {2}}-7x+3=2\left( {x}-\frac{1}{2} \right)\left( {x}-3 \right)\).

    Отметим корни на оси:

    Мы помним, что знак функции может меняться только при переходе через корень. 

    Используем этот факт: для каждого из трех интервалов, на которые ось разбивается корнями, достаточно определить знак функции только в одной произвольно выбранной точке: в остальных точках интервала знак будет таким же.

    В нашем примере: при \( x>3\) оба выражения в скобках положительны (подставим, например \( x=4\): \( 2\left( 4-\frac{1}{2} \right)\left( 4-3 \right)>0\)).

    Ставим на оси знак «\( +\)»:

    Далее, \( \frac{1}{2}<x<3\) (подставь в выражение \( 2\left( {x}-\frac{1}{2} \right)\left( {x}-3 \right)\) любой корень из этого интервала, например, \( x=2\)).

    Первая скобка положительна, а вторая отрицательна. Значит, все произведение отрицательно: ставим на оси знак «\( —\)»:

    Ну и, при \( x<\frac{1}{2}\) (подставь, например, \( x=0\)) обе скобки отрицательны, значит, произведение положительно:

    Случай, когда нулей у функции нет, или он всего один

    Если их нет, то и корней нет.

    {2}}}\le 0\)

    Опять же, мы не сокращаем одинаковые множители числителя и знаменателя, так как, если сократим, нам придется специально запоминать, что нужно выколоть точку \( x=-3\).

    Дальше, мы видим несколько кратных корней:

    • \( x=3\): повторяется \( 2\) раза;
    • \( x=-2\): \( 4\) раза;
    • \( x=-3\): \( 3\) раза (\( 2\) в числителе и один в знаменателе).

    В случае четного количества поступаем так же, как и раньше: обводим точку квадратиком и не меняем знак при переходе через корень.

    А вот в случае нечетного количества это правило не выполняется: знак все равно поменяется при переходе через корень. Поэтому с таким корнем ничего дополнительно не делаем, как будто он у нас не кратный.

    Вышеописанные правила относятся ко всем четным и нечетным степеням.

    Что запишем в ответе?

    Бонус: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

    Метод интервалов при решении рациональных и иррациональных уравнений и неравенств

    В этом видео мы узнаем (вспомним) метод интервалов, поймём как и почему он работает.

    Вспомним, как решать квадратные, рациональные неравенства, а также неравенства с модулем и иррациональные.

    2.7: Введение в неравенства и обозначения интервалов

    1. Последнее обновление
    2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    24428
    • Анонимный
    • LibreTexts

    Цели обучения

    • Нарисуйте решения одного неравенства на числовой прямой и выразите решения, используя интервальную запись.
    • Нанесите решения сложного неравенства на числовую прямую и выразите решения, используя запись интервалов.

    Неограниченные интервалы

    Алгебраическое неравенство, такое как \(x≥2\), читается как «\(x\) больше или равно \(2\)». Это неравенство имеет бесконечно много решений относительно \(х\). Некоторые из решений: \(2, 3, 3.5, 5, 20,\) и \(20,001\). Поскольку невозможно перечислить все решения, необходима система, позволяющая четко передавать этот бесконечный набор. Два распространенных способа выражения решений неравенства — это их графическое изображение на числовой прямой и использование интервальной записи.

    Чтобы выразить решение графически, нарисуйте числовую линию и заштрихуйте все значения, являющиеся решениями неравенства. Обозначение интервала является текстовым и использует следующие специальные обозначения:

    Рисунок \(\PageIndex{1}\)

    Определите обозначение интервала после построения графика набора решений на числовой прямой. Числа в интервальной записи следует записывать в том же порядке, в котором они появляются в числовой строке, причем меньшие числа в наборе появляются первыми. В этом примере имеется инклюзивное неравенство, что означает, что нижняя граница 2 включена в решение. Обозначьте это закрытой точкой на числовой прямой и квадратной скобкой в ​​обозначении интервала. Символ (∞) читается как бесконечность и указывает на то, что множество не ограничено справа на числовой прямой. Интервальное обозначение требует скобок для заключения бесконечности. Квадратная скобка указывает, что граница включена в решение. Скобки означают, что граница не включена. Бесконечность является верхней границей действительных чисел, но само не является действительным числом: оно не может быть включено в набор решений.

    Теперь сравните обозначение интервала в предыдущем примере со строгим, или неинклюзивным, неравенством, которое следует ниже:

    может подойти очень близко к граничной точке, в данном случае 2, но фактически не включать ее. Обозначим эту идею открытой точкой на числовой прямой и круглой скобкой в ​​записи интервала.

    Пример \(\PageIndex{1}\)

    Постройте график и задайте эквивалент записи интервала:

    \(x<3\).

    Решение :

    Используйте открытую точку в \(3\) и заштрихуйте все действительные числа строго меньше \(3\). Используйте отрицательную бесконечность \((−∞)\), чтобы указать, что набор решений не ограничен слева на числовой прямой.

    Рисунок \(\PageIndex{3}\)

    Ответ :

    Обозначение интервала: \((-∞, 3)\)

    Пример \(\PageIndex{2}\)

    Постройте график и задайте эквивалент записи интервала:

    \(x≤5\).

    Решение :

    Заштрихуйте все числа меньше 5 включительно.

    Ответ :

    Интервальное обозначение : \((−∞, 5]\)

    Важно видеть, что \(5≥x\) совпадает с \(x≤5\). Оба требуют, чтобы значения \(x\) были меньше чем или равно \(5\). Во избежание путаницы рекомендуется переписать все неравенства с переменной слева. Кроме того, при использовании текста используйте «inf» как сокращенную форму бесконечности. Например, \ ((−∞, 5]\) может быть выражено текстуально как \((−\)inf, \(5]\).

    Составное неравенство — это фактически два или более неравенства в одном утверждении, соединенные словом «и» или словом «или». Составные неравенства с логическим «или» требуют выполнения любого из условий. Следовательно, множество решений этого типа составного неравенства состоит из всех элементов множеств решений каждого неравенства. Когда мы соединяем эти отдельные наборы решений, это называется объединением, обозначаемым \(∪\). Например, решения сложного неравенства \(x<3\) или \(x≥6\) можно изобразить следующим образом:

    Рисунок \(\PageIndex{5}\)

    Иногда мы сталкиваемся с составными неравенствами, когда отдельные наборы решений перекрываются. В случае, когда составное неравенство содержит слово «или», мы объединяем все элементы обоих множеств, чтобы создать одно множество, содержащее все элементы каждого из них.

    Пример \(\PageIndex{3}\)

    Постройте график и задайте эквивалент записи интервала:

    \(x≤−1\) или \(x<3\).

    Решение :

    Объединить все решения обоих неравенств. Решения каждого неравенства нарисованы над числовой линией как средство определения объединения, которое изображено на числовой строке ниже.

    Рисунок \(\PageIndex{6}\)

    Ответ :

    Обозначение интервала: \((−∞, 3)\) 900 32

    Любое действительное число меньше \(3\ ) в заштрихованной области числовой прямой будет удовлетворять хотя бы одному из двух заданных неравенств.

    Пример \(\PageIndex{4}\)

    Постройте график и задайте эквивалент записи интервала:

    \(x<3\) или \(x≥−1\).

    Решение :

    Оба набора решений изображены над объединением, которое показано ниже.

    Рисунок \(\PageIndex{7}\)

    Ответ :

    Обозначение интервала: \(R = (−∞, ∞)\)

    При объединении обоих наборов решений и образуют объединение, вы можете видеть, что все действительные числа удовлетворяют исходному составному неравенству.

    Итак,

    Рисунок \(\PageIndex{8}\)

    Рисунок \(\PageIndex{9} \)

    и

    Рисунок \(\PageIndex{10}\)

    Рисунок \(\PageIndex{11}\)

    Ограниченные интервалы

    Неравенство, такое как

    \(-1\leq x< 3\)

    гласит: «\(−1\) единица меньше или равна \(x\) и \(x\) меньше трех». Это составное неравенство, поскольку его можно разложить следующим образом:

    \(-1\leq x\) и \(x<3\)

    Логическое «и» требует, чтобы оба условия были истинными. Обоим неравенствам удовлетворяют все элементы пересечения, обозначаемые \(∩\), множеств решений каждого из них.

    Пример \(\PageIndex{5}\)

    Постройте график и задайте эквивалент записи интервала:

    \(x<3\) и \(x≥−1\).

    Решение :

    Определите пересечение или перекрытие двух наборов решений. Решения каждого неравенства нарисованы над числовой линией как средство определения пересечения, которое изображено на числовой строке ниже.

    Рисунок \(\PageIndex{12}\)

    Здесь \(x=3\) не является решением, поскольку оно решает только одно из неравенств.

    Ответ :

    Обозначение интервала: \([−1, 3)\)

    Альтернативно, мы можем интерпретировать \(−1≤x<3\) как все возможные значения для \(x\) между или ограничен \(−1\) и \(3\) на числовой прямой. Например, одним из таких решений является \(x=1\). Обратите внимание, что \(1\) находится между \(−1\) и \(3\) на числовой прямой или что \(−1 <1 <3\). Точно так же мы можем видеть, что другими возможными решениями являются \(−1, −0,99, 0, 0,0056, 1,8\) и \(2,99\). Поскольку между \(−1\) и \(3\) бесконечно много действительных чисел, мы должны выразить решение графически и/или с помощью интервальной записи, в данном случае \([−1, 3)\).

    Пример \(\PageIndex{6}\)

    Постройте график и задайте эквивалент записи интервала:

    \(−\frac{3}{2}

    Решение :

    Закрасьте все действительные числа, ограниченные или строго между \(−\frac{3}{2}=−1\frac{1}{2}\) и \(2\).

    Рисунок \(\PageIndex{13}\)

    Ответ :

    Обозначение интервала: \((−\frac{3}{2}, 2)\)

    Пример \( \PageIndex{7}\)

    Постройте график и дайте эквивалент обозначения интервала:

    \(−5

    Решение :

    Заштрихуйте все действительные числа между \(−5\) и \(15\) и укажите, что верхняя граница \(15\) включена в набор решений, используя закрытую точку.

    Рисунок \(\PageIndex{14}\)

    Ответ :

    Обозначение интервала: \((−5, 15]\)

    9003 1 В предыдущих двух примерах мы не разлагали

    Итак,

    Рисунок \(\PageIndex{15}\)

    Нотация Set-Builder 9004 0

    В В этом тексте мы используем обозначение интервала. Однако другие ресурсы, с которыми вы, вероятно, столкнетесь, используют альтернативный метод для описания множеств, называемый обозначением построителя множеств. Мы использовали обозначение множеств для перечисления таких элементов, как целые числа

    \(\{…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…\}\)

    Фигурные скобки группируют элементы набора, а многоточие указывает, что целые числа продолжаются вечно. В этом разделе мы хотим описать интервалы действительных чисел, например, действительные числа, большие или равные \(2\).

    Рисунок \(\PageIndex{16}\)

    Поскольку набор слишком велик для перечисления, нотация построителя набора позволяет нам описать его, используя знакомую математическую запись. Ниже приведен пример нотации конструктора наборов:

    \(\{ x∈\mathbb{R} | x\geq 2\}\)

    Здесь \(x∈R\) описывает тип числа, где читается символ \((∈)\) «элемент». Это означает, что переменная \(x\) представляет собой действительное число. Вертикальная черта \((|)\) читается как «такая, что». Наконец, утверждение \(x≥2\) является условием, описывающим множество с помощью математической записи. На данном этапе нашего изучения алгебры предполагается, что все переменные представляют действительные числа. По этой причине вы можете опустить «\(∈R\)» и написать \(\{x|x≥2\}\), что читается как «множество всех действительных чисел \(x\), таких что \ (x\) больше или равно \(2\)».

    Рисунок \(\PageIndex{17}\)

    Для описания составных неравенств, таких как \(x<3\) или \(x≥6\), запишите \(\{x|x <3\) или \(x≥6\}\), который читается как «множество всех действительных чисел \(x\) таких, что \(x\) меньше, чем \(3\) или \(x\ ) больше или равно \(6\)».

    Рисунок \(\PageIndex{18}\)

    Запишите ограниченные интервалы, такие как \(−1≤x<3\), как \(\{x|−1≤x<3 \}\), который читается как «набор всех действительных чисел \(x\), таких что \(x\) больше или равен \(−1\) и меньше \(3\)».

    Ключевые выводы

    • Неравенства обычно имеют бесконечно много решений, поэтому вместо того, чтобы представлять невероятно большой список, мы представляем такие наборы решений либо графически на числовой прямой, либо в текстовом виде с использованием интервальной записи.
    • Инклюзивные неравенства с компонентом «или равно» обозначаются закрытой точкой на числовой строке и квадратной скобкой в ​​интервальном обозначении.
    • Строгие неравенства без компонента «или равно» обозначаются открытой точкой на числовой строке и скобками с использованием интервальной записи.
    • Составные неравенства, в которых используется логическое «или», решаются путем решения любого неравенства. Набор решений представляет собой объединение каждого отдельного набора решений.
    • Составные неравенства, в которых используется логическое «и», требуют, чтобы все неравенства решались одним решением. Набор решений является пересечением каждого отдельного набора решений.
    • Составные неравенства вида \(n

    Упражнение \(\PageIndex{1}\) Простые неравенства

    Нанесите графически все решения на числовую прямую и задайте соответствующее обозначение интервала.

    1. \(x≤10\)
    2. \(х>−5\)
    3. \(х>0\)
    4. \(х≤0\)
    5. \(х≤−3\)
    6. \(х≥−1\)
    7. \(−4
    8. \(1≥х\)
    9. \(х<−\фракция{1}{2}\)
    10. \(x≥−\frac{3}{2}\)
    11. \(x≥−1\frac{3}{4}\)
    12. \(х<\фракция{3}{4}\)
    Ответить

    1. \((−∞, 10]\)

    Рисунок \(\PageIndex{19}\)

    3. \((0, ∞)\)

    Рисунок \(\PageIndex{20}\)

    5. \((−∞, −3]\)

    Рисунок \(\PageIndex{21}\)

    7. \((−4, ∞)\)

    Рисунок \(\PageIndex{22}\)

    9. \((−∞, −\frac{1}{2})\)

    Рисунок \(\PageIndex{23}\)

    11. \([−1\frac{3}{4}, ∞)\)

    Рисунок \(\PageIndex{24}\)

    Упражнение \(\PageIndex{2}\) Составные неравенства

    Нанесите все решения на числовую прямую и задайте соответствующее обозначение интервала.

    1. \(−2
    2. \(−5≤x≤−1\)
    3. \(−5
    4. \(0\leq x<15\)
    5. \(10
    6. \(-40\leq x<-10\)
    7. \(0
    8. \(-30
    9. \(-\frac{5}{8}
    10. \(-\frac{3}{4}\leq x\leq \frac{1}{2}\)
    11. \(−1≤x<1\frac{1}{2}\)
    12. \(−1\frac{1}{2}
    13. \(х<-3\) или \(х>3\)
    14. \(х<−2\) или \(х≥4\)
    15. \(x≤0\) или \(x>10\)
    16. \(x≤−20\) или \(x≥−10\)
    17. \(x<-\frac{2}{3}\) или \(x>\frac{1}{3}\)
    18. \(x≤−\frac{4}{3}\) или \(x>−\frac{1}{3}\)
    19. \(х>−5\) или \(х<5\)
    20. \(х<12\) или \(х>-6\)
    21. \(х<3\) или \(х≥3\)
    22. \(x≤0\) или \(x>0\)
    23. \(х<−7\) или \(х<2\)
    24. \(х≥−3\) или \(х>0\)
    25. \(х≥5\) или \(х>0\)
    26. \(x<15\) или \(x≤10\)
    27. \(х>−2\) и \(х<3\)
    28. \(х≥0\) и \(х<5\)
    29. \(x≥−5\) и \(x≤−1\)
    30. \(х<-4\) и \(х>2\)
    31. \(x≤3\) и\(x>3\)
    32. \(x≤5\) и \(x≥5\)
    33. \(x≤0\)   и  \( x≥0\)
    34. \(x<2\)   и  \( x≤−1\)
    35. \(х>0\)    и  \( х≥−1\)
    36. \(х<5\)   и  \( х<2\)
    Ответить

    1. \((−2, 5)\)

    Рисунок \(\PageIndex{25}\)

    3. \((−5, 20]\)

    Рисунок \(\PageIndex{26}\) ​​

    5. \((10, 40]\)

    Рисунок \(\PageIndex{27}\)

    7. \((0, 50]\)

    Рисунок \(\PageIndex{28}\)

    9. \((−\frac{5}{8}, \frac{1}{8})\)

    Рисунок \(\PageIndex{29}\)

    11. \([−1, 1\frac{1}{2})\)

    Рисунок \(\PageIndex{30}\)

    13. \((−∞, −3)∪(3, ∞)\)

    Рисунок \(\PageIndex{31}\)

    15. \((−∞, 0]∪(10, ∞)\)

    Рисунок \(\PageIndex{32}\)

    17. \((−∞, −\frac{2}{3})∪(\frac{1}{3}, ∞)\)

    Рисунок \(\PageIndex{33}\)

    19. \(Р\)

    Рисунок \(\PageIndex{34}\)

    21. \(Р\)

    Рисунок \(\PageIndex{35}\)

    23. \((−∞, 2)\)

    Рисунок \(\PageIndex{36}\)

    25. \((0, ∞)\)

    Рисунок \(\PageIndex{37}\)

    27. \((−2, 3)\)

    Рисунок \(\PageIndex{38}\)

    29. \([−5, −1]\)

    Рисунок \(\PageIndex{39}\)

    31. \(∅\)

    Рисунок \(\PageIndex{40}\)

    33. \(\{0\}\)

    Рисунок \(\PageIndex{41}\)

    35. \((0, ∞)\)

    Рисунок \(\PageIndex{42}\)

    Упражнение \(\PageIndex{3}\) Обозначение интервалов

    Определите неравенство, учитывая ответы, выраженные в обозначении интервалов.

    1. \((−∞, 7]\)
    2. \((−4, ∞)\)
    3. \([−\frac{1}{2}, ∞)\)
    4. \((−∞, −3)\)
    5. \((−8, 10]\)
    6. \((−20, 0]\)
    7. \((−14, −2)\)
    8. \([\frac{2}{3}, \frac{4}{3}]\)
    9. \((−\frac{3}{4}, \frac{1}{2})\)
    10. \((−∞, −8)\)
    11. \((8, ∞)\)
    12. \((−∞, 4)∪[8, ∞)\)
    13. \((−∞, −2]∪[0, ∞)\)
    14. \((−∞, −5]∪(5, ∞)\)
    15. \((−∞, 0)∪(2, ∞)\)
    16. \((−∞, −15)∪(−5, ∞)\)
    Ответить

    1. \(х\leq 7\)

    3. \(x≥−\frac{1}{2}\)

    5. \(−8

    7. \(−14

    9. \(-\frac{3}{4}

    11. \(х>8\)

    13. \(x≤−2\) или \(x≥0\)

    15. \(х<0\) или \(х>2\)

    Упражнение \(\PageIndex{4}\) Обозначение интервалов

    Запишите эквивалентное неравенство.

    1. Все действительные числа меньше \(27\).
    2. Все действительные числа меньше или равные нулю.
    3. Все действительные числа больше \(5\).
    4. Все действительные числа, большие или равные \(−8\).
    5. Все действительные числа строго между \(−6\) и \(6\).
    6. Все действительные числа строго между \(−80\) и \(0\).
    Ответить

    1. \(х<27\)

    3. \(х>5\)

    5. \(-6

    Упражнение \(\PageIndex{5}\) Темы на доске обсуждений

    1. Сравните нотацию интервала с нотацией построителя наборов. Поделитесь примером набора, описанного с использованием обеих систем.
    2. Объясните, почему мы не используем скобки в обозначении интервала, когда бесконечность является конечной точкой.
    3. Изучите и обсудите различные составные неравенства, особенно объединения и пересечения.
    4. Исследуйте и обсуждайте историю бесконечности.
    5. Исследовать и обсудить вклад Георга Кантора.
    6. Что такое диаграмма Венна? Объясни и выложи пример.
    Ответить

    1. Ответы могут отличаться

    3. Ответы могут отличаться

    5. Ответы могут отличаться


    1. Наверх
      • Была ли эта статья полезной?
      1. Тип изделия
        Раздел или Страница
        Автор
        Аноним
        Печать CSS
        Плотный
        Версия лицензии
        3,0
        Программа OER или Publisher
        Издатель, имя которого нельзя называть
      2. Теги
          На этой странице нет тегов. 2 + 2 = 4, у вас было бы два ответа √2 и -√2. Но если вам дано неравенство x + 2 < 4, то существует бесконечное количество решений. Чтобы описать этот бесконечный набор решений, вы должны использовать обозначение интервала и указать границы диапазона чисел, составляющих решение этого неравенства.

            Используйте те же процедуры, что и при решении уравнений, чтобы изолировать неизвестную переменную. Вы можете прибавить или вычесть одно и то же число с обеих сторон неравенства, как и в уравнении. В примере x + 2 < 4 вы можете вычесть два из левой и правой частей неравенства и получить x < 2.

            Умножьте или разделите обе части на одно и то же положительное число, как в уравнении. Если 2x + 5 < 7, сначала нужно вычесть по пять с каждой стороны, чтобы получить 2x < 2. Затем разделить обе части на 2, чтобы получить x < 1. 92 - x - 6 < 0. Теперь факторизуем левую часть: (x+2) (x-3) < 0. Это будет верным утверждением, когда либо (x+2), либо (x-3) отрицательно, но не оба, потому что произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Это утверждение верно только тогда, когда x > -2, но < 3.

            Используйте интервальную нотацию, чтобы выразить диапазон чисел, делая ваше неравенство верным утверждением. Набор решений, описывающий все числа от -2 до 3, выражается как: (-2,3). Для неравенства x + 2 < 4 набор решений включает все числа меньше 2. Таким образом, ваше решение находится в диапазоне от отрицательной бесконечности до (но не включая) 2 и будет записано как (-inf, 2).

            Используйте квадратные скобки вместо скобок, чтобы указать, что одно или оба числа, служащие границами диапазона вашего набора решений, включены в набор решений. Таким образом, если x + 2 меньше или равно 4, 2 будет решением неравенства в дополнение ко всем числам, меньшим 2. Решение этого будет записано как: (-inf, 2]. Если набор решений состоит из всех чисел от -2 до 3, включая -2 и 3, набор решений будет записан как: [-2,3].

          Похожие статьи

          Ссылки

          • Ilumina: решение неравенств
          • Purple Math: решение линейных неравенств; Введение и форматирование; Элизабет Стапель
          • SOS Математика: Неравенства; Основные правила

          Об авторе

          Эндрю Бреслин профессионально пишет с 1994 года.

      Добавить комментарий

      Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *